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第一部分 知识梳理　课程重构
第三章　函　数
本章知识导图
3.2　一次函数及其应用
1.若一次函数y＝(2－k)x＋1的函数值y随x的增大而减小，则k的值可以是( )
A.3 B.1 C.0 D.－2
2.下列关于函数y＝2x－3的性质说法正确的是( )
A.图象与y轴交于点(0，3) B.图象不经过第二象限
C.图象与x轴交于点(1，0) D.y随x的增大而减小
B
热身小练
A
3.[2025·滁州三模]在平面直角坐标系中，若要使直线y1＝－4x＋4平移后得到直线y2＝－4x－4，则直线y1应( )
A.沿y轴向上平移2个单位长度
B.沿y轴向下平移2个单位长度
C.沿x轴向左平移2个单位长度
D.沿x轴向右平移2个单位长度
C
4.[2025·淮南模拟]在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝x＋a(a≠0)的图象可能是( )
A
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知识梳理
考点1　一次函数的图象和性质
1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)，那么y叫做x的一次函数.
特别地，当b＝0时，y＝kx是正比例函数.
2.正比例函数的图象和性质
k的符号 k＞0 k＜0
图象
经过的象限 第一、三象限 第二、四象限
性质 y随x的增大而① 　 　 y随x的增大而②
　 　
增大
减小
k，b的符号 k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0
图象
经过的象限 第③ 象限 第④ 象限 第⑤ 象限 第⑥
象限
性质 y随x的增大而⑦ 　 　 y随x的增大而⑧ 　 　
3.一次函数的图象和性质
一、二、三
一、三、四
一、二、四
二、三、四
增大
减小
4.用待定系数法确定一次函数的解析式
用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤：
(1)设：设出一次函数解析式的一般形式；
(2)列：找出图象上的两个点坐标，将其代入解析式中，得到含有待定系数的二元一次方程组；
(3)解：解方程，求待定系数的值；
(4)还原：将所求待定系数的值代入所设的函数解析式中.
5.一次函数与一元一次方程：方程ax＋b＝0(a≠0)的解 直线y＝ax＋b(a≠0)与x轴交点的横坐标.
6.一次函数与一元一次不等式：(1)解不等式ax＋b＞0的x的解集，就是使一次函数y＝ax＋b的值大于0的x的取值范围；(2)解不等式ax＋b＜0的x的解集，就是使一次函数y＝ax＋b的值小于0的x的取值范围.
7.一次函数与二元一次方程组：直线y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2的交点坐标就是关于x，y的方程组
的解.
考点2　一次函数的应用
建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合一次函数解析式、性质作出解答.
例1　 已知一次函数y＝(m－1)x＋2－m(其中m≠1).
(1)若y是关于x的正比例函数，则m的值为　 　；
(2)若该一次函数的函数值y随x的增大而增大，则m的值可能为　 　；(写出一个即可)
(3)若该一次函数的图象不经过第四象限，则m的取值范围是　 　；
　1＜m≤2　
　3(答案不唯一，m＞1即可)　
跟踪训练
　2　
(4)若m＝4，则该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形面积为 　；
(5)若把该函数图象向下平移3个单位长度，正好经过点(－1，2)，则m的值为　　；
(6)若该函数图象与直线y＝x＋2相交于点A
(ⅰ)m的值为　　；(ⅱ)不等式(m－1)x＋2－m＞x＋2的解集为　 　.
－1
－2
x＜
(7) 该函数图象经过定点P，则点P的坐标为
　 　.
　(1，1)　
例2　某种优质蜜柚，投入市场销售时，经调查，该蜜柚每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间符合一次函数关系，如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式.
【参考答案】(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.
将点(10，200)，(15，150)代入，得解得
即y与x之间的函数关系式为y＝－10x＋300.
(2)某农户今年共采摘该蜜柚4500千克，其保质期为40天.若以18元/千克销售，问能否在保质期内销售完这批蜜柚 请说明理由.
(2)能在保质期内销售完这批蜜柚.
理由：将x＝18代入y＝－10x＋300，得y＝120.
∵120×40＝4800＞4500，∴能在保质期内销售完这批蜜柚.
1.[2025·安徽第7题]已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点M(1，2)，且y随x的增大而增大.若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是( )
A.(－2，2) B.(2，1)
C.(－1，3) D.(3，4)
一次函数的图象和性质
D
命题点1
真题精练
2. [2022·安徽第9题]在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋a2与y＝a2x＋a的图象可能是( )
D
【解析】解法1：当x＝1时，两个函数的函数值相等为y＝a＋a2，即两个图象都经过点(1，a＋a2)，故选项A，C不符合题意；当a＞0时，a2＞0，一次函数y＝ax＋a2与y＝a2x＋a的图象都经过第一、二、三象限，且都与y轴的正半轴有交点，故选项B不符合题意；当a＜0时，a2＞0，一次函数y＝ax＋a2经过第一、二、四象限，与y轴的正半轴有交点，一次函数y＝a2x＋a经过第一、三、四象限，与y轴的负半轴有交点，故选项D符合题意.
解法2：观察两个表达式的特征可知，当x＝1时，两个函数值均为a＋a2，即两条直线的交点为(1，a＋a2)，由选项B，D可知a＜0，即只有选项D符合.
