资源简介

(共16张PPT)
增分练(十一)　3填空题＋解析几何解答题
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3．(5分)甲、乙、丙、丁四人玩踢毽子游戏，第一次由甲踢出，每次踢出时，踢出者都等可能地将毽子踢给另外三个人中的任何一人．若第二次踢出后恰好踢给乙，则此毽子是由丙踢出的概率为__________，第n次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为__________________．
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(1)已知点A(2，2)，P(3，1)，若A，B关于点P“f-共轭”，求点B的坐标；
(2)对椭圆外任意点P，证明：点P的“Ef-共轭点对”必存在；
(3)若点P在直线x＝4上运动，M(2，0)，且A，B为点P的“Ef-共轭点对”，求△MAB面积的最大值．
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(建议用时：45分钟满分：30分)
填空题（每小题5分，共15分）
1.(5分)(2025山东潍坊三模)已知函数x)=
x2+x,x≤0，
是奇函数，
ax2+bx,x>0
则函数gx)=x)一的零点个数为
解析：
答案：
2.(5分)2025·河北邢台二模)某数学兴趣小组成员为测量A,B两地（视为
质点)之间的距离，在A的正北方向和西偏北15°方向上分别选取C,D两
点，已知A,C两地相距5V6千米，B,D两地相距10v3千米，且D在C的
西南方向上，B在A的西南方向上，则A,B两地之间的距离是
米.
解析：如图，在△ACD中，∠ACD=45，∠CA
=90°-15°=75°，则∠ADC=60
由正弦定理，得
AD
sim60，解得AD=5Y
5V6
sin45°
10,在△ABD中，∠DAB=15°十45°=60°
设
AB=x,
由余弦定理，得BD2=AD2十AB2-2 ADAB cos
∠DAB,即(10V3)2=100+x2-2×10xcos60°，解
得x=20(负值舍去).
C
45y
5W6
D
A
10W3
B
解析：由已知条件可知，前两次踢出的毽子被接到的情况有（乙，甲），
(乙，丙)，（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁）
(丁，甲)，（丁
乙)，（丁
丙)
共9种，设事件A=“第二次踢出后恰好踢给乙”，事件B
=“第二次的键子由丙踢出，乙接到”，则事件A包含（丙，乙），（丁
乙)两种情况，事件AB包含（丙，乙）一种情况，则P(4)=,PAB)
,则P(BA)
P(AB)
=2=2；
设第次踢出后，键子恰好踢给乙的概率为
P(A)
易知若第n次踢出后，毽子恰好踢给乙，则第n-1次踢出后，毽子恰
好不踢给乙，再由其踢给乙，则Pn-1-P,-),n≥2，且P-,
则P一(共14张PPT)
增分练(十)　3填空题＋立体几何解答题
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3．(5分)(2025·山东泰安三模)若函数f(x)满足：存在整数a，实数b∈(0，1)，使得f(a)＝f(a＋b)，则称f(x)是“滞后的”．已知函数g(x)＝x－sin ωx(ω>0)不是“滞后的”，则ω的取值范围是______________．
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解：(1)证明：因为四边形ABB′A′为矩形，
则AB∥A′B′，AB＝A′B′，
由题意得，O′、O分别为A′B′和AB的中点，所以，O′B′∥OB，O′B′＝OB，
所以，四边形OO′B′B为平行四边形，
因为BB′⊥AB，则OO′⊥AB，同理可证，OO′⊥CD，
因为AB∩CD＝O，AB，CD 平面ADBC，故OO′⊥平面ADBC.
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解析：
答案：
2.(6分2025江西鸡速二模)已知双由线E:名-号-1(a0.b0的左、
右焦点分别为F,F,,点M在E的左支上，过点M作E的一条渐近线的垂
线，垂足为N,则当MF2+MW取最小值12时，△F,NF面积的最大值为
解析：由题意，得MF2-MF|=2a,故MF2=MF1+2a,如图所示，
而F(-c,0)到渐近线bx十ay=0的距离F,N=c=
则MF2+MNM=|MFl+2a+IMWM≥F,W+2a=b+2a,当且仅当M,F,
N三点共线时等号成立，所以MF+MW的最小值为b+2a=12,所以
12≥2V2ab,即ab≤18，当且仅当b=6,a=3时，等号成立，又OF1=
c,故|OW=-Vc2-b2=a,所以aR,N2=2Sar,N0=2x;×INF|×INO
=ab≤18，即△FNF,面积的最大值为18.
