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第一部分 知识梳理　课程重构
第六章　圆
本章知识导图
6.2　与圆有关的位置关系
1.[2025·六安二模]如图，AB为☉O的直径，AC为☉O的切线，连接BC交☉O于点D，连接OD.若∠C＝40°，则∠AOD的度数为( )
A.80° B.100°
C.120° D.140°
热身小练
B
2.[2025·宣城一模]如图，正五边形ABCDE的两条边AE，CD与☉O相切，切点为A，C，则∠AOC为( )
A.108° B.120°
C.135° D.144°
D
3.[2025·合肥长丰一模]如图，菱形ABCO的三个顶点均在☉O上，连接OB，过点B作BD⊥OB，交OA的延长线于点D.若☉O的半径为，则BD的长为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
B
4. [2025·合肥琥珀中学三模]三国时期数学家刘徽用“衰分术”证明了《九章算术》中的“勾中容圆径”公式：在直角三角形中，若直角边边长分别为a，b，斜边长为c，则该直角三角形的内切圆直径d当a＝5，c＝13时，该直角三角形的内切圆半径为　 　.
　2　
5.[2025·合肥四十五中二模]如图，四边形ABCD内接于☉O，过点A，C分别作☉O的切线，交于点E.若∠ABC＝125°，则∠E的度数为　 　.
　70°　
知识梳理
考点1　点与圆的位置关系
设☉O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d＝r；点P在圆内 d＜r.
考点2　直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：设☉O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：
直线l和☉O相交 d＜r；直线l和☉O相切 d＝r；直线l和☉O相离 d＞r.
2.切线的定义：如果直线与圆只有一个公共点，这时，直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点.
3.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的①　 　.
4.切线的判定：(1)经过半径外端点并且②　 这条半径的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于③ _　的直线是圆的切线.
课标变化：(2022版课标新增内容)*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线.
半径
　垂直于
　半径　
5.*切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
6.三角形的内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三个内角④ _ 　的交点，叫做三角形的内心，它到三角形的⑤　 _的距离相等.
　三边
平分线
跟踪训练
例　[2024·池州二模]如图，在△ABC中，以AB为直径的☉O交BC于点D，DE是☉O的切线，且DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交☉O于点F.
(1)求证：AB＝AC；
(2) 若AE＝4，DE＝8，求AF的长.
【参考答案】(1)连接OD.
∵DE是☉O的切线，∴OD⊥DE.
∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴∠C＝∠ODB.
∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.
(2)解法1：过点O作OH⊥AF于点H，设AH＝x.
∵OH⊥AF，∴AF＝2AH＝2x.
∵OD⊥DE，DE⊥AC，
∴∠OHE＝∠ODE＝∠DEH＝90°，
∴四边形OHED为矩形，
∴OH＝DE＝8，HE＝OD＝OA＝x＋4.
在Rt△OHA中，OH2＋AH2＝OA2，
即82＋x2＝(x＋4)2，∴x＝6，
∴AF＝2x＝12.
解法2：连接AD，FD.
∵∠F＝∠B，∠B＝∠C，∴∠F＝∠C，∴DF＝DC.
∵DE⊥AC，∴EF＝EC.
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＋∠CDE＝90°.
∵∠C＋∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠C，
∴△ADE∽△DCE，，即，
∴CE＝16，∴AF＝EF－AE＝CE－AE＝12.
1.[2025·安徽第12题]如图，AB是☉O的弦，PB与☉O相切于点B，圆心O在线段PA上.已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为　 　°.
切线的性质与判定
　20　
命题点
真题精练
2.[2022·安徽第19题]已知AB为☉O的直径，C为☉O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD.
(1)如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；
(2)如图2，若DC与☉O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB.
图1 　 　　图2
解：(1)∵CO⊥AB，
∴在Rt△DOC中，tan D
∵OA＝1，∴OC＝1，∴ODOC，
∴AD＝OD－OA1.
(2)∵DC与☉O相切，∴OC⊥CD，
∴∠DCO＝90°，∴∠ACD＋∠ACO＝90°.
在☉O中，∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠ACD＋∠CAO＝90°.
∵∠ACD＝∠ACE，
∴∠ACE＋∠CAO＝90°，
∴∠AEC＝90°，∴CE⊥AB.
