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专题6.11 角度中的动态模型
角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（角度的和差倍分模型（求值模型）、 定值模型、存在性模型（探究型） 、分类讨论模型、新定义模型）。
模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 2
模型2.旋转中的 定值模型 5
模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 9
模型4.旋转中的分类讨论模型 13
模型5.旋转中的新定义模型 16
模块3：培优训练 19
1、角度旋转模型解题步骤：
①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度：
1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；
2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；
3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。
变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角
③列——根据题意列方程求解。
注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。
一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。
总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。
模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型）
例1（24-25七年级上·天津河北·期末）如图1，已知，，且m、n满足等式，射线从处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转．(1)试求的度数．(2)如图1，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得？(3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从射线处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线处（在的内部）时，且，试求x．
【答案】(1)160°(2)30秒或34秒(3)
【详解】（1）∵，∴3，解得，，
∴，∴；
（2）设他们旋转x秒时，使得，则，
①当射线与射线相遇前有：，
即：，解得：；
②当射线与射线相遇后有：，
即：，解得：，
答：当他们旋转30秒或34秒时，使得；
（3）设t秒后这两条射线重合于射线处，则，
∵为的平分线，∴，∴，
∵，∴，
则，°，
∴，解得：，∴，解得：．
例2（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，，将一直角三角尺的顶点与重合，，平分，三角尺始终在的内部（可以与，重合）．
(1)如图1，当在射线上时，_____；
(2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数；
(3)如图3，，将三角尺以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，同时射线从处出发以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当到达处时三角尺和射线都停止旋转．设运动时间为秒，当时，求的值．
【答案】(1)45(2)(3)的值为或
【详解】（1）解：平分，，，
，，故答案为：45；
（2）解：设，则，
平分，，，
平分，，
，，解得，即；
（3）解：由题意得，先到达，，，
出发前，，，
秒后，，，
当与重合时，秒，
①当时，，，，解得；
②当时，，，，解得；
综上所述，的值为或．
例3（24-25七年级上·四川达州·期末）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
(1)若射线保持位置不变，当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间有何数量关系？并说明理由．(2)若射线的初始位置不变，且．
①在直角三角板旋转的过程中，若射线保持位置不变，当边与射线相交时（如图3），求的值．②在直角三角板旋转的过程中，将射线绕着点O按每秒的速度顺时针旋转（随三角板旋转停止而停止），是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)①；②，，，
【详解】（1）解：与之间的数量关系为，理由如下：
，，，
平分，，．
（2）①∵，
∴；
②由题意得：
当平分时，，即，解得；
当在上方，第一次平分时，，即，解得；
当在下方，第二次平分时，，
即，解得；
当第二次平分时，，即，解得：．
综上，的值为，，，．
模型2.旋转中的 定值模型
例1（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转．(1)当射线，重合时，______，(2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______；
(3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部．
①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值；②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围．
【答案】(1)(2)或或(3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析
【详解】（1）解：∵，，
∴当射线，重合时，，故答案为：；
（2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则；
如图2-2所示，当是的角平分线时，则；
如图2-3所示，当是的角平分线时，则；
综上所述，的度数为或或；
（3）解：①如图所示，∵，，
∴，
∴；
②度数不发生变化，为定值，理由如下：
∵，，∴，
∵，分别是和的平分线，
∴，
∴．
例2（24-25七年级下·辽宁鞍山·开学考试）在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘．
(1)如图①，三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．若，求度数．(2)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的同侧，如图②，若平分，平分，他们发现的度数为定值，请你求出这个定值．(3)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的异侧，平分，平分，设，如图③，探究的度数．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：， ；
（2）解：∵，∴，
平分，平分，，
，
；
（3）解：∵，，∴，
∴，
∵平分，∴，
∵平分，∴，．
