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第一部分 知识梳理　课程重构
第二章　方程(组)与不等式(组)
本章知识导图
★命题域聚焦　层级转化，运算变形
初中阶段考查代数推理的试题主要是方程与不等式推理(小题)、归纳与演绎推理(大题)两种，无论是哪一种，本质上都是考查代数式的恒等变形.
随着新课程改革的不断深入，各地中考都非常重视对代数推理能力的考查，安徽省也是如此，近年来这类试题频频出现，如2025年第9题和第23题、2024年第8题、2021年第7题、2019年第9题等.分析近年来这类试题的变化规律，可以发现安徽省对这类试题的考查难度越来越大，因此要十分重视这类试题的解法，掌握这类试题相应的解题方法非常必要.
例　已知实数a，b，c满足a＋b＝ab＝c，则下列结论中错误的是( )
A.若c≠0，则1
B.若a＝3，则b＋c＝9
C.若a＝b＝c，则abc＝0
D.若a，b，c中只有两个数相等，则a＋b＋c＝8
B
【解析】 ∵a＋b＝ab＝c≠0，1，故A项正确；∵a＝3，∴3＋b＝3b，b，c，∴b＋c6，故B项错误；∵a＝b＝c，则2a＝a2＝a，∴a＝0，abc＝0，故C项正确；∵a，b，c中只有两个数相等，不妨假设a＝b，则2a＝a2，∴a＝0或a＝2，a＝0不合题意，舍去，∴a＝2，∴b＝2，c＝4，a＋b＋c＝8，当a＝c时，∵a＋b＝c，∴b＝0，a＝c＝0，不符合题意；当b＝c时，a＝0，此时a＋b＝ab＝c＝0，b＝c＝0，也不符合题意.综上可知，当a＝b＝2，c＝4，∴a＋b＋c＝8，故D项正确.
归纳总结
利用等式及不等式的性质进行推理的常用方法
(1)将(不)等式进行变形，直接得到想要的结论；
(2)先选择等式进行变形，将其中的一个未知数用另一个未知数表示出来，代入另外一个(不)等式进行求解；
(3)特殊值法：设题目中某个未知量为符合条件的特殊值，进而表示出题干中其他的未知量，使得题干的等式或不等式得到简化，然后再判断结论是否成立；
(4)反证法：假设选项中结论正确，通过推理运算观察是否与已知条件或数学知识相矛盾，若矛盾，则结论错误.
1.[2025·合肥包河区三模]已知两个非负实数a，b满足b＝3－2a＝c－3a，则下列式子正确的是( )
A.a－c＝3 B.0≤a≤3
C.b＋2c＝6 D.3≤c≤4.5
针对训练
D
2.已知实数x，y满足x＋y＝3，y－1＜x＜y＋1，则下列判断正确的是( )
A.0＜x＜1 B.0＜y＜1
C.－1＜2x－3y＜1 D.0＜2x－y＜3
D
3.[2025·宣城三模]已知实数a，b满足2a－3b＝4，且a≥－1，b＜2，则a－b的取值范围是( )
A.0≤a－b＜2 B.1≤a－b＜3
C.0≤a－b＜3 D.－1≤a－b＜2
B
4.[2025·滁州三模]已知两个不为零的实数a，b满足a＋b，其中b≠1，则下列结论正确的是( )
A1，a2－4b＞0
B1，a2－4b＜0
C1，a2－4b＞0
D1，a2－4b＜0
C
5.[2025·淮北期末]若关于x，y的方程组的解满足－2＜x＋y＜3，则k的取值范围是( )
A.k＞ B.k＜
C.＜k＜ D＜k＜
C
6.[2025·安庆迎江区三模]已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，ab＝－c－1，则下列结论正确的是( )
A.若a＝b，则a2－2b＝1
B.若a＝c，则b＝1
C.若b＝c，则a＝1
D.若a＝1，则b2－4c≥0
D
7.已知二次函数y＝x2－2ax＋a－1，若对于a＜x≤2范围内的任意自变量x，都有y≤a－1，则a的取值范围是( )
A.1＜a＜2 B.1≤a≤2
C.1＜a≤2 D.1≤a＜2
D
8.已知实数a，b，c满足a－b＋c＝0，a－b－c＝6，且ab＜0，则M＝6a＋3b＋c的取值范围是( )
A.－12＜M＜15 B.－6＜M＜15
C.12＜M＜15 D.0＜M＜27
A
9.[2025·芜湖无为一模]已知点M(a，b)在第一象限，且满足4a＋2b＋c＝10，a－b＋c＝1，设S＝a＋b－c，若c≥1，则( )
A.S有最大值2 B.S有最小值－1
C.S的值恒为1 D.S有最大值1
A
