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第一部分 知识梳理　课程重构
第八章　统计与概率
本章知识导图
8.1　统　计
1.为了调查某校学生的视力情况，在全校的1000名学生中随机抽取了80名学生.下列说法正确的是( )
A.此次调查属于全面调查
B.1000名学生是总体
C.样本容量是80
D.被抽取的每一名学生称为个体
热身小练
C
2.为了解某区七年级6000名学生网课学习时间，从中抽取了500名学生进行调查.下列判断正确的是( )
A.6000名学生是总体
B.每名学生的网课学习时间是个体
C.500名学生是总体的一个样本
D.样本容量是500名
B
3.[2025·淮北一模]有一组数据：3，7，4，6，2，4，6，6.这组数据的众数和中位数分别为( )
A.6和4 B.6和5
C.4和5 D.4和6.5
B
4.下表是根据甲、乙两名同学平时演讲训练的成绩制作的统计表，如果要选派一名成绩稳定的同学参加市里的演讲比赛，根据表中信息，则应派　 　(填“甲”或“乙” )同学参加市里的演讲比赛.
　乙　
平均数 中位数 众数 方差
甲 8 8.5 8 2.14
乙 8 7.5 7 1.25
5.已知数据x1，x2，…，xn的平均数是，则数据x1＋8，x2＋8，…，xn＋8的平均数是 　.
8
知识梳理
考点1　数据的收集
1.对全体对象进行的调查叫做全面调查.从被考察的全体对象中抽取一部分对象进行考察的调查方式叫做抽样调查.
2.被考察对象的全体称为总体.总体中的每一个被考察对象称为个体.从总体中抽取的一部分个体叫做样本.样本中个体的数目称为样本容量.
考点2　频数、频率与统计图表
1.统计时，落在各小组的数据的个数叫做频数.如果一批数据共有n个，而其中某一组数据是m个，那么① 　就是该组数据在这批数据中出现的频率.
2.统计图表：扇形统计图、条形统计图、折线统计图、频数直方图、频数分布表.
考点3　平均数、中位数、众数
1.平均数：一般地，如果有n个数据：x1，x2，…，xn，那么② .
2.加权平均数：若n个数x1，x2，…，xn的权分别是f1，f2，…，fn，则
(x1＋x2＋…＋xn)　
3.中位数：将一组数据按大小顺序排列后，位于③_____
　 　的一个数据或正中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数.
4.众数：一组数据中出现次数④　 　的数据叫做这组数据的众数.
　最多　
　正中间　
考点4　方　差
1.方差：设有n个数据x1，x2，…，xn，它们的平均数是，则它们的方差s2[(x1)2＋(x2)2＋…＋(xn)2].
2.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动⑤　 　.
　越小　
跟踪训练
例　[2025·安徽第19题]某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区5月份的游客中随机抽取50人对景区的服务质量进行评分，评分结果用x表示(单位：分)，将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下：
组别 A B C D E
分组 45≤x＜55 55≤x＜65 65≤x＜75 75≤x＜85 85≤x≤95
人数 3 3 15 a 10
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)a＝　 　；
(2)这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在____　 　组；
(3)若游客评分的平均数不低于75，则认定该景区的服务质量良好.分别用50，60，70，80，90作为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，估计该景区5月份的服务质量是否良好，并说明理由.
　D　
　19　
【参考答案】(3)由题意知游客评分的平均数为(50×3＋60×3＋70×15＋80×19＋90×10)＝76.
∵76＞75，∴该景区5月份的服务质量良好.
1.[2020·安徽第6题]冉冉的妈妈在网上销售装饰品.最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15.关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是( )
A.众数是11 B.平均数是12
C.方差是 D.中位数是13
平均数、中位数、众数、方差的计算及应用
D
命题点1
真题精练
【解析】这组数据的平均数(11＋10＋11＋13＋11＋13＋15)＝12；将这组数据按从小到大排列为10，11，11，11，13，13，15，中位数是11，众数是11；这组数据的方差s2[(11－12)2＋(10－12)2＋…＋(15－12)2]，选项D错误.
命题点2
统计图(表)的分析
2.[2024·安徽第21题]综合与实践
【项目背景】
无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园.在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考.
【数据收集与整理】
从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个.在技术人员的指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据.柑橘的直径用x(单位：cm)表示.
将所收集的样本数据进行如下分组：
组别 A B C D E
x 3.5≤x＜4.5 4.5≤x＜5.5 5.5≤x＜6.5 6.5≤x＜7.5 7.5≤x≤8.5
　　整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：
甲园样本数据频数直方图
图1
乙园样本数据频数直方图
图2
任务1　求图1中a的值.
【数据分析与运用】
任务2　A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数.
