资源简介

(共26张PPT)
第二部分专题探究　提升能力
★专题六　动手操作，理解变换
——网格作图
常见类型
类型1　网格图形的变换及相关计算
类型2　网格图形中的无刻度直尺作图
归纳总结
类型1　网格图形的变换及相关计算
　　网格图形的变换包括图形的平移、翻折(轴对称)、旋转、中心对称、放大或缩小(位似)等，此类问题常常结合网格中的直角三角形，要求计算相关线段的长、弧长、角度及图形的面积等.
(1)平移与对称作图
(2)位似与旋转作图
(3)求网格中某个平面图形的面积
若为规则图形，则可以利用三角形、特殊四边形、扇形等面积公式直接求解；若为不规则图形，则通常利用割补法求解.
(4)求角度及三角函数值
利用网格特点构造直角三角形或利用平行等将要求的角进行等量代换，再利用勾股定理求解.
(5)求通过旋转形成的图形的路径长(或周长)或面积
(6)求线段和的最值问题
例1　[2025·合肥包河区三模]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段AB的端点分别在格点(网格线的交点)上，O为格点.
(1)将线段AB向右平移3个单位长度，
再向上平移2个单位长度，请在网格
内画出平移后的线段A1B1；
(2)以点O为中心，在网格内画出线段AB的中心对称线段A2B2，并直接写出∠OB2A2的度数.
【参考答案】(1)如图所示，线段A1B1即为所求.
(2)如图所示，线段A2B2即为所求；∠OB2A2＝45°.
针对训练
1.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC和格点O.
(1)以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；
(2)将△ABC进行某种平移得到△A2B2C2，
使B2为A1C1的中点，画出△A2B2C2.
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求.
2.如图，△ABC在平面直角坐标系中，其顶点坐标分别为A(－4，4)，B(－1，1)，C(－1，4).
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到
△A2BC2，画出△A2BC2；
(3)在(2)的条件下，线段AB在旋转过程中扫过的图形面积
为 ，点A所经过的路径长为 .(结果保留π)
π　
π　
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示，△A2BC2即为所求.
3.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC，△DEF，已知点M，N都是格点.
(1)作出△ABC关于直线MN对称的△A'B'C'；
(2)将△DEF向上平移4个单位长度得到△D'E'F'，请画出该三角形；
(3)填空：∠BAC＋∠DFE＝　 　.(直接写出结果)
　135°　
解：(1)如图所示，△A'B'C'即为所求.
(2)如图所示，△D'E'F'即为所求.
(3)提示：由对称知∠C'A'B'＝∠BAC，由平移知∠B'A'E'＝∠DFE，易证△A'C'B'∽△E'C'A'，∴∠C'A'B'＝∠E'.∵∠A'B'E'＝45°，∴∠E'＋∠B'A'E'＝∠A'B'C'＝180°－∠A'B'E'＝135°，∴∠BAC＋∠DFE＝135°.
类型2　网格图形中的无刻度直尺作图
归纳总结
本类型一般不单独出题，常与图形变换作图或相关知识的应用结合出题，是中考中的常考题型.解答此类题时，要特别关注格点的位置与格线的长度，充分挖掘网格图的内涵.在网格图中，所有的横、竖格线分别平行，横、竖格线互相垂直，并且格点间线段的长度是已知的，其中存在许多矩形、正方形.如果已知网格图中没有符合要求的图形，那么可利用格点构造相关图形，以便用图形的性质解决问题.
(1)作线段的中点
基本原理：矩形的对角线交点或三角形全等.
①如图1，找出以AB为对角线的矩形，使矩形的另外两顶点为格点，连接这两顶点，与AB的交点为AB的中点.
②如图2，分别在AB的两侧取格点C，D，使AC∥BD且AC＝BD，AB与CD的交点为AB的中点.
图1　 　　图2
(2)作线段的任意分点
基本原理：利用平行构造相似三角形.
①在AB上取点P，且AP＝3BP(如图3).
②在AB上取点P，且AP＝5BP(如图4).
图3 　　 图4
(3)作平行线
基本原理：利用平移构造平行四边形或直角三角形构造全等.
①如图5和图6，平移线段AB到CD，则四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.
②如图5和图7，构造Rt△DCF≌Rt△ABE，∴AB∥CD.
图5　　　　 图6　　　　 图7
(4)作已知直线的垂线
基本原理：构造三角形全等.
①如图8和图9，构造一线三垂直型全等三角形，∴AC⊥AB.
②如图8和图10，构造全等三角形，∴PM⊥AB.
图8　　　　　 图9　　　　　图10
例2　[2025·江西]如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图.(保留作图痕迹)
(1)在图1中作出BC的中点；
(2)在图2中作出△ABC的重心.
图1　 　 图2
【参考答案】(1)如图1，点D即为所作.
(2)如图2，点F即为所作.(作法不唯一)
答案图1　　 答案图2
针对训练
4.[2025·亳州模拟]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点(网格线的交点)上.(不写作法，保留作图痕迹)
(1)在网格中作出 ABCD；
(2)用无刻度的直尺作出(1)中
ABCD的边BC上的高AE.
解：(1)如图所示， ABCD即为所求.
(2)如图所示，AE即为所求.
5.如图所示的是6×6的正方形网格，△ABC的三个顶点都在格点(网格线的交点)上，仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图.
(1)在图1中画∠CAD＝45°，且点D是格点；
(2)在图2中画出点B关于AC的对称点E.
图1　　　 图2
解：(1)如图1所示，∠CAD即为所求.
(2)如图2所示，点E即为所求.
图1　 　 图2
6.[2025·宣城二模]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点(网格线的交点).
(1)请画出将△ABC绕点O顺时针旋转180°得到的△A'B'C'；
(2)请用无刻度直尺作出∠A'B'C’的
平分线B'P.(保留作图痕迹，不写作法)
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第二部分专题探究　提升能力
★专题三　追本溯源，代数重构
——二次函数性质综合运用
常见类型
类型1　特定范围内二次函数最值问题
类型2　含参数抛物线恒过定点问题
类型3　抛物线中面积问题
类型4　含参数抛物线与线段交点问题
类型5　抛物线中存在性问题
类型1　特定范围内二次函数最值问题
归纳总结
　二次函数与特定范围内最值问题涉及确定函数在特定范围内的最大值和最小值.通过求顶点坐标、判断函数开口方向及与特定范围的关系，利用函数的增减性可求得最值.
1.抛物线最值求解方法
方法名称 描述 适用范围
顶点法 将二次函数化为顶点式(或直接利用顶点坐标公式)求解 自变量的取值范围为全体实数
对称轴法 根据对称轴和自变量的取值范围利用增减性判断最值 自变量的取值范围为特定范围
2.抛物线特定范围内最值问题分析(自变量的取值范围为x1≤x≤x2)
对称轴位置 h≤x1 h≥x2 x1≤h≤x2
二次函数y＝a(x－h)2＋k a＞0
当x＝x1时，y取最小值， 当x＝x2时，y取最大值 当x＝x2时，y取最小值， 当x＝x1时，y取最大值 当x＝h时，y取最小值，若x1(x2)离h较远，则当x＝x1(x2)时，y取最大值
a＜0
当x＝x1时，y取最大值， 当x＝x2时，y取最小值 当x＝x2时，y取最大值， 当x＝x1时，y取最小值 当x＝h时，y取最大值，若x1(x2)离h较远，则当x＝x1(x2)时，y取最小值
例1　已知二次函数y＝ax2－2ax＋3.
(1)该抛物线的对称轴为　 　；
(2)当－2≤x≤5时，y的最大值与最小值的差为32，该抛物线的表达式为　 .
　直线x＝1　
y＝2x2－4x＋3或y＝－2x2＋4x＋3　
例2　已知抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－3，0)，B(m，0).解答下列问题：
(1)若m＝2，则抛物线y＝ax2＋bx－3有最　 　值，
为　 　.
(2)若抛物线y＝ax2＋bx－3开口向下，且当≤x≤0时，－3≤y≤，则a＝　 　.
　－1　
　小　
1.[2025·合肥五十中西校模拟]在平面直角坐标系中，存在抛物线y＝ax2＋bx＋3，点M(－2，y1)，N(m，y2)在抛物线y＝ax2＋bx＋3上，抛物线的对称轴为直线x＝t.
(1)若y1＝3，则t＝　 　；
(2)若a＞0，当t＋1＜m＜t＋2时，都有y1＞y2，则t的取值范围是　 　.
　t ≥0或 t ≤－4　
针对训练
　－1　
【解析】(1)把M(－2，3)代入y＝ax2＋bx＋3中，得4a－2b＝0，即b＝2a，故对称轴为直线x＝t＝1；(2)如图1、图2所示，当t＋1＜m＜t＋2时，都有y1＞y2，则有t－2≥－2或t＋2≤－2，解得t≥0或t≤－4.
图1　　 　图2
2.[2025·合肥蜀山区二模]在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y＝ax2－2atx(a＞0)向右平移2个单位长度得到抛物线C2，点A在抛物线C1上，点B(x2，y2)在抛物线C2上.
(1)当t＝1时，抛物线C2的对称轴为直线x＝　 　；
(2)当t＝2a，5＜x2＜6时，总有y1＞y2，则a的取值范围
是 　.
　3　
≤a≤3
【解析】(1)抛物线C1：y＝ax2－2atx(a＞0)的对称轴为直线x＝t，当t＝1时，对称轴为直线x＝1，由平移得抛物线C2的对称轴为直线x＝1＋2＝3.(2)∵t＝2a，∴抛物线C1：y＝ax2－2atx＝ax2－4a2x＝a(x－2a)2－4a3，∴抛物线C2的表达式为y＝a(x－2a－2)2－4a3.
∵点A在抛物线C1上，把x3a代入C1：y＝a(x－2a)2－4a3，可得y1＝a(3a－2a)2－4a3＝a3－4a3＝－3a3，∵点B(x2，y2)在抛物线C2上，把x＝x2代入C2：y＝a(x－2a－2)2－4a3，可得y2＝a(x2－2a－2)2－4a3，令y1＞y2，∴－3a3＞a(x2－2a－2)2－4a3，整理得a(x2－2a－2)2＜a3，∵a＞0，∴(x2－2a－2)2＜a2，即－a＜x2－2a－2＜a，解得a＋2＜x2＜3a＋2.∵当5＜x2＜6时，总有y1＞y2，解得≤a≤3.
3.[2025·芜湖二模]已知二次函数y＝ax2－2ax－8a(a≠0).
(1)求该函数图象与x轴的交点坐标及对称轴.
(2)若－1≤x≤7.
(ⅰ)当a＞0时，该函数的最小值为－9，求a的值；
(ⅱ)当a分别取a1，a2(a1＞a2)时，两个函数的最小值相等，求a1，a2之间的数量关系.
解：(1)令y＝0，得ax2－2ax－8a＝0，
化简得a(x＋2)(x－4)＝0，解得x1＝－2，x2＝4，∴该函数图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(4，0)，
对称轴为直线x1.
(2)(ⅰ)∵a＞0时，抛物线开口向上，
由(1)知，对称轴为直线x＝1，且－1≤x≤7，
∴当x＝1时，函数有最小值为y＝a－2a－8a＝－9a，∴－9a＝－9，解得a＝1.
