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1.6 解三角形
湘教版数学必修第二册
第1章 平面向量及其应用
1.6.1 余弦定理
学 习 目 标
1.掌握用向量推导余弦定理的方法。
2.能运用余弦定理解决“两边及其夹角”和“三边”这两类基本的解三角形问题．
新课导入
之前，我们借助锐角三角函数的有关知识解决了一些有关直角三角形的问题。在实际生活中，我们往往更多遇到的是有关斜三角形的问题，那么如何求解呢
新课导入
三条边和三个内角是三角形最基本的六个元素，通常只要知道了三个元素(其中至少包括一条边)就可以求出其余三个未知元素.这种从已知三角形的某些元素出发求这个三角形其他元素的过程叫作解三角形。
新知探究| 一、余弦定理
A
B
C
a
b
c
我们知道，由边角边定理可证明两个三角形全等，也就是由两边及其夹角即可完全确定一个三角形。三角形确定后，若夹角为直角，则由勾股定理可求第三边的长，若夹角不为直角，如何求第三边呢
新知探究| 一、余弦定理
A
B
C
a
b
a-b
如图，已知△ABC的两边CB=a, CA=b以及两边夹角∠C,记a=CB, b=CA,则
→
→
AB=CB-CA =a-b.
→
→
→
因而AB2=|AB|2
=|a-b|2
=(a-b) ·(a-b)
=a·a-2a·b+b·b
=a2-2abcosC+b2 ①
→
新知探究| 一、余弦定理
A
B
C
a
b
a-b
新知探究|要点归纳
于是得到以下定理：
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
当∠C是直角时，向量等式|a-b|2=|a|2+|b|2-2|a||b|cosC中的a·b=0，等式变为|a-b|2=|a|2+|b|2，这就是勾股定理。由此可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广。
新知探究|要点归纳
余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，是一个解决三角形问题的重要工具。在实际应用中，有时可将余弦定理写成下面的形式:
利用上述公式就可由三角形的三条边计算出三角形的三个内角。
新知探究| 例题解析
课堂小结
定义
余弦定理
正弦定理
定义
扩充
解三角形
解三角形应用举例

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