任务3　下列结论一定正确的是　 　.(填正确结论的序号)
①两园样本数据的中位数均在C组；
②两园样本数据的众数均在C组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等.
　①　
任务4　结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次.试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由.
根据所给信息，请完成以上所有任务.
解：任务1　a＝200－(15＋70＋50＋25)＝40.
任务2　
因为6，
所以乙园样本数据的平均数为6.
任务4　由样本数据频数直方图可得，乙园的一级柑橘所占比例大于甲园，根据样本估计总体，因此可以认为乙园柑橘品质更优.
(本答案仅供参考)
3.[2023·安徽第21题]端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗.在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩(单位：分)均为不低于6的整数.为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
七年级10名学生活动成绩扇形统计图
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分.
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是　 　，七年级活动成绩的众数为　 　分；
(2)a＝　 　，b＝　 　；
　3　
　2　
　8　
八年级10名学生活动成绩统计表
　1　
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 1 2 a b 2
(3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由.
解：(3)不是.理由：样本中，七年级活动成绩优秀率为20%＋20%＝40%，
八年级活动成绩优秀率为100%＝50%.
七年级活动成绩平均数为7×10%＋8×50%＋9×20%＋10×20%＝8.5(分)，
八年级活动成绩平均数为(6×1＋7×2＋8×2＋9×3＋10×2)＝8.3(分).
因为40%＜50%，8.5＞8.3，
故根据样本数据，本次活动中优秀率高的年级并非平均成绩也高.
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第一部分 知识梳理　课程重构
第八章　统计与概率
8.2　概　率
1.[2024·湖北]在下列事件中，必然事件是( )
A.掷一次骰子，向上一面的点数是3
B.篮球运动员在罚球线上投篮一次，未投中
C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D.任意画一个三角形，其内角和是180°
热身小练
D
2.[2025·池州四模]从长度分别为2 cm，3 cm，4 cm的三条线段中任选2条，与长度为5 cm的线段首尾相连，则能连成三角形的概率是( )
A B C D
D
第3题图
3.[2024·合肥包河区一模]如图，今年“十一”旅游黄金周期间，某景区规定A和B为入口，C，D，E为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A入口进入，从D出口离开的概率是( )
A B
C D
C
第4题图
4. [2025·黑龙江龙东地区]如图，随机闭合开关K1，K2，K3中的两个，能让两盏灯泡L1，L2同
时发光的概率为 　.
知识梳理
考点1　事件分类
1.在一定条件下，肯定会发生的事件称为必然事件；在一定条件下，肯定不会发生的事件称为不可能事件；必然事件与不可能事件统称为确定性事件.
2.在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
考点2　概　率
1.概率的意义：表示事件发生的可能性大小的数值就是这个事件的概率.
2.一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且这些结果发生的可能性相等，其中使事件A发生的结果有m(m≤n)种，那么事件A发生的概率P( )一般用①　 　或列表法分析所有可能出现的结果.
　画树状图法　
A
3.必然事件的概率为②　 　，不可能事件的概率为0，随机事件A的概率为0＜P( )＜1.
4.用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P( )＝p.
A
A
　1　
例1　[2024·四川资阳]一个不透明的袋中装有6个白球和m个红球，这些球除颜色外无其他差别.充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则m＝　 　.
跟踪训练
　9　
例2　[2024·甘肃白银]在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4.甲、乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜.
(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.
(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗 请说明理由.
【参考答案】(1)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两球上的数字之和为奇数的结果有8种，
∴甲获胜的概率为
(2)这个游戏规则对甲、乙双方不公平.
理由：由(1)中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果有4种，∴乙获胜的概率为，∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率，∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平.
1.[2023·安徽第7题]如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”.用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为( )
A B C D
频率与概率
C
命题点1
真题精练
2.[2025·安徽第13题]在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20 g和70 g的物品后，天平倾斜(如图所示).现从质量为10 g，20 g，30 g，40 g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 .
　
3.[2024·安徽第13题]不透明的袋中装有大小质地完全相同的4个球，其中1个黄球、1个白球和2个红球.从袋中任取2个球，恰为2个红球的概率是 　.
　
命题点2
概率与统计综合
4.[2020·安徽第21题]某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐(必选且只选一种)”问卷调查.根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
调查结果的条形统计图　调查结果的扇形统计图
(1)在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为　 　，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为　 　°；
(2)依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；
(3)现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率.
　108　
　60　
解：(2)由图可知被抽取的240人中最喜欢B套餐的人数为84，
∴最喜欢B套餐的频率为0.35，
∴估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为960×0.35＝336.
(3)由题意，从甲、乙、丙、丁四人中任选两人，总共有6种等可能的不同结果，列举如下：
甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁.
其中甲被选到的结果有甲乙、甲丙、甲丁，共3种，
故所求概率P
谢谢观看

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