答案：18
M
F
F2
X
解析：由“滞后的”的定义，知单调函数必不是“滞后的”，当0<0≤1
时，g(x)=1一ωcos wx≥0，函数g(x)在R上单调递增，符合题意；依题
意，g(0)=0-sin0=0,若gx)在(0,1)上存在零点，则g(x)符合“滞后
的”定义，有g1)=1-simo≥0，当且仅当0-+2kπ，k∈Z时取等号，
当w>1且wr+2m,k∈Z时，g0)
1-w<0,g(1)>0,因此函数g(x)在
区间0,1)上-定存在零点，不符合题意；当0+2x,k∈乙，k>1
时，
函数g,)在区间(0,1)上至少存在1个零点，不符合题意；当0=
g(a)=a-sin wa,a∈Z,则sin wa∈Z,g(a)∈Z,而g(a+b)=a+b-sin
(a+b)不为整数，符合题意，所以w的取值范围为(0,1]U)
答案：(0,1]U)(共16张PPT)
增分练(五)　3多项选择题＋立体几何解答题
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AB
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ACD
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解析：AB对于A,当-时，AD=AB+BD=
AB+(AC-AB)-AC+子AB,故A正确；
对于B,由MA+MB+MC=0,知此时M为△ABC的
重心，所以D,E分别是BC和AC的中点，所以2=2，故B正确；
对于C,当入=子时，AD=AE+BD-AC+AB,BE=A正-A
0=
AC-AB,则D·BE-号AC2-号AE.AC-AB2=-号、故C错误；
A
E
M
C
B
D
2.(2025-安徽合肥三校)已知双曲线C:总-品=1(a>0,h0)的南近线方
程为y=士x,左、右焦点分别为F,F2,过点F2的直线与双曲线C的右支
交于P,2两点，则(
A.双曲线C的离心率为2
B.若P2⊥F1F2,则P2=V2F1F2
C.若P2=|PFl,则tan∠QPF,=-3V7
D.若a=V2,直线的倾斜角为60°，则IPQ1=4V2
解析：
Y来
P
F2
X
Q
不妨设a=1,因为P2=PFl=PF2+F2Q1,则PFl-PF2=F2Q=2,
则2F=4,而FF2=2V2,则在△QFF2中，由余弦定理得
cos
∠FQn,-1O1+lQ-ES4
21QFQF2
1-3-cos∠PF1,则cos∠QPF=cos(
2∠P9F)=1-2cos2∠PQF1
=-g则tan∠QPF=-3V7,故C正确；
x2-y2=2,
联=V32).6+7-0,所以
xr+xo=6,xpxo=7,kp-xol=2v2,PQI
1+k2xp-xg=4V2,故D正确.故选
ACD
据析：AD户径80,404，到安定义浅0，R为当
且仅当1K3时，导函数)0成立，则f)--是+a==4-40
x(4-x)
的解集为(1,3)，即ax2-4ax+4<0的解集为(1,3)，则a>0,
4a
=1+3,音1×3，则a-,故A正确
4x2+4×5x-4
f(x)=
3
3
.x2-4x+3
4×(x-1)x-
一X
x(4-x)
x(4-x)
3
x(4-x)
2，令gx)=x)=
4
(x-1)(x-3)
,则
2x-4)x(4-x)-(-2x+4)(x-1)(x-3)
3
x(4-x)
g'(x)
x
[x(4-x)]2
8(x-2)
[x(4-x2,
由g'(x)>0得0调递增，在(2,4)上单调递减，f)mx=f2)=，则fe-1)
(2V2)2/2)-号，故B正确，C错误；(共24张PPT)
增分练(二)　8单项选择题＋导数解答题
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故当x∈(0，x0)时，F′(x)＝G(x)故对任意x∈(0，x0)，F(x)即sh(x)综上所述，实数a的取值范围为(－∞，1].(共19张PPT)
增分练(七)　3多项选择题＋独立性检验、回归分析解答题
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(建议用时：45分钟　满分：33分)
一、多项选择题(每小题6分，共18分)
1．(2025·河北石家庄三模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋1)是定义在R上的奇函数，则(　　)
A．f(x)的图象关于点(1，0)中心对称
B．f(x)是周期为2的函数
C．f(2027)＝0
D．
AC　
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解析：AC　对于A，因为y＝f(x＋1)是R上的奇函数，其图象关于原点对称，又y＝f(x＋1)可看成是函数y＝f(x)向左平移1个单位得到，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确；
对于B，当f(x)不是常数函数时，由y＝f(x＋1)是R上的奇函数，可得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即 f(－x)＝－f(x＋2)，又f(－x)＝f(x)，则f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期为4的函数，故B错误；