例3（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，．
(1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ；
(2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值；
(3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角）
【答案】(1)(2)3或(3)当时，；当时，
【详解】（1）解：平分，
，故答案为：；
（2）
由题意知，当转到时，两条射线均停止运动
此时（秒）则停止转动时，
即从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧 因此，分以下2种情况：
①当在左侧时，
则由得，解得
②当在右侧时，
则由得，解得 综上，t的值为3或7.5；
（3）射线从开始转动至结束时，转动时间为（秒）
由题意，分与在一条直线上（）、与在一条直线上（）、与在一条直线上（）三个临界位置
①当时，如图1所示
此时，
则为定值
②当时，如图2所示
此时，
则不为定值
③当时，如图3所示
此时，
则为定值
④当时，如图4所示
此时，
则不为定值
综上，当或时，为定值．
模型3.旋转中的存在性模型（探究型）
例1（24-25七年级上·上海·期末）已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线．

(1)如图1，若，求的度数；(2)请从下面，两题中任选一题作答，我选择　题．
．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为　　．
．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数．
【答案】(1)(2)选择A: ；选择B：∠EOF的度数是或
【详解】（1）解：，，，
，分别是和的角平分线，
，，；
（2）解：选择题．，分别是和的角平分线，
，，
；故答案为：；
选择题．①射线，只有1个在外面，如图3①，

．
②射线，个都在外面，如图3②，
．
故的度数是或．
例2（24-25七年级上·广东珠海·期末）【问题背景】在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答：
【构造联系】（1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________．
【深入探究】（2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，．①当平分时，求的度数．②把绕着点转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数．
【拓展探索】（3）爱动脑筋的小林改变和各个角的度数，其中，按如图4所示摆放并分别作的角平分线和的角平分线，把绕点旋转一周，请直接写出与、的数量关系．
【答案】（1）②③；④；（2）①；②；（3）或
【详解】解：（1）图①中；
图②中；
图③中，∴；
图④中；
∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④；
（2）①∵平分，∴，∴；
②∵平分，∴，
∵平分，∴，
∴
；
（3）当在内部时，如图所示：
∵平分，∴，
∵平分，∴，
∴
，即此时；
当在外部，且、在上方时，如图所示：
∵平分，∴
，
∵平分，∴
∴，
即此时；
当在外部，且在上方，在下方时，如图所示：∵平分，
∴，
∵平分，∴，
∴
，即此时；
当在外部，且在下方，在下方时，如图所示：
∵平分，∴，
∵平分，∴，
∴，
即此时；
当在外部，且在下方，在上方时，如图所示：
∵平分，∴，
∵平分，∴，
∴，即此时；
综上分析可知：或．
例3（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）数学在我们生活中无处不在，一节广播操的运动过程就有数学问题．如图1为一节广播操动作的示意图，如图2，为了方便研究，两手手心位置分别记为A，B两点，两脚脚跟位置分别记为C，D两点，且A，B，C，D在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作A，B，C，D绕点O旋转，其中O为该平面内的一个定点．

图1 图2 图3 图4
(1)如图2，A，O，B三点共线，且，则 °；(2)图3为腿部运动，A，O，B三点始终共线，却不在水平方向上，且．求的值；
(3)图4为体侧运动，在运动前A、O、B三点在同一水平线上，，平分且，绕点O顺时针旋转，的旋转速度为每秒，的旋转速度为每秒，当旋转到与重合时，运动停止．①运动停止时，直接写出 °（用小于平角的度数表示）；
②判断运动过程中与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) (2) (3)①；②当时，；当时，，理由见解析
【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线，∴，
∵，∴，故答案为：；
（2）如图3，∵，设，
∴，，
∴，即的值为；
（3）如图4，∵，平分，
∴，，
设运动时间为，则，∴，
①运动停止时，即时，旋转的角度为，
∴，故答案为：；
②当时，；当时，；理由如下：
当点C、O、A三点共线时， ，
∴当时，∴；
当时，∴，
综上可知，当时，；当时，．
模型4.旋转中的分类讨论模型
例1（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为t（，单位：秒）
(1)当时，求的度数；(2)在运动过程中，当恰好平分时，求t的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)t的值为秒(3)存在，t的值为15秒或秒
【详解】（1）当时，．
（2）平分，解得：（或者11.25）
答：当恰好平分时，t的值为秒．
（3）当，重合时，解得：
当时：解得：
当时，解得：（或者22.5）
答：在旋转过程中存在这样的t，使得，t的值为15秒或秒．
例2（24-25七年级下·广东广州·期中）如图1，点为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中．
(1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，，求实数的值；
(2)三角板在绕点按逆时针方向旋转时，若在的内部．与大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由；
(3)如图3，将图1中的三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点以原速按顺时针方向旋转，在、第二次相遇前，当时，求旋转时间的值．
【答案】(1)(2)与的差是定值，该定值为(3)或或或69
【详解】（1）解：平分，，
∴，∴，∴，∴；
（2）解；如图所示，当在上方时，
∵，，
∴；
如图所示，当在下方时，
∵，，
∴；
综上所述，与的差是定值，该定值为；
（3）解：射线平分，射线平分，，，
旋转前与的夹角为，
与第一次相遇的时间为秒，此时旋转的角度为，
此时OC与OE的夹角为，
与第二次相遇的时间为（秒），
设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，
①当相遇前，解得，；
②当第一次相遇后，解得，；
③当第一次相遇后，相遇前，解得；
④当第一次相遇后，相遇后，解得，；
在与第二次相遇前，当时，旋转时间t为或或或69.