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第六章　圆
本章知识导图
6.3　弧长、扇形面积的相关计算
1.[2025·滁州三模]如图，△ABC内接于☉O，∠B＝65°，∠C＝70°.若BC＝2，则的长为( )
A.π B C.2π D.2π
热身小练
A
2.[2025·合肥包河区三模]徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号.如图所示的是扇形花窗造型，若AB＝BO＝20 cm，∠BOD＝120°，则该阴影部分的面积为( )
A.100π cm2 B.200π cm2
C.400π cm2 Dπ cm2
C
3.如图，☉O与正八边形ABCDEFGH相切于点A，E，则所对的圆心角的度数为( )
A.120° B.125°
C.130° D.135°
D
4. [2025·安庆模拟]《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，书中提出“圆出于方，方出于矩”的辩证思维.机械学家莱洛发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形，如图，它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的封闭曲线即为莱洛三角形，已知BC＝3，则该莱洛三角形的周长为　 .
　3π
5.[2025·阜阳三模]如图，在 ABCD中，AB＝1，AD＝2，AC，分别以点A，C为圆心，AC长为半径画弧，交AD于点E，交BC于点F，则阴影部分的面积为 　.
知识梳理
考点1　正多边形和圆
名称 公式 图形
内角 正n边形的每个内角为
中心角 正n边形的每个中心角α＝①______
外角 正n边形的每个外角等于中心角
边长 正n边形的每条边长a＝2rsin
边心距 正n边形的边心距d＝rcos
周长 正n边形的周长l＝na
面积 正n边形的面积S＝②____
dl
【拓展】常见正多边形边心距与边长的比
正三角形：如图1，OD∶BD∶OB＝1∶∶2；如图2，内切圆与外接圆半径比为1∶2.
正方形：如图3，OA∶AE∶OE＝1∶1∶；如图4，内切圆与外接圆半径比为1∶
正六边形：如图5，AB∶OB∶OA＝1∶∶2.
图1　　 图2　　 图3　　 图4　　 图5
考点2　圆的有关计算
1.在半径为r的圆中，n°圆心角所对的弧长l＝③ 　.
2.在半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S扇形＝
④ 　；半径为r，弧长为l的扇形的面积S扇形＝
⑤ .
lr　
3.圆的周长：C＝2πr.
4.圆的面积：S＝πr2.
5.圆柱的全面积：S＝S侧＋2S底＝2πrl＋2πr2(r为底面圆半径，l为母线长).
6.圆锥的侧面积和全面积：如果圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么圆锥的侧面展开得到的扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积为⑥　 　，圆锥的全面积为⑦　 　.
　πrl＋πr2　
　πrl　
跟踪训练
例　[2025·蚌埠三模]如图，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，且，DE为☉O的切线，交AB的延长线于点E，连接CD交AB于点F.
(1)求证：ED＝EF；
(2)若AD＝DE＝4，求劣弧的长.
思路导引：(1)连接OD，利用切线与等弧的性质可以得到∠ODE＝∠BOC＝90°，再通过等角转换得到∠EDF＝∠EFD，即可解答.(2)由(1)知∠EFD＝∠EDF，再由等角换算得∠EFD＝∠A＋45°＝∠E＋45°＝∠EDF，在△EDF中，由三角形内角和可求得∠E，再求得OD的长，利用弧长公式即可解答.
【参考答案】(1)连接OD.
∵DE为☉O的切线，∴OD⊥DE.
∵OD＝OC，∴∠OCF＝∠ODF.
，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴∠OCF＋∠OFC＝∠EDF＋∠ODF＝90°，
∴∠OFC＝∠EDF.
∵∠EFD＝∠OFC，∴∠EDF＝∠EFD，∴ED＝EF.
(2)∵AD＝DE，∴∠A＝∠E.
∵∠AOC＝90°，∴∠ADC＝45°，
∴∠EFD＝∠A＋45°＝∠E＋45°＝∠EDF，
在△DEF中，2(∠E＋45°)＋∠E＝180°，
∴∠E＝30°，∴∠DOE＝60°.