3.[2021·安徽第6题]某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为16 cm，44码鞋子的长度为27 cm，则38码鞋子的长度为( )
A.23 cm B.24 cm
C.25 cm D.26 cm
一次函数的实际应用
B
命题点2
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第三章　函　数
本章知识导图
3.3　反比例函数及其应用
1.[2025·滁州三模]下图描述了在一段时间内，小华、小红、小刚三名工人加工零件的合格率y与所加工零件的总个数x之间的关系(合格个数＝合格率×总个数)，则这三名工人在这段时间内所加工零件合格的个数最多的是( )
A.小华 B.小红
C.小刚 D.同样多
热身小练
C
2.已知反比例函数y＝的图象上有M(t，y1)，Q(t－3，y2)两点，则当t＞3时有( )
A.y1＜y2＜0 B.y2＜y1＜0
C.y1＞y2＞0 D.y2＞y1＞0
B
3.[2025·阜阳三模]已知一次函数y1＝2x－3与反比例函数y2(k≠0)交于点A(2，a)，则反比例函数的表达式为( )
A.y B.y C.y＝ D.y＝
A
4.[2025·六安三模]某试管中液体发生化学反应后，温度T(℃)是时间t(min)的反比例函数，其图象如图所示，则该试管中液体的温度从60 ℃降到36 ℃需要经过 　min.
2　
第4题图
5.[2025·合肥包河区三模]如图，在平面直角坐标系中，A，B为反比例函数y(k＞0)图象上不同的两点，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D.若S△BCO＝S△DCO＝1，则k的值为　 　.
　4　
第5题图
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知识梳理
考点1　反比例函数的图象与性质
1.反比例函数的概念：一般地，形如y(k是常数，且k≠0)的函数称为反比例函数.其中横、纵坐标的乘积为常数，即xy＝k.
2.反比例函数的图象与性质
(1)反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支.
(2)反比例函数的性质
k的符号 k＞0 k＜0
图象
经过的象限 第①　 　象限 第②　 　象限
增减性 在每一象限内，y随x的增大而③　 　 在每一象限内，y随x的增大而④　 　
对称性 图象既关于原点成中心对称，又关于直线y＝x和直线y＝－x成轴对称
一、三
二、四
减小
增大
3.反比例函数系数k的几何意义
如图，过反比例函数图象上的任意一点P作x轴、y轴的垂线，则与x轴、y轴围成的矩形的面积S矩形OAPB＝⑤
　 　.
　|k|　
4.反比例函数解析式的确定：待定系数法或利用k的几何意义.
考点2　反比例函数的应用
建立反比例函数模型→求出反比例函数解析式→结合反比例函数解析式与性质作出解答.
跟踪训练
例1　[2025·安徽第18题]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋4(a≠0)与反比例函数y的图象交于A，B两点.已知点A和B的横坐标分别为6和2.
(1)求a与k的值；
(2)设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C，D，求△COD的面积.
【答题规范】
解：(1)由题意得点A，B，
所以 2分
解得 4分
(2)由(1)知直线AB对应的一次函数表达式为y＝x＋4.
令y＝0，得x＝8，所以OC＝8.
令x＝0，得y＝4，所以OD＝4. 6分
故S△CODOC·OD8×4＝16. 8分
【评分细则】第(1)问中，将点代入表达式建立方程组得2分，正确解出方程组得4分；第(2)问中，由函数表达式求出关键点的坐标得6分，最后正确计算出三角形的面积得8分.
例2　已知反比例函数y(k≠0).
(1)若该函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围为
　 　；
(2)若点A(2，3)和点B(1，m)在该函数图象上，则m的值为
　 　；
(3)若点C(x1，－3)和点D(x2，－5)在该函数图象上，且k＜0，则x1　 　x2；(填“＞”“＜”或“＝”)
(4)若P为该函数图象上一点，O为坐标原点，过点P作PQ⊥x轴，若△POQ的面积为5，则k的值为　 　；
　±10　
　＞　
　6　
　k＜0　
(5)同一平面直角坐标系中，函数y＝kx＋1与y(k≠0)的图象可能是( )
C
例3　 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y(x＜0)的图象上有A，B两点，它们的横坐标分别为－6和－3，△ABO的面积为18，则k的值为　 　.
　－24　
【解析】解法1：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，交OA于点H.易知S△BOF＝S△AOE，∴S△BOH＝S四边形AEFH，∴S梯形AEFB＝S△ABO＝18.易知点A，B，318，解得k＝－24.
解法2：由题可知点A的坐标为，点B的坐标为，∴直线AB的函数表达式为y＝x设直线AB与x轴交于点C，则点C的坐标为(－9，0)，∴S△ABO＝S△OBC－S△AOC9918，解得k＝－24.
1.[2024·安徽第6题]已知反比例函数y(k≠0)与一次函数y＝2－x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为( )
A.－3 B.－1
C.1 D.3
反比例函数综合
A
命题点1
真题精练
2.[2022·安徽第13题]如图， OABC的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，反比例函数y的图象经过点C，y(k≠0)的图象经过点B.若OC＝AC，则k＝　 　.