模型5.旋转中的新定义模型
例1（24-25七年级上·广东·期末）【概念提出】已知及射线，我们称的值为与的“关联度”，并用符号表示，其中都在到之间（含和）．（1）若，则 ；（2）尺规作图：如图1，已知，作一条射线，使得．（要求：保留作图痕迹，写出必要的说明）
【拓展延伸】（3）如图2，已知，射线与射线重合，射线位于内部或边上，将图2中的绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，的值随旋转时间及的位置变化而变化．①如图3，当旋转时间为45秒时，的最小值为 ；
②在旋转一周的过程中，当旋转时间为 秒时，．
【答案】（1）1或；（2）见解析；（3）① 2 ；② 75
【详解】（1）解：若射线在的内部，则，
；
若射线在的外部，则，
；综上所述，或．
故答案为：1或．
（2）解：，，，
若射线在下方，此时，
，即（不符合题意，舍去）；
若射线在内部，此时，
，，即射线为的三等分线，
由于尺规作图不能三等分任意角，故不符合题意，舍去；
若射线在上方，此时，
，，如下图，则射线即为所求：
（3）解：①当旋转时间为45秒时，，，
射线位于内部或边上，下面分2种情况讨论：
当，此时，
，
由图可知，，；
当，此时，
；综上所述，的最小值为2．故答案为：2．
②当射线在内部或边上时，则有，
此时，不符合题意，
射线不能在内部或边上，即的两边都在的外部，设旋转时间为秒，
当射线从图2的位置旋转至，则，
当射线从图2的位置旋转至，则，；
当时，如图，
则，此时，
当，此时，
，
此时的最小值为3，不符合题意，在范围内不存在符合题意的旋转时间；
当时，如图，则，此时，
当，此时，
，
此时的最小值为3，不符合题意，在范围内不存在符合题意的旋转时间；
当时，如图，
当，由①中的结论有：，符合题意；
当，此时有或，
令，则或，解得：或，
射线位于内部或边上，或，
当时，， 当时，，
当时，．故答案为：75．
例2（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角．
根据以上信息，解决下面的问题：
(1)如图1，，若是的内余角，则________；
(2)如图2，若，是的内余角，平分，平分．的大小是否随着的变化而改变？若不变，求出的度数；
(3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以5度/秒的速度按逆时针方向旋转，旋转时间为秒．当，同时射线，，，中，两条射线构成的角是另外两条射线构成的角的内余角时，求出的值．
【答案】(1)(2)不变，是定值(3)9秒或63秒
【详解】（1）∵，，是的内余角，
∴，故答案为：；
（2）的大小不随着的变化而改变，理由如下：
∵，是的内余角，∴
∴
∵平分，平分．∴
∴；
（3）根据题意，分是的内余角、是的内余角两种情况分析，
①如图，若是的内余角，
∴，，∴，解得；
②如图：若是的内余角，
∴，，
∴，解得；
∴射线，，，构成内余角时，为9秒或63秒．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级上·河北·阶段练习）题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （ ）
A．只有甲答的对 B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整
【答案】C
【详解】解：由题意，可知：，∴，
当两个三角板不重合时，如图：则：，
当两个三角板有重合部分时，如图：∵，∴，
∴，∴；故甲、乙答案合在一起才完整；故选C．
2．（24-25七年级下·重庆巫山·期中）如图，点O在直线上，过O作射线，一块三角板的直角顶点与点O重合，边在射线上，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　）
A．5 B．6 C．5或23 D．6或24
【答案】D
【详解】解：∵，∴，
如图，平分，当旋转到直线上时，满足题意，
∴．
∵，，
∴．根据题意得：或，
解得：或，∴t的值为6或24．故选：D．
3．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（ ）
A．当值为秒时， B．当时，两射线的旋转时间一定为秒
C．整个运动过程中，不存在的情况 D．当值为秒时，射线恰好平分
【答案】D
【详解】解：当秒时，顺时针旋转，逆时针旋转，
此时，故A选项错误，不符合题意；
∵，当时，有，，
则有，即，解得：，
当时，有，，
则有，即，解得：，
当时，有，，
则有，即，解得：，
两射线的旋转时间为秒或秒或秒时，故B选项错误，不符合题意；
∵，当时，有，，
则有，即，解得：，
当时，有，，
则有，即，解得：，
整个运动过程中，存在的情况，故C选项错误，不符合题意；
当秒时，，，
，恰好平分，故D选项正确，符合题意．故选：D．
4．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一条射线，将一把直角三角尺的直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（ ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】解：①如图，当时，∵，∴，
∵平分，∴，
∴，即：，解得：；
②如图，当时，∵，∴，
∵平分，∴，∴，解得：，
综上所述，在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为秒或秒，故选：C．
5．（24-25·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：

①在图1的情况下，在内作，则平分；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次；
④的角度恒为．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】①如图可得，所以平分，①正确；
②当时，设，∵平分，∴，
∴ ，，
∴，
当时，设，∵平分，∴，
∴，∴，
∴，∴，故②正确；
③时，时，时故③正确；
④当时，当时，故④错误；
综上所述，正确的结论为①②③；故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共11小题，每小题3分，共33分，答案写在答题卡上）
6．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，点G为直线上一点，，将绕点G逆时针旋转，当射线与射线重合时停止旋转；在旋转过程中，射线始终平分；当，三条射线中有一条是另外两条射线所成夹角的平分线时，的度数为 ．
【答案】或
【详解】解：如图，当平分时：则：，
∵平分；∴，