(ⅱ)∵抛物线对称轴在直线x＝－1与x＝7之间，且两个函数的最小值相等，
当a1＞a2＞0时，函数在对称轴处取最小值，即两条抛物线的顶点相同，即a1＝a2(不符合题意)；
当a2＜a1＜0时，函数在x＝7时取最小值，即27a1＝27a2，即a1＝a2(不符合题意)；
∴a1＞0，a2＜0，∴当a取a1时，函数在对称轴处取最小值为－9a1.
∵|－1－1|＜|7－1|，∴当a取a2时，函数在x＝7时取最小值为27a2.
∴－9a1＝27a2，即a1＝－3a2.
类型2　含参数抛物线恒过定点问题
归纳总结
函数的图象具有过定点的性质，这是由函数表达式中的一些系数的取值特点所决定的，例如抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当c确定时，无论a，b取何值，它总过定点(0，c).有些特别的含参函数在研究过程中只需要把代数式变形整理，使得含字母的项组合为一组，赋值为零，即可求出自变量值，而后代入函数表达式，求得相对应的函数值，即得定点的坐标.
基本的解题步骤归纳如下：
1.将含有参数的项集中；
2.将这部分项分解因式，使其成为一个只含参数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；
3.令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时无论参数如何变化都“失效”了)；
4.解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，可得到一个y的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；
5.反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤.
口诀总结：含参函数过定点，参数系数为零现!
例3 [2025·滁州一模]已知抛物线y＝－x2＋(m－1)x＋m的对称轴与x轴正半轴相交.
(1) 不论m取何值时，该抛物线过一定点，则该点坐标为　 　；
(2)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在该抛物线上，且x2－x1＝3，y2＜0＜y1，则m的取值范围是　 　.
　1＜m≤2　
　(－1，0)　
思路导引：(1)解法1：将抛物线的表达式化为交点式，求得抛物线与x轴的交点，其中一个是定点，不随m的变化而变化；解法2：将含有m的项合并，使其“系数”为0，即可求得定点坐标.
【解析】(1)解法1：∵y＝－x2＋(m－1)x＋m＝－(x＋1)(x－m)，∴抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(m，0)，∴无论m取何值，抛物线总与x轴交于定点(－1，0).解法2：y＝－x2＋(m－1)x＋m＝－x2＋(x＋1)m－x，当x＝－1时，y＝0，∴定点坐标为(－1，0).(2)∵抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(m，0)，且对称轴与x轴正半轴相交，＞0，∴m＞1.∵a＝－1＜0，∴抛物线开口向下.∵点A(x1，y1)在该抛物线上，且y1＞0，∴－1＜x1＜m.∵x2－x1＝3，∴x2＝x1＋3.∵点B(x1＋3，y2)在该抛物线上，且y2＜0，∴m－(－1)≤3，∴m≤2，∴1＜m≤2.
4.[2024·滁州定远月考]在平面直角坐标系中，有直线l：y＝m(x＋4)－2(m≠0，m为常数)和抛物线G：y＝a(x＋5)(x－1)(a≠0，a为常数).
(1)直线l经过的定点坐标为　 　；
(2)若无论m取何值时，直线l与抛物线G总有公共点，则a的取值范围是　 　.
针对训练
　(－4，－2)　
a＜0或a≥
【解析】(1)∵直线l：y＝m(x＋4)－2，当x＝－4时，y＝－2，∴直线l经过的定点坐标为(－4，－2)；(2)∵抛物线G：y＝a(x＋5)(x－1)与x轴的交点为(－5，0)，(1，0)，直线l：y＝m(x＋4)－2经过定点(－4，－2)，∴当a＜0时，无论m为何值，直线l与抛物线G总有公共点，∴a＜0满足题意；当a＞0时，∵无论m为何值，直线l和抛物线G总有公共点，∴当x＝－4时，y＝a(x＋5)(x－1)＝－5a≤－2，解得a≥，∴a≥满足题意.综上，当a＜0或a≥时，抛物线G与直线l总有公共点.
5.[2025·安庆一模]已知抛物线C1：y1＝ax2－2x过点(2，0)，抛物线C2：y2＝－(x－t)2＋t2－2t(其中t为常数).
(1)求a的值和C1的顶点坐标；
(2)已知无论t为何值，C1与C2总交于一个定点，求这个定点的坐标.
解：(1)将(2，0)代入y1＝ax2－2x，得0＝4a－4，解得a＝1，
∴y1＝x2－2x＝(x－1)2－1，顶点坐标为(1，－1).
(2)联立整理得x2－(t＋1)x＋t＝0，
∵Δ＝(t＋1)2－4t＝(t－1)2≥0，
∴抛物线C1与C2一定有交点.
∵y2＝－(x－t)2＋t2－2t，整理得y2＝－x2＋2t(x－1)，
∴当x＝1时，无论t取何值，y2＝－1，
由(1)得抛物线C1：y1＝x2－2x的顶点坐标为(1，－1)，
∴C1与C2总交于一个定点，这个定点的坐标为(1，－1).
类型3　抛物线中面积问题
归纳总结
(1)当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴时，可直接利用公式求解，如图1、图2所示：
图1　 图2
S△ABCAB·|yc|　　　　　　S△ABCAB·|xc|
(2)当三角形的三边都不在坐标轴上或都不平行于坐标轴时，可利用分割或补全图形的方法求图形的面积，如图3、图4所示：
图3　　　　　　　　　　　　　图4
　　S△ABC＝S△ABD＋S△BCDBD·(AE＋CF)　　S△ABC＝S△ACF－S△BCE－S梯形ABEF
注：对于四边形面积计算，可连接一条对角线将四边形面积转化为两个三角形面积之和求解.
例4　[2025·黄山模拟]已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其中点B(3，0)，C(0，3).
(1)求该二次函数的顶点坐标；
(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第一象限，△PBC的面积是△ABC面积的一半，求点P的坐标.
【参考答案】(1)将点B(3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c，
得解得
∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴该二次函数的顶点坐标为(1，4).
(2)当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴A(－1，0)，∴S△ABC4×3＝6.
∵△PBC的面积是△ABC面积的一半，∴S△PBC＝3.
易得直线BC的表达式为y＝－x＋3，
过点P作PD⊥x轴交BC于点D，
设点P(a，－a2＋2a＋3)，则点D(a，－a＋3)，
∴PD＝－a2＋2a＋3－(－a＋3)＝－a2＋3a，
∴S△PBCPD·BO(－a2＋3a)＝a2a＝3，解得a1＝1，a2＝2，均符合题意，∴当a＝1时，点P(1，4)；当a＝2时，点P(2，3).
针对训练
6.[2025·淮北三模]如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋4(k≠0)与抛物线y＝ax2＋bx＋4相交于点A，与y轴相交于点B(0，4)，抛物线与x轴的两个交点分别为点C(2，0)，D(－4，0).
(1)求a，b的值；
(2)当－4≤x≤t时，y的最大值与最小值的差为，求t的取值范围；
(3)若E为线段AB的中点，且点E在第二象限内，
F为抛物线的顶点，当△DEF的面积最小时，求k的值.
解：(1)将点C(2，0)，D(－4，0)分别代入y＝ax2＋bx＋4，
得解得
(2)由(1)知抛物线的表达式为y＝x2－x＋4＝(x＋1)2，
当x＝－4时，y＝0；当x＝－1时，y，
∵点C的坐标是(2，0)，
∴t的取值范围是－1≤t≤2.
(3)由(2)知抛物线的顶点F，易得k＞0，
联立
∴x2－x＋4＝kx＋4，
解得x1＝0，x2＝－2－2k，
当x＝－2－2k时，y＝－2k2－2k＋4，
∴点A(－2－2k，－2k2－2k＋4).
∵点B(0，4)，E为AB的中点，
∴点E(－1－k，－k2－k＋4)，
过点F作FP⊥y轴于点P，过点E作EM⊥x轴于点M，EN⊥y轴于点N，则EN＝1＋k，NO＝－k2－k＋4，PNk2＋k，FP＝1，DO＝4，
∴S△DEF＝S梯形DOPF－S梯形PFEN－S梯形NEDO(1＋4)(1＋1＋k)(1＋k＋4)(－k2－k＋4)k2k，
∴当k时，S△DEF最小.
7.[2025·宿州模拟]已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点(x1＜x2)，与y轴交于点C(0，3)，对称轴为直线x＝－1.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点P在直线AC上方的抛物线上，PD⊥y轴，交直线AC于点D，求线段PD的最大值.
(3)第二象限内，抛物线上是否存在一点Q，使得△QBC的面积等于3 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，即1，∴b＝－2.
∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴交于点C(0，3)，∴c＝3，
∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3.
(2)令y＝－x2－2x＋3＝0，解得x＝－3或x＝1，
∵x1＜x2，∴A(－3，0)，B(1，0).
易得直线AC的函数表达式为y＝x＋3，
由题意得点P(t，－t2－2t＋3)，则点D(－t2－2t，－t2－2t＋3)，
∴PD＝－t2－2t－t＝－t2－3t＝
∵－1＜0，∴当t＝时，线段PD有最大值
(3)如图，过点Q作QE∥x轴交BC于点E.
设直线BC的函数表达式为y＝mx＋n，
∵直线BC经过点B(1，0)，C(0，3)，
解得
∴直线BC的函数表达式为y＝－3x＋3.
设点Q(q，－q2－2q＋3)，
令－3x＋3＝－q2－2q＋3，解得x，
∴点E，
∴QEq，
∴S△QBC3＝3，解得q＝－2或q＝3(舍去)，
－(－2)2－2×(－2)＋3＝3，
∵3＞0，∴存在，点Q的坐标为(－2，3).
8.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，已知点A(0，8)，点B(－4，0).
(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标.
(2)已知点D的坐标为(0，4)，F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD，CF，以CD，CF
为邻边作平行四边形CDEF.设平行四边形
CDEF的面积为S，求S的最大值.
解：(1)把点A(0，8)，B(－4，0)代入y＝x2＋bx＋c，
得解得
∴二次函数的表达式为y＝x2＋x＋8.
当y＝0时，x2＋x＋8＝0，解得x1＝－4，x2＝8，
∴点C的坐标为(8，0).
(2)连接DF，过点F作FH⊥x轴于点H，交CD于点G.
易得直线CD的表达式为y＝x＋4，
设点F，则点G，
∴FG＝m2＋m＋8m2m＋4，
∴S＝2S△CDF＝2OC·FG＝8×(m2m＋4)＝－2m2＋12m＋32＝－2(m－3)2＋50.
∵－1＜0，0＜m＜8，
∴当m＝3时，S有最大值为50.
9.[2024·合肥新站区一模]已知抛物线y＝a2x2－2a2x－3a2(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，直线y＝ax＋b经过点A.
(1)求A，B两点的坐标.
(2)设直线y＝ax＋b与抛物线y＝a2x2－2a2x－3a2的对称轴交于点E.