∵DE＝4，∴OD＝DE·tan 30°＝4，
∴劣弧的长
1.[2024·安徽第5题]若扇形AOB的半径为 6，∠AOB＝120°，则的长为( )
A.2π B.3π C.4π D.6π
与弧长有关的计算
C
命题点
真题精练
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第六章　圆
本章知识导图
6.1　圆的基本性质
1.[2025·宿州期末]下面几种常见图形中，属于中心对称图形的是( )
A.平行四边形 B.等腰梯形
C.有一个角是30°的直角三角形 D.等边三角形
热身小练
A
图1　　 　图2
2.[2025·宣城一模]筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶.如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的圆，且圆心O在水面上方.若圆被水面截得的弦AB的长为8 m，圆心O到AB的距离为3 m，则sin ∠OAB的值是( )
A B
C D
C
3.[2025·宿州二模]如图，点A，B，C，D，E在☉O上，且2若∠ABE＝20°，则∠ACD＝( )

A.40° B.50° C.60° D.65°
C
4.[2025·合肥四十二中二模]如图，△ABC内接于☉O，AB＝AC＝3，圆心O到弦BC的距离OD＝2，则☉O的半径为 　.
1
5.[2025·安庆期中]如图，在☉O中，∠DCE＝60°，OA＝8，CD⊥OA，垂足为点D，CE⊥OB，垂足为点E，CD＝CE，则四边形DOEC的面积是　 　.
16
知识梳理
考点1　圆的相关概念
1.圆：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.这个定点叫做圆心，这个定长叫做半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.
3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做①　 　，是圆中最长的弦.
4.等圆：能够②　 　的两个圆叫做等圆.
5.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
6.圆心角：顶点在③　 　的角叫做圆心角.
7.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角.
　圆心　
　重合　
　直径　
考点2　圆的有关性质
1.对称性
(1)圆是中心对称图形，其对称中心是圆心.
(2)圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线，圆有无数条对称轴.
2.垂径定理及其推论
(1)垂径定理：垂直于弦的直径④　 　这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
(2)推论：平分弦(非直径)的直径⑤　 　于弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
　垂直　
　平分　
3.确定圆的条件
(1)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
(2)三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的⑥　 　的交点，叫做三角形的外心.
　垂直平分线　
考点3　圆心角与圆周角
1.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
(1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对弦的弦心距相等.
(2)推论：在同圆或等圆中，圆心角相等；圆心角所对的弦相等；弦所对的弧相等；弦心距相等.如果其中有一条成立，那么另外三条也成立.
2.圆周角与圆心角的关系
(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑦　 　.
(2)推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等；半圆或直径所对的圆周角是⑧　 角，90°的圆周角所对的弦是⑨ .
直径
　直
一半
3.圆内接四边形的对角⑩　 　，且任意一个外角都等于它的内对角.
　互补　
跟踪训练
例　[2025·阜阳二模]如图，☉O为△ABD的外接圆，AB为☉O的直径，AC为弦，D为的中点，过点D作DH⊥AB，交☉O于点H，垂足为点G，弦AC分别与BD，DH交于点F，E.
(1)求证：AH＝CD.
(2)若AG＝2，DG＝4，求AF的长.
【参考答案】(1)∵AB为☉O的直径，DH⊥AB，
∵D为的中点，，，∴AH＝CD.
思路导引：(2)连接OD，由勾股定理建立方程可求得半径r的长，观察要求的线段AF在Rt△ADF中，可由相似或三角函数求得AF的长.
(2)连接OD.
∵DH⊥AB，∴AD2
设OA＝OD＝r，则OG＝r－2，
在Rt△OGD中，由勾股定理得OD2＝OG2＋DG2，
∴r2＝(r－2)2＋(4)2，解得r＝5，∴AB＝2r＝10
∵AB为☉O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD4，
∴cos ∠ABD
由(1)知，∴∠CAD＝∠ABD，
∴AF5
归纳总结
圆周角定理和垂径定理为中考的高频考点，以圆为背景的题目中，常有涉及.
垂径定理及其推论可简记为“垂径定理五条件，一个垂直三平分；一条直线过圆心，知二明三把理明；平分弦时要谨慎，此弦不可为直径；两条直径都平分，哪能啥时都垂直”.
解题技巧：见弦常作弦心距，连接半径，构造直角三角形，用勾股定理求解.
1.[2022·安徽第7题]已知☉O的半径为7，AB是☉O的弦，点P在弦AB上.若PA＝4，PB＝6，则OP＝( )
A B.4 C D.5
垂径定理及其推论
D
命题点1
真题精练
2.[2021·安徽第20题]如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E.
(1)M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
(2)点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD.
解：(1)连接OC，OD.
