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第一部分 知识梳理　课程重构
第五章　四边形
本章知识导图
★命题域聚焦　平行四边形中的折叠问题
例1　[2025·合肥瑶海区一模]如图所示，在 ABCD中进行折叠操作，使得点C恰好落在AD边上的点C'处.已知∠1＝60°，∠2＝42°，那么∠C的度数为( )

A.102° B.108°
C.126.5° D.130°
B
类型1　一次折叠问题
变式　如图，在 ABCD中，点E在边BC上，沿AE将△ABE向上翻折，点B正好落在CD上的点F处.若△FCE的周长为7，△FDA的周长为21，则FD的长为( )

A.5 B.6 C.7 D.8
C
例2　[2025·芜湖二模]如图，在矩形纸片ABCD中，对角线AC和BD交于点O，将矩形纸片折叠，使点D落在AC上的点F处，折痕CE交BD于点G.
(1)若AB＝6，AD＝8，则DE的长为　 　；
(2)若ADAB，则的值为 .
　3　
　
类型2　多次折叠问题
例3　[2025·合肥四十五中一模]如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD上的点，将△ABE，△ADF分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好落在EF上的点G处，再将△CEF沿EF折叠，点C落在AF上的点H处.
(1)sin ∠DAF＝ 　；
(2)若DF，则AM的长为　 .
6－2　
【解析】(1)由折叠的性质得∠DFA＝∠EFA，∠EFA＝∠EFC，即∠DFA＝∠EFA＝∠EFC＝60°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠D＝90°，∴∠DAF＝30°，∴sin ∠DAF＝sin 30°(2)∵∠DAF＝30°，DF，∠D＝90°，∴AF＝2DF＝2，AD3，∴CF＝CD－DF＝3，由折叠知∠FAG＝∠DAF＝30°，FH＝CF＝3，∴AH＝AF－FH＝2(3)＝33，在Rt△AMH中，AM(33)6－2
例4　 [2023·广西]
【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘.
【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B'，E'，展平纸片，连接AB'，BB'，BE'.请完成：
(1)观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；
(2)证明(1)中的猜想；
图1
【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B'，P'，展平纸片，连接P'B'.请完成：
(3)证明BB'是∠NBC的一条三等分线.
图2
【参考答案】(1)猜想：∠1＝∠2＝∠3.
(2)证明：由折叠的性质可得AB'＝BB'，AB＝AB'，∠AEB'＝∠AE'B＝90°，
∴AB'＝BB'＝AB，∴△ABB'是等边三角形，
∴∠1＝∠2ABB'＝30°.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠3＝30°，
∴∠1＝∠2＝∠3.
(3)连接PB'.
由折叠的性质可得BB'＝PB'，PB＝P'B'，∠PBB'＝∠P'B'B.
∵折痕B'E⊥AB，∴∠PB'E＝∠BB'EBB'P.
∵CB⊥AB，B'E⊥AB，∴B'E∥BC，
∴∠BB'E＝∠CBB'BB'P.
易证△PBB'≌△P'B'B(SAS)，∴∠BB'P＝∠B'BP'，
∴∠CBB'B'BP'，∴∠CBB'NBC，
∴BB'是∠NBC的一条三等分线.
1.如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B'处，连接DB'，CB'.已知∠BCD＝120°，∠BAE＝50°，则∠CDB'的度数为( )
A.5° B.10°
C.15° D.20°
针对训练
D
2.如图，在菱形纸片ABCD中，∠C＝45°，将纸片沿着直线MN折叠，使点A与点B重合，若DM＝1，则菱形ABCD的面积为( )
A.4＋3 B.82
C.6 D.8
A
3.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于点G，连接AG，CF.现在有如下四个结论：①∠EAG＝45°；②GF＝CF；③FC∥AG；④S△GFC＝14.4.其中结论正确的是( )
A.①③④ B.②③④
C.①②③ D.①②④
A
【解析】∵四边形ABCD为正方形，BE＝4，EC＝8，∴AB＝AD＝CD＝12，∠B＝∠BAD＝∠D＝∠ECG＝90°，由翻折知AF＝AB，∠AFG＝∠AFE＝90°，∠BAE＝∠FAE，易证Rt△ADG≌Rt△AFG(HL)，∴∠FAG＝∠DAG，∴∠EAG＝∠FAE＋∠FAGBAD＝45°，①正确；由翻折知EF＝BE＝4，由△ADG≌△AFG得FG＝DG，设DG＝FG＝x，则CG＝12－x，EG＝FG＋EF＝x＋4，在Rt△ECG中，EC2＋CG2＝EG2，即82＋(12－x)2＝(x＋4)2，解得x＝6，∴CG＝12－x＝6，∴FG＝CG，∴∠GFC＝∠GCF，∵∠DGF＝2∠AGF＝∠GFC＋∠GCF，∴∠AGF＝∠GFC，∴FC∥AG，③正确；过点F作FH⊥CG于点H.∵FH∥EC，∴△GFH∽△GEC，，又GH＋CH＝6，∴GH，CH，FH，∴CFGF，②错误，S△GFCCG·FH614.4，④正确.