(ⅰ)若E为抛物线的顶点，求a的值；
(ⅱ)若点E在第四象限并且在抛物线的上方，记△ACE的面积为S1，△ABE的面积为S2，S＝S2－S1，求S与a的函数表达式，并求出S的最大值.
解：(1)y＝a2x2－2a2x－3a2＝a2(x2－2x－3)＝a2(x－3)(x＋1)，
令y＝0，得(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴点A(－1，0)，B(3，0).
(2)∵直线y＝ax＋b经过点A(－1，0)，
∴0＝－a＋b，∴b＝a，∴直线的函数表达式为y＝ax＋a.
(ⅰ)∵y＝a2x2－2a2x－3a2＝a2(x－1)2－4a2，
∴抛物线y＝a2x2－2a2x－3a2的顶点E的坐标为(1，－4a2).
∵点E(1，－4a2)在直线y＝ax＋a上，
∴－4a2＝a＋a，解得a＝0(舍去)或a＝，
∴a的值为
(ⅱ)设直线y＝ax＋a交y轴于点G，抛物线y＝a2x2－2a2x－3a2的对称轴直线x＝1交x轴于点H，
易得点E(1，2a)，G(0，a).
∵点E在第四象限，并且在抛物线的上方，
∴a＜0，∴HE＝－2a，
∴S2AB·HE[3－(－1)]·(－2a)＝－4a.
易得点C(0，－3a2)，∴GC＝a－(－3a2)＝3a2＋a，
∴S1GC·(xE－xA)(3a2＋a)[1－(－1)]＝3a2＋a，
∴S＝S2－S1＝－4a－(3a2＋a)＝－3a2－5a＝－3(a)2
∵－3＜0，∴当a＝时，S取得最大值为，
∴S与a的函数表达式为S＝－3a2－5a，S的最大值为
类型4　含参数抛物线与线段交点问题
归纳总结
(1)含参数抛物线与x轴交点问题
如图，若含参数抛物线与x轴在a＜x＜b(a＜b)处有且仅有一个交点，记x＝a时函数值为y1，x＝b时函数值为y2，则y1·y2＜0(即y1与y2异号).
(2)含参数抛物线与斜线段交点问题
①如图，若含参数抛物线与线段MN有且仅有一个交点，则需满足yA＞yM且yB＜yN(图1)或yA＜yM且yB＞yN(图2).
图1　 　 　图2
②对于含参数抛物线与线段有两个交点的问题，可以从抛物线与线段相切(Δ＝0)和抛物线分别经过线段两个端点的特殊位置出发，分类讨论解决问题.
例5　[2025·亳州利辛月考]如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点坐标为(4，0).已知点M(－2，8)，N(3，8)，将函数图象向上平移m个单位长度，若平移后的函数图象与线段MN只有一个公共点，则m的取值范围为( )
A.m＜m≤8 B.m≤m＜8
C＜m≤8 D.m＜≤m＜8
A
思路导引：画图分析，随着m的增大，抛物线与水平线段MN的位置状态是如何变化的 当中有哪些特殊的位置状态
【解析】由图知抛物线的对称轴是直线x＝1，设抛物线与x轴的另一个交点为(x2，0)，可得1，∴x2＝－2，∴关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的解为x1＝4，x2＝－2，∴抛物线y＝(x＋2)(x－4)＝(x－1)2，向上平移m个单位长度后表达式为y＝(x－1)2m，∴平移后的抛物线的顶点坐标为
①当抛物线顶点落在线段MN上时，则m＝8，解得m；②当抛物线经过点M(－2，8)时，则8＝(－2－1)2m，解得m＝8；当抛物线经过点N(3，8)时，则8＝(3－1)2m，解得m，＜m≤8时满足题意.综上所述，m＜m≤8.
例6　已知一次函数y＝－x＋2a＋1的图象与二次函数y＝x2－ax的图象交于M，N两点.
(1)若点M的横坐标为2，则a的值为 ；
(2)若点M，N均在x轴的上方，则a的取值范围为　 .
a＞　
　
【解析】(1)由题意得x2－ax＝－x＋2a＋1，将x＝2代入，解得a(2)当y＝x2－ax＝0，即x(x－a)＝0时，解得x＝0或x＝a.当a＞0时，若点M，N均在x轴的上方，即当x＝a时，－a＋2a＋1＞0，解得a＞－1，∴a＞0；当a＜0时，若点M，N均在x轴的上方，即当x＝0时，2a＋1＞0，解得a＞，∴＜a＜0；当a＝0时，点M，N均在x轴的上方.综上所述，a的取值范围为a＞
10.在平面直角坐标系中，G(x1，y1)为抛物线y＝x2＋4x＋2上一点，H(－3x1＋1，y1)为平面上一点，且位于点G右侧.
(1)此抛物线的对称轴为直线　 　；
(2)若线段GH与抛物线y＝x2＋4x＋2(－6≤x＜1)有两个交点，则x1的取值范围是　 .
针对训练
　x＝－2　
－5＜x1＜－2　
【解析】(1)∵y＝x2＋4x＋2＝(x＋2)2－2，∴此抛物线的对称轴为直线x＝－2.(2)解法1：如图，∵此抛物线的对称轴为直线x＝－2，∴点M(1，7)关于直线x＝－2的对称点为N(－5，7)，∴MN＝1－(－5)＝6.由图知当－2≤x1＜1或－6≤x1≤－5时，线段GH与抛物线y＝x2＋4x＋2(－6≤x＜1)只有1个交点；当－5＜x1＜－2时，GH＝－3x1＋1－x1＝－4x1＋1，
∴9＜GH＜21，∴GH＞MN，
∴此时线段GH与抛物线y＝x2＋4x＋2(－6≤x＜1)
有2个交点.综上所述，x1的取值范围是－5＜x1＜－2.
解法2：结合抛物线和点H位于点G右侧分析可知，只有当－5＜x1＜－2时才可能使得线段GH与抛物线有两个交点，此时还须满足≥－2，解得x1≤，∴－5＜x1＜－2.
11.[2025·马鞍山三模]如图，抛物线y＝ax2＋bx与直线y＝－x＋b交于A，B两点，且点A的坐标为(4，0)，点B的横坐标为1.
(1)求抛物线的表达式.
(2)P为直线AB上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥y轴交直线AB于点Q.
(ⅰ)当线段PQ取最大值时，求点Q的坐标；
(ⅱ)在(ⅰ)的条件下，过点A作AF⊥PQ交直线PQ于点F，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(c＞0)与线段QF只有一个交点，直接写出c的取值范围.
解：(1)∵点A(4，0)在直线y＝－x＋b上，∴－4＋b＝0，解得b＝4，
∴直线y＝－x＋b的表达式为y＝－x＋4，
当x＝1时，y＝－1＋4＝3，∴点B的坐标为(1，3).
∵b＝4，∴y＝ax2＋bx＝ax2＋4x，
将点B(1，3)代入y＝ax2＋4x，得a＋4＝3，解得a＝－1，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x.
(2)(ⅰ)如图，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线AB于点D.
设直线y＝－x＋4与y轴交于点C，则点C的坐标为(0，4).
∵A(4，0)，∴∠OAC＝45°.
∵PQ∥OA，PE⊥OA，∴∠QPD＝90°，∠PQD＝∠OAC＝45°，
∴PQ＝PD.
设点P(m，－m2＋4m)(1＜m＜4)，则D(m，－m＋4)，
∴PQ＝PD＝－m2＋4m－(－m＋4)＝－m2＋5m－4＝，
∴当m时，PQ取得最大值，此时点P，
∴点Q的纵坐标为
令y＝－x＋4，解得x，
∴点Q的坐标为
(ⅱ)＜c≤
提示：由题意，得点F如图，易得抛物线y＝－x2＋4x＋c的对称轴为直线x＝2.当抛物线经过点Q时，4c，解得c，此时点Q关于对称轴的对称点为，在点F左侧，抛物线与线段QF有两个交点.
当抛物线经过点F时，42＋4×4＋c，解得c，此时点F关于对称轴的对称点为，在点Q左侧，抛物线与线段QF有一个交点.综上所述，若抛物线y＝－x2＋4x＋c(c＞0)与线段QF只有一个交点，则c的取值范围为＜c≤
12.已知点A(－m，0)和点B(2m，n)(m＞0)在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象上.
(1)当n＝0，m＝1时：
(ⅰ)求证：c＜0；
(ⅱ)已知点M(－3，5)和点N(－1，3)，若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与线段MN只有一个交点，求a的取值范围；
(2)当n＝－1时，求证：2b2＋ac＞0.
解：(1)(ⅰ)当n＝0，m＝1时，点A(－1，0)，B(2，0)，
∴方程ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝－1，x2＝2，
由一元二次方程根与系数的关系得x1x22，即c＝－2a，
∵a＞0，∴c＜0.
(ⅱ)设直线MN的表达式为y＝kx＋b1，
将点M(－3，5)和点N(－1，3)代入，得
解得
∴直线MN的表达式为y＝－x＋2(－3≤x≤－1).
将点A(－1，0)和点B(2，0)代入y＝ax2＋bx＋c，
得解得
∴y＝ax2－ax－2a，联立得－x＋2＝ax2－ax－2a，
整理得ax2＋(1－a)x－(2a＋2)＝0，
Δ＝(1－a)2＋4a(2a＋2)＝9a2＋6a＋1＝(3a＋1)2，
∵a＞0，∴Δ＞0，
∴方程ax2＋(1－a)x－(2a＋2)＝0总有两个实数根，
解得x，即x1＝2(不在－3≤x≤－1内，舍去)，x2＝
∵抛物线与线段MN只有一个交点，
∴≥－3，且≤－1.
∵a＞0，∴－a－1≥－3a，a＋1≥a，
解得a≥
(2)当n＝－1时，点A(－m，0)，B(2m，－1)，
将点A(－m，0)和点B(2m，－1)代入y＝ax2＋bx＋c，
得
解得c＝bm－am2，b＝am，
∴2b2＋ac＝2b2＋a(bm－am2)＝2b2＋abm－a2m2＝2am(am)－a2m2a，
∵a＞0，m＞0，∴2b2＋aca＞0.
类型5　抛物线中存在性问题
归纳总结
(1)等线段问题：将动点坐标用函数表达式表示出来，再表示出相关点的坐标，利用已知条件解出参数的值，即可将线段表示出来.
(2)二次函数与一次函数、旋转及特殊角度综合：由一次函数得出其图象与x轴的特殊夹角(30°，45°，60°)，利用与角度有关的知识点求解函数图象上的点.
(3)与等腰三角形、直角三角形及特殊四边形的综合问题：
问题 分情况 找点 作图
等腰 三角形 已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形 以AB为腰 分别以点A，B为圆心，AB长为半径画圆，与已知直线的交点P1，P2，P4，P5即为所求
以AB为底 作线段AB的垂直平分线，与已知直线的交点P3即为所求 问题 分情况 找点 作图
直角 三角形 已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形 以AB为 直角边 分别过点A，B作AB的垂线，与已知直线的交点P1，P4即为所求
以AB为 斜边 以AB的中点Q为圆心，QA长为半径作圆，与已知直线的交点P2，P3即为所求 抛物线与特殊四边形结合时，可结合四边形的判定或性质找寻条件，建立等量关系.
