资源简介

(共65张PPT)
分式方程
人教版八年级上册
导入新课
1． 什么叫一元一次方程
2． 下列方程哪些是一元一次方程
导入新课
2x+5=7；
9x–5；
(3) 6y+1>2y；
(4) 7–2=5；
(5) 4x+3y=3；
；
.
分母中含有未知数的方程在生活中很常见
下列哪些是方程？
是方程的有：(1)(5)(6)(7).
等号两边都是整式
整式方程
等号两边含分式
一艘轮船在静水中的最大航速为20 km/h,它沿江以最大航速顺流航行100 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等,江水的流速为多少
解:设江水的流速为 v km/h.
根据题意，得.
这样的方程与以前学过的方程一样吗？
情境导入
能够识别分式方程，了解解分式方程的整体思想及检验的意义；
会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．
在经历“实际问题-分式方程-整式方程”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识.
学
习
目
标
重点
难点
素养
课标要求
延时符
探究
为要解决导入中的问题，我们得到了方程 ．
仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？
分式方程的概念
知识点 1
　 方程 　　　　　　　　　　　
与上面的方程有什么共同特征？
追问1：
分母中都含有未知数．
探究新知
分式方程的概念：
　　分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的特征：分母中含有未知数.
注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．
你能再写出几个分式方程吗？　　
追问2：
分式方程的概念
分式方程的特征：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
（1）是等式；
（2）方程中含有分母；
（3）分母中含有未知数.
结论
下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
整式方程
分式方程
下列式子中，属于分式方程的是 ，属于整式方程的是 　 （填序号）．
（2）
（1）
（3）
明辨是非
辨别下列方程是否是分式方程：
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
（a为常数）
8.
9.
方法：一看原形式，二只看分母，三辨别未知数。
总结：
　　这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．
你能试着解分式方程 吗？
解分式方程
知识点 2
问题1：
这些解法有什么共同特点？
问题2：
（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？
（4）这样做的依据是什么？
想一想
例　解分式方程
即
解得
则得到
方程两边同乘各分母的最简公分母
=
（20+x）(20-x)
方程中各分母的最简公分母是：
解：
方程两边同乘（20+x)(20-x)，得.
检验：将x=5代入原方程中，左边=4=右边，因此x=5是原分式方程的解。
（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．
（2）利用等式的性质，可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．
归纳总结
（1）分析：
方程可化为
两边都乘 ，得
化简，得
解得
解：
先约分，再去分母,可以使计算简便
（2）计算：
你得到的解 是分式方程
的解吗？　　　
检验：把v=6代入分式方程得：
左边=
右边=
左边=右边，所以v=6是原方程的解.
追问：
解分式方程：
　　　　 是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．
问题3：
你得到的解 是分式方程
的解吗？该如何验证呢？　　
追问1：
解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得.
x+5=10.
解得 x=5.
x=5是原分式方程的解吗？
检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解.
上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程 的解 是分式方程
的解，而整式方程x＋5=10
的解 　
却不是分式方程　
的解？
追问2：
原因：
　　在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．
结论：分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同.
我们再来观察去分母的过程:
90(30-x)=60(30+x)
两边同乘(30+x)(30-x)
当x=6时,(30+x)(30-x)≠0
结论：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x+5=10
两边同乘(x+5)(x-5)
当x=5时, (x+5)(x-5)=0
我们称它为原方程的增根.
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验．
分式方程解的检验------必不可少的步骤
检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
结论
检验的方法主要有两种：
（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；
（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．
显然，第(2)种方法比较简便！
用框图的方式总结为：
分式方程
整式方程
去分母
解整式方程
x =a
检验
x =a是分式
方程的解
x =a不是分式
方程的解
x =a
最简公分母是
否为零？
否
是
解分式方程容易犯的错误主要有：
（1）去分母时，原方程的整式部分漏乘．
（2）约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号．
（3）增根不舍掉.
（4）符号问题.
回顾解分式方程 与
的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？
问题4：
基本思路：将分式方程化为整式方程.
一般步骤：
（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．
注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验．
分式方程
概括总结
解分式方程
的一般步骤
整式方程
转
X=a
解
a是分式方程的解
a不是分式方程的解
验
结论
定
口诀：
分式方程先转换
去掉分母是关键
化为整式来计算
结果必须要检验
指出下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后得到的整式方程.
①
②
解：①最简公分母2x(x+3)，去分母得x+3=4x；
②最简公分母x2–1，去分母得2(x+1)=4；
例　解下列方程：
解分式方程
解：方程的两边同乘以x(x–2)
得2x=3x–6
解得：x=6
检验：当x=6时，x（x–2）≠0.
所以，原方程的解是x=6.
素养考点
解下列方程：
解：方程的两边同乘以2x(x+3)