对于C，由f(－x)＝－f(x＋2)，令x＝－1，得f(1)＝－f(1)，则f(1)＝0，所以f(2027)＝f(506×4＋3)＝f(3)＝f(－1)＝f(1)＝0，故C正确；
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对于D，由选项B可知，f(x)是周期为4的函数，且f(1)＋f(3)＝f(2)＋f(4)＝0，则 ＝4[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(2)，而f(2)的值无法确定，故D错误．故选AC.
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ABD
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ABD
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二、解答题
4．(15分)(2025·河南新乡三模)PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量x(单位：辆)和空气中的PM2.5的平均浓度y(单位：μg/m3)．检测人员采集了50天的数据，制成2×2列联表(部分数据缺失)：
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燃油车日流量
x<1500 燃油车日流量
x≥1500 合计
PM2.5的平均
浓度y<100 16 24
PM2.5的平均
浓度y≥100 20
合计 22
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α 0.01 0.005 0.001
xα 6.635 7.879 10.828
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解：(1)2×2列联表如下：
燃油车日流量
x<1500 燃油车日流量
x≥1500 合计
PM2.5的平均
浓度y<100 16 8 24
PM2.5的平均
浓度y≥100 6 20 26
合计 22 28 50
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(2)(ⅰ)由题意，得
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所以该经验回归方程有价值．(共16张PPT)
增分练(六)　3多项选择题＋导数解答题
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(建议用时：45分钟　满分：33分)
一、多项选择题(每小题6分，共18分)
1．某中学九年级在体能测试后，为分析学生的跳绳成绩，随机抽取了120名学生的1分钟跳绳的次数，将所得数据整理后，分为6组画出如图频率分布直方图．为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这120名学生中，跳绳次数位于[140，150)的学生跳绳次数的方差为2，跳绳次数位于[150，160]的学生跳绳次数的方差为2.5，则下列说法正确的是(　　)
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A．a＝0.005
B．估计该年级学生跳绳次数的60%分位数约为135
C.估计该年级学生跳绳次数在140次及以上的学生跳绳次数的平均数为147.5
D．估计该年级学生跳绳次数在140次及以上的学生跳绳次数的方差为26.2
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解析：ABD　对于A，频率分布直方图各长方形面积和为1.已知(a＋3a＋5a＋6a＋3a＋2a)×10＝200a＝1，解得a＝0.005，A正确；
对于B，前三个矩形面积和为(a＋3a＋5a)×10＝90a＝90×0.005＝0.45<0.6；
前四个矩形面积和为(a＋3a＋5a＋6a)×10＝150a＝150×0.005＝0.75>0.6，
说明60%分位数m在(130，140)内．根据定义0.45＋(m－130)×0.03＝0.6，解得m＝135，故B正确；
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AD
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因为CC1⊥底面ABC，所以CC1⊥AB，又AB⊥AC，且AC∩CC1＝C，所以AB⊥平面ACC1A1，因为A1C 平面ACC1A1，所以AB⊥A1C，因为CP＝AC＝2，点A1为棱PA的中点，所以A1C⊥PA，因为AA1∩AB＝A，AA1，AB 平面ABB1A1，所以A1C⊥平面ABB1A1，故B正确；
取BC的中点O，则AO⊥BC，因为CC1⊥底面ABC，