　3　
3.[2023·安徽第14题]如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y(k＞0)的图象经过斜边OB的中点C.
(1)k＝ 　；
(2)D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2－BD2的值为　 　.
　4　

【解析】(1)因为AB＝2，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°，所以OA＝2，OB＝4，所以A(2，0)，B(2，2).因为C是OB的中点，所以C(，1)，所以k(2)解法1：由BD∥AC，得∠DBA＝∠BAC＝60°.在直角三角形中求BD2.过点D作DF⊥BA于点F，在Rt△BDF中，设BF＝a，易得DFa.由B(2，2)，得D(2a，2－a)，依据点D在反比例函数图象上，可得(2a)(2－a)＝k，化简得a2＝3，则BD2＝4a2＝12，所以OB2－BD2＝16－12＝4.
解法2：由DB∥AC，得∠DBA＝∠BAC＝60°.联想乘法公式，转化OB2－BD2＝(OB＋BD)(OB－BD).如图，作直线BD，分别与x轴、y轴相交于点G，H，依据已知条件，易得OB＝BH＝BG，则OB＋BD＝BH＋BD＝DH，OB－BD＝BG－BD＝DG，即OB2－BD2＝DH·DG.采用“化斜为直”的思想，过点D分别作DN⊥x轴于点N，DM⊥y轴于点M，则在Rt△HDM中，
DHDM，同理DG＝2DN，所以OB2－BD2DM·2DNDM·DN.依据点D在反比例函数图象上，可得DM·DN＝k，所以OB2－BD24.
4.[2021·安徽第19题]已知正比例函数y＝kx(k≠0)与反比例函数y的图象都经过点A(m，2).
(1)求k，m的值；
(2)在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围.
(1)求k，m的值；
解：(1)因为反比例函数y的图象经过点A(m，2)，
所以2，解得m＝3，
于是点A的坐标为(3，2).
又因为正比例函数y＝kx(k≠0)的图象也经过点A(3，2)，
所以2＝3k，解得k，
故k，m＝3.
(2)在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围.
(2)图象如图所示，由图知x的取值范围是－3＜x＜0或x＞3.
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第三章　函　数
本章知识导图
3.4　二次函数的图象与性质
1.[2025·滁州天长三模]抛物线y＝3x2－2的顶点坐标是( )
A.(3，－2) B.(0，－2) C.(0，2) D.(3，2)
2.已知抛物线y＝3(x－2)2－3，其对称轴是( )
A.直线x＝3 B.直线x＝－2
C.直线x＝2 D.直线x＝－3
C
热身小练
B
3.关于二次函数y＝2(x－3)2＋1，下列说法正确的是( )
A.图象的开口向下
B.图象的对称轴为直线x＝－3
C.图象顶点坐标为(3，－1)
D.当x＜3时，y随x的增大而减小
D
4.[2025·淮南三模]已知二次函数y＝ax2＋c与正比例函数y＝bx(b≠0)的图象如图所示，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致为( )
B
5.已知二次函数y＝3x2－6x＋m的图象与x轴有交点，则m的取值范围为　 　.
　m≤3　
你的小练习全部过关了吗 请在此记录下未掌握的考点，接下来设法突破它哦!
考点1　二次函数的图象与性质
1.二次函数的概念
(1)一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数，叫做二次函数.
(2)二次函数解析式的三种形式
一般式：y＝ax2＋bx2＋c(a≠0)；
顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0，(h，k)为顶点坐标)；
交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2是图象与x轴交点的
①　 　.
知识梳理
　横坐标　
2.二次函数的图象与性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
a的符号 a＞0 a＜0
图象
开口 向上 向下
对称轴 直线x＝②　　
顶点坐标
增减性 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
最值 当x＝时，y有最 ④　　值 当x＝时，y有最
⑤　　值
小
大
3.求二次函数解析式(待定系数法)
(1)解析式已给出：找出抛物线上的两个点或三个点的坐标代入求解；
(2)解析式未给出：根据题意设出特殊解析式形式：顶点式或交点式，再代入点坐标求解.
4.抛物线平移的规律
抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如右图所示.
考点2　二次函数与方程、不等式之间的关系
1.与方程的关系
(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个⑥　 　的实数根 b2－4ac＞0；
(2)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个⑦　 　的实数根 b2－4ac＝0；
　相等　
　不相等　
2.与不等式的关系
(1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴上方对应的横坐标的取值范围；
(2)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴下方对应的横坐标的取值范围.
(3)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴无交点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0⑧　 　实数根 b2－4ac＜0.
　无　
例　已知二次函数y＝x2－2x－3.
(1)二次函数y＝x2－2x－3配方后为　 　，其顶点坐标为　 　.
(2)若点(－3，y1)，(2，y2)和(3，y3)分别在该函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　 　　　　　.(用“＜”连接)
(3)已知抛物线y＝x2－2x－3＋k与x轴只有一个交点，则k的值为　 　.
　4　
　y2＜y3＜y1　
　(1，－4)　
跟踪训练
　y＝(x－1)2－4　
(4)若抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.
(ⅰ)若P为抛物线上第四象限内一点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标.