4.如图，在 ABCD中，E是AD上一点，DE＝3AE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，G是CD上一点，将△DEG沿EG折叠得到△MEG，使点M落在EF的延长线上，BF的延长线交EG于点N，则 　.
5. [2024·淮北期末]在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝3，E为线段CD上一个动点，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点F处，当△CEF为直角三角形时，DE的长
为 　.
【解析】如图1，点F落在AC上，则△CEF为直角三角形，∵AD＝4，CD＝AB＝3，∠D＝90°，∴AC＝5.由折叠得DE＝EF，∠ADE＝∠AFE＝90°，∵S△ADC＝S△ADE＋S△AEC，3×44×DE5×DE，∴DE；如图2，点F落在BC上，则△CEF为直角三角形，由折叠得AD＝AF＝4，DE＝EF，在Rt△ABF中，BF，∴CF＝BC－BF＝4，在Rt△CEF中，EF2＝CE2＋CF2，∴DE2＝(3－DE)2＋(4)2，∴DE综上所述，DE的长为
图1　　　 图2
6. 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程.
【操作实践】如图，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点B落在AD边上的点B'处，折痕交AB于点E，再沿着过点B'的直线折叠，使点D落在B'C上的点D'处，折痕交CD于点F.将纸片展平，画出对应点B'，D'及折痕CE，B'F，连接B'E，B'C，D'F.
【初步猜想】(1)确定CE和B'F的位置关系及线段BE和CF的数量关系.
创新小组经过探究，发现CE∥B'F，证明过程如下：
由折叠可知∠DB'F＝∠CB'FDB'C，∠ECB'＝∠ECBBCB'.
由矩形的性质，可知AD∥BC，
∴∠DB'C＝∠BCB'，
∴①　 ，∴CE∥B'F.
智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为②　 　.
　BE＝CF　
∠ECB'＝∠CB'F　
经过探究，发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一.
方法一：证明△AB'E≌△D'CF，得到B'E＝CF，再由B'E＝BE可得结论.
方法二：过点B'作AB的平行线交CE于点G，构造平行四边形CFB'G，然后证B'G＝B'E可得结论.
请补充上述过程中横线上的内容.
【推理证明】(2)请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证BE和CF的数量关系，写出证明过程.
解：(2)方法一：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，BC＝AD.
由折叠可得∠EB'C＝∠B＝90°，B'D＝B'D'，BC＝B'C＝AD，∠B'D'F＝∠D＝90°，BE＝B'E，
∴AD－B'D＝B'C－B'D'，即AB'＝CD'.
由(1)知∠CB'D＝∠BCB'，
又∵∠AB'E＋∠CB'D＝180°－∠EB'C＝90°，∠BCB'＋∠D'CF＝∠BCD＝90°，
∴∠AB'E＝∠D'CF.
又∵∠A＝∠CD'F＝90°，AB'＝CD'，
∴△AB'E≌△D'CF(ASA)，∴B'E＝CF.
又∵BE＝B'E，∴BE＝CF.
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第五章　四边形
本章知识导图
★命题域聚焦　正方形(矩形)中的“十字架”结构
例1　如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，AF⊥DE于点G，交BC于点F.若AE＝15，CF＝5，求AF的长.
【参考答案】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC，∠B＝∠DAB＝90°，
∴∠BAF＋∠FAD＝90°.
∵AF⊥DE，∴∠FAD＋∠ADE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，
∴△BAF≌△ADE(ASA)，∴BF＝AE＝15，
∴BC＝BF＋CF＝20，∴AB＝BC＝20，
在Rt△ABF中，AF25.
归纳总结
正方形中的“十字架”结构
①过顶点
如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF，可证△BAF≌△ADE(ASA)，所以AE＝BF.
图1
②不过顶点
如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，且EG⊥FH，构造平行线(如图3、图4)即可证明EG＝FH.
　图2　　 图3　　 图4
变式　[2025·阜阳阶段练习节选]【教材回顾】
(1)如图1，在正方形ABCD中，M，N分别为边AB，BC上的点，且BM＝CN，求证：CM⊥DN；
图1
【类比探究】
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，M，N分别为AB，AC上的点，且BM＝AN，AD⊥MN交BC于点D，求证：MN＝AD.
图2
【参考答案】(1)∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝DC，∠MBC＝∠DCN＝90°.
又∵BM＝CN，∴△BMC≌△CND(SAS)，∴∠MCB＝∠NDC，
∴∠GDC＋∠DCG＝∠MCB＋∠DCG＝∠DCN＝90°，
∴∠DGC＝90°，∴CM⊥DN.
(2)过点D作DP⊥AC于点P，连接MP.
由AD⊥MN，易得∠DAP＝∠AMN.
又∵∠MAN＝∠DPA＝90°，∴△ADP∽△MNA，
易知∠PDC＝∠C＝45°，∴PD＝PC，，
∵∠BAC＝∠MAP，∴△AMP∽△ABC，
∴∠AMP＝∠B，∴MP∥BC.
