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第一部分 知识梳理　课程重构
第七章　图形的变换
7.2　视图与投影
A　　 　 B　　　 C　　 　 D
1.[2020·安徽第3题]下面四个几何体中，主视图为三角形的是( )
热身小练
B
2.如图所示的是某圆锥的主视图和左视图，则该圆锥的侧面积是　 　.(结果保留π)
　20π　
3.三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿AB的影子为AG，竹竿CD的影子为CH.确定光源P的位置，并画出影子为EF的竹竿EK.
解：如图所示，点P、线段EK即为所求.
考点1　投　影
1.投影的分类
(1)平行投影：由平行的光线(如太阳光线)所形成的投影.投影线①　 　投影面的平行投影叫做正投影.
(2)中心投影：由一点(点光源)发出的光线所形成的投影.
知识梳理
　垂直于　
2.投影的性质
(1)不同时刻，同一个物体在太阳光照射下的影子是不同的；在同一时刻，不同物体的高度与影长的比② .
(2)当线段平行于投影面时，它的正投影长度不变；当线段倾斜于投影面时，它的正投影变短；当线段垂直于投影面时，它的正投影为点.
相等
(3)点的正投影是点；线的正投影可能是线，也可能是点；面的正投影可能是面，也可能是线；几何体的正投影是面.
考点2　三视图
1.自几何体的前方向后投射，在正面投影面上得到的视图叫做主视图；自几何体的左侧向右投射，在侧面投影面上得到的视图叫做左视图；自几何体的上方向下投射，在水平投影面上得到的视图叫做俯视图.
2.画三视图的原则：
(1)位置：俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方.
(2)尺寸：主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高③　 　，左视图与俯视图的宽相等，简述为长对正，高平齐，宽相等.
(3)实虚：看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线.
　平齐　
考点3　立体图形的展开与折叠
1.圆柱：侧面是一个曲面，侧面展开图是一个长方形.
2.圆锥：侧面是一个曲面，侧面展开图是一个扇形.
A　　　 B C　　 D
常见几何体的三视图
[2025·安徽第3题]“阳马”是由长方体截得的一种几何体，如图，水平放置的“阳马”的主视图为( )
A
命题点1
真题精练
A　 B　 C　 D
2.[2022·安徽第3题]一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是( )
A
3.[2019·安徽第3题]一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是( )
组合体的三视图
C
命题点2
A　 B　 C　 D
4.[2024·安徽第3题]某几何体的三视图如图所示，则该几何体为( )
由三视图还原几何体
D
命题点3
A　　 B C　　 D
A　　 B C　　　 D
5.[2023·安徽第2题]某几何体的三视图如图所示，则该几何体为( )
B
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第一部分 知识梳理　课程重构
第七章　图形的变换
本章知识导图
7.1　尺规作图
A.80° B.85° C.90° D.95°
第1题图
1.如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°.以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线AP，与边BC相交于点F，则∠AFB的大小为( )
热身小练
D
第2题图
2.如图，以△ABC的顶点A为圆心，BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD.由作法可得△ABC≌△CDA的依据是 .
SSS
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，交AB于点F，连接AD.若CD＝DF，则∠B的度数为　 　.
　30°　
基本作图 步骤 图示
作一条线段OA等于已知线段a (1)作射线OB； (2)在OB上截取OA＝a，则OA即为所求作的线段
作一个角∠AOB等于已知角∠α (1)在∠α处以O'为圆心，任意长为半径作弧，交两边于M'，N'两点； (2)作射线OB； (3)以O为圆心，O'M'长为半径作弧交OB于点M，以M为圆心，M'N'长为半径作弧，交前弧于点N； (4)过点N作射线OA，则∠AOB即为所求作的角
知识梳理
考点　基本作图
基本作图 步骤 图示
作已知角∠AOB的平分线 (1)以O为圆心，任意长为半径作弧，交两边于点M，N； (2)分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧相交于点P； (3)作射线OP，则OP即为所求作的角的平分线
作线段AB的垂直平分线 (1)分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； (2)作直线MN，则直线MN即为所求作的垂直平分线
基本作图 步骤 图示
过一点作已知直线的垂线 过直线l上一点P作l的垂线 (1)以点P为圆心，任意长为半径作弧，交l于A，B两点； (2)分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； (3)作直线MN，则直线MN即为所求作的垂线
过直线l外一点P作l的垂线 (1)以点P为圆心作弧，交直线l于A，B两点； (2)分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于点N； (3)作直线PN，则直线PN即为所求作的垂线
跟踪训练
例1　[2025·福建]如图，在矩形ABCD中，AB＜AD.
(1)求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)若AB＝2，AD＝4，求(1)中所作的正方形的边长.
(2)由(1)知OB＝OD，OE＝OG.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，
∴BD2，∴ODBD
∵EG⊥FH，∴∠DOE＝∠DAB＝90°.