(ⅱ)在抛物线y＝x2－2x－3上是否存在一点Q，使S△QAB＝2S△ABC 若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
(ⅲ) 平移抛物线y＝x2－2x－3，使其顶点始终在直线BC上，若平移后的抛物线与y轴交于点D，求点D的纵坐标的最小值.
【参考答案】(4)(ⅰ)当x＝0时，y＝－3，∴点C(0，－3).
当y＝0时，0＝x2－2x－3，解得x1＝－1，x2＝3，∴点A(－1，0)，B(3，0)，
易得直线BC的函数表达式为y＝x－3.
设点P(m，m2－2m－3)(0＜m＜3)，
∴S△PBC3[(m－3)－(m2－2m－3)]＝
∵0＜m＜3，∴当m时，S△PBC最大.
当m时，y23＝，∴此时点P的坐标为
(ⅱ)由(ⅰ)知点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，∴S△ABCAB·OC4×3＝6.
∵S△QAB＝2S△ABC，∴S△QAB＝12.
又∵AB＝4，∴|yQ|＝6.∵抛物线顶点坐标为(1，－4)，∴在x轴下方，不存在Q点.
令x2－2x－3＝6，解得x11，x2＝1，
∴在抛物线y＝x2－2x－3上存在点Q，使S△QAB＝2S△ABC，其坐标为(1，6)或(1，6).
(ⅲ)设平移后的抛物线表达式为y＝(x－h)2＋h－3，
当x＝0时，y＝h2＋h－3，∴点D的纵坐标的最小值为
1.[2023·安徽第5题]下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是( )
A.y＝x2＋1 B.y＝－x2＋1
C.y＝2x＋1 D.y＝－2x＋1
二次函数的图象与性质
D
命题点1
真题精练
2.[2025·安徽第9题]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则( )

A.abc＜0 B.2a＋b＜0
C.2b－c＜0 D.a－b＋c＜0
坐标系中函数图象的判断
C
命题点2
【解析】由图知a＞0，c＜0，对称轴x＝＞0，∴b＜0.∵a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，A项错误；由图知二次函数的图象交x轴于点(2，0)，另一个交点的横坐标在－1和0之间，＜1，解得b＞－2a，即2a＋b＞0，B项错误；由B项得a＜－b，∴a＋b＜0，即4a＋4b＜0.当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＝0，即4a＝－2b－c，∴－2b＋4b－c＜0，即2b－c＜0，C项正确；当x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0，D项错误.
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第三章　函　数
本章知识导图
3.1　坐标系与函数图象
1.若点A(m－1，5＋m)在y轴上，则点A的坐标是( )
A.(－6，0) B.(6，0)
C.(0，－6) D.(0，6)
热身小练
D
A.实验开始时，冰块的温度为－4 ℃
B.加热2 min后，冰块开始熔化
C.冰块熔化过程持续了8 min
D.冰块熔化后，继续加热，温度计读数在一定范围内每分钟增加1 ℃
2. [2025·蚌埠二模]物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法错误的是( )
C
图1
图2
3.[2025·安庆三模]在平面直角坐标系中，点A(3，n)，点B(－3，n)，点C(4，n＋2)在同一个函数图象上，则该函数图象可能是( )
C
4.[2025·淮北三模]函数y中的自变量x的取值范围是　 　.
　x＞2　
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知识梳理
考点1　平面直角坐标系
1.平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直且原点重合的数轴构成平面直角坐标系.
2.点的坐标特征
坐标特征
象限内的点 第一象限(＋，＋)；第二象限(－，＋)；第三象限(－，－)；第四象限(＋，－)
坐标特征
坐标轴上的点 点(x，y)在x轴上，则①　 　；在y轴上，则②　 　
象限角平分线上的点 点(x，y)在第一、三象限角平分线上，则x＝y；在第二、四象限角平分线上，则x＝－y
y＝0
x＝0
坐标特征
对称点 点P(x，y)关于x轴对称的点为③　 　；关于y轴对称的点为④　 　；关于原点对称的点为(－x，－y)
点的平移 点P(x，y)向右(或向左)平移a个单位长度，得到的对应点的坐标为⑤　 　；点P(x，y)向上(或向下)平移b个单位长度，得到的对应点的坐标为(x，y±b)
(x，－y)
(－x，y)
(x±a，y)
3.点到坐标轴及原点的距离
(1)点P(a，b)到x轴的距离：|b|.
(2)点P(a，b)到y轴的距离：|a|.
(3)点P(a，b)到原点的距离：
4.两点间的距离
(1)x轴或其平行线上的两点P1(x1，m)，P2(x2，m)：d＝|x1－x2|.
(2)y轴或其平行线上的两点P1(n，y1)，P2(n，y2)：d＝|y1－y2|.
考点2　函　数
1.函数：一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.
2.函数的表示方法：列表法、解析法、图象法.在解决一些与函数有关的问题时，有时可以同时用两种或两种以上的方法来表示函数.
3.函数自变量取值范围的确定
(1)当函数解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；
(2)当函数解析式为分式时，自变量的取值范围是使分母⑥　 　的实数；
(3)当函数解析式为二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的实数.
　不为零　
4.描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.
例1　在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，点C(3，1)，点D(m－2，m＋3).