∵，∴，∴，
∴的度数为；
当平分时，则：，
∵平分；∴，∴，
∴，∴；
综上：的度数为或；故答案为：或．
7．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ．
【答案】或
【详解】解：∵，，是的两条三分线，
∴，
①当，如图，
如原图所示：，所以；
②当时，如图，
则，所以，．故答案为：或．
8．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分，，将三角板绕点旋转（旋转过程中与均指大于且小于的角）将三角板绕点旋转一周，的度数为 （用含的代数式表示）．
【答案】或
【详解】解：当在上方时，如图，
∵，∴，，
∵平分，∴，
∴；
当在下方时，如图，
∵，∴，
∵平分，∴，
∵，∴；
∴的度数为或，故答案为：或．
9．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ．
【答案】或
【详解】解：由题意，得：的运动时间为：秒，的运动时间为：秒；
∴运动的时间相同；设运动时间为秒，则：，
∵，∴，
当时：，
∴，，∴，
∴，∴，即：；
当，在上方时：如图，，
∴，，
∴，∴，∴，即：；
当，在下方时：如图2，，
∴，，
∴，∴，∴，即：；
综上：与之间的数量关系为或；故答案为：或．
10．（24-25七年级下·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ．
①如果，那么；②是定值
③若变小，则变大；④
【答案】①②③④
【详解】解：，，
，，
，
即，即，
当，则，故①正确；
，，故②正确；
，若变小，则变大，故③正确；
，
，，故④正确；综上所述，故答案为：①②③④．
11．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，（、均小于），则x与y之间的数量关系为 ．
【答案】或
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，，
设旋转运动时间为秒，则，，
∵射线从出发向终边旋转所需时间为（秒），射线从出发向终边旋转所需时间为（秒），∴，
当与在一条直线上时，则，即，解得．
①如图1，当时，则，
∴，，
∵，，∴，，
∴，即，∴；
②如图2，当时，则，
∴，，
∵，，∴，，
∴，即，∴；
综上，或，故答案为：或．
12．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）一副直角三角板如图1摆放在直线上，（直角三角板和直角三角板，，，，），如图2保持三角板不动，将三角板绕点旋转（旋转角）．在旋转过程中，当三角板的一边平行于时，此时 ．
【答案】75或120或165
【详解】解：如图，当时，
此时与重合，∴；
如图，当时，∴；
如图，当时，∴，
∵，∴；
综上，或或．故答案为：75或120或165．
13．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，若与的某一边平行（不共线）时，的值为 ．
【答案】或
【详解】解：如图：当时，的值为；如图：当时，，
∵，∴，∴的值为．
如图：当时，∴的值为（不符合题意）．
综上，当与的某一边平行（不共线）时，的值为或．故答案为：或．
14．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，若，，，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．则经过 秒后，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线．
【答案】或或4
【详解】解：设经过的时间为x秒，∵，，．
在旋转过程中，，，，
分别令，，可得，．
可见当时，三条射线停止运动．
①如图，当为、夹角的角平分线时，
．，解得，此时，不合题意；
②当为、夹角的角平分线时，．
，解得；
③当为、夹角的角平分线时，∴．
，解得；
④当为、夹角的角平分线时，
．，解得；
答：经过秒、秒、4秒时，其中一条射线是另两条射线夹角的平分线．
故答案为：或或4．
15．（24-25七年级上·四川成都·期末）将一副三角板与如图放置，、、三点共线，，，现将三角板绕点沿顺时针方向旋转一定角度如图，若平分，平分，则的度数是 ．
【答案】
【详解】解：平分，平分，
，，
，
．
故答案为：．
16．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线上有一点，过点在直线的上方作射线，，现将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线始终平分，射线始终是的三等分线，且．设旋转时间为秒，若，的值为 ．
【答案】或
【详解】解：设旋转时间为秒，
当时，则，∴，
∵射线始终是的三等分线，且，
∴，
∵射线始终平分，∴，
∴，解得：；
当时，则，
∴，
∵射线始终是的三等分线，且，
∴，
∵射线始终平分，∴，
∴，解得：；
当时，则，
∴，
∵射线始终是的三等分线，且，
∴，
∵射线始终平分，∴，
∴，解得：（舍去）．
综上可得，的值为或．故答案为：或．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）直线，相交于点，，射线平分．（本题中所有角的度数均不超过）
(1)若直线与直线垂直（即）．
①将绕点旋转至图①的位置，，______．
②将绕点旋转至图②的位置，，求的度数（用含的代数式表示）．(2)如图③，若，将绕点顺时针旋转一周，请直接写出在整个旋转过程中与所有的数量关系．
【答案】(1)①70；② (2)或；或．
【详解】（1）解：①∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵射线平分，∴，∴；
②，，，
射线平分，，
，
；
（2）解：∵射线平分，∴，
当均在的左侧时，如图，
∵，
∴，，
∴，
∴；
当均在的右侧时，如图，
，
，
∴；
当在的左侧，在的右侧时，如图，
∵
∴，
，
∴；
当在的上方，在的右侧时，如图，
∵∴，
∵，∴，
，
∴．
综上所述，或；或．
18．（24-25七年级上·广东湛江·期末）综合与实践
数学实验课上，同学们探究角度之间的关系．
【问题情境】（1）将两块三角板如图1方式摆放，其中，，作平分，平分．①当为时，求的度数；
②当在内转动时，的度数是否保持不变，请说明理由．
【探究实践】（2）如图2，在内，设，，，作平分，平分，请用含，的代数式表示．
【拓展应用】（3）如图3，固定不动，将绕点P按顺时针方向旋转，设，，，作平分，平分，直接写出的大小（用含α，β的代数式表示）．
【答案】（1）①；②当在内转动时，∠MPN的度数保持不变，理由见解析
（2）（3）或者
【详解】解：（1）①，，，