∵∠PDC＝∠B，∴PD∥AB，
∴四边形MPDB为平行四边形，∴PD＝BM＝AN，
∴△AMN≌△PAD(AAS)，∴MN＝AD.
例2　[2025·芜湖一模改编]如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，垂足为点H.
(1)求AF∶DE的值；
(2)当HF＝2EH时，求AE的长.

【参考答案】(1)如图所示，∵四边形ABCD为矩形，

∴∠ABF＝∠DAE＝90°.
∵AF⊥DE，∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，∴△ABF∽△DAE.
又∵AB＝8，AD＝10，
(2)延长DE，CB交于点M.
设AE＝x，
由(1)知△ABF∽△DAE，，则BFx.
∵∠3＋∠AFB＝∠M＋∠AFB＝90°，∴∠3＝∠M，
∴△AEH∽△MFH，，∴MF＝2x，∴BM＝MF－BFx.
∵AD∥BC，∴△AED∽△BEM，，即，
整理得3x2＋25x－200＝0，解得x＝5(负值舍去)，
∴AE＝5.
归纳总结
矩形中的“十字架”结构
①过顶点
如图1，在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，AE⊥BF，可证△ADE∽△BAF，所以
图1
②不过顶点
如图2，在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，且EG⊥FH，构造平行线(如图3、图4)，即可证明
图2　 图3　 图4
变式　 【探究证明】(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条相互垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，请补充完整探究过程.如图1，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：
【结论应用】(2)如图2，在满足(1)的条件下，AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上.若，则的值为 　.
图1　　　 图2
【参考答案】(1)如图，过点D作DM∥GH交BC于点M，过点C作CN∥EF交AB于点N.
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠CBA＝90°，∴∠DCN＋∠BCN＝90°，
∴四边形DGHM，EFCN是平行四边形，
∴DM＝GH，EF＝CN.
∵EF⊥GH，∴DM⊥CN，∴∠DCN＋∠CDM＝90°，
∴∠CDM＝∠BCN，∴△CBN∽△DCM，
，
1.如图，在正方形ABCD中，AB＝3，E是BC边上一点，且CE＝2BE，连接AE，F是AB边上一点，过点F作FG⊥AE交CD于点G，连接EF，EG，AG，则四边形AFEG的面积为　 　.
针对训练
　5　
2.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连接EF与边CD相交于点G，连接BE与对角线AC交于点H.已知AE＝CF，∠1＝∠2，若，则的值为 　.
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，M，N分别是BC，CD上的动点，连接AM，BN交于点E，且∠BND＝∠AMC.
(1)AE·BN＝　 　；
(2)连接CE，则CE的最小值为　 　.
　2　
　24　
4.如图1，在矩形纸片ABCD中，点E在边AB上，沿CE折叠矩形ABCD，点B落在点M处，连接BM交CE于点O.
(1)小明发现，在图1中如果延长BM交AD边于点N，则有，请说明理由；
(2)若矩形ABCD是一张A4纸，且E是AB边的中点，如图1所示进行折叠与连线，则的值为 　；
图1
(3)如图2，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在边AB和AD上，连接CE，CF，EF，且EC平分∠BEF，CE＝CF，sin ∠ECF＝k，求的值.(用含k的式子表示)
图2
解：(1)由翻折可知BM⊥CE，
∴∠BOC＝90°，∴∠OBC＋∠OCB＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠OBC＋∠OBE＝90°，
∴∠OCB＝∠OBE，∴△BAN∽△CBE，
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第五章　四边形
本章知识导图
5.2　矩　形
1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AD＝12，DC＝5，则△AOB的周长是( )
A.13 B.15 C.17 D.18
热身小练
D
2.[2025·内蒙古]如图，ABCD是一个矩形草坪，对角线AC，BD相交于点O，H是BC边的中点，连接OH，且OH＝20 m，AD＝30 m，则该草坪的面积为( )
A.2400 m2 B.1800 m2 C.1200 m2 D.600 m2
C
3.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则的值为 　.
4.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边BC的中点，F是CE的中点，连接AF，DE交于点O，求DO的长.
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝DC＝4，BC＝AD＝6，AD∥BC.
∵E是BC的中点，F是CE的中点，
∴CEBC＝3，EFCE，∴DE5.
∵AD∥BC，∴△ADO∽△FEO，
4，∴DODE＝4.
考点1　矩形的定义
有一个角是①　 　的平行四边形叫做矩形.
考点2　矩形的性质
(1)对边平行且相等；(2)四个角都是直角；(3)对角线互相平分且②　 　；(4)矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴.
　相等　
知识梳理
　直角　
考点3　矩形的判定
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；
(2)有三个角是直角的四边形是矩形；
(3)对角线相等的平行四边形是矩形；
(4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
跟踪训练
例　如图1， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CD＝12，∠AOD＝2∠OAB，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，且EF⊥AC，连接CE交BD于点G.