【解析】由题意得①－②得3a＋3b＝9，即a＋b＝3，∴b＝3－a，①＋2×②得6a＋3c＝12，即2a＋c＝4，∴c＝4－2a，∴S＝a＋b－c＝a＋3－a－4＋2a＝2a－1，∵M(a，b)在第一象限，∴a＞0，b＞0，∴b＝3－a＞0，∴0＜a＜3，∵c＝4－2a且c≥1，∴4－2a≥1，解得a≤，∴0＜a≤，∵S＝2a－1，∴－1＜2a－1≤2，即－1＜S≤2，∴S有最大值2.
10.[2025·合肥瑶海区期末]已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
①若方程的两个根为－3和1，则2b＋3c＝0；
②若4a＋2b＋c＝0，则方程有一根为x＝2；
③无论b＝2a＋c或b＝a＋2c，方程都有两个不相等的实数根；
④若x＝2m是方程的一个根，则式子b2＋2abm－ac＝(2am＋b)2一定成立.
以上说法正确的有( )
A.①②③ B.②③
C.②③④ D.③④
C
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第二章　方程(组)与不等式(组)
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2.3　一元二次方程及其应用
1.一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息420条，则可列方程为( )
Ax(x－1)＝420 B.x(x－1)＝420
Cx(x＋1)＝420 D.x(x＋1)＝420
热身小练
B
2.已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0.
(1)求证：该方程总有两个实数根；
解：(1)由题意知Δ＝(－4m)2－4×1×3m2＝4m2≥0，
∴该方程总有两个实数根.
(2) 若该方程的两个实数根的和为2，求m的值.
(2)解法1：∵x2－4mx＋3m2＝0，即(x－m)(x－3m)＝0，
∴x1＝m，x2＝3m.
∵该方程的两个实数根的和为2，
∴3m＋m＝2，∴m
解法2：由根与系数的关系，可得方程的两实数根之和为4m，
∴4m＝2，解得m
3.如图所示，在宽为20 m、长为32 m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，两条纵向与一条横向互相垂直，且把耕地分成大小相等的六块作试验田.若试验田面积为570 m2，则道路宽为多少
解：设道路宽为x m.
根据题意，得(20－x)(32－2x)＝570，
解得x1＝1，x2＝35.
∵35＞20，∴不符合题意，舍去.
答：道路宽为1 m.
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知识梳理
考点1　一元二次方程及其解法
1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程.
2.一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数，且a≠0)，其中ax2叫做二次项，a是二次项系数，bx叫做一次项，b是一次项系数，c叫做常数项.
3.一元二次方程的解法
解法名称 内容 解法的选择
直接开 平方法 形如ax2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，两边开平方，即可转化为两个一元一次方程 当方程可化为x2＝p(p≥0)的形式时，优先考虑用直接开平方法
配方法 通过配方将一般方程化成(x＋h)2＝k的形式，再用直接开平方法 当方程的二次项系数是1，一次项系数是偶数时，优先考虑用配方法
因式分 解法 若方程左边可以分解为两个一次因式的积，右边等于0，则原方程可转化为两个一元一次方程 当方程变形后一边为0，另一边易于分解因式，或方程中缺少常数项或一次项时，优先考虑用因式分解法
公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：x＝① (b2－4ac≥0) 当方程无明显特征，用以上三种方法都不易求解时，考虑用公式法求解
考点2　一元二次方程根的判别式
1.Δ＝b2－4ac＞0 方程有两个②　 　的实数根；
2.Δ＝b2－4ac＝0 方程有两个③　 　的实数根；
3.Δ＝b2－4ac＜0 方程④　 　实数根.