例7　[2024·四川达州]如图1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的表达式.
(2)如图2，连接AC，DC，直线AC
交抛物线的对称轴于点M，若P是
直线AC上方抛物线上一点，且
S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标.
图1　　　图2
(3)若N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形 若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【参考答案】(1)由题意得y＝a(x＋3)(x－1)＝a(x2＋2x－3)＝ax2＋bx－3，解得a＝1，
∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3.
(2)由抛物线的表达式知点C(0，－3)，D(－1，－4)，抛物线的对称轴为直线x＝－1.易得直线AC的函数表达式为y＝－x－3，则点M(－1，－2)，∴MC，MD＝2，CD，
∴MD2＝MC2＋CD2，即△MCD是等腰直角三角形，
∴S△PMC＝2S△DMC＝2CD2＝2.
连接MB，设MD交x轴于点E，则ME＝EB＝2，
∴△MBE是等腰直角三角形，∴∠BME＝45°，BM＝2
又∵∠DMC＝45°，∴BM⊥AC，∴S△BMCMC·BM＝2.
过点B作BP∥AC交抛物线于点P.
易知直线BP的函数表达式为y＝－x＋1.
联立上式和抛物线的表达式，得x2＋2x－3＝－x＋1，解得x＝1或x＝－4，
即点P的坐标为(1，0)或(－4，5).
(3)存在，点N的坐标为(－1，)或(－1，)或(－1，－1)或(－1，－3).　提示：设点N(－1，m)，由题意得AC2＝18，AN2＝4＋m2，CN2＝1＋(m＋3)2，当AC＝AN时，18＝4＋m2，解得m＝，∴点N(－1，)或(－1，)；当AC＝CN时，18＝1＋(m＋3)2，解得m＝－3或m＝－3(不符合题意，舍去)；当AN＝CN时，4＋m2＝1＋(m＋3)2，解得m＝－1.综上所述，点N(－1，)或(－1，)或(－1，－1)或(－1，－3).
针对训练
13.[2024·宁夏节选]如图，抛物线y＝ax2x－2与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C，点P是第四象限内抛物线上的一点，横坐标为过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E.
(1)求抛物线的表达式.
(2)已知点F(1，0)，连接CF并延长交直线PD于点M，N是x轴上方抛物线上的一点，在x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形 若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1)把点A(－1，0)代入y＝ax2x－2，得a2＝0，解得a，
∴抛物线的表达式为yx2x－2.
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第二部分专题探究　提升能力
★专题五　截长补短，倍长分角
——三角形(四边形)的综合应用
常见类型
类型1　三角形(四边形)等线段转化(截长补短)
类型2　三角形(四边形)等角转化(倍角与半角)
类型3　三角形(四边形)平行线的综合问题(线段比)
类型1　三角形(四边形)等线段转化(截长补短)
例1　已知 ABCD.
(1)如图1，若BC＝4，以BC为边作等边△BCE，且点E恰好在边AD上，则 ABCD的面积为　 　.
图1
8
(2)如图2，若以BC为斜边作等腰Rt△BCF，且点F恰好在边AD上，过点C作CG⊥CD交BF于点G，连接AG.
(ⅰ)依题意将图2补全；
(ⅱ)用等式表示线段CD，CG，AG之间的数量关系，并证明.
图2
【参考答案】(2)(ⅰ)补全图形如图1.
图1
(ⅱ)CG＝CD＋AG.
理由：如图2，延长CF交BA的延长线于点H，延长CG交BA于点J.
由题知BF＝CF，∠BFC＝∠BFH＝90°，∠FBC＝45°，AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠AFH＝45°.
∵CG⊥CD，∴∠HJC＝∠GCD＝∠BFH＝90°，∴90°－∠H＝∠GCF＝∠HBF，
∴△HBF≌△GCF(ASA)，∴GC＝BH，FG＝FH，
∴△AFG≌△AFH(SAS)，∴AG＝AH，
∴CG＝BH＝AB＋AH＝CD＋AG.
图2
归纳总结
　对于线段a，b，c，欲证a＋b＝c，可以采用两种方法：①截长法：在线段c上取点P，将线段分成a'，b'，使a'＝a，证明b'＝b即可；②补短法：延长线段a至点P，使延长的部分为b'，且b'＝b，证明a＋b'＝c即可.
例2　(1)如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上.
(ⅰ)求证：AE＝CD；
(ⅱ)用等式写出线段AD，BD，DF之间的数量关系，并说明理由.
图1
(2)如图2，△ABC是直角三角形，AB＝AC，CD⊥BD，点C关于AD的对称点F在BD边上.求证：AD＝DF＋BD.
(3)在(2)的条件下，若AD＝4，BD＝3CD，求cos ∠AFB的值.
图2
【参考答案】(1)(ⅰ)∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABC－∠CBE＝∠EBD－∠CBE，
∴∠ABE＝∠CBD，∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD.
(ⅱ)AD＝DF＋BD.
理由：∵DF＝CD，AE＝CD，∴AE＝DF，
∴AD＝AE＋DE＝DF＋BD.
(2)过点B作BE⊥AD于点E，∴∠BED＝90°.
∵DF＝CD，∠ADF＝∠ADC，CD⊥BD，
∴∠ADF＝∠ADC＝45°，∴∠EBD＝45°，∴DEBD.
∵△ABC是直角三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，ABBC，
∴∠ABC－∠CBE＝∠EBD－∠CBE，∴∠ABE＝∠CBD，
∴△ABE∽△CBD，，∴AECD，
∴AD＝AE＋DECDBDDFBD，即AD＝DF＋BD.
(3)∵BD＝3CD＝3DF，AD＝DF＋3DF＝4DF.
∵AD＝4，∴DF＝CD＝2，∴BD＝6.
过点A作AH⊥BD于点H.
∵AB＝AC＝AF，∴HFBF(BD－DF)＝2，BC2，∴AF＝ACBC＝2，∴cos ∠AFB
归纳总结
欲证a＋kb＝c(k≠1)，当k时，往往要与45°角建立联系；当k时，往往要与30°角或60°角建立联系，利用45°角和30°角构造直角三角形.
针对训练
1.[2025·河南节选]在∠AOB中，C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点D，过点D作DE⊥OA，垂足为点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为点G.
(1)如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD之间的数量关系，并证明.
图1
(2)如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形，并判断(1)中的结论是否仍然成立 若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明.
图2
解：(1)OD＝CG＋OE.证明如下：
过点C作CP⊥OA于点P.
∵OC平分∠AOB，CD⊥OB，CP⊥OA，
∴CP＝CD，∴Rt△POC≌Rt△DOC(HL)，∴OP＝OD.
∵DE⊥OA，CG⊥DE，∴∠CPE＝∠PEG＝∠CGE＝90°，
∴四边形CPEG是矩形，∴PE＝CG，
∴OD＝OP＝PE＋OE＝CG＋OE.
(2)补全图形如图.
(1)中的结论不成立，此时OD＝CG－OE.
证明：过点C作CQ⊥OA于点Q.
∵OC平分∠AOB，CD⊥OB，CQ⊥OA，
∴CQ＝CD，
∴Rt△QOC≌Rt△DOC(HL)，∴OQ＝OD.
∵DE⊥OA，CG⊥DE，∴∠CQE＝∠QEG＝∠CGE＝90°，
∴四边形CQEG是矩形，∴QE＝CG，
∴OD＝OQ＝QE－OE＝CG－OE.
2.如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠DAB＝∠DCB＝90°.求证：AB＋ADAC.
解：过点C作CE⊥AC，交AB的延长线于点E.
∵∠DAB＝∠DCB＝90°，
∴∠D＋∠ABC＝∠CBE＋∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBE.
∵∠DCB＝∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠ECB.
又∵CD＝CB，∴△ACD≌△ECB(ASA)，
∴AC＝CE，AD＝BE.
∵∠ACE＝90°，AC＝AE＝AB＋BE＝AB＋AD，
即AB＋ADAC.
(或过点C作CE⊥AC，交AD的延长线于点E，同理可证)
3.在 ABCD中，E为BC边上一点，连接DE交对角线AC于点F，G为DE上一点，AH⊥DE于点H，BC＝2AG且∠ACE＝∠GAC，M是AD的中点，连接MF，已知∠CFD＝75°.
(1)求∠MFD的度数；
(2)求证：FG＋HGAH.
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠MAF＝∠ACB.
∵∠ACB＝∠GAC，∴∠GAC＝∠MAF.
∵BC＝AD＝2AG，AM＝DM，∴AG＝AM.
∵AF＝AF，∴△AFG≌△AFM(SAS)，
∴∠AFM＝∠AFG＝∠CFD＝75°，
∴∠MFD＝180°－∠AFG－∠AFM＝30°.
(2)过点D作DN⊥FM交FM的延长线于点N.
由(1)知△AFG≌△AFM，
∴∠AGH＝∠AMF＝∠DMN，AM＝AG，FG＝FM.
∵M是AD的中点，∴DM＝AM＝AG.
∵∠AHG＝∠N＝90°，∴△AHG≌△DNM(AAS)，
∴AH＝DN，HG＝MN.
∵∠MFD＝30°，
∴FNDN＝FM＋MN＝FG＋HG，
∴FG＋HGAH.
类型2　三角形(四边形)等角转化(倍角与半角)
例3　如图1，AC和BD是 ABCD的对角线，AB＝BD，E为射线BD上的一点，连接AE.
(1)当点E在线段BD的延长线上，且∠CAE＝2∠ACB时，求证：DE＝BD；
图1
(2)如图2，当点E在线段BD上，且∠AEB＝2∠ACD时，用等式表示线段AE，BE和AB之间的数量关系，并证明.
图2
【参考答案】(1)∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.
∵∠BDA＋∠ADE＝180°，∴∠ADE＝∠ADC.
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB.
∵∠CAE＝∠DAC＋∠DAE＝2∠ACB，
∴∠DAC＝∠DAE，∴△ADE≌△ADC(ASA)，∴DE＝DC.
∵AB＝DC＝BD，∴DE＝BD.
(2)AE＋BE＝2AB.
证明：延长BD至点F，使得DF＝BD，连接AF.
易证∠ADF＝∠ADC.
∵DF＝BD，∴DF＝DC，∴△ADF≌△ADC(SAS)，∴∠F＝∠ACD.
∵∠AEB＝∠EAF＋∠F＝2∠ACD＝2∠F，∴∠EAF＝∠F，∴EF＝AE，
∴AE＋BE＝EF＋BE＝BF＝2BD＝2AB.
归纳总结
如图1，在△ABC中，D是AB上一点，若∠ADC＝2∠BCD，作DE∥CB交AC于点E，则DE平分∠ADC，BD＝CD；
图1
如图2，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作BD平分∠ABC交AC于点D，则BD＝CD，△ABC∽△ADB，AB2＝AD·AC.
图2
例4　[2024·四川乐山节选]在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，且∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，求DE的长.
图1
图2
解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连接ED'.
由旋转的特征得∠BAD＝∠CAD'，∠B＝∠ACD'，AD＝AD'，BD＝CD'.
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠EAC＝45°.
∵∠BAD＝∠CAD'，∴∠CAD'＋∠EAC＝45°，即∠D'AE＝45°，
∴∠DAE＝∠D'AE.
在△DAE和△D'AE中，
AD＝AD'，∠DAE＝∠D'AE，AE＝AE，
∴　 　，∴DE＝D'E.　　　　　　　　
又∵∠ECD'＝∠ECA＋∠ACD'＝∠ECA＋∠B＝90°，∴在Rt△ECD’中，
　 　.
∵CD'＝BD＝3，CE＝4，∴DE＝D'E＝　 　.
　③　
　②　
　①　
【问题解决】
上述【问题情境】中，“①”处应填：　 ；
“②”处应填：　 ；“③”处应填: .
刘老师进一步谈道：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变.
△DAE≌△D'AE
CE2＋CD'2＝D'E2　
5
【知识迁移】
如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连接AE，AF，分别与对角线BD交于M，N两点.探究BM，MN，DN之间的数量关系并证明.
图3
【拓展应用】
如图4，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°.探究BE，EF，DF之间的数量关系：　 .(直接写出结论，不必证明)
图4
EF2＝2BE2＋2DF2　
【参考答案】【知识迁移】DN2＋BM2＝MN2.证明如下：
如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE'，过点D作DH⊥BD交边AE'于点H，连接NH.
由旋转得AE＝AE'，BE＝DE'，∠BAE＝∠DAE'.
由题意得EF＋EC＋FC＝DC＋BC＝DF＋FC＋EC＋BE，
∴EF＝DF＋BE＝DF＋DE'＝E'F，
∴△AEF≌△AE'F(SSS)，∴∠EAF＝∠E'AF.
图1
又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠ADB＝45°.
∵DH⊥BD，∴∠ADH＝∠HDB－∠ADB＝45°，
∴△ABM≌△ADH(ASA)，∴AM＝AH，BM＝DH，
易得△AMN≌△AHN(SAS)，∴MN＝HN.
在Rt△HND中，DN2＋DH2＝HN2，
∴DN2＋BM2＝MN2.
【拓展应用】提示：如图2，直线EF交AB的延长线于点M，交AD的延长线于点N，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°得到△AGH，连接HM，HE，过点H作HO⊥BC交CB延长线于点O.由旋转得DF＝GH，AD＝AG，AF＝AH.∵∠CEF＝∠BEM＝∠N＝45°，∴△BEM，△DNF，△AMN均是等腰直角三角形，∴BE＝BM，DN＝DF，AM＝AN，
∴DN＝GM.易证△AEH≌△AEF，
∴EH＝EF.易证四边形HGBO为矩形，
∴GH＝OB，OH＝BG.
图2
在Rt△EOH中，由勾股定理，得OE2＋OH2＝EH2，即(GH＋BE)2＋(BM－GM)2＝EH2.又∵EF＝EH，DF＝GH＝GM，BE＝BM，∴(GH＋BE)2＋(BE－GH)2＝EF2，即2(DF2＋BE2)＝EF2，∴EF2＝2BE2＋2DF2.
归纳总结
　 如图1，半角模型的特征：①∠EAFBAD；②∠ABC＋∠ADC＝180°；③AB＝AD.
解题思路：△ABE通过旋转得到△ADG，
通过△AEF≌△AGF，得到①EF＝BE＋DF；
②AE平分∠BEF；③AF平分∠DFE.
图1
特别地，四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45° ，如图2，我们可以得到①BE＋DF＝EF；②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE；③BM2＋DN2＝MN2.
图2
A.10 B.5
C.8 D.8
4.[2025·合肥庐阳区一模]如图，在△ABC中，点D在BC边上，2∠B＝∠DAC，CE⊥AD.若AE＝DE＝2，AC＝6，则BC的长为( )
针对训练
A
【解析】∵AE＝DE＝2，CE⊥AD，∴AD＝4，CE是AD的垂直平分线，∴CD＝AC＝6，∴∠CDA＝∠DAC.∵2∠B＝∠DAC，∠CDA＝∠B＋∠DAB，∴∠B＝∠DAB，∴DB＝AD＝4，∴BC＝DB＋CD＝4＋6＝10.
A.2α B.90°－2α
C.45°－α D.90°－α
5.[2023·重庆A卷]如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于( )
A
【解析】如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABH.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝∠C＝90°.由旋转的性质可知∠DAF＝∠BAH，∠D＝∠ABH＝90°，AF＝AH，∴∠ABH＋∠ABC＝180°，∴H，B，C三点共线.∵∠BAE＝α，∠EAF＝45°，∠BAD＝∠HAF＝90°，∴∠DAF＝∠BAH＝45°－α，∠EAF＝∠EAH＝45°，∴△AFE≌△AHE(SAS)，
∴∠AFD＝∠AFE＝∠H＝45°＋α，
∴∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90°＋2α.
∵∠DFE＝∠FEC＋∠C，∴∠FEC＝2α.
6.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°.点M，N分别在AB，AC上，且∠MDN＝60°，连接MN，则△AMN的周长为　 　.
　6　
7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E在边AB上，且∠DCE＝45°.求证：AD2＋BE2＝DE2.
证明：如图，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△ACF，连接DF.
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝45°.
由旋转可知∠FCE＝90°，CF＝CE，AF＝BE，∠FAC＝∠B＝45°，∴∠FAD＝90°.
∵∠DCE＝45°，∴∠DCF＝45°，
∴∠DCF＝∠DCE，
∴△CDF≌△CDE(SAS)，∴DF＝DE.
在Rt△ADF中，AD2＋AF2＝DF2，
∴AD2＋BE2＝DE2.
(将△ACD绕点C逆时针旋转90°亦可)
类型3　三角形(四边形)平行线的综合问题(线段比)
例5　如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E.
(1)求证：CD·BE＝AB·CE；
(2)若∠CAB＝90°，AD⊥BC，求证：AC2＝CD·AB.
【参考答案】(1)∵AB∥CD，∴△CDE∽△BAE，
，即CD·BE＝AB·CE.
(2)∵∠CAB＝90°，AD⊥BC，AB∥CD，
∴∠AEC＝∠BEA＝∠CED＝∠ACD＝90°，
∴△CED∽△AEC∽△BEA，
，
，即AC2＝CD·AB.
归纳总结
比例式(等积式)的常见证明方法
(1)将所证结论的线段转化为两个三角形的边，证明这两个三角形相似；
(2)利用等线段代换证明，即欲证，若a＝a1，则先证；
(3)找中间比，利用等积式代换证明，即欲证，先证，再证
针对训练
8.如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB＝90°.
(1)求证：OA·OC＝OB·OD；
(2)若∠DAB＝55°，∠ABC＝65°，求的值.
解：(1)∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∠DOA＝∠COB，
∴△ADO∽△BCO，，即OA·OC＝OB·OD.
(2)∵∠ADB＝90°，∠DAB＝55°，
∴∠DBA＝35°.
∵∠ABC＝65°，∴∠DBC＝∠ABC－∠DBA＝30°.
在Rt△BOC中，OCOB，即
由(1)可知，又∵∠DOC＝∠AOB，
∴△DOC∽△AOB，
9.[2025·合肥包河区三模]如图，已知在正方形ABCD中，E为BC边上一点，点E关于直线AB的对称点为点F，射线AE交DC的延长线于点G，连接GB并延长交AF于点H，连接DH交AB于点M.
(1)若GH⊥AF.
(ⅰ)求证：AE＝BG；
(ⅱ)求tan ∠AEB的值.
(2)求证：M为AB的中点.
解：(1)(ⅰ)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠ABF＝∠BCG＝90°，AB＝BC.
∵GH⊥AF，∴∠FAB＋∠HBA＝90°.
又∵∠HBA＋∠GBC＝90°，
∴∠FAB＝∠GBC，
∴△ABF≌△BCG(ASA)，∴BG＝AF.
∵点E与点F关于直线AB对称，
∴AE＝AF＝BG.
(ⅱ)解法1：∵AE＝AF，AB⊥EF，
∴∠EAB＝∠FAB，∴∠EAB＝∠GBE.
又∵∠BGE＝∠AGB，∴△GBE∽△GAB，
，∴BG2＝EG·AG.
设BG＝AE＝x，EG＝1，则x2＝1(1＋x)，
解得x(负值舍去)，
∴tan ∠AEB
解法2：由(ⅰ)知△ABF≌△BCG，
∴CG＝BF＝BE.
不妨令AB＝BC＝1，设CG＝BF＝BE＝x，则CE＝1－x.
∵AB∥CG，∴△ABE∽△GCE，
，即，解得x(负值舍去)，
∴tan ∠AEB
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第二部分专题探究　提升能力
★专题七　新课标趋势题特训
研究发现v，t满足公式v＝at＋b(a，b为常数，且a≠0).当温度t为15 ℃时，声音传播的速度v为( )
A.333 m/s B.339 m/s C.341 m/s D.342 m/s
1.[2025·江苏苏州]声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v (m/s)与温度t(℃)部分对应数值如下表：
B
跨学科题
温度t/℃ －10 0 10 30
声音传播的速度v/(m·s－1) 324 330 336 348
2.[2024·合肥新站区一模]小明学习完生物遗传知识后，了解到双眼皮是由显性基因R决定的，单眼皮是由隐性基因r决定的.若一个人体细胞中含显性基因R，则表现为双眼皮；不含显性基因R，则表现为单眼皮.为了探究一对都是双眼皮(Rr)夫妇生出单眼皮孩子的可能性有多大，小明进行了模拟实验：用红色纸剪成大小一样的圆形纸片2张，分别写上R和r，装入写有“父亲”字样的信封，用蓝色纸剪成大小一样的椭圆形纸片2张，分别写上R和r，装入写有“母亲”字样的信封，现从这两个信封中各摸出一张纸片组成孩子的性状基因对，则摸出的性状基因对表现为单眼皮的可能性是( )
A B C D
A
【解析】根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有4种等可能的情况，其中性状基因对表现为单眼皮的情况有1种，故摸出的性状基因对表现为单眼皮的可能性是 .
3.石墨烯是一类重要的化工原料，其结构如图1所示，图2是其结构的一部分，是由相同的正六边形横向排列而成的链状结构.正六边形的一条边表示两个碳原子构成的碳碳键，当正六边形只有一个时，碳碳键有6条；当正六边形有2个时，碳碳键有11条；……以此类推.
根据规律，解决以下问题：
图1
图2
…
(1)若图2的链状结构上增加一个正六边形，则碳碳键增加　 　条；
(2)若图2的链状结构一共有n(n为正整数)个正六边形，则碳碳键为　 　条；(用含n的代数式表示)
(3)若某条这样的链状结构共有1021条碳碳键，求该链状结构有多少个正六边形.
　(5n＋1)　
　5　
解：(3)依题意，得5n＋1＝1021，
解得n＝204.
答：该链状结构有204个正六边形.
跨学科题的特点与解题思路梳理
1.试题特点：
(1)多为基础或中档题，侧重考查基础公式、规律应用与简单逻辑推理.
(2)一般以物理、生物、化学、语文等学科为背景，考查数学问题，对其他学科的知识要求不高.