(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(2)若AE∶DE＝13∶5，求CF的长；
(3)若OE＝DE，求∠COD的度数；
(4)如图2，P是CD边上一点，连接PE，PF，∠EPF＝2∠DEP，求证：
图1　　　 图2
【参考答案】(1)∵∠AOD＝∠OAB＋∠OBA＝2∠OAB，
∴∠OAB＝∠OBA，∴OA＝OB.
∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，
∴AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形.
(2)由(1)知四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC，∠ADC＝90°.
∵EF⊥AC，∴AE＝CE.
∵AE∶DE＝13∶5，∴设AE＝13k，DE＝5k，则CE＝AE＝13k.
在Rt△CDE中，CE2＝DE2＋CD2，即(13k)2＝(5k)2＋122，解得k＝1，∴AE＝13k＝13.
易证得△OAE≌△OCF，∴CF＝AE＝13.
(3)∵OE＝DE，∠COE＝∠CDE＝90°，
∴Rt△COE≌Rt△CDE(HL)，∴CO＝CD.
∵四边形ABCD为矩形，∴OC＝OD＝CD，
∴△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°.
(4)∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠DEP＋∠DPE＋∠CPF＋∠CFP＝180°.
∵∠DPE＋∠CPF＋∠EPF＝180°，∴∠EPF＝∠DEP＋∠CFP.
∵∠EPF＝2∠DEP，∴∠DEP＝∠CFP，∴△DPE∽△CPF，
与矩形有关的推理及计算
1.[2025·安徽第10题]如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，点E为边AB上的动点.将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是( )
A.EC－ED的最大值是2
B.FB的最小值是
C.EC＋ED的最小值是4
D.FC的最大值是
A
命题点
真题精练
2.[2020·安徽第23题]如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD.EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB.
(1)求证：BD⊥EC；
(2)若AB＝1，求AE的长；
(3) 如图2，连接AG，求证：EG－DGAG.
　图1　　　　图2
解：(1)因为四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，
所以∠EAF＝∠DAB＝90°.
又因为AE＝AD，AF＝AB，
所以△AEF≌△ADB(SAS)，所以∠AEF＝∠ADB，
所以∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°，
所以BD⊥EC.
(2)由矩形的性质知AE∥CD，
所以∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，
所以△AEF∽△DCF，，即AE·DF＝AF·DC.
设AE＝AD＝a(a＞0)，则有a·(a－1)＝1，整理得a2－a－1＝0，解得a或a(舍去)，
所以AE的长为
(3)解法1：如图1，在线段EG上取点P，使得EP＝DG.
在△AEP和△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，
所以△AEP≌△ADG(SAS)，所以AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
所以∠PAG＝∠PAD＋∠DAG＝∠PAD＋∠EAP＝∠DAE＝90°，
所以△PAG为等腰直角三角形，
于是EG－DG＝EG－EP＝PGAG.
图1　　　
解法2：如图2，过点A作AG的垂线，与DB的延长线交于点Q.
在△AEG和△ADQ中，AE＝AD，∠AEG＝∠ADQ，∠EAG＝90°＋∠DAG＝∠DAQ，所以△AEG≌△ADQ(ASA)，
所以EG＝DQ，AG＝AQ，△AGQ为等腰直角三角形，
于是EG－DG＝DQ－DG＝QGAG.
　　　图2
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第五章　四边形
本章知识导图
5.3　菱　形
1.[2025·湖南]如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为( )
A.6 B.9 C.12 D.18
热身小练
C
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点.若OE＝2，则菱形ABCD的周长为( )
A.4 B. 16 C. 12 D. 20
B
3.[2025·云南]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是　 　.
　15　
4.[2025·福建]如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F.若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为　 　.
　1　
5.[2025·江苏扬州]如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长.
解：(1)∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，FA＝FC，OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF，
∴△OAE≌△OCF(ASA)，∴EA＝FC，
∴EA＝EC＝FA＝FC，∴四边形AFCE是菱形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3，BC＝5，
∴CD＝AB＝3，∠D＝∠B.
∵四边形AFCE是菱形，∴∠ACB＝∠ACE.
∵CE平分∠ACD，∴∠DCE＝∠ACE＝∠ACB.
又∵∠D＝∠B，∴△CDE∽△CBA，
，，∴DE
考点1　菱形的定义
有一组①　 　相等的平行四边形叫做菱形.
知识梳理
　邻边　
考点1　菱形的定义
有一组①　 　相等的平行四边形叫做菱形.
考点2　菱形的性质
(1)四条边都相等，对边平行；
(2)对角线互相平分且②　 　，且每条对角线平分一组对角；
(3)菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有2条对称轴，它的对称中心是对角线的交点；
(4)菱形的面积等于两条对角线乘积的③　 　，也等于底乘高.
　垂直　
　邻边　
一半
考点3　菱形的判定
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
(2)四条边都相等的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
(4)对角线互相平分且垂直的四边形是菱形.
跟踪训练
例　已知四边形ABCD为菱形，点E在BC上.
(1)如图1，点F在AD上，AF＝CE，AE，CF分别交BD于点G，H.求证：△BGE≌△DHF.