　无　
　相等　
　不相等　
考点3　一元二次方程根与系数的关系
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那
么x1＋x2＝⑤　 　，x1·x2＝⑥ 　.
考点4　一元二次方程的实际应用
列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审题，找等量关系；(2)设未知数；(3)列一元二次方程；(4)解方程；(5)检验并写出答案.
跟踪训练
例1　解方程：(1)x2－6x＋5＝0；
解法1(因式分解法)：
解法2(配方法)：
解法3(公式法)：
解法1(因式分解法)：原方程可以变形为(x－1)(x－5)＝0，
∴x－1＝0或x－5＝0，∴x1＝1，x2＝5.
解法2(配方法)：原方程化为x2－6x＝－5，
配方，得x2－6x＋9＝－5＋9，即(x－3)2＝4，
∴x－3＝±2，∴x1＝1，x2＝5.
解法3(公式法)：∵a＝1，b＝－6，c＝5，
∴Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×1×5＝16＞0，
∴x，∴x1＝1，x2＝5.
(2)(x－1)2＝4(x－1).
移项，得(x－1)2－4(x－1)＝0，
因式分解，得(x－1)(x－5)＝0，
解得x1＝1，x2＝5.
例2　[2025·芜湖南陵一模改编]已知关于x的一元二次方程x2＋2(m－1)x＋m2＝0有两个不相等的实数根，分别记为x1，x2.
(1)求m的取值范围；
【参考答案】(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[2(m－1)]2－4×1×m2＞0，解得m＜
(2)若14，求4x2－10的值.
(2)由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－2(m－1)，x1·x2＝m2.
14，∴(x1＋x2)2－2x1·x2＝14，
∴[－2(m－1)]2－2m2＝14，
∴4m2－8m＋4－2m2＝14，解得m＝5或m＝－1.
由(1)知m＜，∴m＝－1，
代入方程得x2－4x＋1＝0，
∴x1＋x2＝4，4x1＋1＝0，4x1－1，
4x2－10＝4x1－1＋4x2－10＝4(x1＋x2)－11＝5.
(2)由(x1＋x2)2－2x1x2，可联系根与系数的关系，建立关于m的方程即可求m，观察4x2－10，需将x1代入方程及根与系数的关系得到的等式进行变形求代数式的值.
思路导引：(1)由题意知Δ＞0，即可求m的取值范围；
例3　[2025·四川泸州]某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
【参考答案】(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x.
根据题意，得125(1－x)2＝80，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不符合题意，舍去).
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%.
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品.
(2)设购进y件甲种商品，则购进(100－y)件乙种商品.
根据题意，得(125－25×2)y＋80(100－y)≤7800，
解得y≥40，∴y的最小值为40.
答：最少购进40件甲种商品.
归纳总结
列一元二次方程解应用题的常见类型
(1)数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b＋a；
(2)变化率问题：a是基础量，若x为平均增长率，b为增长两次后的量，则b＝a(1＋x)2；若x为平均下降率，b为下降两次后的量，则b＝a(1－x)2；
(3)销售问题：利润＝售价－进价，总利润＝(售价－进价)×销量，利润率100%；
(4)工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间，工作总量＝各部分工作量之和；
(5)循环问题：球赛总场数(单循环)(n为参赛球队总数)，互赠礼物总份数(双循环)＝n(n－1)(n为参与互赠礼物的总人数)；
(6)形积问题：利用图形面积或体积公式建立等量关系列一元二次方程.
命题点1
真题精练
解一元二次方程
1.[2024·安徽第15题]解方程：x2－2x＝3.