(1)若点D在第三象限，则m的取值范围是　 　；
(2)若CD∥y轴，则点D的坐标为　 　；
(3)若A点关于x轴对称的点为A'，则△ACA'的面积为
　 　；
　2　
　(3，8)　
跟踪训练
　m＜－3　
(4)若把点A先向左平移6个单位长度，再向下平移k(k＞0)个单位长度，正好与点D重合，则k的值为　　；
(5)若点D到x轴的距离与到y轴的距离相等，则m的值
为　 　.
1
例2　[2025·芜湖三模改编]如图，将Rt△EFG与正方形ABCD按如图所示的方式摆放，边FG在直线BC上，∠EGF＝90°，EG＝FG＝4 cm，AB＝8 cm，Rt△EFG以2 cm/s的速度沿着BC方向运动，开始时点G与点B重合，当点F与点C重合时停止运动.现在我们研究运动过程中Rt△EFG和正方形重叠部分面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数关系.
(1) △EFG的形状为　 　三角形；
(2)如图1，当0≤x＜2时，BG的长为　 　，此时y与x的关系是　 　；(用含x的代数式表示)
　y＝－2x2＋8x　
　2x　
　等腰直角　
(3)如图2，当2≤x≤4时，Rt△EFG与正方形重叠部分面积为y＝　 　；
(4)如图3，当4＜x≤6时，BG的长为　 　，CG的长为
　 　，FC的长为　 　，此时y与x的关系是
　 　；(用含x的代数式表示)
　12－2x　
　2x－8　
　2x　
　8　
y(12－2x)2
(5)在运动过程中，Rt△EFG与正方形重叠部分面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数关系大致为( )
A
如何分析判断几何动态问题中的函数图象
(1)细致审题，弄清横轴与动点位置、纵轴与所求线段长或图形面积的关系.一般情况下，当为单动点时，动点在几何图形中的几条边上运动，则对应的函数图象就有几段；若为双动点，则需分运动阶段讨论.
(2)抓住图象拐点、与坐标轴的交点：当动点运动到几何图形的顶点或交点位置时，则对应函数图象上出现拐点；由图象与坐标轴的交点，可判断动点运动过程中的起点、终点及特殊位置.
(3)掌握与面积有关的函数图象判断基本结论：
1.[2022·安徽第5题]甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是( )

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
分析判断函数图象
A
命题点
真题精练
2.[2018·安徽第10题]如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为点M，N，MN＝1.正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处.将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止.记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于l1，l2之间的部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为( )
A
【解析】由正方形ABCD的边长为，易得其对角线长为2，则对角线长的一半为1.分三种情况：①当0≤x≤1时，y＝2x，函数图象为线段，且y随x的增大而增大；②当1＜x≤2时，y＝2，函数图象是平行于x轴的一条线段；③当2＜x≤3时，y＝－2x＋6，函数图象为线段，且y随x的增大而减小.综上所述，只有选项A符合.
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第三章　函　数
本章知识导图
3.5　二次函数的实际应用
1.[2025·合肥长丰一模]如图1，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口A处喷出的水流可抽象为抛物线，点C是水流与水杯底部的接触点.若水流运动的高度y(cm)与水平距离x(cm)近似满足图2的函数关系式y＝x2＋bx＋c，则该抛物线的顶点坐标为( )
A B
C D
热身小练
A
第1题图1
　第1题图2
2.某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线形拱门入口.要在拱门上依次粘贴“劳”“动”“之”“星”(分别记作点A，B，C，D)四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星(点E)到BC的距离为0.6 m，BC＝2 m，AD＝4 m，如图2所示，则点C到AD的距离为( )
A.2.4 m B.2 m
C.1.8 m D.1.5 m
C
第2题图1
第2题图2
3.[2025·安庆怀宁二模]如图，用总长为48 m的篱笆，围成一块一边靠墙的矩形花圃ABCD，一道垂直于墙的篱笆EF将矩形ABCD分成两个矩形(ABFE和EFCD).墙的最大可用长度为21 m.篱笆在安装过程中不重叠、无损耗.设矩形花圃与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：m2).
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数表达式.(不要求写x的取值范围)
解：(1)y＝48－3x，S＝－3x2＋48x.
(2)矩形花圃的面积S能达到180 m2吗 如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由.
(2)矩形花圃的面积S能达到180 m2.
令S＝180，则－3x2＋48x＝180，解得x1＝6，x2＝10，
当x＝6时，y＝48－3x＝30＞21，不符合题意，舍去，
∴BC＝y＝48－3×10＝18(m).
(3)当x的值是多少时，矩形花圃的面积S最大 最大面积是多少
(3)S＝－3x2＋48x＝－3(x－8)2＋192，
由48－3x≤21，得x≥9，由48－3x＞0，得x＜16，∴9≤x＜16.
∵在9≤x＜16中，S随x的增大而减小，∴当x＝9时，S有最大值，最大值是189 m2.
答：当x＝9时，矩形花圃的面积S最大，最大面积是189 m2.
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知识梳理
考点1　增长率问题
熟记y＝a(1±x)2，其中a为原始量，x为平均增长率(或下降率)，y为变化后的量.
考点2　利润问题
单位利润＝单价－进价(成本)；
总销售额＝单价×数量，总成本＝进价×数量；
总利润＝单位利润×销售数量＝总销售额－总成本.