又∵∠ODE＝∠ADB，∴△EOD∽△BAD，
，即，∴OE，
∴EHOE，
∴正方形EFGH的边长为
【参考答案】(1)如图所示，四边形EFGH即为所求.
例2　已知四边形ABCD为矩形，E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹.
(1)在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；
(2)在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD.
图1　　 图2
【参考答案】(1)如图1，直线m即为所求.
(2)如图2，直线n即为所求.
图1　 　　图2
只用无刻度直尺(不用圆规)作图通常是以网格为背景或结合特殊图形进行的，解决这类问题首先要理解题意，弄清作图的要求，然后根据几何图形的性质，如等腰三角形的“三线合一”、网格中的全等与相似三角形等作图.
命题点
真题精练
尺规作图
1.[2018·安徽第20题]如图，☉O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.
(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，
求弦CE的长.
解：(1)尺规作图如图所示.
(2)连接OE交BC于点M，连接OC，CE.
因为∠BAE＝∠CAE，所以，
所以OE⊥BC，所以EM＝3.
在Rt△OMC中，OM＝OE－EM＝5－3＝2，OC＝5，
所以MC2＝OC2－OM2＝25－4＝21.
在Rt△EMC中，CE2＝EM2＋MC2＝9＋21＝30.
所以弦CE的长为
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第一部分 知识梳理　课程重构
第七章　图形的变换
7.3　图形的平移、对称、旋转与位似
A　　 B　　 C　　 D
1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
热身小练
C
第2题图
2.如图，线段AB是由线段CD位似放大而成，则位似中心是( )
A.点P1 B.点P2 C.点P3 D.点P4
B
第3题图
3.如图，将一个长方形ABCD沿着直线EF折叠，顶点B刚好落在边CD上的点B'处.若∠1＝25°，则∠EFB的度数为　 　.
　77.5°　
4.[2025·山西]如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6，0)，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A的对应点的坐标为　 .
第4题图
(3)　
知识梳理
考点1　图形的平移
1.在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做平移.
平移要素：平移方向和平移距离.
2.性质
(1)平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小.
(2)平移后得到的图形与原来图形的对应线段①　 　，对应角②　 　，对应点的连线平行(或共线)且相等.
　相等　
　相等　
考点2　图形的轴对称
1.把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，又叫轴对称.
2.如果一个图形沿一条直线折叠，折叠前后的图形完全重合，这个图形就叫做轴对称图形.
3.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
考点3　图形的中心对称
中心对称 把一个图形绕某点旋转180°，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称
中心对称图形 把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转前后的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形
中心对称的性质 (1)成中心对称的两个图形全等
(2)对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分
常见的中心 对称图形 线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、边数为偶数的正多边形
考点4　图形的旋转
1.在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形的变换叫做旋转.这个定点叫做旋转中心、旋转的角度叫做旋转角.
2.旋转的三要素：旋转中心，旋转方向和③　 　.
　旋转角　
3.性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角.
考点5　图形的位似
1.一般地，如果一个图形上的点A1，B1，…，P1和另一个图形上的点A，B，…，P分别对应，并且满足下面两点：(1)直线AA1，BB1，…，PP1都经过同一点O；(2)…k.那么，这两个图形叫做位似图形，点O叫做④　 　.
　位似中心　
2.性质：位似图形的对应边成比例，对应角相等，周长之比等于⑤　 　，面积之比等于⑥ ；位似图形上的任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比；对应点的连线都经过位似中心，位似图形中的对应边平行(或共线).
相似比的平方
　相似比　
跟踪训练
例1　[2025·黑龙江龙东地区]如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(1，－3)，C(3，－4).
(1)将△ABC向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)画出△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°
后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
(3)在(2)的条件下，求点C1旋转到点C2
的过程中所经过的路径长.(结果保留π)
【参考答案】(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；点C1(4，1).
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；点C2(－1，4).
(3)∵OC1，
∴点C1旋转到点C2的过程中所经过的路径长为
例2　[2025·芜湖二模]如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是AD上一点，且AE＝2，F是CD上一点，连接EF，将△DEF沿EF折叠，使点D的对应点G落在矩形ABCD的内部.
图1
(1)若点G落在BC上，求点G到AB的距离；
(2)如图2，若点G落在对角线AC上，求CF的长.
图2
【参考答案】(1)若点G落在BC上，则点F与点C重合，
∴四边形EGFD为矩形，如图.
∵EG＝ED＝6，∴四边形EGFD为正方形，
∴GF＝6，∴GB＝2，
即点G到AB的距离为2.
(2)过点E作EK⊥AC于点K，过点F作FH⊥AC于点H，
∴∠EKG＝∠FHG＝90°.
易得sin ∠CAD，cos ∠CAD，
∴AK＝AE·cos ∠CAD，EK＝AE·sin ∠CAD
设CF＝x，同理可得CHx，FHx，FG＝FD＝6－x.
易证△EKG∽△GHF，，即GH(6－x)，
∴GK＝AC－AK－GH－CHx.