解：原方程变形，得x2－2x－3＝0.
因式分解，得(x－3)(x＋1)＝0.
解得x1＝3，x2＝－1.
2.[2019·安徽第15题]解方程：(x－1)2＝4.
解：直接开平方，得x－1＝±2，
解得x1＝3，x2＝－1.
3.[2025·安徽第5题]下列方程中，有两个不相等的实数根的是( )
A.x2＋1＝0
B.x2－2x＋1＝0
C.x2＋x＋1＝0
D.x2＋x－1＝0
一元二次方程根的判别式
D
命题点2
4.[2018·安徽第7题]若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为( )
A.－1 B.1
C.－2或2 D.－3或1
A
5.[2017·安徽第8题]一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x，则x满足( )
A.16(1＋2x)＝25
B.25(1－2x)＝16
C.16(1＋x)2＝25
D.25(1－x)2＝16
一元二次方程的实际应用
D
命题点3
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第二章　方程(组)与不等式(组)
本章知识导图
2.1　一次方程(组)及其应用
1.[2025·淮南模拟]若是方程2ax＋y＝5的解，则a的值为( )
A.1 B.－1 C.2 D.－2
热身小练
B
2.[2025·深圳]若关于x的方程x＋a＝5的解为x＝1，则a＝
　 　.
3.[2025·四川凉山州改编]若(3x＋2y－19)2＋|2x＋y－11|＝0，则x＋y＝　 　.
　8　
　4　
4.[2025·四川泸州]《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程(组)解的问题.例如方程x＋2y＝3恰有一个正整数解x＝1，y＝1.类似地，方程2x＋3y＝21的正整数解的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
5.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何
译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元.问共有多少人 这个物品的价格是多少
请解答上述问题.
解：设共有x人.
根据题意，得8x－3＝7x＋4，解得x＝7，
∴8x－3＝53.
答：共有7人，这个物品 的价格是53元.
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知识梳理
考点1　一元一次方程及其应用
1.等式的基本性质
(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式，即如果a＝b，那么a±c＝b±c.
(2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数或同一个式子(除数不能为0)，所得结果仍是等式，即如果a＝b，那么ac＝bc或(c≠0).
(3)如果a＝b，那么b＝a(对称性).
(4)如果a＝b，b＝c，那么a＝c(传递性).
2.一元一次方程的有关概念
(1)方程：含有①　 　的等式.
(2)方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值.
(3)一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是②　 　，且等号两边都是③　 　的方程.一般形式：ax＋b＝0(a，b为常数，且a≠0).
　整式　
　1　
　未知数　
3.解一元一次方程的一般步骤
(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
4.列一元一次方程解应用题的一般步骤
(1)审题，找出等量关系；(2)设未知数；(3)列一元一次方程；(4)解一元一次方程；(5)检验并写出答案.
考点2　二元一次方程(组)及其应用
1.二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.
2.二元一次方程组：由两个一次方程组成的含有两个未知数的方程组.
步骤 代入消元法 加减消元法
① 变形：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数 变形：将某一未知数的系数化为相同或相反
② 代入：将变形后的式子代入另一个方程，实现“消元” 加减：系数相同的两个方程相减，系数相反的两个方程相加，实现“消元”
③ 解一元一次方程，求出“一元”
④ 将求出的“一元”代入其中一个二元一次方程，求出“另一元”
⑤ 写出方程组的解
3.二元一次方程组的解法
4.列二元一次方程组解应用题的一般步骤
(1)审题，找等量关系；(2)设未知数；(3)列二元一次方程组；(4)解二元一次方程组；(5)检验并写出答案.
5.三元一次方程组：由三个一次方程组成的含有三个未知数的方程组.
6.解三元一次方程组的一般步骤：三元一次方程组
二元一次方程组 一元一次方程.
跟踪训练
例1　 已知实数m，n满足m＋n＝4，且满足关于m，n的二元一次方程组求k的值.