由题意，得CM＝DM＝6，且OM⊥DM.
在Rt△ODM中，由勾股定理，得OD3，∴圆O的半径长为3
(2)连接AC，延长AF交BD于点N.
在△AEC和△AEF中，易知AE＝AE，∠AEC＝∠AEF＝90°，EC＝EF，
∴△AEC≌△AEF，∴∠EAC＝∠EAF.
又∵∠BAC＝∠BDC，∴∠AND＝∠BAN＋∠ABN＝∠BDC＋∠ABD＝90°，∴AF⊥BD.
命题点2
圆周角定理及其推论
3.[2021·安徽第13题]如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O.若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝ 　.
4.[2025·安徽第20题]如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB＋2∠ABC＝180°.
(1)求证：OC∥AD；
(2)若AD＝2，BC＝2，求AB的长.
解：(1)由圆周角定理知∠AOC＝2∠ABC.
由条件得∠DAB＋∠AOC＝180°，
故OC∥AD.
(2)连接BD，交OC于点E.
由题意知∠ADB＝90°，O是AB的中点.
又因为OC∥AD，所以OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线，
从而OEAD＝1.
设半圆的半径为r，则CE＝r－1.
由勾股定理知OB2－OE2＝BE2＝BC2－CE2，
即r2－1＝12－(r－1)2，解得r1＝3，r2＝－2(舍去).
故AB＝2r＝6.
5.[2024·安徽第20题]如图，☉O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交☉O于另一点F，FA＝FE.
(1)求证：CD⊥AB；
(2)设FM⊥AB，垂足为点M，若OM＝OE＝1，求 AC 的长.
解：(1)∵FA＝FE，∴∠FAE＝∠AEF.
又∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角，
∴∠FAE＝∠BCE.
∵∠AEF＝∠CEB，∴∠CEB＝∠BCE.
∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE.
又∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠CEB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝90°，
∴∠CDE＝90°，即CD⊥AB.
(2)由(1)知∠BEC＝∠BCE，∴BE＝BC.
又∵AF＝EF，FM⊥AB，∴MA＝ME＝2，AE＝4.
∴☉O的半径OA＝OB＝AE－OE＝3，
∴BC＝BE＝OB－OE＝2.
在△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°，
∴AC4，
即AC的长为4
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第六章　圆
本章知识导图
★命题域聚焦　巧构辅助圆
类型1　“定点定长”型
归纳总结
类型 等距成圆 旋转成圆 折叠成圆 斜边中点成圆
模型
模型分析 点A，B，C都在圆心为点O，半径为r的圆上 点B在圆心为点A，半径为AB长的圆上；点C在圆心为点A，半径为AC长的圆上 点P在边BC上运动，折叠后点B'在圆心为点A，半径为AB长的圆上 A，B分别是直角边OM，ON上的动点，AB为定长，AB的中点C在圆心为点O，半径为AB长的圆上
例1　[2025·芜湖二模]如图，M是等腰直角三角形ABC的边BC的中点，P是平面内一点，连接AP，将线段AP以点A为中心逆时针旋转90°，得到线段AQ，连接MQ.若AB＝4，点M，P之间的距离为1，则MQ的最小值为( )

A.4 B.5 C.3 D.21
C
思路导引：连接PM，AM，由MP＝1可知点P的轨迹是以点M为圆心，半径为1的圆，将线段AM绕着点A逆时针旋转90°得到线段AH，则点Q在以点H为圆心，半径为1的圆上，连接QH，MH，当M，Q，H三点共线时，MQ最小，最小值为MH－1，根据旋转的性质求得MH的值即可求解.
1.[2025·合肥庐江模拟]如图，在 ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P是BC边上的动点，将△ABP沿AP翻折得△AB'P，当CB'取最小值时，BP的长为( )
A B
C.24 D1
针对训练
C
【解析】如图，连接AC，由翻折的性质得AB'＝AB＝2，∴点B'在以点A为圆心，2为半径的☉A上，∴当B'落在AC边上时，CB'最小，如图所示，此时∠BAP＝∠CAP.延长AP，DC交于点E，过点A作AH⊥BC，垂足为点H.∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠AEC，△ABP∽△ECP，∴∠E＝∠CAE，，∴AC＝EC.∵AB＝2，∠B＝60°，∴BHAB＝1，∴CH＝BC－BH＝2，AH，∴AC，∴CE，，解得BP＝24.