(2)如图2，在(1)的条件下，连接CG，AH，试判断四边形AGCH的形状，并说明理由.
图1　　 图2
　图3　　 图4
(3)如图3，E，F分别是边BC，CD上的动点，∠EAF＝∠ABC＝60°，AB＝3.
(ⅰ)CE＋CF的值为　 　；

(ⅱ)EF的最小值为 .
(4)如图4，点E，F分别在边BC，CD上，AF与DE交于点G，∠AGE＝∠ABC＝60°，AG＝2DG.求证：AE⊥BC.
　3　
　
【参考答案】(1)∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AD，BC∥AD，∴∠GBE＝∠HDF.
∵CE＝AF，∴BE＝DF，四边形AECF为平行四边形，
∴AE∥FC，∴∠GEB＝∠HCB＝∠HFD，
∴△BGE≌△DHF(ASA).
(2)四边形AGCH为菱形.
理由：由(1)知四边形AECF为平行四边形，△BGE≌△DHF，
∴AE∥CF，AE＝CF，GE＝HF，
∴AE－GE＝CF－HF，即AG＝CH，
∴四边形AGCH为平行四边形.
由菱形ABCD的对称性知AG＝CG，
∴四边形AGCH为菱形.
(4)∵∠AGE＝∠ABC＝60°，∴∠AGD＝∠DCE＝120°.
∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠DEC，∴△AGD∽△DCE.
∵AG＝2DG，∴CD＝2CE.
∵BC＝CD，∴BC＝2CE，即E为BC中点.
连接AC，易知△ABC为等边三角形，∴AE⊥BC.
与菱形有关的推理及计算
1. [2021·安徽第8题]如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为( )
A.3 B.2＋2
C.2 D.1＋2
A
命题点
真题精练
【解析】解法1：∵AB＝2，∠A＝120°，∴S菱形ABCD22＝22EG，∴EG由题意知四边形EFGH是矩形，∴OE＝OF＝OG＝OHEG⊥AB，FH⊥AD，∴∠EOH＝180°－120°＝60°，∴△OEH是等边三角形，∴EH，∴EF，∴四边形EFGH的周长＝2()＝3
解法2：连接AC，BD，则交点为O，AC⊥BD.∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∠ABD＝30°.∵AB＝2，∴OA＝1，OB，∴在Rt△OBE中，BE＝OB·cos 30°易得△BEF是等边三角形，∴EF＝BE由题意知四边形EFGH是矩形，∠EFH＝30°，∴在Rt△EFH中，EH＝EF·tan 30°，∴四边形EFGH的周长＝23
2.[2024·安徽第22题]如图1， ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM＝CN. 点E， F 分别是 BD与AN，CM的交点.
(1) 求证：OE＝OF；
图1
(2)连接BM 交AC于点H，连接 HE，HF.
(ⅰ)如图2，若HE∥AB，求证：HF∥AD；
(ⅱ)如图3，若 ABCD 为菱形，且MD＝2AM，∠EHF＝60°，求的值.
图2
图3
解：(1)解法1：由题意知AD∥BC，AM∥CN，OA＝OC.
由于AM＝CN，则四边形AMCN是平行四边形，
从而AN∥CM，所以∠OAE＝∠OCF.
在△AOE与△COF中，因为OA＝OC，∠OAE＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，
所以△AOE≌△COF，故OE＝OF.
解法2：易证△ABE≌△CDF，
所以BE＝DF，
又因为OB＝OD，所以OE＝OF.
解法3：由AN∥CM得，
又因为DM＝BN，AM＝CN，
所以BE＝DF，从而得OE＝OF.
(2)(ⅰ)因为HE∥AB，所以
又OB＝OD，OE＝OF，则
由于∠HOF＝∠AOD，故△HOF∽△AOD.
于是∠OHF＝∠OAD，所以HF∥AD.
(ⅱ)因为 ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
又OE＝OF，∠EHF＝60°，所以∠EHO＝∠FHO＝30°，
于是OHOE.
因为AM∥BC，MD＝2AM，所以，即HC＝3AH.
又OA＝OC，所以OA＝2OH＝2OE.
又因为BN∥AD，MD＝2AM，AM＝CN，
所以，即BEBD，DEBD.
又OB＝OD，所以OEBD，所以OB＝5OE.
故，
即的值是
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第五章　四边形
本章知识导图
5.4　正方形
1.在平面直角坐标系中，边长为的正方形OABC按如图所示放置，则顶点C的坐标为( )
A.(－1，1) B.(－1，)
C.(－1，－1) D.(，－1)
热身小练
C
2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点E，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是( )
A.AC⊥BD B.ABAE
C.∠ABD＝∠ADB D.AE＝CE
B
3.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，
AE与对角线BD交于点F，则DF的长是 .
　
4.如图，在正方形ABCD中，点G在BC边上，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若BF＝4，DE＝9，求EF的长.
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAD＝90°.
∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AFB＝∠DEA＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE＝90°－∠DAE，∴△BAF≌△ADE(AAS)，
∴BF＝AE＝4，AF＝DE＝9，
∴EF＝AF－AE＝9－4＝5.
知识梳理
考点1　正方形的定义
有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
考点2　正方形的性质
(1)正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，即正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相①
　 　且②　 　，并且每条对角线平分一组对角；
(2)正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有4条对称轴，对角线的交点是对称中心；
(3)S正方形＝a2m2(a表示边长，m表示对角线长).
　相等　
　垂直平分　
考点3　正方形的判定
(1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
(2)有一组邻边相等的矩形是正方形；
(3)对角线相互垂直的矩形是正方形；
(4)有一个角是直角的菱形是正方形；
(5)对角线相等的菱形是正方形；
(6)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
跟踪训练
例　如图，在正方形ABCD的边AB，BC上分别取点E，F，且AE＝BF，AF交DE于点O.连接AC，过点F作FG⊥AC，垂足为点G，连接GD，GE，DE交AC于点P，GE交AF于点Q.
(1)求证：AF⊥DE；
(2)判断GD与GE之间的数量关系和位置关系，并证明；
(3)若AD＝3，AE＝1，求QF的长.
【参考答案】(1)在正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°.
又∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF(SAS)，
∴∠ADE＝∠BAF，
∴∠BAF＋∠DEA＝∠ADE＋∠DEA＝90°，
∴∠AOE＝90°，∴AF⊥DE.
(2)GD＝GE，GD⊥GE.
证明：过点G作GM⊥BC于点M，过点G作NT⊥AB分别交AB，CD于点T，N.
易知四边形TBMG为矩形，四边形GMCN为正方形，
∴GN＝GM＝MC＝CN＝BT，∠CNT＝∠BTG＝90°，BM＝GT，
∴∠DNG＝∠GTE＝90°，DC－CN＝BC－CM，即DN＝BM＝GT.
∵FG⊥AC，∠ACB＝45°，GM⊥BC，
∴GM＝CM＝MF，∴BT＝MF.
∵ET＝AB－AE－BT，NG＝CM＝BC－BF－MF，AE＝BF，
∴ET＝NG，∴△DNG≌△GTE(SAS)，
∴GD＝GE，∠NDG＝∠EGT.
又∵∠NDG＋∠NGD＝90°，∴∠EGT＋∠NGD＝90°，
∴∠DGE＝90°，∴GD⊥GE.
(3)在Rt△DAE中，AD＝3，AE＝1，
∴DE
由(1)知AF⊥DE，AO·DEAE·AD，∴AO
在Rt△OAE中，OE
由(2)可知GD＝GE，GD⊥GE.
∴∠GED＝45°，∴△EOQ为等腰直角三角形，
∴OQ＝OE，∴QF＝AF－AO－OQ
与正方形有关的推理及计算
1.[2023·安徽第8题]如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.若AF＝2，FB＝1，则MG＝( )
A.2 B
C1 D
B
命题点
真题精练
2.[2022·安徽第14题]如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G.连接DF，请回答下列问题：
(1)∠FDG＝　 　°；
(2) 若DE＝1，DF＝2，则MN＝ .
　45　
　
【解析】(1)易证△ABE≌△GEF，∴AE＝GF，AB＝GE.∵在正方形ABCD中，AB＝AD，∴AD＝GE.∵AD＝AE＋DE，GE＝DE＋DG，∴AE＝DG＝GF，∴∠FDG＝∠DFG＝45°.
(2)解法1：过点F作FH⊥CD于点H.∵∠FHD＝90°，∴四边形DGFH是正方形，∴DH＝FH＝DG＝2，AG∥FH，，∴DM，HM，同理可得HN，∴MN＝HM＋HN
解法2：如图1，将△DMF绕点F逆时针旋转90°，得△HPF，连接CH，PN，易证D，C，H三点共线.易知△DGF为等腰直角三角形，EG＝3，GF＝2，DH＝4.∵DM∥GF，，，∴DM，∴MH＝DH－DM易证△DMF≌△HPF，△MNF≌△PNF，∴DM＝PH，MN＝PN，∴PH2＋HN2＝PN2，即DM2＋HN2＝MN2，设MN＝x，则HNx，x2，解得x，即MN
图1　　　　
　　　　 图2
解法3：如图2，连接EN，易知，∴S△MNFMN·DGS△EFNBE2，∴MN
3.[2025·安徽第22题]已知点A'在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AA'的垂直平分线，连接A'E，A'B.
(1)如图1，若BA'的延长线经过点D，AE＝1，求AB的长.
(2)如图2，点F是AA'的延长线与CD的交点，连接CA'.
(ⅰ)求证：∠CA'F＝45°；
(ⅱ) 如图3，设AF，BE相交于点G，连接CG，DG，DA'.若CG＝CB，判断△A'DG的形状，并说明理由.
图1　　 图2 图3
解：(1)由垂直平分线的性质知A'E＝AE，BA'＝BA.
又BE＝BE，
所以△EA'B≌△EAB，从而∠EA'B＝∠EAB＝90°.