平分，平分，，，
当时，，
则，，
；
②当在内转动时，的度数保持不变；理由如下：
，，，
平分，平分，，，
，
；
（2）当在内转动时，，，，
平分，平分，，，
，．
（3）分两种情况：①当在内转动时；由（2）可知：；
②当在外转动时，如图3，
∵，，，
平分，平分，，，
，
．
19．（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，平分；将一直角三角板的直角顶点放在点处，设直角三角板两直角边分别为、（，），边在射线上．
(1)在图1中，_____；(2)如图2，将直角三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当时，则旋转时间的值为多少秒？(3)将直角三角板绕点顺时针旋转，当在内部运动时，请写出此时与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)旋转时间的值为秒或秒(3)，理由见解析
【详解】（1）解：，，
，
又平分，；
（2）当旋转时间为秒时，，
根据题意得：或，解得：或，
旋转时间的值为秒或秒；
（3），理由如下：
当在内部运动时，，
又，，．
20．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）旋转与角度：
（1）已知点A、O、B在同一直线上，是直角，平分，求的度数．
（2）填空：时钟在5点_____________分，时针和分针夹角是．
（3）如图，，射线OM从OA出发绕点O顺时针旋转，每秒转，同时，射线ON从OB出发绕点O逆时针旋转，每秒转转到出发位置时均停止转动．①几秒后OM平分？②几秒后ON平分？
【答案】（1）（2）或（3）①5秒②11秒．
【详解】（1）∵，是直角；
∴，；∴；
∵平分；∴；∴．
（2）时针分针以5点整为起点，设时间为；
①当分针未追及时针时，由题意可得；；解得；
②当分针超过时针时，由题意可得；；解得；故答案为或．
（3）设时间为，由题意可得；，；
①∵平分；∴；
又∵；∴；解得；
②∵平分；∴，；
又∵；∴；解得．
21．（24-25七年级上·广东清远·期末）【探索新知】
（1）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的一半，则称射线是的“等分线”．
①一个角的平分线______这个角的“等分线”．（填“是”或“不是”）
②如图2，若，且射线是的“等分线”，则_____．（用含的代数式表示出所有可能的结果）
【深入研究】（2）如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒20°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒，当与成180°时停止旋转．
①当t为何值时，射线是的“等分线”．
②射线从位置开始绕点P以每秒10°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“等分线”时的值．
【答案】①是；②或或
【详解】解：（1）①按照“等分线”的定义可知：一个角的平分线是这个角的“等分线”；
故答案为：是；
②若，且射线是的“等分线”，则由“等分线”的定义可知有三种情况符合题意：
，此时；
，此时；
，此时；
故答案为：或或；
（2）①根据题意得：；；，解得；；；
∴t为秒或6秒或9秒时，射线是的“等分线”；
②根据题意得：；；，解得；；；
∴t的值为秒或2秒或3秒时，射线是的“等分线”．
22．（24-25七年级上·山西朔州·期末）综合与探究：如图，，，射线从初始位置出发，绕点O以/秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒．射线分别平分，．
(1)当时，求的度数．(2)若在转动的同时，也绕点O从初始位置开始向方向转动，速度为/秒，两射线中的一条转动到时，射线都停止转动，当时，求t的值．
【答案】(1)(2)当时，t的值为
【详解】（1）解：当时，，
射线分别平分，．
，，；
（2）解：由题意可得，，
射线分别平分，．
，，
当在上方，则，解得；
当在下方，则，解得（舍去）；
当时，t的值为．
23.（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”．
(1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）；
(2)点M、O、N在同一直线上，①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小；②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值．
【答案】(1)是 (2)或；27.2或或
【详解】（1）解：∵，设，则，
∴，∴，
∴是的，∴是的新生线，故答案为：是；
（2）解：①射线在的内部，并且是的“新生线”，
当时，如图所示，
∵点、、在同一直线上，，∴．
∴，∴．
∵平分，∴；
当时，如图所示，
同理，，∴，
∵平分，∴；综上所述，的大小为或；
②射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，
∴到的时间范围为：．
∵，，∴，
∴当追上的时间为：，解得：；
当追上的时间为：，解得：．
第一种情况，当在右侧时，即，如图，
∴，，，
∵射线平分，∴．
∵，
当时，∴，解得：；
当时，
，∴，解得：；
第二种情况，当在左侧时，即，如图，
当时，∵，
∴，∴，解得：；
第三种情况，当在内部，且在左侧，即，如图，
当时，∵，
∴，∴，
解得：，不合题意，舍去；
第四种情况，当在内部，且在右侧，即，如图，
当时，∵，
∴，
∵，∴，
解得：，不合题意，舍去；
当时，∴，解得：，不合题意，舍去．
综上可知t的值为27.2或或．
24.（24-25七年级上·江苏淮安·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒．
(1)如图2，当秒时，求的度数；(2)当____秒时，平分；
(3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．①当时，求t的值；②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不含t）：_____．
【答案】(1)(2)(3)①或；②
【详解】（1）解：如图2，当秒时，，
，，；
（2）解：平分，，，
将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，，解得：，故答案为：；
（3）①在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，
，
，分两种情况：当相遇前时，