2.[2025·六安三模]如图，有一矩形纸片ABCD，AD＝2AB＝4，Q为边BC上一个动点，将纸片沿DQ折叠，点C的对应点为点E.点D关于点C的对称点为D'，连接AD'交BC于点O，连接AE并延长交DD'于点G.

(1)若∠DAG＝28°，则∠GAD'＝　 　°；
(2)点E到AD'的距离最小值为　 .
　17　
22　
【解析】(1)易得DC＝AB＝2，∠ADC＝90°，∵点D，D'关于点C对称，∴D'D＝2CD＝4＝AD，∴∠DAD'＝∠D'＝45°，∴∠GAD'＝45°－28°＝17°.(2)连接OD，易得△ABO≌△D'CO，∴AO＝D'O，∴DO⊥AD'，∴DOAD＝2，由折叠知DE＝DC＝2，∴点E在以点D为圆心，2为半径的弧上运动，∴点E在DO上时，点E到AD'的距离最小，最小值为DO－DE＝22.
3. [2025·合肥四十二中二模节选]如图，在矩形ABCD中，AB≥BC，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段OB上，连接AE，作EF⊥AE交CB的延长线于点F，EF与AB相交于点P.已知AB＝BC，求证：
(1)AE＝EF；
(2)AB＝BFBE.
证明：解法1：在OA上取一点M，使OM＝OE，连接ME.
(1)在矩形ABCD中，∵AB＝BC，
∴矩形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OB，∠AOB＝90°，∠DBC＝∠DBA＝45°.
∵OM＝OE，
∴OA－OM＝OB－OE，∠OME＝45°，
∴AM＝BE，∠AME＝135°＝∠EBF.
∵EF⊥AE，∴∠AOB＝∠AEF＝90°，
∴∠FEB＋∠AEO＝90°，∠OAE＋∠AEO＝90°，
∴∠OAE＝∠FEB，
∴△AEM≌△EFB(ASA)，∴AE＝EF.
(2)由(1)知△AEM≌△EFB，∴BF＝EM.
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，OM＝OE，
∴ABOA，BF＝EMOM.
∵OA＝OM＋AM，
∴ABOA(OM＋AM)OMAM＝BFBE.
解法2：连接CE.
(1)∵AB＝BC，∴矩形ABCD为正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°.
又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝CE，∠BAE＝∠BCE.
∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠ABF＝90°.
∵∠APE＝∠BPF，∴∠BAE＝∠EFB，
∴∠EFB＝∠BCE，
∴EF＝CE，∴AE＝EF.
(2)作EG⊥OB交BC于点G.
∵∠OBC＝45°，EG⊥OB，
∴∠EGB＝∠OBC＝45°，
∴BGBEEG，∠EBF＝∠EGC＝135°.
由(1)知EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF，
∴△EFB≌△ECG，∴BF＝CG.
∵AB＝BC＝BG＋CG，∴AB＝BFBE.
类型2　“定角定弦”型
归纳总结
模型 应用背景 模型分析
已知线段AB(定长)及其所对的∠ACB(定角)，则动点C的运动轨迹为△ABC的外接圆或其外接圆上弦AB所对的一段弧(不含点A，B) 当∠ACB＜90°时，点C在优弧上(不含端点)
当∠ACB＝90°时，点C的运动轨迹为☉O(不含点A，B)，且AB为☉O的直径
当∠ACB＞90°时，点C在劣弧上(不含端点)
例2　[2025·合肥蜀山区一模]如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，D为边AC上的动点，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE并延长交BC于点F.当AE取得最小值时，AD的长为( )


A1 B C.3 D
C
思路导引：判断出点E的运动轨迹是解题关键.根据定长BC且所对的∠BEC＝90°得到点E在以BC为直径的圆上运动，由此可得AE最小时的取值，观察图形可证△CAE∽△EAD，即可求出AD的长.