思路导引：解法1：可联立求出m，n的值，再求出k的值.
解法2：观察二元一次方程组的系数得5(m＋n)＝7k＋6，可利用整体思想求k的值.
【参考答案】解法1：根据题意，列方程组
由①×2－②，得n＝－1，
把n＝－1代入①，得m＝5，∴3×5＋2×(－1)＝7k－1，解得k＝2.
解法2：
由①＋②，得5(m＋n)＝7k＋6，
∵m＋n＝4，∴7k＋6＝5×4＝20，解得k＝2.
例2　[2025·蚌埠三模]南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河.为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行.下表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务.如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务
方案类型 清淤机 清淤船 时间
方案一 1台 2台 8天
方案二 2台 1台 7天
【参考答案】设一台清淤机的工作效率为x，一台清淤船的工作效率为y.
根据题意，得解得
∴6，
＞1，∴2台清淤机和2台清淤船共同工作，6天内能按要求完成任务.


列方程(组)解应用题的一般步骤
(1)列方程(组)解应用题的关键是准确地找出题中的等量关系，正确地列出方程(组)；
(2)设未知数可以采用直接设法，也可以采用间接设法；
(3)一般地，设几个未知数，就应列出几个方程组成方程组；
(4)要根据应用题的实际意义检验求得的解是否合理，不符合题意的舍去.
1.[2021·安徽第7题]设a，b，c为互不相等的实数，且bac，则下列结论正确的是( )
A.a＞b＞c
B.c＞b＞a
C.a－b＝4(b－c)
D.a－c＝5(a－b)
等式的基本性质
D
命题点1
真题精练
【解析】由于a，b，c互不相等，且bac，所以4a＋c＝5b，所以a－b(b－c)，a－c＝5(a－b)，D项正确.
命题点2
一次方程(组)的应用
2.[2024·安徽第17题]乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物，种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物 品种 每公顷 所需人数 每公顷所需
投入资金/万元
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷
解：设A，B两种农作物的种植面积分别为x公顷、y公顷.
根据题意，得解得
答：A，B两种农作物的种植面积分别为3公顷、4公顷.
3.[2023·安徽第16题]根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元.已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元.求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.
解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为x元、y元.
根据题意，得
解得
答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40元、50元.
4.[2022·安徽第17题]某地区2020年进出口总额为520亿元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%.
注：进出口总额＝进口额＋出口额.
(1)设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：
年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口
总额/亿元
2020 x y 520
2021 1.25x 1.3y
解：(1)1.25x＋1.3y.
(2)已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元
(2)由题意，得
解得
所以1.25x＝400，1.3y＝260.
答：2021年进口额为400亿元，出口额为260亿元.
5.[2020·安徽第19题]某超市有线上和线下两种销售方式.与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%.
(1)设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额.(直接在表格中填写结果)
时间 销售 总额/元 线上销售 额/元 线下销售
额/元
2019年4月 a x a－x
2020年4月 1.1a 1.43x
解：(1)1.04(a－x)(或1.1a－1.43x).
(2)求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值.
(2)由题意得1.1a－1.43x＝1.04(a－x)，
解得xa.
所以2020年4月份的线上销售额为1.43x＝0.22a.
所以2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2.
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第二章　方程(组)与不等式(组)
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2.4　不等式(组)及其应用
1.如果t＞0，那么a＋t与a的大小关系是( )
A.a＋t＞a B.a＋t＜a
C.a＋t≥a D.不能确定
热身小练
A
A.a＜c B.a＜b C.a＞c D.b＜c
2.根据下面两图所示，对a，b，c三种物体的重量判断不正确的是( )
C
A B C D
3.已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是( )
B
4.已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是( )
A.a≥ B.a≥－2 C.a＞ D.a＞－2
D
5.某射击运动爱好者在一次比赛中共射击10次，前6次射击共中53环(环数均是整数)，如果他想取得不低于89环的成绩，第7次射击不能少于　 　环.