解得：；
当相遇后时，解得：；
综上所述，或；
②，理由如下：
分两种情况：当在异侧时，如图：由题意得：，
，
；
当在同侧时，如图：由题意得：，
，
；综上所述，．
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专题6.11 角度中的动态模型
角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（角度的和差倍分模型（求值模型）、 定值模型、存在性模型（探究型） 、分类讨论模型、新定义模型）。
模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 2
模型2.旋转中的 定值模型 5
模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 9
模型4.旋转中的分类讨论模型 13
模型5.旋转中的新定义模型 16
模块3：培优训练 19
1、角度旋转模型解题步骤：
①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度：
1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；
2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；
3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。
变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角
③列——根据题意列方程求解。
注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。
一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。
总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。
模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型）
例1（24-25七年级上·天津河北·期末）如图1，已知，，且m、n满足等式，射线从处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转．(1)试求的度数．(2)如图1，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得？(3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从射线处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线处（在的内部）时，且，试求x．
例2（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，，将一直角三角尺的顶点与重合，，平分，三角尺始终在的内部（可以与，重合）．
(1)如图1，当在射线上时，_____；
(2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数；
(3)如图3，，将三角尺以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，同时射线从处出发以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当到达处时三角尺和射线都停止旋转．设运动时间为秒，当时，求的值．
例3（24-25七年级上·四川达州·期末）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
(1)若射线保持位置不变，当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间有何数量关系？并说明理由．(2)若射线的初始位置不变，且．
①在直角三角板旋转的过程中，若射线保持位置不变，当边与射线相交时（如图3），求的值．②在直角三角板旋转的过程中，将射线绕着点O按每秒的速度顺时针旋转（随三角板旋转停止而停止），是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．
模型2.旋转中的 定值模型
例1（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转．(1)当射线，重合时，______，(2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______；
(3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部．
①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值；②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围．
例2（24-25七年级下·辽宁鞍山·开学考试）在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘．
(1)如图①，三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．若，求度数．(2)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的同侧，如图②，若平分，平分，他们发现的度数为定值，请你求出这个定值．(3)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的异侧，平分，平分，设，如图③，探究的度数．
例3（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，．
(1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ；
(2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值；
(3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角）
模型3.旋转中的存在性模型（探究型）
例1（24-25七年级上·上海·期末）已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线．

(1)如图1，若，求的度数；(2)请从下面，两题中任选一题作答，我选择　题．
．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为　　．