2.一般解题思路：
(1)提取题干中跨学科的相关公式、条件.
(2)分析表格数据或图形，明确已知量与未知量.
(3)代入公式计算或推导规律，得出结果.
数学文化题
1.[2025·山东东营]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为弧田面积(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则cos ∠OAB的值为 .
　
2.[2024·江苏连云港]古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”有相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为 km，南门O设立在A6A7边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM，A6A7在BM上(门宽及门与道路间距离忽略不计)，东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑.在A1处测得雕塑在北偏东45°方向上，在A2处测得雕塑在北偏东59°方向上.
(1)∠CA1A2＝　 　°，∠CA2A1＝　 　°；
(2)求点A1到道路BC的距离；
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响
(结果精确到0.1 km，参考数据：1.41，sin 76°≈0.97，tan 76°≈4.00，sin 59°≈0.86，tan 59°≈1.66)
　76　
　90　
解：(2)过点A1作A1D⊥BC于点D.
在Rt△CA2A1中，A2A1，∠CA2A1＝76°，
∴CA1＝A1A2·tan 76°4.00＝2(km)，
在Rt△CA1D中，∠CA1D＝45°，
∴A1D＝CA1·cos 45°＝22.0(km).
答：点A1到道路BC的距离约为2.0 km.
(3)连接CA8并延长交BM于点E，延长A1A8交BE于点G，过点A8作A8F⊥BC于点F.
由题知A8G，∴FB＝A8G
∵A8F＝A1D＝CD＝2，DF＝A1A8，
∴CB＝CD＋DF＋FB
易证△CA8F∽△CEB，，
即，解得EB≈2.4.
答：小李离点B不超过2.4 km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响.
数学文化题的特点与解题思路梳理
1.试题特点：
(1)试题难度一般不大，有一定的阅读量.试题背景含古代著作、传统工艺等，融合数学与传统文化.
(2)将实际场景转化为数学问题.
2.一般解题思路：
(1)提取关键数据，忽略无关文化描述.
(2)分析图形，明确已知量、未知量及位置关系.
(3)建立数学模型(直角三角形、相似三角形等)，选择合适的解决方法.
(4)按参考数据计算，并验证结果的合理性.
1.[2024·广西]写出一个比大的整数，可以是_________
　 .
2.[2024·吉林]当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为　 　.
开放题
　0(答案不唯一)　
2(答案不唯一)　
3.[2023·浙江宁波]在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形(顶点均在格点上).
(1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰△PAB，再画出该三角形向右平移2个单位长度后的△P'A'B'；
(2)将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△A'B'C.
图1　　　　 图2
解：(1)如图1所示，△PAB，△P'A'B'即为所求.(答案不唯一)
(2)如图2所示，△A'B'C即为所求.
图1　　 　　图2
4.[2024·山西]为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛.各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀.
【数据整理】小夏将本班甲、乙两组同学(每组8人)初赛的成绩整理成如下的统计图.
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
(2)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好.小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由.(写出两条即可)
　25%　
　7　
【数据分析】小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
　7.5　
平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 优秀率
甲组 7.625 a 7 4.48 37.5%
乙组 7.625 7 b 0.73 c
解：(2)理由不唯一，例如：①甲组成绩的优秀率为37.5%，高于乙组成绩的优秀率25%，
∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；
②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数7，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好.
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见小祺的观点比较片面.
开放题的特点与解题思路梳理
1.试题特点：
(1)多为基础或中档题，侧重考查对基础知识的灵活运用，难度不大.
(2)答案不唯一，注重知识的开放性、发散性，考查学生的创新思维与对知识的综合运用能力.
2.一般解题思路：
(1)明确题目考查的知识点.
(2)结合知识点，根据条件(如分式值为正、相似三角形判定、统计量计算等)，灵活选取满足要求的内容作答.
综合与实践题
1.[2025·合肥包河区一模]关注民营企业　认识经济结构
【活动背景】
2025年2月17日，习近平总书记在北京出席民营企业座谈会时指出：“新时代新征程民营经济发展前景广阔、大有可为，广大民营企业和民营企业家大显身手正当其时.”为了了解我国现行的经济结构，关注民营企业在经济社会中的地位作用，雄智中学面向全体八、九年级的学生开展了有关民营企业的知识竞赛.
【数据的收集和整理】
学校从两个年级抽查数量相同的学生成绩进行分析，并将学生测试成绩(得分为x)分成四个等级，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，获得以下信息.
信息一：绘制被抽查的九年级学生测试成绩条形统计图(不完整)；
信息二：绘制被抽查的两个年级学生测试成绩扇形统计图；
被抽查的九年级学生测试成绩条形统计图
图1
被抽查的两个年级学生测试成绩扇形统计图
图2
信息三：两个年级被抽查的学生中满分(100分)的有2人，成绩达到D等级的有10人，其中八年级D等级的成绩各不相同，九年级D等级的全部成绩如下：91，92，93，93，93，94，100.
【问题解决】请根据以上信息，回答下列问题：
(1)共抽取　 　人的成绩，两个年级中D等级成绩的众数是　 　分.
(2)慧慧发现自己的分数正好是她所在年级被抽查学生成绩的中位数，明明看了这个分数后说：“慧慧的成绩在我们年级是中上等水平.”请你根据这些信息，判断慧慧是哪个年级的学生，并说明理由.
　93　
　100　
(3)学校决定给竞赛成绩达到D等级的学生予以表彰，已知该校八年级800人，九年级750人，请你估计这两个年级获得表彰的学生共有多少人
解：(2)慧慧是九年级学生.
理由：由(1)可知八、九年级分别抽查了50人，∴九年级被抽查学生中A等级有6人，B等级有18人，C等级有19人，D等级有7人，∴九年级被抽查学生成绩的中位数在C等级.由扇形统计图可知C等级学生共有100×30%＝30(人)，∴八年级被抽查学生成绩在C等级的有11人，∴A，B等级的共有36人，∴八年级被抽查学生成绩的中位数小于80分，∴慧慧是九年级学生.
(3)800750153(人).
答：估计这两个年级获得表彰的学生共有153人.
2.[2025·广东深圳]【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形.
【抽象定义】以等腰三角形一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”.如图2，在四边形ABCD中，AB＝AC，AC＝AD，∠D＝∠BAC.此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”.
图1 　 　图2
图3
【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD＝CD，∠D＝∠BAC.求：
(ⅰ)AD与BC的位置关系为　 　；
(ⅱ)AC2　 　AD·BC.(填“＞”“＜”或“＝”)
　＝　
　平行(或AD∥ BC)　
【方法应用】(ⅰ)如图4，将等腰△ABC(AC＝BC)绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形；
图4
(ⅱ)如图5，在等腰△ABC中，AC＝BC，cos B，AB＝5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长；若不存在，请说明理由.
图5　　 备用图
解：【方法应用】(ⅰ)由旋转得∠ADE＝∠B，AB＝AD，DE＝BC，AE＝AC.
令∠B＝α，则∠ADB＝∠ADE＝α，∠BAD＝180°－2α.
∵AC＝BC，∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝α，∴∠E＝180°－2α，
∴∠E＝∠BAD，∴四边形ABDE是双等四边形.
(ⅱ)作AH⊥BC于点H.
∵cos B，AB＝5，∴BH＝3，AH＝4.
设CH＝x，则AC＝BC＝x＋3.
在Rt△AHC中，CH2＋AH2＝AC2，
即x2＋42＝(x＋3)2，解得x，
∴AC＝BC3
如图1，若∠D＝∠CAD＝∠ACB，满足条件，则CD＝AC；
图1
如图2，若∠ACB＝∠D＝∠ACD，满足条件，则AD＝AC
作AM⊥CD于点M，∴CM＝DM，
cos ∠ACM＝cos ∠ACB，
∴CM，∴CD＝2CM；
图2
如图3，若∠D＝∠ACB，DA＝DC，满足条件，
图3
∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB＝∠ABC，
∴△DAC∽△CAB，
，即，∴CD
综上所述，满足条件时，CD的长为
综合与实践题的特点与解题思路梳理
1.试题特点：
(1)难度中档偏难，需综合多个知识点，部分题目对逻辑推理和应用能力要求较高.
(2)分小问设计，由浅入深，常需结合图形、公式推导.
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第二部分专题探究　提升能力
★专题一　定性趋势，特值代入
——函数图象的分析与判断
常见类型
类型1　分析实际问题判断函数图象
类型2　分析几何动态判断函数图象
类型3　分析函数图象判断结论正误(系数a，b，c符号的判定)
归纳总结
在分析实际问题判断函数图象时，要明确题中所给对象的运动路线，分析题中的已知条件，判断选项中所给图象是否满足题意，从而得到正确结果.读懂图象要知道以下几点：
(1)分清横、纵坐标的意义.
(2)找出问题中自变量的取值范围为几段.
类型1　分析实际问题判断函数图象
(3)找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在图象中找对应点.
(4)拐点：图象上的拐点既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起点，反映函数图象在这一时刻开始发生变化.
(5)水平线：函数值随自变量的变化而保持不变.
(6)交点：表示两个函数的自变量与函数值分别对应相等，这个交点是函数值大小关系的“分界点”.
A B C D
例1　[2025·长春三模]如图，空容器可以从底部小孔匀速注水，直到注满.在注水过程中，不考虑水量变化对压力的影响，则容器内水面高度h随时间t变化的图象大致是( )
A
A　　　 B C　　　 D
1. [2025·合肥蜀山区二模]由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH＞7时溶液呈碱性，当pH＜7时溶液呈酸性，若将给定的稀H2SO4溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映稀H2SO4溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是( )
A
针对训练
A　　 B　　 C　　 D
2.[2025·宣城一模]向某容器中匀速注水，容器中水的高度h与时间t的函数图象大致如图所示，则这个容器可能是( )
C
A　　　 B C　　　 D
3.甲、乙两人同时从A地到B地，甲先步行到达中点后改骑自行车，乙先骑自行车到达中点后改为步行.已知甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，则甲、乙两人所行的路程与所用时间的关系图正确的是(实线表示甲，虚线表示乙)( )
C
类型2　分析几何动态判断函数图象
归纳总结
在解决此类问题时要明确题中所给对象是自变量还是因变量，从所求出发分析题中已知条件，判断图象是否满足题意，得到正确结果.常用方法有以下几种：
(1)定性分析法：根据题意分段，判断每段的增减变化趋势，从而寻找相应的图象.
(2)求解析式法：根据题意求出每段的解析式，结合函数的图象与性质即可得到答案.
(3)定点排除法：从选项中各图象的关键转折点入手，对应动点的运动情况进行排除.
(4)特殊范围或特殊值法：观察选项中各函数图象，根据运动的性质，在同一取值范围内，对函数图象的走势和变化快慢进行对比和分析，必要时将特殊点坐标代入求值，可快速进行判断.
A　　 B　　 C　　 D
例2　 [2025·合肥包河区三模]如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2 cm，点P从点B出发，以1 cm/s的速度沿B→C→D运动，过点P作PE⊥AD，交折线B A D于点E.设点P运动的时间为t(s)，△BEP的面积为S(cm2)，则S与t的函数关系大致为( )
A
思路导引：动点P的运动路线是B→C→D，其所在位置可能在BC边上或CD边上，即点E可能在AB边上或AD边上，那么△BEP存在如图1、图2、图3所示的三种情况.