最大利润：确定自变量的取值范围，利用配方法或公式法求最大值.
考点3　抛物线型问题
建立恰当的平面直角坐标系，能够将实际距离准确地转化为点的坐标，代入求出抛物线的表达式，再利用二次函数的图象和性质解决实际问题.
考点4　几何图形面积问题
先确定核心变量x，再用变量x表示出其他线段的长，表示出图形的面积y，最后根据二次函数的性质解答即可.
跟踪训练
例1　[2025·淮南三模]太子山旅游景区每天对游客开放8 h，景区入口游客可乘坐观光车直接到达景点游览，某天欲乘坐观光车总人数y(人)与开放时间x(h)之间满足：y若景区每小时有12趟观光车，每趟载客20人，设等待观光车的游客为p(人).
(1)求p关于x的函数关系式；
【参考答案】(1)由题意得p
(2)求等待观光车的游客最多时有多少人；
(2)当0＜x≤5时，p＝－20x2＋160x＋300＝－20(x－4)2＋620，
∵－20＜0，∴当x＝4时，p有最大值为620.
当5＜x≤8时，p＝－190x＋1550，
∵－190＜0，∴p随x的增大而减小，∴30≤p＜600.
综上所述，等待观光车的游客最多时有620人.
(3)若要在6 h内确保游客没有积压(游客随到随走)，则从一开始每小时应该至少增加几趟观光车
(3)当x＝6时，y＝50×6＋1550＝1850.
设每小时需要增加n趟观光车，则1850－(12＋n)×20×6≤0，解得n≥3
∵n为整数，∴n至少为4.
答：从一开始每小时至少增加4趟观光车.
例2　[2025·合肥庐阳中学三模]一块土地上有一个蔬菜大棚(如图1)，其横截面顶部为抛物线形，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上(墙体足够高)，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图2所示，其中OF＝DF＝BD.
(1)在图2中以O为原点，射线OA为y轴正半轴建立平面直角坐标系，C为抛物线顶点，求抛物线的表达式；
【参考答案】(1)由题意得点A(0，1)，C(6，4).
由题可设抛物线的表达式为y＝a(x－6)2＋4.
将点A(0，1)代入y＝a(x－6)2＋4，得1＝a(0－6)2＋4，解得a＝，
∴抛物线的表达式为y＝(x－6)2＋4＝x2＋x＋1.
(2)为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整为如图3，此时CC'＝1 m，DE'＝BC'，求调整后的抛物线表达式；
(2)以O为原点，射线OA为y轴正半轴建立平面直角坐标系.
∵CC'＝1，BC＝4，∴BC'＝BC＋CC'＝5，∴点C'(6，5).
∵OF＝DF＝BD，OB＝6，∴OD＝4.∵DE'＝BC'＝5，∴点E'(4，5).
设调整后的抛物线表达式为y＝a'x2＋bx＋c.
将点A(0，1)，E'(4，5)，C'(6，5)代入，得解得
∴调整后的抛物线表达式为y＝x2x＋1.
(3)求大棚内调整前后的最大高度差.
思路导引：(3)用调整后的抛物线表达式减去调整前的抛物线表达式，建立关于高度差的函数，利用二次函数的性质求最大值.
(3)设大棚内调整前后的高度差为W.
由题意得W＝x2x＋1x2x＝(x－4)2，
∵＜0，0≤x≤6，∴当x＝4时，W有最大值，最大值为，
∴大棚内调整前后的最大高度差是 m.
命题点1
真题精练
增长率问题与最大利润问题
1.[2017·安徽第22题]某超市销售一种商品，成本为每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元.经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x/(元·千克－1) 50 60 70
销售量y/千克 100 80 60
(1)求y与x之间的函数表达式；
解：(1)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，
解得
即y与x之间的函数表达式为y＝－2x＋200.
(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；
(2)由题意可得，W＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8000，
即W与x之间的函数表达式为W＝－2x2＋280x－8000.
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出每千克售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少
(3)∵W＝－2x2＋280x－8000＝－2(x－70)2＋1800，40≤x≤80，
∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，
当70＜x≤80时，W随x的增大而减小，
∴当x＝70时，W取得最大值，此时W＝1800.
答：当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70＜x≤80时，W随x的增大而减小.每千克售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元.
命题点2
几何图形面积问题
2.[2015·安徽第22题]为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域面积相等.设BC的长度是x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围.
解：(1)设AE＝a.
由题意，得AE·AD＝2BE·BC，AD＝BC，
∴BEa，ABa.
由题意，得2x＋3a＋2·a＝80，
∴a＝20x.
0＜x＜40，
∴y＝AB·BCa·xx，
整理，得y＝x2＋30x(0＜x＜40).
(2)x为何值时，y有最大值 最大值是多少
(2)∵y＝x2＋30x＝(x－20)2＋300(0＜x＜40)，
∴当x＝20时，y取最大值，且最大值是300 m2.
命题点3
抛物线型问题
3.[2022·安徽第23题]如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12 m，另一边AB为2 m.以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1 m.E(0，8)是抛物线的顶点.
(1)求此抛物线对应的函数表达式.
解：(1)由题意可设此抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋c.