得(x+3)=4x
解得：x= 1
检验：当x=1时，2x（x+3）≠0.
所以，原方程的解是x=1.
(1)把未知数的值代入原方程(一般方法);
(2)把未知数的值代入最简公分母(简便方法).
检验
方法
分式方程
整式方程
x=a
a 是分式方程的根
a 不是分式方程的根
（a是分式方程的增根）
目标
去分母
解整式方程
最简公分母为0
最简公分母不为0
这里的检验要以解整式方程正确为前提
注意：
例 解方程　
解：方程两边同乘
得 =3.
化简，得 =3.
解得 =1.
检验：当 =1时， =0.
因此x =1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解.
解含有整式项的分式方程
素养考点
解方程：
方程两边都乘2x，得.
960-600=90x.
解这个方程,得 x=4.
经检验，x＝4是原方程的根.
解：
例
解分式方程的一般步骤:
1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4.写出原方程的解.
解分式方程的思路：
分式方程
整式方程
去分母
一化二解三检验
当m=______时,解分式方程 会出现增根.
　2　
已知分式方程根的情况求待定字母
素养考点
例
解析：方程两边都乘(x-3)，得 x-5=-m。
解这个方程，得 x=5-m。
若x是方程的增根，则有x=3，即5-m=3，解得m=2.
方法总结
分式方程的增根
1.确定分式方程增根的方法:使得分式方程的分母为零的未知数的值.
2.产生增根的原因:在方程的两边同乘了一个使分母为零的整式.
3.分式方程无解的两种情况:
(1)由分式方程转化得到的整式方程的解,使得最简公分母为零,此时分式方程有增根.
(2)由分式方程转化的整式方程无解,此时分式方程也无解.
若关于x的分式方程 无解，求m的值．
分析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．
变式训练
解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
②方程有增根，则x＝2或x＝－2.
当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；
当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10.
解得m＝6，
∴m的值是1，－4或6.
解分式方程的一般步骤：
归纳总结
分式方程
整式方程
x=a
x=a是分式方程的解
x=a不是分式方程的解
最简公分母不为0
最简公分母为0
去分母
解整式方程
检验
解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ）.
A. 2(x–8)+5x=16(x–7)
B. 2(x–8)+5x=8
C. 2(x–8)–5x=16(x–7)
D. 2(x–8)–5x=8
解析：原方程可以变形为 ，两边都乘以2（x–7）得2(x–8)+5x=8×2(x–7),即2(x–8)+5x=16(x–7).
A
易错易混点拨：
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
(2)约去分母后，分子是多项式时， 没有添括号．(因分数线有括号的作用）
(3)把整式方程的解代入最简公分母后的值为0，不舍掉.
方法点拨
1.分式方程 =1的解是（　　）
A．x=1 B．x=–1 C．x=3 D．x=–3
A
2.关于x的分式方程 解为x=4，则常数a的值为（　 ）.
A．a=1 B．a=2 C．a=4 D．a=10
D
链接中考
3.（海南）分式方程 的解是 (　 )
A. x=-1　　 B. x=1
C. x=5　　 D. x=2
C
我们一起来 吧!
1.若关于x的分式方程 的解为x=2，则m的值为（　）.
A．5 B．4
C．3 D．2
B
基础巩固题
2.方程的解为（　　）
A．x=–1 B．x=0
C．x= D．x=
D
3.关于x的方程 的解为x=1,则a=(　 　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 1 B. 3 C. -1 D. -3
D
4.关于x的分式方程 +5= 有增根,则m的值为 (　)。
A.5 B.4 C.3 D.1
B
基础巩固题
5.若关于x的分式方程 =2的解为非负数,则m的取值范围是________________.
　m≥-1且m≠1　
6. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ）.
A. 2（x-8)+5x=16(x-7) B. 2(x-8)+5x=8
C. 2(x-8)-5x=16(x-7) D. 2(x-8)-5x=8
A
基础巩固题
7.解方程：
方程两边都乘x(x－1)
得 3x＝4(x－1)．
解这个方程，得x＝4.
检验：将x＝4代入原方程
得左边＝1＝右边．
所以，x＝4是原方程的根．
解：
方程两边都乘2x－3
得x－5＝4(2x－3)．
解这个方程，得x＝1.
检验：将x＝1代入原方程
得左边＝4＝右边．
所以，x＝1是原方程的根．
解：
基础巩固题
(3)
方程两边都乘 (x+1)(x-1)
得 2(x-1)+3(x+1)＝6．
解这个方程，得x＝1.
检验：当x＝1时， (x+1)(x-1)=0。
所以，x＝1是原方程的増根。
所以，原方程无解.
解：
解：去分母，得3x+3–（x–1）=x2+kx.
整理，得x2+（k–2）x–4=0.
因为有增根，所以增根为x=0或x=1.
当x=0时，代入方程得–4=0，所以x=0不是方程的增根；
当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时,方程有增根x=1.
1.已知关于x的方程 有增根，求该方程的增根和k的值.
能力提升题
2.关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是____________．
解析：去分母得,2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1.∵关于x的方程 的解是正数，∴x＞0且x≠1.∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2.∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.
a＜－1且a≠－2
能力提升题
3.若关于x的方程 有增根，求m的值.
解：方程两边同乘以x-2，得.
2-x+m=2x-4
合并同类项,得3x=6+m.
∴m=3x-6.
∵该分式方程有增根.
∴x=2，∴m=0.
能力提升题
1.解方程:
拓广探索题
解：方程可化为：
得
解得x=–3
经检验：x=–3是原方程的根.
2.若关于x的分式方程 =m-3无解,求m的值.
解:分式方程去分母得:m(x+1)-5=(m-3)(2x+1).
整理得:mx+m-5=(2m-6)x+m-3,即(m-6)x=-2.
当m-6=0,即m=6时,方程无解;
由分式方程有增根,得到2x+1=0,即x=- .
把x=- 代入整式方程得:m=10.
综上,m的值为6或10.
拓广探索题
解分式方程
整式方程
x=a
x=a是分式方程的解
x=a不是分式方程的解
最简公分母不为0
最简公分母为0
去分母
解整式方程
检验
分式方程
定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
课堂小结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢
谢
再 见
下课了!
谢谢观看
初中数学人教版八年级上册

展开更多......

收起↑