　6　
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知识梳理
考点1　不等式及其应用
1.不等式：用不等号(＞、≥、＜、≤或≠)表示不等关系的式子.
2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值.
3.不等式的解集：不等式的所有解的全体.
4.一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式.
5.不等式的基本性质
(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个式子，不等号的方向①　 　，即如果a＞b，那么a±c＞b±c.
(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向②　 　，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc，
(3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向③　 　，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc，
(4)如果a＞b，那么b＜a(对称性).
(5)如果a＞b，b＞c，那么a＞c(传递性).
　改变　
　不变　
　不变　
6.解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
7.解集在数轴上的表示：大于向右画，小于向左画，有等号用实心圆点，无等号用空心圆圈.
考点2　不等式组及其应用
1.一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组.
2.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分.
3.一元一次不等式组的解集的确定方法
不等式组 设a＞b
解集 ④　 　 ⑤　 　 ⑥　 　 ⑦　 　
口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到
x＞a
x＜b
b＜x＜a
无解
4.列一元一次不等式(组)解应用题的一般步骤：
(1)审题，分清已知量、未知量、不等关系等；
(2)设出未知数；
(3)列出不等式(组)；
(4)解出不等式(组)的解集；
(5)检验是否符合题意并写出答案.
所以，原不等式组的解集为　 　.
在数轴上表示为：
　－1≤x＜4　
例1　[2025·深圳]解一元一次不等式组
并在数轴上表示.
解：由不等式①，得　 　，
由不等式②，得　 　，
　x＜4　
跟踪训练
　x≥－1　
【参考答案】在数轴上表示为：
例2　[2025·黑龙江龙东地区]关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是
　　.
【解析】由2x－3≤0，得x≤由x－a＞0，得x＞a.因为此不等式组恰有3个整数解，所以这3个整数解为1，0，－1，结合数轴可知－2≤a＜－1.
－2≤a＜－1
已知整数解的个数求参数的取值范围
(1)解不等式组；
(2)在数轴上表示出解集，并描出整数解；
(3)确定代数式位于哪两个相邻整数之间；
(4)判断两端是否取“＝”.



例3　为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机.已知购进2台甲种农机和1台乙种农机共需3.5万元，购进1台甲种农机和3台乙种农机共需3万元.
(1)求购进1台甲种农机和1台乙种农机各需多少万元
【参考答案】(1)设购进1台甲种农机需要x万元，1台乙种农机需要y万元.
根据题意，得解得
答：购进1台甲种农机需要1.5万元，1台乙种农机需要0.5万元.
(2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机共10台，且投入资金不少于9.8万元且不超过12万元，设购进甲种农机m台，则有哪几种购买方案
(2)根据题意，得
解得4.8≤m≤7.
又∵m为整数，∴m可以取5，6，7，∴共有3种购买方案.
方案1：购进甲种农机5台，乙种农机5台；
方案2：购进甲种农机6台，乙种农机4台；
方案3：购进甲种农机7台，乙种农机3台.
(3)在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少
(3)方案1所需资金为1.5×5＋0.5×5＝10(万元)；
方案2所需资金为1.5×6＋0.5×4＝11(万元)；
方案3所需资金为1.5×7＋0.5×3＝12(万元).
∵10＜11＜12，∴方案1所需资金最少，最少资金是10万元.
1.[2024·安徽第8题]已知实数a，b满足a－b＋1＝0，0＜a＋b＋1＜1，则下列判断正确的是( )
A.＜a＜0
B＜b＜1
C.－2＜2a＋4b＜1
D.－1＜4a＋2b＜0
不等式的性质
C
命题点1
真题精练
【解析】解法1：∵a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∵0＜a＋b＋1＜1，∴0＜a＋a＋1＋1＜1，∴－1＜a＜，A项错误；∵a－b＋1＝0，∴a＝b－1，∵0＜a＋b＋1＜1，∴0＜b－1＋b＋1＜1，∴0＜b＜，B项错误；∵－1＜a＜，0＜b＜，∴－2＜2a＜－1，0＜4b＜2，∴－2＜2a＋4b＜1，C项正确；∵－1＜a＜，0＜b＜，∴－4＜4a＜－2，0＜2b＜1，∴－4＜4a＋2b＜－1，D项错误.
