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因式分解
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第1课时 用提公因式法分解简单的因式
素养目标 三维聚焦
运算能力：能准确识别多项式各项的公因式，并按步骤用提公因式法对不同类型多项式的因式分解；
数学抽象、逻辑推理：能结合乘法分配律逆向说明提公因式法的推导过程，并能对分解结果进行正误判断；
数学建模：能运用提公因式法解决简单实际问题，能说出因式分解在简化运算中的实际价值。
情景导入 趣味启智
情景导入 趣味启智
82.50=3.0×9.5+3.0×9.0+3.0×9.0
82.50=3.0×(9.5+9.0+9.0）
情景导入 趣味启智
某单人跳水选手完成了一个难度系数为p的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉2个最高分和2个最低分后，剩下3个分数为a,b,c.
问题1：选手的得分有几种计算方法？
方法一：p(a + b + c)
方法二：pa + pb + pc
pa + pb + pc=p(a + b + c)
整式的乘法
问题2：这两个式子有什么关系？
问题3：观察等式左右两边的结构有什么特征？
多项式
几个整式的乘积
温故知新 铺垫基础
计算：(1) x(x+1)=
(2)(x+1)(x-1)=
(3)(x+1)2=
x2+x
x2-1
x2+2x+1
几个整式的乘积
多项式
整式的乘法
逆向探究 初识因式
问题1：把下列多项式写成整式的乘积的形式：
（1）x2 + x = __________；
（2）x2 – 1 = _____________；
（3）x2 + 2x + 1 = __________.
几个整式的乘积
多项式
x(x + 1)
(x + 1)(x – 1)
(x + 1)2
因式分解
像这样，把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
逆向探究 初识因式
问题2：整式乘法与因式分解有什么关系
因式分解
整式乘法
多项式
几个整式的乘积
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
逆向探究 初识因式
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 .
① am + bm + c = m(a + b) + c
② 12x2y2 = 3x ·4xy2
③ x2 – 4 = (x + 2)(x – 2)
④ (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
⑥ 2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z)
⑤ a2 – b2 – 1 = (a + b)(a – b) – 1
×
√
×
×
×
√
③⑥
逆向探究 初识因式
观察 下列多项式有什么共同特点？
相同因式 p
相同因式 x
它们的各项都有一个公共的因式 (p 或 x) ，我们把它叫作这个多项式各项的公因式.
pa + pb + pc
p
x2 + x
x
p
p
x
逆向探究 初识因式
找出下列多项式的公因式.
① 3x + 6y
② ab – 2ac
③ a2 – a3
④ ma2 – 6mb
⑤ 3xy2 – 4y2
3
a
a2
m
y2
将它们写成几个因式的乘积.
3(x + 6y)
a(b – 2c)
a2(1–a)
m(a2 – 6b)
y2(3x – 4)
怎么得到的？
(3x + 6y)÷3
逆向探究 初识因式
运用提公因式法时，如何确定各项的公因式？
= 2x2 ·1 + 2x2 ·3x
= 2x2 (1 + 3x)
①定系数：各项系数的最大公因数；
②定字母：各项的相同字母；
③定指数：相同字母最低次幂.
2
x
2
2x2 + 6x3
注意：某项作为整体提出后，余项用 1 补充.
提 公 因 式 法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．
pa+pb+pc = p (a+b+c) .
多项式
公因式
另一个因式
×
逆向探究 初识因式
典例精析 学以致用
例1　分解因式：　
(1) mx2 + my2；
(2) 3x2 – 4xy2 + x .
解：(1) 原式
= m(x2 + y2)
分析：(1) 公因式为____
(2)公因式为____
m
x
(2) 原式
= x·3x – x·4y2 + x·1
= x(3x – 4y2 + 1)
将x提出后，括号内的第三项为1，此处的“1”一定不要漏掉.
方法总结
方法技巧
用提公因式法分解因式时，首先要找到各项的公因式，再把这个公因式提取出来，最后要写成公因式与另一个因式的乘积的形式.
随堂演练 掌握技巧
把下列各式分解因式：
（1）4m2 – 2mn；
（2）3ax2 – 6axy + 3a.
解：原式
= 2m·2m – 2m·n
= 2m(2m – n)
原式
= 3a·x2 – 3a·2xy + 3a·1
= 3a(x2 – 2xy + 1)
分层练习 巩固提升
1. （ ）下列整式中，没有公因式的是（ ）
A. ab 与 b
B. a + b 与 a2 + b2
C. a – b 与 (b – a)2
D. x 与 6x2
B
b
×
a – b
x
分层练习 巩固提升
2.（ ）下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
（1）4a(a + 2b) = 4a2 + 8ab；
（2）a2 – 4 = (a + 2)(a – 2)；
（3）x2 – 3x + 2 = x(x – 3) + 2 .
是整式的乘法
仍为多项式的和的形式，没有分解成两个因数的积
教材P125练习
分层练习 巩固提升
3.（ ）分解因式：
(1) ax－ay (2) a2－2a
(3) a2+ab (4) xy－y2+yz
解：原式＝a· x－a· y
＝a(x－y)
解：原式＝a· a－2· a
＝a(a－2)
解：原式＝a· a+a· b
＝a(a+b)
解：原式＝x· y－y· y+y· z
＝y(x－y+z)
教材P125练习
分层练习 巩固提升
教材P125练习
4. （ ）利用分解因式计算：
（1）1.992 + 1.99×0.01；
（2）49×20.22 + 52×20.22 – 20.22；
（3）5×34 + 4×34 + 9×32.
= 3.98
= 2022
= 810
课堂小结 梳理体系
因式分解
多项式
几个整式的乘积
pa+pb+pc = p (a+b+c) .
提 公 因 式 法
一看系数
二看字母
三看指数
最大公因数
相同字母
最低指数
公 因 式
三定法
作业分层 拓展延伸
必做题：人教版课本P127页，习题17.1第2题.
选做题：如图长宽分别为a,b的长方形的周长为16，面积为12，求a2b+ab2的值.
下 课
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