又∠ADB＝45°，所以△A'DE是等腰直角三角形，
于是A'E＝AE＝1，DEA'E，
故AB＝AD＝AE＋DE＝1
(2)(ⅰ)由题意知BA＝BA'＝BC，
故∠BAA'＝∠BA'A，∠BCA'＝∠BA'C，
于是∠AA'C＝∠BA'A＋∠BA'C(180°－∠ABA')(180°－∠CBA')＝180°(∠ABA'＋∠CBA')＝180°－45°＝135°，
所以∠CA'F＝180°－∠AA'C＝45°.
(ⅱ)△A'DG是等腰直角三角形.理由如下：
解法1：如图，作CN⊥BG交BG于点M，交AB于点N.
因为CG＝CB，易知M为BG的中点.
又AA'⊥BE，所以CN∥AF，
故MN是△ABG的中位线，BNAB.
因为∠ABE＝90°－∠CBG＝∠BCN，∠BAE＝∠CBN＝90°，且AB＝BC，所以△ABE≌△BCN(ASA)，
故AE＝BNABAD，即E为AD的中点.
易得AG＝GA'，所以EG∥A'D，
于是∠DA'G＝∠EGA＝90°.
同理可证△ADA'≌△BAG，因此A'D＝AG＝A'G，
所以△A'DG是等腰直角三角形.
解法2：设∠ABG＝θ，则∠CBG＝90°－θ.
因为CG＝CB，所以∠BCG＝180°－2∠CBG＝2θ.
又因为△EA'B≌△EAB，则∠A'BG＝∠ABG＝θ，
于是∠CBA'＝90°－2θ.
因为BA'＝BA＝BC，所以∠BCA'＝∠BA'C，
于是2∠BCA'＝180°－∠CBA'＝90°＋2θ，
所以∠BCA'＝45°＋θ，
因此∠GCA'＝∠BCA'－∠BCG＝45°－θ，
故∠DCA'＝90°－∠BCA'＝45°－θ＝∠GCA'.
由于A'C＝A'C，CG＝CB＝CD，所以△A'CG≌△A'CD，
于是GA'＝DA'，∠CA'D＝∠CA'G.
由(ⅰ)知∠AA'C＝135°，
从而∠DA'G＝360°－2∠AA'C＝90°.
又GA'＝DA'，所以△A'DG为等腰直角三角形.
解法3：如图，延长BC，AF交于点M.
由题知∠A'GB＝90°，CG＝CB，
所以∠A'GC＋∠CGB＝∠M＋∠CBG＝90°，
因为∠CGB＝∠CBG，
所以∠A'GC＝∠M，所以CM＝CG＝CB＝AD，
所以△ADF≌△MCF，所以DF＝CFCD.
易证△ADF≌△BAE，所以AE＝DF＝CF.
因为AG＝A'G，所以EG为△AA'D的中位线，
所以A'D∥EG，所以∠DA'G＝∠AGE＝90°，
所以，所以A'D＝A'G，
所以△A'DG为等腰直角三角形.
解法4：易得∠CBG＝∠BAG，
又因为CG＝CB＝BA＝BA'，
所以△CBG≌△BAA'，所以BG＝AA'.
因为∠DAA'＝∠ABG，AD＝BA，
所以△ADA'≌△BAG，
所以∠DA'A＝∠AGB＝90°，DA'＝AG＝A'G，
所以△A'DG为等腰直角三角形.
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第五章　四边形
本章知识导图
5.1　多边形与平行四边形
1.[2025·北京]若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为( )
A.60 B.90
C.120 D.150
热身小练
C
2.[2025·贵州]如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC＝60°，以A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长为( )

A.5 B.4
C.3 D.2
D
3.[2025·吉林]如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的大小为　 　°.
　36　
4.[2025·四川宜宾]如图，E是平行四边形ABCD边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5.
(1)求证：△ADE≌△FCE；
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD＝5，∴∠D＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE.
∵E是CD的中点，∴DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE(AAS).
(2)求BF的长.
解：由(1)可得FC＝AD＝5，
∴BF＝BC＋FC＝5＋5＝10.
5. [2025·青海]如图，在△ABC中，O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接AD，BE.求证：四边形AEBD是平行四边形.
证明：解法1：∵O，D分别是边AB，BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.
∵AE∥BC，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AE＝CD.
∵D是边BC的中点，∴BD＝CD，∴AE＝BD.
又AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形.
解法2：∵O是边AB的中点，∴OA＝OB.
∵AE∥BC，∴∠OAE＝∠OBD，∠OEA＝∠ODB，
∴△AOE≌△BOD(AAS)，∴OE＝OD，
∴四边形AEBD是平行四边形.
考点1　多边形和正多边形
1.任意多边形：在平面内，由n(n≥3)条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做n边形.
2.多边形的对角线
(1)从n边形的一个顶点可以引①　 　条对角线；
(2)n边形共有② 条对角线.