解法2：C项：∵a＝b－1，∴2a＋4b＝6b－2(或6a＋4)，又∵0＜b＜（或－1＜a＜)，∴－2＜6b－2＜1(或－2＜6a＋4＜1)，故C项正确；D项：同理可得4a＋2b＝6b－4(或6a＋2)，又∵0＜b＜(或－1＜a＜)，∴－4＜6b－4＜－1(或－4＜6a＋2＜－1)，故D项错误.
3.[2022·安徽第11题]不等式≥1的解集为　 　.
解一元一次不等式(组)
　x≥5　
2.[2023·安徽第4题]在数轴上表示不等式＜0的解集，正确的是( )
A
命题点2
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第一部分 知识梳理　课程重构
第二章　方程(组)与不等式(组)
本章知识导图
2.2　分式方程及其应用
1.将关于x的方程1去分母后可得( )
A.x＋1＝2－1 B.x＋1＝2－x－3
C.x＋1＝－2－1 D.x＋1＝－2－x＋3
热身小练
D
2.方程3的解是x＝( )
A. B C.－4 D.4
D
3.关于x的分式方程2的解为x＝2，则a的值是( )
A B.1 C D
A
4.[2025·合肥蜀山区三模]若关于x的分式方程1的解为负数，则m的取值范围是( )
A.m＜－1且m≠－2 B.m＜－1
C.m＜1且m≠－2 D.m＞1
D
5.[2025·江西]小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费.设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为
　.
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考点1　可化为一元一次方程的分式方程
1.分式方程：分母中含有未知数的方程.
2.分式方程的解法：
(1)去分母：在方程的两边都乘①　 　，约去分母，化成整式方程；
(2)解这个整式方程；
(3)检验：把整式方程的根代入最简公分母，若最简公分母不为0，则这个根就是原分式方程的解；若使得最简公分母为0，则这个解是分式方程的增根，原分式方程无解.
　最简公分母　
知识梳理
考点2　分式方程的实际应用
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的一般步骤基本相同，都分为：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、作答.但与整式方程不同的是求得方程的解后，要进行两次检验：(1)检验所求的解是不是所列分式方程的解；(2)检验所求的解是否符合实际意义.
跟踪训练
例1　若关于x的方程1(其中m为常数)无解，求m的值.
【参考答案】去分母，得x－6＋x－5＝m，合并同类项，得2x－11＝m，
由分式方程无解，得x－5＝0，∴x＝5，∴m＝2x－11＝－1.


分式方程无解
(1)求出的整式方程的根都是分式方程的增根；
(2)原分式方程去分母后得到的整式方程无解(未知数x的系数为0).
例2　[2025·云南]某化工厂采用机器人A、机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20 kg，机器人A搬运800 kg所用时间与机器人B搬运1000 kg所用时间相等.求机器人A、机器人B每小时分别搬运多少kg化工原料.
【答题规范】
解：设机器人A每小时搬运x kg化工原料，则机器人B每小时搬运(x＋20) kg化工原料.
由题意得， 4分
解得x＝80，
经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，
∴x＋20＝100. 7分
答：机器人A每小时搬运80 kg化工原料，机器人B每小时搬运100 kg化工原料.
8分


列分式方程解应用题的一般步骤
　　(1)设未知数；(2)列分式方程；(3)解分式方程；(4)验根；(5)答.
　　列分式方程解应用题必须严格按照上述5个步骤进行解题，中考阅卷时每一步都有赋分，另外还要注意“设”与“答”叙述的完整性，要写出单位等.
1.[2016·安徽第5题]方程3的解是( )
A.x＝ B.x
C.x＝－4 D.x＝4
解分式方程
D
命题点
真题精练
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