将点A(－6，2)，E(0，8)代入，得
解得
∴此抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8.
(2)在隧道截面内(含边界)修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等，栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和.请解决以下问题：
(ⅰ)修建一个“ ”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上.设点P1的横坐标为m(0＜m≤6)，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
(2)(ⅰ)由题意，得点P1的坐标为(m，0)，
∴点P2的坐标为，点P3的坐标为，点P4的坐标为(－m，0)，
∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，
∴l＝32m＝m2＋2m＋24，
整理得l＝(m－2)2＋26.
∵＜0，0＜m≤6，
∴当m＝2时，l取得最大值为26.
答：栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26.
(ⅱ)现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“ ”型和“ ”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，以及取最大值时点P1的横坐标的取值范围(点P1在点P4右侧).
(ⅱ)方案一：设P1P2＝MN＝P3P4＝t，则P2P3＝18－3t，
t(18－3t)＝－3(t－3)2＋27.
∵－3＜0，∴抛物线开口向下，
∴当t＝3时，取得最大值为27.
将y＝3代入y＝x2＋8，解得x1，x2＝，
∴点P4的横坐标的最小值为，点P1的横坐标的最大值为
∵P1P4＝P2P3＝18－3t＝18－9＝9，
∴当点P4的横坐标为时，点P1的横坐标取最小值，
为9，
∴点P1的横坐标的取值范围是9≤x≤
方案二：设MN＝P2P3＝n，则P3P4＝P1P29－n，n(9－n)＝
∵－1＜0，∴抛物线开口向下，
∴当n时，取得最大值为
此时P3P4＝P1P2＝9－n，
把y代入y＝x2＋8，解得x1＝，x2，
∴点P4的横坐标的最小值为，点P1的横坐标的最大值为
∵P1P4＝MN＝n，
∴当点P4的横坐标为时，点P1的横坐标取最小值，为，
∴点P1的横坐标的取值范围是≤x≤(两种方案任写其中一种即可)
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第一部分 知识梳理　课程重构
第三章　函　数
本章知识导图
3.6　二次函数综合问题
1.[2025·宣城三模]如图，P为线段AB上一点(不与端点重合)，PC∥AD，PD∥BC，PC＝PD，∠CPD＝90°，AB＝4，记△APD和△BPC的面积分别为S1，S2.设PA＝x，y＝S1＋S2，则y关于x的函数图象为( )
热身小练
B
2.在平面直角坐标系中，已知A(1，1)，B(1，4)，C(4，4)，D(4，1)，二次函数表达式为y＝x2－2mx＋m2，若该函数的图象与四边形ABCD的边有交点，则m的最大值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
C
第2题图
3.[2025·合肥庐阳中学月考]如图，二次函数y＝a(x－2)2－4的图象与y轴相交于点A，与x轴相交于点(6，0)，O是坐标系的原点，P是该二次函数图象对称轴上一动点.
8
第3题图
(1)a＝ 　；
(2)△PAO周长的最小值为　　.
你的小练习全部过关了吗 请在此记录下未掌握的考点，接下来设法突破它哦!
知识梳理
考点　二次函数综合问题
1.二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，符合所有特征的图象即为所求图象.
2.二次函数与方程、几何知识的综合应用问题
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起，这类试题一般难度较大，解决这类问题的关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件.
跟踪训练
例1　[2025·宿州萧县一模]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象经过点(－1，4)，(2，－5)，连接AC.
(1)求a，b的值.
【参考答案】(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点(－1，4)，(2，－5)，
解得
(2)P是抛物线y＝ax2＋bx＋3上的一点，且位于x轴上方，是否存在点P，使得△PAB的面积恰好为4 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
(2)存在.
理由：由(1)得a＝－1，b＝－2，
∴二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3.
令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝－3.
∵二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A，B，
∴点A(－3，0)，B(1，0)，∴AB＝OA＋OB＝4.
设点P(m，－m2－2m＋3)，
∴S△PABAB·(－m2－2m＋3)＝4，
∴－m2－2m＋3＝2，解得m1＝－1，m2＝－1，
∴点P的坐标为(－1，2)或(－1，2).
(3)M是线段AC上的一个动点(不与点A，C重合)，过点M作MD⊥x轴，垂足为点D，延长DM，交抛物线于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F，求△MEF周长的最大值.
(3)令x＝0，得y＝－x2－2x＋3＝3，∴点C(0，3)，
设直线AC的函数表达式为y＝tx＋s.
将点A(－3，0)，C(0，3)代入，得
解得
∴直线AC的函数表达式为y＝x＋3.
设点M(n，n＋3)，则点E(n，－n2－2n＋3)，∴ME＝－n2－2n＋3－(n＋3)＝－n2－3n.
∵点A(－3，0)，C(0，3)，∴OA＝OC，∵∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°.
∵MD⊥x轴，∴ME∥y轴，∴∠EMF＝∠ACO＝45°，
∴∠FEM＝45°，
∴EF＝FM＝ME·sin ∠EMF＝(－n2－3n)，
∴△MEF的周长＝－n2－3n＋2×(－n2－3n)(1)(n2＋3n)＝－(1(1).