图1　 图2　 图3
【解析】解法1：如图，过点A作AH⊥BC于点H，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2 cm，∴BC＝CD＝AB＝2 cm，∠ABC＝60°，∴BH＝1 cm，AH cm.当0＜t≤1时，如图1，BP＝t，PEt，∴SBP·PE·t·tt2，为开口向上的抛物线；
图1
当1＜t≤2时，如图2，SBP·PEBP·AH·t·t，为一次函数，图象为线段，且呈上升趋势；当2＜t≤4时，如图3，延长EP交BC的延长线于点F，则CP＝t－2，PD＝4－t，∵∠PCF＝∠D＝60°，∴CF，PE(4－t)，∴SPE·BF(4－t)·t2t，为开口向下的抛物线.观察各选项，知A项符合.
图2　 　　图3
解法2：(定点排除法)过点A作AH⊥BC于点H，易得AH，当t＝1时，BP＝1，PE，∴S1，排除B，C项；当t＝3时，CP＝PD＝1，易得PEAH，DE，∴SPE·(BC＋DE)，排除D项.
解法3：(定性分析法)当0＜t≤1时，BP与PE都随t线性增大，故此段为开口向上的抛物线；当1＜t≤2时，BP随t线性增大，而PE为定值，故此段为斜向上的线段；当2＜t≤4时，PE随t线性减小，而△BEP边PE上的高随t线性增大，故此段为开口向下的抛物线.观察各选项，知A项符合.
A　　 B C　　 D
4.[2025·淮北三模]如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC＝CD＝4，∠BAD＝60°，动点P，Q同时从A点出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿折线A B C D向终点D运动；点Q以每秒4个单位长度的速度沿线段AD向终点D运动，直至两个点都到达终点才停止运动.设运动时间为x s，△APQ的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x的函数关系的图象是( )
针对训练
C
【解析】如图1，过点B作BM⊥AD于点M，过点C作CN⊥AD于点N，则四边形BCNM是矩形，∴BM＝CN，MN＝BC＝4.∵∠BAD＝60°，∴CN＝BM＝2，AM＝2.∵AB＝CD，∴Rt△ABM≌Rt△DCN(HL)，∴AM＝DN＝2，∴AD＝AM＋MN＋DN＝8.
图1
分三种情况：①如图2，当0≤x＜2时，点P在AB上，过点P作PE⊥AD于点E，则PE∥BM，∴△APE∽△ABM，，∴PEx，∴y·4x·x＝2x2，函数图象是开口向上的抛物线位于y轴右侧的一部分；②如图3，当2≤x＜4时，
点P在BC上，∴y8×28，
函数图象是平行于x轴的直线的一部分；
图2 图3
③如图4，当4≤x≤6时，点P在CD上，过点P作PF⊥AD于点F，则PF∥CN，∴△DPF∽△DCN，，∴PF6x，∴y8×(6x)＝－4x＋24，函数图象是一条直线的一部分且呈下降趋势.综上所述，只有C项的图象符合条件.
图4
A　　 B C　　 D
5.[2025·滁州三模]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M，N分别是BC，BA上的点，且MN⊥AB.将△BMN沿着直线MN对折得到△DMN，点B的对应点D落在射线BA上.设BN＝x.已知AB＝8，AC＝4，△DMN与△ABC重叠部分的面积为S，则S与x之间的函数图象大致为( )
C
【解析】当0＜x≤4时，如图1，∵MN∥AC，∴△BMN∽△BCA，，即，解得MN，∴S＝S△BMNBN·MN·x·＞0，∴抛物线开口向上，∴当x＝4时，S有最大值4.
图1
当4＜x≤8时，如图2，∵BN＝DN＝x，∴AD＝2x－8.同理△DEA∽△DMN，，即，解得AE＝x－4，∴S＝S四边形AEMN＝S△DMN－S△DEA(x－4)·(2x－8)＝8x－16.∵＜0，∴抛物线开口向下，∴当x时，S有最大值观察图象可知只有C项符合题意.
图2
A　　　 B C　　　 D
6.[2025·安庆三模]已知正方形ABCD的边长为2，P是对角线AC上一动点(不与点A，C重合)，连接BP，作PM⊥BP交射线DC于点M，连接BM.设AP＝x，y＝BM2，则y关于x的函数关系的图象大致为( )
A
【解析】过点P作PE⊥BC于点E，交AD于点F，过点P作PG⊥CD于点G.∵四边形ABCD是正方形，∠BAC＝45°，∴△APF是等腰直角三角形，AF＝PF＝BEx，∴PE＝EF－PF＝2x.易知PE＝PG＝EC＝CG.∵∠EPG＝∠BPM＝90°，∴∠EPG－∠EPM＝∠BPM－∠EPM，即∠BPE＝∠MPG.∵∠BEP＝∠MGP＝90°，且PE＝PG，∴△PBE≌△PMG(ASA)，∴PB＝PM.在Rt△BPM和Rt△PBE中，由勾股定理得y＝BM2＝2PB2＝2(BE2＋PE2)＝
22x2－8x＋16＝
2(x－2)2＋8，观察图象可知只有A项符合题意.
类型3　分析函数图象判断结论正误(系数a，b，c符号的判定)
归纳总结
以y＝ax2＋bx＋c(a≠0)为例.
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
a，b b＝0 对称轴为y轴
a，b同号 对称轴在y轴左侧
a，b异号 对称轴在y轴右侧
c c＝0 抛物线过原点
c＞0 抛物线与y轴交于正半轴(0，c)
c＜0 抛物线与y轴交于负半轴(0，c)
b2－4ac b2－4ac＞0 抛物线与x轴有两个交点
b2－4ac＝0 抛物线与x轴有一个交点
b2－4ac＜0 抛物线与x轴没有交点
a＋b＋c＞0 抛物线与直线x＝1的交点在x轴上方
a＋b＋c＝0 抛物线与直线x＝1的交点在x轴上
a＋b＋c＜0 抛物线与直线x＝1的交点在x轴下方
续表
A.②④ B.①②③
C.①③④ D.②③④
例3　[2025·合肥四十五中三模]如图，二次函数y＝ax2－bx＋c的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，点C在x轴下方的抛物线上，点C的横坐标为m，则下列说法：①b＞0；②c＝b－a；③b＞2c；④＜m＋1.其中正确的是( )
D
思路导引：由抛物线的开口方向可以确定a的符号，由对称轴与y轴的位置关系可以确定b的符号，由抛物线与y轴交点的位置可以确定c的符号，由抛物线与x轴的交点可以得到a，b，c之间的等量关系.由点C在x轴下方的抛物线上可得当x＝m时y＜0，整理即可得出a，b，m之间的不等关系.
A.1 B.2 C.3 D.4
7.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③当－2＜x＜3时，y＜0；④对于任意实数m，有am2＋bm＋c≥a＋b＋c.其中正确结论的个数是( )
针对训练
D
8.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为(1，0)，另一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间，则下列结论正确的是( )
A.abc＜0
B.b2－4ac＜0
C.2a＋c＞0
D.2a－b＞0
C
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第二部分专题探究　提升能力
★专题二　等积转化，设参计算
——反比例函数的定值与定比
常见类型
类型1　反比例函数中“k”的几何意义
类型2　反比例函数图象与线段定比问题
归纳总结
类型1　反比例函数中“k”的几何意义
1.k值的代数意义：
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y(k≠0)图象上的两点，那么y1，y2，即k＝x1y1＝x2y2.
2.k值的几何意义：
如图，在反比例函数y(k≠0)的图象上任取一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点B，C.
(1)矩形面积不变性：S矩形OBAC＝|k|.
(2)三角形面积不变性：SRt△AOB＝SRt△AOC|k|.
3.反比例函数图象的面积不变性图示：
基本图形 图形变式 结论
S阴影＝|k|
　 　　 　 S阴影＝
　 　　 　 ①S1＝S2；
②S△AOB＝
S四边形ACDB
基本图形 图形变式 结论
　　 S阴影＝
　　　　 S阴影＝
　　 说明：S1，S2，S3，S4代表各图中阴影部分的面积 ①S1＝4|k|；
②S2＝S3＝S1＝2|k|；
③S4＝S3＝S2＝S1＝|k|
续表
　　在某些复杂的反比例函数问题中，直接通过代数方法求解可能较为烦琐或难以入手.此时，利用反比例函数中“k”的几何意义可以大大简化计算过程.
例1　[2025·池州三模]如图，平行四边形ABCD的顶点A在反比例函数y(x＜0)的图象上，点B在y轴上，点C，D在x轴上，AD与y轴交于点E，连接CE.若S△BCE＝3，则k的值为　 　.
　－6　
思路导引：根据反比例函数中“k”的几何意义，若求k，只需求出以A，B，O为其中三个顶点的矩形面积，而这个矩形与平行四边形ABCD等底等高，且平行四边形ABCD与△BEC的面积之间存在2倍关系.
类型2　反比例函数图象与线段定比问题
归纳总结
(1)利用反比例函数“k”的几何意义列方程计算：求k，求面积.
(2)利用面积比和线段比之间的转化：
①如果两个图形相似，面积比＝相似比的平方；
②如果两个图形等(同)底或等(同)高，面积比＝线段比.
(3)如图，反比例函数y(k≠0)与矩形AOBC相交于点M，N，则有
例2　如图，在△OAB中，∠OAB＝90°，双曲线y(k＞0，x＞0)与OB交于点D，与AB交于点C，连接OC.若D为OB的中点，则 　.
思路导引：(设坐标法)表示出各点坐标，如设点D，∵D为OB的中点，∴点BAB⊥x轴，∴A(2a，0)，C，利用坐标表示出AC和BC的长即可求解.
A B.4
C D.5
1.[2025·淮北三模]如图，点A，B在反比例函数y的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，连接OA，OB，AB，则△AOB的面积是( )
针对训练
C
A.3 B.4 C.8 D.9
2.[2025·宿州三模]如图，点A在双曲线y(x＞0)上，连接OA，B是OA的中点，作BD⊥x轴，垂足为点D，BD的反向延长线交双曲线y于点C.若△ABC的面积是3，则k的值是( )
C
3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(3，4)，反比例函数y(x＞0)的图象与矩形OABC的边AB，BC分别相交于点E，D.若F为OC的中点，且△DEF的面积为3，则k的值为　 　.
　6　
(1)该反比例函数的表达式为　 　；
(2)△ACD的面积为 .
4.[2025·淮南模拟]如图，在△AOB中，∠ABO＝90°，边OB在x轴的正半轴上，反比例函数y(x＞0)的图象经过斜边OA的中点D(2m－1，2m)，与直角边AB相交于点C(4，m)，连接CD.
y
　
5.[2025·安庆二模]如图，点A在双曲线y(x＞0)上，点B在双曲线y(k≠0，x＞0)上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于点D，连接OB，与AD相交于点C.若AC＝2CD，则k的值为　 　.
　6　
(1)k1的值为　 　；
(2)若DE与反比例函数y(x＞0)的图象
有且只有一个交点，则　 　.