，，
∴x＝18－6或x＝18＋6(舍去)，
∴CF＝18－6
　折叠图形，其本质就是图形的轴对称变换，解决这类问题时，重点是灵活运用轴对称图形的性质，如折叠前后的两个图形全等，对应边和对应角相等，对应点的连线被对称轴垂直平分等.要善于利用图中的几何特征，如垂直、三角函数等建立数量关系.
例3　[2025·上海]小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究.
图1　　 　　 图2　　 　　备用图
(1)如图1所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC.E为边AB的中点，D是梯形ABCD的顶点，将△ADE绕点E旋转180°，点D旋转至点F的位置，得到的△DFC是等腰三角形，其中DF＝DC，设AD＝a，求边BC的长.(用含a的代数式表示)
(2)如图2所示，在梯形MQPN中，MN∥QP，且MN＜PQ，MQ＝NP.请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形MQPN分割成若干部分，再通过图形运动拼成一个不重叠、无缝隙的等腰三角形.请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置.(模仿(1)中的论述语言：E为边AB的中点，D是梯形ABCD的顶点)
【参考答案】(1)过点D作DH⊥BC于点H.
∵DF＝DC，∴FC＝2FH.
∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠A＝∠ABC＝∠DHB＝90°，
∴四边形ABHD是矩形，∴BH＝AD＝a.
由旋转知BF＝AD＝a，∴FH＝BH＋BF＝2a，
∴FC＝2FH＝4a，∴BC＝FC－FB＝4a－a＝3a.
(2)本题答案不唯一，合理即可.方案一：如图1，连接QN，MP，把△MNQ沿MP平移使点M与点P重合，得到△PGH；再把△PGH沿QG对折，得到△PGN，H与N是对应点，则△NQG是等腰三角形，其中两腰分别为NQ，NG，点N，Q分别是梯形的顶点.
图1
方案二：如图2，设边MQ，MN，NP的中点分别为E，G，F.连接EG，FG.将△EGM绕点E旋转180°，点G旋转至点H的位置，将△FGN绕点F旋转180°，点G旋转至点I的位置，得到的△GHI是等腰三角形，其中两腰分别为GH，GI，GH交MQ于中点E，GI交NP于中点F.
图2
1.[2024·安徽第14题]如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，BC上，沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B'，C'处，然后还原.
(1)若点N在边CD上，且∠BEF＝α，则∠C’NM＝
　 　；(用含α的式子表示)
图形的对称(含折叠)
　90°－α　
命题点1
真题精练
(2) 再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平面内的点D'处，然后还原.若点D'在线段B'C'上，且四边形EFGH是正方形，AE＝4，EB＝8，MN与GH的交点为P，则PH的长为　 　.
3
【解析】(1)由折叠的性质得∠C'NM＝∠CNM，∵AB∥CD，∴∠CNM＝∠EMN.又∵MN⊥EF，∴∠EMN＋∠BEF＝90°，∴∠EMN＝90°－α，∴∠C'NM＝90°－α.
(2)解法1：如图，设HG与NC'交于点K，由题可得△AEH≌△BFE≌△DHG≌△CGF，∴AE＝CG＝DH＝4，DG＝BE＝8，在Rt△HDG中，HG4，由折叠的性质得∠NC'B'＝∠GD'H＝90°，NC＝NC'，GD＝GD'＝8，∠1＝∠2，∴NC'∥GD'，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴NG＝NK，∴KC'＝GC＝4，∵NC'∥GD'，∴△HC'K∽HD'G，，
∴HKHG，∴HK＝KG，由题意得MN⊥HG，
而NG＝NK，∴PK＝PG，∴PHHG＝3
解法2：由题可得tan α，HE＝EF＝4由折叠的性质得∠DHG＝∠D'HG，设B'C'，MN分别与EF交于点Q，R.∵∠GHE＝90°，∴∠AHE＝∠EHQ＝α，∴EQHE＝2，∴FQ＝2又∵MN为折痕，EF⊥MN，∴点Q，F关于MN对称，∴QRFQ易得四边形HPRE为矩形，∴HP＝ER＝EQ＋QR＝3
命题点2
网格中图形的变换作图
2.[2025·安徽第16题]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点(网格线的交点).已知点A和A1的坐标分别为(－1，－3)和(2，6).
(1)在所给的网格图中描出边AB的中点D，
并写出点D的坐标；
(2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到
△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在
所给的网格图中画出△A1B1C1.
解：(1)如图所示，点D即为所求；点D(－2，－1).
(2)如图所示，△A1B1C1即为所求.
3.[2024·安徽第16题]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点(网格线的交点)A，B，C，D的坐标分别为(7，8)，(2，8)，(10，4)，(5，4).
(1)以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)直接写出以B，C1，B1，C为顶点的
四边形的面积；
(3)在所给的网格图中确定一个格点E，
使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标.
解：(1)△A1B1C1如图所示.
(2)40.
(3)(3，0)或(4，2)或(5，4)或(6，6).(写出一个即可)
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