【解析】∵CE⊥BD，∴∠BEC＝90°，∴点E在以BC为直径的圆上运动，如图，取BC的中点O，以点O为圆心，OB的长为半径作☉O，连接OA与☉O交于点E'，连接BE'并延长交AC于点D'，由点到圆上的距离可知，当点E在点E'位置时，AE取得最小值为OA－OE'.在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∴OC＝OE'＝1，∴OA，∴AE'＝OA－OE'1.∵OC＝OE'，∴∠OCE'＝∠OE'C.∵∠OE'C＋∠AE'D'＝90°，∠OCE'＋∠D'CE'＝90°，∴∠D'CE'＝∠AE'D'.∵∠CAE'＝∠E'AD'，∴△CAE'∽△E'AD'，，，∴AD'＝3，即当AE取得最小值时，AD的长为3
4.[2025·合肥包河区三模]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，D为AB边的中点，将线段BD以点B为中心逆时针旋转90°得到线段BD'，连接CD'.
(1)若AC＝3，则BD'的值为　 　；
(2)CD'的最大值为 　.
针对训练
　2　
【解析】(1)由勾股定理得AB4，∵D为AB边的中点，∴BD'＝BDAB＝2.(2)如图，以BC为直径画☉O，则点A在☉O上，过点B作BH⊥BC，使BH＝BO，连接D'H，易得∠D'BH＝∠ABC，又，∴△D'BH∽△ABC，∴∠BD'H＝∠BAC＝90°，∴点D'在以BH为直径的☉I上.连接CI并延长，交☉I于点D'，此时CD'的值最大，易得ID'＝BIBH，由勾股定理得CI，
∴CD'＝CI＋ID'
5.如图，已知正方形ABCD，边长为4，正方形内有一动点E，∠BEC＝135°.连接AE，则线段AE的最小值为
　 .
2　
【解析】∵正方形ABCD的边长为4，∴AB＝BC＝4，BC⊥AB，∵正方形内有一动点E，∠BEC＝135°，∴动点E在△BCE的外接圆☉O中的劣弧上，如图，延长AB交☉O于点F，过点O作OG⊥AF于点G，∴∠BFC＝45°，∴CFBC＝4，∴OF＝OE＝2，∴OG＝BG＝2，∴AG＝AB＋BG＝6，∴OA2，∴当A，E，O三点共线
时，线段AE的最小值为OA－OE＝22
6.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，连接AC.
(1)判断△ABC的形状并说明理由.
(2)已知E，F分别为边AC，BC上的动点，AE＝CF，AF交BE于点P.若AB＝2，直接写出动点P到直线AB的最大距离.
解：(1)△ABC是等边三角形.
理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°.
∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形.
(2)动点P到直线AB的最大距离为　提示：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°.∵AE＝CF，∴△ACF≌△BAE(SAS)，∴∠CAF＝∠ABE，∴∠APE＝∠ABE＋∠BAF＝∠CAF＋∠BAF＝60°，∴∠APB＝120°，∴点P是在以点O为圆心，AB长度为半径的劣弧上运动，∴当PO⊥AB时，点P到直线AB的距离最大.此时，PO垂直且平分AB，交AB于点H，∴BH＝AHAB＝1，∠APH＝∠BPH＝60°，∴PHAH，∴动点P到直线AB的最大距离为
类型3　“四点共圆”型
归纳总结
模型 模型分析
若一个凸四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆.如图，若∠A＋∠C＝180°或∠B＋∠D＝180°，则A，B，C，D四点共圆
如图，AB为△ABC和△ABD的公共边，点C，D在AB的同侧，若∠C＝∠D，则A，B，C，D四点共圆，其中若∠C＝∠D＝90°，则AB为圆的直径
例3　如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC和BD交于点E，若AE＝4，CE＝2，则BD长的最小值为( )

A.6 B.4 C.4 D.2
B
思路导引：由∠ABC＝∠ADC＝90°可知A，B，C，D四点共圆，AC为直径，取AC的中点为圆心O，可知当弦BD⊥AC时，BD有最小值，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可.
针对训练
7.如图，在正方形ABCD中，点A，B在x轴上，点C坐标为(4，6)，E是平面内任意一点，且始终满足AE⊥CE，连接OE，则线段OE的最大值为　 　，最小值为　 .
3
3　
8.[2024·黄山二模]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，BC和DE相交于点O，点D落在线段AB上，连接BE.

(1)若∠ABC＝20°，则∠BCE＝　 　；
(2)若BE＝BD，则tan ∠ABC＝ 　.
　40°　
1
【解析】(1)∵∠ACB＝90°，∠ABC＝20°，∴∠A＝70°.∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA＝70°，∴∠BCE＝∠ACD＝180°－70°－70°＝40°.
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