．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数．
例2（24-25七年级上·广东珠海·期末）【问题背景】在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答：
【构造联系】（1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________．
【深入探究】（2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，．①当平分时，求的度数．②把绕着点转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数．
【拓展探索】（3）爱动脑筋的小林改变和各个角的度数，其中，按如图4所示摆放并分别作的角平分线和的角平分线，把绕点旋转一周，请直接写出与、的数量关系．
例3（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）数学在我们生活中无处不在，一节广播操的运动过程就有数学问题．如图1为一节广播操动作的示意图，如图2，为了方便研究，两手手心位置分别记为A，B两点，两脚脚跟位置分别记为C，D两点，且A，B，C，D在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作A，B，C，D绕点O旋转，其中O为该平面内的一个定点．

图1 图2 图3 图4
(1)如图2，A，O，B三点共线，且，则 °；(2)图3为腿部运动，A，O，B三点始终共线，却不在水平方向上，且．求的值；
(3)图4为体侧运动，在运动前A、O、B三点在同一水平线上，，平分且，绕点O顺时针旋转，的旋转速度为每秒，的旋转速度为每秒，当旋转到与重合时，运动停止．①运动停止时，直接写出 °（用小于平角的度数表示）；
②判断运动过程中与的数量关系，并说明理由．
模型4.旋转中的分类讨论模型
例1（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为t（，单位：秒）
(1)当时，求的度数；(2)在运动过程中，当恰好平分时，求t的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
例2（24-25七年级下·广东广州·期中）如图1，点为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中．
(1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，，求实数的值；
(2)三角板在绕点按逆时针方向旋转时，若在的内部．与大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由；
(3)如图3，将图1中的三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点以原速按顺时针方向旋转，在、第二次相遇前，当时，求旋转时间的值．
模型5.旋转中的新定义模型
例1（24-25七年级上·广东·期末）【概念提出】已知及射线，我们称的值为与的“关联度”，并用符号表示，其中都在到之间（含和）．（1）若，则 ；（2）尺规作图：如图1，已知，作一条射线，使得．（要求：保留作图痕迹，写出必要的说明）
【拓展延伸】（3）如图2，已知，射线与射线重合，射线位于内部或边上，将图2中的绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，的值随旋转时间及的位置变化而变化．①如图3，当旋转时间为45秒时，的最小值为 ；
②在旋转一周的过程中，当旋转时间为 秒时，．
例2（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角．
根据以上信息，解决下面的问题：
(1)如图1，，若是的内余角，则________；
(2)如图2，若，是的内余角，平分，平分．的大小是否随着的变化而改变？若不变，求出的度数；
(3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以5度/秒的速度按逆时针方向旋转，旋转时间为秒．当，同时射线，，，中，两条射线构成的角是另外两条射线构成的角的内余角时，求出的值．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级上·河北·阶段练习）题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （ ）
A．只有甲答的对 B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整
2．（24-25七年级下·重庆巫山·期中）如图，点O在直线上，过O作射线，一块三角板的直角顶点与点O重合，边在射线上，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　）
A．5 B．6 C．5或23 D．6或24
3．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（ ）
A．当值为秒时， B．当时，两射线的旋转时间一定为秒
C．整个运动过程中，不存在的情况 D．当值为秒时，射线恰好平分
4．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一条射线，将一把直角三角尺的直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（ ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角）
A． B． C．或 D．或
5．（24-25·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：

①在图1的情况下，在内作，则平分；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次；
④的角度恒为．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共11小题，每小题3分，共33分，答案写在答题卡上）
6．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，点G为直线上一点，，将绕点G逆时针旋转，当射线与射线重合时停止旋转；在旋转过程中，射线始终平分；当，三条射线中有一条是另外两条射线所成夹角的平分线时，的度数为 ．
7．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ．