　3　
6.[2025·阜阳三模]如图，反比例函数y(x＞0)的图象经过点A，AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，反比例函数y(x＞0)的图象分别与AD，AE交于点B，C，△ADE的面积为2.
　4　
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第二部分专题探究　提升能力
★专题四　以静制动，依迹寻源
——几何最值问题
常见类型
类型1　两点间最值问题
类型2　点线间最值问题
类型3　点弧间最值问题
归纳总结
类型1　两点间最值问题
一、利用两点之间线段最短求线段和最小值
1.异侧线段和最小值问题
问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小.
作法：
结论：两点之间线段最短.
2.同侧线段和最小值问题
问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小.
作法：
总结：将同侧两定点转化为异侧两定点问题，同1即可解决.
二、利用两点之间线段最短求线段差最大值
1.同侧线段差最大值问题
问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大.
作法：
2.异侧线段差最大值问题
问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大.
作法：
总结：将异侧两定点转化为同侧两定点问题，同1即可解决.
A.6 B.8
C.42 D.10
例1　[2025·滁州一模]如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F为其对角线AC上的动点，且EF＝2，则△BEF周长的最小值为( )
B
思路导引：△BEF周长的最小值 同侧动线段BE＋BF的最小值 借助正方形的对称性(DE＝BE或DF＝BF)，将DE沿EF平移(或将DF沿FE平移)使动端点E，F重合 异侧线段和最小值问题.
A1 B.2
C.4 D2
1.一副三角板按如图所示位置放置，∠ACB＝∠EBD＝90°，∠ABC＝30°，AC＝BD＝BE＝2，F为CE的中点，将△BDE绕点B旋转的过程中，AF的最大值为( )
针对训练
A
A B
C D.8
2.[2025·合肥五十中期中]如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC＝4，BC上方有一动点P满足S△PBCS△ABC，则PB＋PC的最小值为( )
A
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，E，F分别是CD，AD上的动点，CE＝DF，连接AE，CF，则AE＋CF的最小值为　 　.
　17　
类型2　点线间最值问题
归纳总结
(1)一动点＋一定直线＋一定点
如图1，定点A在直线l外，P为直线l上一动点，当AP最短时，确定点P的位置.
图1
作法：如图2，过点A作AP⊥直线l于点P，点P即为所求.
图2
(2)两动点＋两定直线＋一定点
①如图3，定点A在∠POQ的外侧，动点B，C分别在OP，OQ上，当AB＋BC的值最小时，确定点B，C的位置.
作法：如图4，过点A作AC⊥OQ于点C，交OP于点B，点B，C即为所求.
图3
图4
②如图5，定点A、动点B在OP上，动点C在OQ上，当AC＋BC的值最小时，确定点B，C的位置.
作法：如图6，作点A关于OQ的对称点A'，过点A'作A'B⊥OP于点B，交OQ于点C，点B，C即为所求.
图5　　　　　图6
③如图7，点P在∠AOB的内部，在OA上求作一点C，在OB上求作一点D，使PD＋CD的值最小.
作法：如图8，作点P关于OB的对称点P'，过点P'作P'C⊥OA于点C，交OB于点D，点C，D即为所求.
图7　　　　　图8
A.2 B.3
C D
例2　[2025·宿州阶段练习]如图，在△ABC中，AB＝6，∠C＝30°，∠ABC＝90°，D是边BC上一动点，以AD为腰作等腰△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接BE，则BE的最小值为( )
B
思路导引：在AC上取一点M，使AM＝AB，可证△ABE≌△AMD，得到BE＝MD，可知当MD最小，即MD⊥BC时，BE最小，利用边角关系求出MD即可.
A B.1 C D.2
4.[2025·阜阳期末]如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的动点，连接DE，EF，P，Q分别为DE，EF的中点，连接PQ.若∠B＝120°，BC＝2，则PQ的最小值为( )
针对训练
A
A B.1 C D.2
5.[2024·宿州三模]如图，P是线段BC上一动点，连接AP，AC⊥BC，∠BAC＝∠PAQ＝60°，AC＝2，连接CQ.当AQ＝AP时，线段CQ的最小值为( )
B
6.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，EF垂直平分AB，P是EF上一动点，过点P作PH⊥BC，
垂足为点H，连接BP，则BP＋PH的最小值为 　.
7.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一动点(不与点B，C重合)，过点P作PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，连接EF.若AB＝10，则EF的最小值为　 　.
　5　
类型3　点弧间最值问题
归纳总结
(1)定点与圆弧的距离的最值
图1　　　 图2　 　　图3
说明：如图1，圆外一点P到☉O的最短距离为PA，最长距离为PB(P，A，O，B四点在同一条直线上).
理由如下：如图2，由三角形三边关系可知PC＋CO＞PO，即PC＋CO＞PA＋AO，因为CO＝AO，所以可知PC＞PA始终成立，即线段PA为圆外一点P到圆的最短距离.
同理，如图3，由三角形三边关系可知PC＜PO＋OC，因为CO＝BO，所以可知PC＜PO＋BO，即PC＜PB始终成立，即线段PB为圆外一点P到圆的最长距离.
说明：如图4，圆内一点P到☉O的最短距离为PA，最长距离为PB(A，P，O，B四点在同一条直线上)，理由同上(如图5、图6).
图4　 　 图5　 　 　图6
(2)关于圆弧的确定方法
①定点定长得圆
在几何图形中，通过折叠、旋转等得到的动点的轨迹为到定点的距离等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算.
②直角的对边是直径
在☉O中，AB为直径，C为圆上一点，始终有AB所对的∠C＝90°.
若AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则点C在以AB为直径的圆上.(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)
③对角互补的四边形
任意四点A，B，C，D所围成的四边形对角互补，则A，B，C，D四点共圆.
④定弦定角模型
定角模型是直角模型的一种变形，其依据是已知定角，根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算.
若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知点C并不是唯一固定的点，点C在☉O的弧ACB上(至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则点C在优弧上运动；大于90°，则点C在劣弧上运动)
例3　[2024·合肥寿春中学二模]如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别是边CD，AD上的动点，AE，BF交于点G，连接DG.
(1)若E，F分别是边CD，AD上的中点，
则GF＝ 　；
(2)若AF＝DE，则DG的最小值为　 .
22　
思路导引：(1)由△BAF≌△ADE推出∠AGF＝90°，再证明△AGF∽△ADE，利用相似三角形的性质求解即可；
(2)同(1)可得∠AGB＝90°，得到点G在以AB为直径的☉O上，当D，G，O三点共线时，DG有最小值，最小值为DO－OG的长，据此求解即可.
【解析】(1)∵E，F分别是边CD，AD上的中点，∴AF＝DEAD＝2，∴AE2易证△BAF≌△ADE(SAS)，∴∠ABF＝∠DAE，∴∠AGF＝∠ABF＋∠BAG＝∠DAE＋∠BAG＝90°，∴△AGF∽△ADE，，即，∴GF.
(2)同理可得∠AGB＝90°，∴点G在以AB为直径的☉O上，如图，当D，G，O三点共线时，DG有最小值，最小值为DO－OG的长，∵OG＝AOAB＝2，DO2，∴DG的最小值为DO－OG＝22.
8.[2025·合肥蜀山区期末]如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝8，AB＝6，P为平面内一动点，PC＝2，连接BP，Q是BP的中点，则线段AQ的最小值为　 　，最大值为　 　.
　6　
针对训练
　4　
【解析】如图，取BC的中点M，连接AM，MQ，∵Q是BP的中点，∴MQ是△PCB的中位线，∴MQPC＝1，即点Q在半径为1的☉M上.∵在Rt△ABC中，BC10，M是BC的中点，∴AMBC＝5.∵AM－MQ≤AQ≤AM＋MQ，∴4≤AQ≤6，∴线段AQ的最小值为4，最大值为6.
第9题图
9.[2025·阜阳三模]如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在正方形ABCD内部，且满足∠AEB＝90°，连接DE，取DE，CD的中点F，G，连接FG，则FG的最小值为( )
A.1 B.2
C.21 D1
D
【解析】连接CE.∵F，G分别是DE，CD的中点，∴FGCE.∵∠AEB＝90°，∴点E在以AB为直径的☉O上，如图，当O，E，C三点共线时，CE最小，此时FG最小，连接OC，交☉O于点E'.∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴OE'＝OBAB＝2，∴OC2，
∴CE'＝OC－OE'＝22，
∴FG的最小值为1.
第10题图
10.[2025·宿州期中]如图，在矩形ABCD中，已知AB＝5，BC＝12，P是BC边上一动点(点P不与点B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为( )
A B C.7 D.8
D
【解析】连接AM，AC.由题知AM＝AB＝5，∴点M在以点A为圆心，5为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，MC最小.∵在矩形ABCD中，AC13，∴MC＝AC－AM＝8，∴线段MC的最小值为8.
第11题图
11.[2025·芜湖二模]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD.若CD⊥AC，且AC＝CD，则的最小值为( )
A B1
C1 D
D
【解析】如图，取BC中点E，将BC绕点C逆时针旋转90°至CB'，连接B'E，AB'，AE，∴CB＝CB'.∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°.∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠ACD＝90°，∴点A在以点E为圆心，BC为直径的圆上，∵∠ACD＝∠BCB'＝90°，∴∠DCB＝∠ACB'，∴△DCB≌△ACB'(SAS)，∴BD＝B'A，
当A，E，B'三点共线时，B'A有最大值，有最小值.设BC＝B'C＝2a，则AE＝BE＝CE＝a，由勾股定理得B'Ea，∴B'A＝(1)a，，的最小值为
第12题图
12.[2025·合肥蜀山区二模]如图，正方形ABCD的边长为8，点E，P在边AD上运动，点F在边CD上运动，ED＝CF，连接BE，AF交于点G，过点C作CH⊥BE于点H，连接CP，PG.下列结论中错误的是( )
A.AE＋BC≥AF
B.△AGB的面积有最大值为16
C.CH＋AG有最大值为8
D.CP＋PG的最小值为24
D
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝AB＝BC，∠D＝∠BAD＝∠ABC＝90°，∵DE＝CF，∴AE＝DF，∴AE＋BC＝DF＋AD≥AF，A项正确；如图，取AB中点O，连接OG，易证△ADF≌△BAE，∴∠AEB＝∠AFD.∵∠DAF＋∠AFD＝90°，∴∠AGB＝∠AEB＋∠DAF＝∠AFD＋∠DAF＝90°，
∴OGAB＝4，设点G到AB的距离为h，
由垂线段最短可知h≤OG＝4，
∴S△AGBAB·h≤8×4＝16，
∴△AGB的面积有最大值为16，B项正确；
易证△AGB≌△BHC，∴CH＝BG，∴AG＋CH＝AG＋BG，设AG＝a，BG＝b，在Rt△ABG中，由勾股定理得AG2＋BG2＝AB2，∴a2＋b2＝64.∵S△AGBAG·BGab≤16，∴ab≤32，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤64＋64＝128.∵a＞0，b＞0，∴a＋b≤8，∴AG＋BG的最大值为8，即AG＋CH的最大值为8，C项正确；
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