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1(共20张PPT)
增分练(八)　3多项选择题＋解析几何解答题
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BD
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BC
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AC
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解析：AC　因为SA⊥底面ABCD，SA＝2，底面ABCD是边长为2的正方形，
以点A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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解析：BD对于A,可掷出2，使得M,N同时发生，故A错误；
对于B,PMM=,PM=3,PM=Z,满足PMM=PMPM,故B正
确；
对于C,由B可知PMM=PW=3,P(NM=PM-2,
故C错误；
对于D,P(M=P(MPN-子×：-：，P(MN-PMP(N-
名所以P(W十PCM)-放D正确.改选BD
解析：BC由题意可得f(x)=(x2+2x-3)e=(x+3)x-1)e,因fO)
3,则1im
f(x)+3
lim
f)fO=f0)=-3,故A错误；
X→0
X→0
x-0
由(x)>0得x<一3或x>1,由f(x)K0得一3x<1,则x)在（一∞，一3）和(1，
+∞)上单调递增，在（一3,1）上单调递减，则x)在x=一3处取得极大值
-3)=6e3,故B、C正确；
-4)-3-2)=是，则函数)[-4，一2]上的最小值为-2)，故D
错误.故选BC
3.(2025·浙江嘉兴二模)已知四棱锥S-ABCD,底面是边长为2的正方形，
SA⊥底面ABCD,SA=2,点P满足SP=λSC,元∈[0,1]，下列说法正确
的是(
A.存在点P,使得BP⊥SD
B.当=时，点D到平面ABP的距离为
C.当平面BPC⊥平面APD时，2=
D.当二面角BAPC为时，=子
Z
S
个
I
P
D
y
B
C
X
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0
2,0),S0,0,2),AP=A+SP=A5+λSC=
(0,0,2)+2(2,2,-2)=(22,22,2-22),其中
2∈[0,1]，故点P2元，22,2-2)，对于A,SD=
(0,2,-2),BP=(22-2,22,2-2),若存在
点P,使得BP⊥SD,则SD·BP=4+42-4=82-
4=0,解得2=，符合题意，所以存在点P,使得(共13张PPT)
增分练(九)　3填空题＋解三角形解答题
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3．(5分)(2025·广东广州三模)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，在其内部放入两个相外切的球O1和球O2(可与正方体表面相切)，半径分别为r1，r2，则r1＋r2的最大值为________．
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二、解答题
4．(15分)(2025·贵州铜仁模拟预测)法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当△ABC的三个内角均小于120°时，满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O为费马点；
②当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上知识解决下面的问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M为△ABC的费马点，且lg (sin A＋sin C)＝2lg sin B－lg (sin C－sin A)．
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(2)由(1)知C＝90°，所以△ABC的三个角都小于120°，
因为点M为△ABC的费马点，
所以∠AMB＝∠BMC＝∠CMA＝120°，设MA＝x，
在△ACM中，b2＝x2＋9－2×3x×cos120°＝x2＋9＋3x，
在△BCM中，a2＝9＋16－2×3×4cos 120°＝37，
在△ABM中，c2＝x2＋16－2×4x×cos 120°＝x2＋16＋4x，
因为b2＋a2＝c2，
所以x2＋3x＋46＝x2＋4x＋16，
解得MA＝x＝30，
由S△ABC＝S△AMB＋S△BMC＋S△CMA，
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(3)由(2)知∠AMB＝∠BMC＝∠CMA＝120°.
设|MC|＝x，|MA|＝mx，|MB|＝nx(x>0，m>0，n>0)，
由|MA|＋|MB|＝t|MC|得m＋n＝t.