8．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分，，将三角板绕点旋转（旋转过程中与均指大于且小于的角）将三角板绕点旋转一周，的度数为 （用含的代数式表示）．
9．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ．
10．（24-25七年级下·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ．
①如果，那么；②是定值
③若变小，则变大；④
11．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，（、均小于），则x与y之间的数量关系为 ．
12．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）一副直角三角板如图1摆放在直线上，（直角三角板和直角三角板，，，，），如图2保持三角板不动，将三角板绕点旋转（旋转角）．在旋转过程中，当三角板的一边平行于时，此时 ．
13．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，若与的某一边平行（不共线）时，的值为 ．
14．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，若，，，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．则经过 秒后，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线．
15．（24-25七年级上·四川成都·期末）将一副三角板与如图放置，、、三点共线，，，现将三角板绕点沿顺时针方向旋转一定角度如图，若平分，平分，则的度数是 ．
16．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线上有一点，过点在直线的上方作射线，，现将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线始终平分，射线始终是的三等分线，且．设旋转时间为秒，若，的值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）直线，相交于点，，射线平分．（本题中所有角的度数均不超过）
(1)若直线与直线垂直（即）．
①将绕点旋转至图①的位置，，______．
②将绕点旋转至图②的位置，，求的度数（用含的代数式表示）．(2)如图③，若，将绕点顺时针旋转一周，请直接写出在整个旋转过程中与所有的数量关系．
18．（24-25七年级上·广东湛江·期末）综合与实践
数学实验课上，同学们探究角度之间的关系．
【问题情境】（1）将两块三角板如图1方式摆放，其中，，作平分，平分．①当为时，求的度数；
②当在内转动时，的度数是否保持不变，请说明理由．
【探究实践】（2）如图2，在内，设，，，作平分，平分，请用含，的代数式表示．
【拓展应用】（3）如图3，固定不动，将绕点P按顺时针方向旋转，设，，，作平分，平分，直接写出的大小（用含α，β的代数式表示）．
19．（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，平分；将一直角三角板的直角顶点放在点处，设直角三角板两直角边分别为、（，），边在射线上．
(1)在图1中，_____；(2)如图2，将直角三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当时，则旋转时间的值为多少秒？(3)将直角三角板绕点顺时针旋转，当在内部运动时，请写出此时与的数量关系，并说明理由．
20．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）旋转与角度：
（1）已知点A、O、B在同一直线上，是直角，平分，求的度数．
（2）填空：时钟在5点_____________分，时针和分针夹角是．
（3）如图，，射线OM从OA出发绕点O顺时针旋转，每秒转，同时，射线ON从OB出发绕点O逆时针旋转，每秒转转到出发位置时均停止转动．①几秒后OM平分？②几秒后ON平分？
21．（24-25七年级上·广东清远·期末）【探索新知】
（1）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的一半，则称射线是的“等分线”．
①一个角的平分线______这个角的“等分线”．（填“是”或“不是”）
②如图2，若，且射线是的“等分线”，则_____．（用含的代数式表示出所有可能的结果）
【深入研究】（2）如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒20°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒，当与成180°时停止旋转．
①当t为何值时，射线是的“等分线”．
②射线从位置开始绕点P以每秒10°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“等分线”时的值．
22．（24-25七年级上·山西朔州·期末）综合与探究：如图，，，射线从初始位置出发，绕点O以/秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒．射线分别平分，．
(1)当时，求的度数．(2)若在转动的同时，也绕点O从初始位置开始向方向转动，速度为/秒，两射线中的一条转动到时，射线都停止转动，当时，求t的值．
23.（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”．
(1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）；
(2)点M、O、N在同一直线上，①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小；②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值．
24.（24-25七年级上·江苏淮安·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒．
(1)如图2，当秒时，求的度数；(2)当____秒时，平分；
(3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．①当时，求t的值；②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不含t）：_____．
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