知识梳理
　(n－3)　
　
3.多边形的内角和与外角和
(1)n边形的内角和等于③　 　；
(2)任意多边形的外角和都等于④　 　.
4.正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫
做正多边形.正n边形的每个内角为⑤ 　，
每个外角为⑥ 　.
　360°　
　(n－2)·180°　
考点2　平行四边形
1.平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.平行四边形的性质
(1)两组对边分别平行；(2)两组对边分别相等；(3)两组对角分别相等；(4)四组邻角分别互补；(5)对角线互相平分；(6)平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点.
3.平行四边形的判定
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.两条平行线间的距离处处相等.
5.平行四边形的面积：S平行四边形＝底×高；两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形；过对称中心的直线平分平行四边形的面积.
例1　(1)一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少180°，则这个多边形的边数为　 　.
跟踪训练
　9　
图1　 　 　图2
(2)[2025·湖南]如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，则∠AMB＝　 .
　45°
例2　[2024·合肥庐江二模]如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点P，AB⊥AC，垂足为点A，过点D作DE⊥AC于点E，并延长交BC于点F，连接BE.已知AB＝DE，∠ABE＝∠ACD.
(1)求证：四边形ABED是平行四边形.
【参考答案】(1)∵AB⊥AC，DE⊥AC，∴AB∥DE.
又∵AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形.
(2)假设AD＝5，DE＝3.
(ⅰ)求EF的长；
(ⅱ) 求△BEF的面积.
【参考答案】(ⅰ)由(1)知四边形ABED是平行四边形，∴∠ABE＝∠ADE.
∵∠ABE＝∠ACD，∴∠ADE＝∠ACD.
∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，
∴∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝∠ACD＋∠CDE＝90°.
易得△ADE∽△DCE，，即CE
∵AD＝5，DE＝3，∴AE4，
∴CE，∴AC＝AE＋CE＝4
∵AB∥DE，∴△CEF∽△CAB，
，即，∴EF
(ⅱ)解法1：过点B作BG⊥EF交EF的延长线于点G.
∵AB⊥AC，DE⊥AC，BG⊥EF，
∴∠BAE＝∠AEG＝∠G＝90°，
∴四边形ABGE为矩形，∴BG＝AE＝4，
∴S△BEFEF·BG4
解法2：过点F作FH⊥BE于点H.
∵AB∥EF，∴∠HEF＝∠ABE，∴sin ∠HEF＝sin ∠ABE，
∴FH＝EF·sin ∠HEF，∴S△BEFBE·FH5
多边形的性质
1.[2023·安徽第6题]如图，正五边形ABCDE内接于☉O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝( )

A.60° B.54°
C.48° D.36°
D
命题点1
真题精练
2.[2024·安徽第9题]在凸五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，F是CD的中点.下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是( )
A.∠ABC＝∠AED B.∠BAF＝∠EAF
C.∠BCF＝∠EDF D.∠ABD＝∠AEC
D
与平行四边形有关的推理及计算
3.[2025·安徽第8题]在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足AF＝CH，则下列为定值的是( )
A.四边形EFGH的周长
B.∠EFG的大小
C.四边形EFGH的面积
D.线段FH的长
命题点2
C
【解析】连接EG.在 ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AEAD，BGBC，∴AE∥BG，AE＝BG，∴四边形ABGE是平行四边形，同理可得四边形DCGE是平行四边形，∴△GEF与△GEH的面积分别为 ABGE与 DCGE面积的一半，四边形EFGH的面积＝S△GEF＋S△GEH，∴四边形EFGH的面积始终为 ABCD面积的一半，是定值.A项，EF，FG等边长随F，H移动变化，不是定值.B项，∠EFG随点F的移动而改变，不是定值.D项，FH长度随点F，H移动而改变，不是定值.
4.[2019·安徽第20题]如图，点E在 ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.
(1)求证：△BCE≌△ADF；
解：(1)如图1，延长FA与CB延长线交于点M.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠FAD＝∠M.
又∵AF∥BE，∴∠M＝∠EBC，
∴∠FAD＝∠EBC.同理得∠FDA＝∠ECB.
在△BCE和△ADF中，
∵∠EBC＝∠FAD，BC＝AD，∠ECB＝∠FDA，
∴△BCE≌△ADF(ASA).
图1　　　
(2) 设 ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值.
解：解法1：如图1，连接EF.
由(1)知△BCE≌△ADF，∴AF＝BE.
又∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形，
∴S△AEF＝S△AEB.
同理得S△DEF＝S△DEC，
∴T＝S△AEB＋S△DEC.
又∵T＝S△AED＋S△ADF＝S△AED＋S△BCE，
∴S＝S△AEB＋S△DEC＋S△AED＋S△BCE＝2T，
于是2.
图1　　　图2
　　　图2
解法2：由(1)知△BCE≌△ADF，
∴T＝S△AED＋S△BCE.
如图2，过点E作HG⊥BC，交BC于点G，交AD于点H，
∴EG⊥BC，EH⊥AD，
∴T＝S△AED＋S△BCEBC·(EG＋EH)BC·GHS，即2.
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