∵－(1)＜0，－3＜n＜0，
∴当n＝时，△MEF的周长有最大值，最大值为
例2　[2025·合肥包河区一模]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋6与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，OB＝OC＝3OA.
(1)求抛物线的对称轴.
【参考答案】(1)由题意得OC＝6，OB＝6，OA＝2，
∴A(－2，0)，B(6，0)，∴抛物线的对称轴为直线x2.
(2)P(m，n)(m≥2)是抛物线上一个动点，连接AP，CP，AP交y轴于点D，作PQ⊥x轴于点Q.
(ⅰ)若Q是OB的中点，求△PAC的面积；
(2)(ⅰ)将点A(－2，0)，B(6，0)代入y＝ax2＋bx＋6，
得解得抛物线的表达式
为y＝x2＋2x＋6.
∵Q是OB的中点，∴点Q(3，0)，当x＝3时，y，∴点P
设直线AP的函数表达式为y＝kx＋b1.将点A(－2，0)，P代入，
得解得直线AP的函数表达式为yx＋3，
易得CD＝3，∴S△PACCD·
(ⅱ)若以C，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求m的值.
思路导引：(2)(ⅱ)CD∥PQ 分别表示出CD与PQ长，建立方程求解 点D与点O的相对位置不确定，需分类讨论
(ⅱ)由题知点P(m≥2)，则点Q(m，0).
由题可分析得以C，D，P，Q为顶点的平行四边形中CD＝PQ.
当点D在原点上方时，如图1，
易得OA＝2，AQ＝m＋2，PQ＝m2＋2m＋6.
∵OD∥PQ，∴△AOD∽△AQP，，即，
∴ODm＋6，
∴CD＝6－OD＝6－(－m＋6)＝m＝m2＋2m＋6，
解得m1＝1，m2＝1(不符合题意，舍去)；
图1 图2
当点D在原点下方时，如图2，
同理得ODm－6，
∴CD＝6＋OD＝mm2－2m－6，
解得m1＝3，m2＝3(不符合题意，舍去).
综上所述，m的值为1或3
命题点1
真题精练
二次函数综合问题
1.[2025·安徽第23题]已知抛物线y＝ax2＋bx经过点(4，0).
(1)求该抛物线的对称轴.
(2)点A和B分别在抛物线y＝ax2＋bx和y＝x2－2x上(A，B与原点都不重合).
(ⅰ)若a，且x1＝x2，比较y1与y2的大小；
(ⅱ)当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值.
(1)求该抛物线的对称轴.
解：(1)解法1：由题意得16a＋4b＝0，即b＝－4a，
所以2，故该抛物线的对称轴是直线x＝2.
解法2：因为抛物线经过原点，(4，0)，
所以对称轴为直线x2.
(2)点A和B分别在抛物线y＝ax2＋bx和y＝x2－2x上(A，B与原点都不重合).
(ⅰ)若a，且x1＝x2，比较y1与y2的大小；
(2)(ⅰ)由题意知抛物线的表达式为yx2－2x.
又x1＝x2，
故y2－y1＝(2x2)(2x1)
因为点A与原点不重合，所以x1≠0.
于是＞0，故y2＞y1.
(ⅱ)当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值.
(ⅱ)由题意知y1＝a4ax1，y22x2.
因为，所以
因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，
所以x1≠0，x2≠0，
故1，即x2＝a(x1－4)＋2，
于是a
依题意知a是与x1无关的定值.
不妨取x1＝1和x1＝2，分别代入a，
可得2－3a＝1－a，解得a
经检验，当a时，是一个与x1无关的定值，符合题意，
所以a，b＝－4a＝－2.
2.[2024·安徽第23题]已知抛物线y＝－x2＋bx(b为常数)的顶点的横坐标比抛物线y＝－x2＋2x的顶点的横坐标大1.
(1)求b的值；
(2)点A(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋2x上，点B(x1＋t，y1＋h)在抛物线y＝－x2＋bx上.
(ⅰ)若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
(ⅱ)若x1＝t－1，求h的最大值.
(1)求b的值；
解：(1)因为抛物线y＝－x2＋bx的顶点横坐标为，y＝－x2＋2x的顶点横坐标为1，
由条件得1＝1，解得b＝4.
(2)点A(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋2x上，点B(x1＋t，y1＋h)在抛物线y＝－x2＋bx上.
(ⅰ)若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
(2)因为点A(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋2x上，
所以y1＝2x1.
又点B(x1＋t，y1＋h)在抛物线y＝－x2＋4x上，则y1＋h＝－(x1＋t)2＋4(x1＋t).
于是2x1＋h＝－(x1＋t)2＋4(x1＋t)，
整理得h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t.
(ⅰ)因为h＝3t，所以3t＝－t2－2x1t＋2x1＋4t，
整理得t(t＋2x1)＝t＋2x1.
又x1≥0，t＞0，所以t＋2x1＞0，
故t＝1，从而h＝3.
(ⅱ)若x1＝t－1，求h的最大值.
(ⅱ)将x1＝t－1代入h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t，整理得h＝－3t2＋8t－2，
配方得h＝－3
(本问用消元法消去“t”亦可，即将t＝x1＋1代入h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t，得h＝－3(x12
因为－3＜0，所以当t，即x1时，h取最大值
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