由余弦定理得，
在△ACM中，|AC|2＝x2＋m2x2－2mx2cos 120°＝(m2＋m＋1)x2，
在△BCM中，|BC|2＝x2＋n2x2－2nx2cos 120°＝(n2＋n＋1)x2，
在△ABM中，|AB|2＝m2x2＋n2x2－2mnx2cos 120°＝(m2＋n2＋mn)x2，
因为|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以(m2＋m＋1)x2＋(n2＋n＋1)x2＝(m2＋n2＋mn)x2，
整理得m＋n＋2＝mn.
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1(共18张PPT)
增分练(三)　8单项选择题＋解三角形解答题
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4．某校高三学生的模考数学成绩X服从正态分布N(105，102)，按照16%、34%、34%、16%的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为112分，则他的等级是(　　)
附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
A．优秀 B．良好
C．合格 D．基本合格
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6．(2025·河南郑州三模)河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝(每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食)．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为
(　　)
A．450 B．360
C．180 D．90
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2(共20张PPT)
增分练(四)　8单项选择题＋数列解答题
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二、解答题
9．(13分)(2025·浙江温州二模节选)设数列{an}的各项均为不等的正整数，其前n项和为Sn，我们称满足条件“对任意的m，n∈N*，均有(n－m)Sn＋m＝(n＋m)(Sn－Sm)”的数列{an}为“好”数列．
(1)试分别判断数列{an}，{bn}是否为“好”数列，其中an＝2n－1，bn＝2n-1，n∈N*，并给出证明；
(2)已知数列{cn}为“好”数列，若c2025＝2026，求数列{cn}的通项公式．
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解：(1)an＝2n－1，则Sn＝n2，
所以(n－m)Sn＋m＝(n－m)(n＋m)2，
而(n＋m)(Sn－Sm)＝(n＋m)(n2－m2)
＝(n＋m)2(n－m)，
所以(n－m)Sn＋m＝(n＋m)(Sn－Sm)，对任意的m，n∈N*均成立，即数列{an}是“好”数列；
bn＝2n-1，取n＝2，m＝1，则(n－m)Sn＋m＝S3＝7，(n＋m)(Sn－Sm)＝3b2＝6，
此时(n－m)Sn＋m≠(n＋m)(Sn－Sm)，
即数列{bn}不是“好”数列．
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2(共20张PPT)
增分练(一)　8单项选择题＋分布列解答题
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解析：B　如图，过点A作AA1垂直于C的准线，垂足为A1，
由抛物线的定义可知，|AF|＝|AA1|，
|AB|＝|AB|，
所以Rt△ABA1≌Rt△ABF，
所以∠BAA1＝∠BAF.
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6．(2025·安徽合肥三模)已知f(x)＝|ln (x－a)|，其中a>0，若f(x1)＝f(x2)，x1≠x2，a(x1＋x2)A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，2) D．(0，1)
D
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则f(x)在(a＋1，＋∞)上单调递增，在(a，a＋1)上单调递减，不妨设00，得－17
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X 3 4 5
P(共16张PPT)
增分练(十二)　3填空题＋数列解答题
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二、解答题
4．(15分)(2025·陕西咸阳模拟预测)对于数列{an}，若存在正整数k， n∈N*，都有|an－kn|<|an＋1－k(n＋1)|，则称数列{an}为“k倍递增数列”．
(1)在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81，判断数列{an}是否为“3倍递增数列”？并说明理由；
(2)若等差数列{an}为“2倍递增数列”，且a1＝4，求数列{an}的公差d的取值范围；
(3)若数列{an}是一个5项的“1倍递增数列”，且ai∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}(i＝1，2，3，4，5)，记X表示a5的值，求X的分布列与数学期望．
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(ⅰ)若|a3－3|＝3，则a3＝6，
此时|a2－2|＝2或1.
当|a2－2|＝2时，a2＝4，
则|a1－1|＝1或0，a1＝2或a1＝1；
当|a2－2|＝1时，a2＝1或a2＝3，
则|a1－1|＝0，a1＝1；
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X 1 9 10
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