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专题6.1几何图形
1．理解几何图形的概念，并能对具体图形进行识别或判断；
2. 理解点、线、面、体之间的关系，掌握怎样由平面图形旋转得到几何体，能够借助平面图形剖析常见几何体的形成过程。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.几何体的识别 2
考点2.几何体的构成 3
考点3.几何体的分类 4
考点4.几何体的点、棱、面 6
考点5.欧拉公式 8
考点6.点线面体之间的关系 12
考点7.旋转体的辨别 13
考点8.旋转体的相关计算 15
考点9.七巧板的相关计算 17
模块3：培优训练 18
1．几何图形：从实物中得到的点、线、面、体称为几何图形。
注意：几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置。
2.立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等。
3.平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。
4.几何图形的分类
注意：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果。
3.几何体的构成元素：几何体是由点、线 、面构成的。
点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成。
考点1.几何体的识别
例1．（24-25七年级上·广东河源·期中）观察下列实物模型，其整体形状给我们以圆柱的形象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．此物体给我们以圆台的形象，不符合题意；
B．此物体给我们以长方体的形象，不符合题意；
C．此物体给我们以圆锥的形象，不符合题意；
D．此物体给我们以圆柱的形象，符合题意；故选：D．
变式1．（25-26七年级上·陕西西安·期中）用数学的眼光观察我们身边的物体，下列可以抽象为棱柱的物体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：、可以抽象为圆柱，故本选项不符合题意；
、可以抽象为圆锥，故本选项不符合题意；
、可以抽象为棱柱，故本选项符合题意；
、可以抽象为棱锥，故本选项不符合题意；故选：．
变式2．（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察下列实物模型，其整体形状呈现为圆锥形象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：选项A的实物模型整体形状为长方体（四棱柱），不符合圆锥特征．长方体由六个矩形面组成，有12条棱、8个顶点，与圆锥的曲面、单一底面等特征完全不同．
选项B的实物模型整体形状为圆柱，不符合圆锥特征．其具备两个平行的圆形底面和曲面侧面，属于圆柱结构，不具备圆锥的形状特点；
选项C的实物模型整体形状呈现为圆锥形象．它有一个圆形底面，侧面是曲面，从顶部到底面圆心的距离为唯一的一条高，符合圆锥的形状特征；
选项D的实物模型整体形状为长方体（四棱柱），不符合圆锥特征．长方体由六个矩形面组成，有12条棱、8个顶点，与圆锥的曲面、单一底面等特征完全不同．故选：C．
变式3.（25-26七年级上·河北唐山·期中）图是美术素描常用的几何体模型，其中没有下列哪个几何体（　　）
A．球 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥
【答案】D
【详解】解：该几何体模型，有几何体：球，正方体，圆柱，棱锥，没有圆锥．故选：D．
考点2.几何体的构成
例1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）下列说法错误的是（　　）
A．圆锥的侧面是曲面 B．正方体的所有棱长都相等
C．棱柱的侧面可能是三角形 D．圆柱的侧面展开图为长方形
【答案】C
【详解】解：A、圆锥的侧面是曲面，说法正确，不符合题意；
B、正方体的所有棱长都相等，说法正确，不符合题意；
C、棱柱的侧面是长方形，不可能是三角形，原来的说法是错误的，符合题意；
D、圆柱的侧面展开图为长方形，说法正确，不符合题意；故选：C．
变式1．（24-25七年级上·山东烟台·期中）若一个棱柱有个顶点，则下列说法错误的是（ ）
A．这个棱柱的底面是五边形 B．这个棱柱有5个侧面
C．这个棱柱是一个十棱柱 D．这个棱柱有条棱
【答案】C
【详解】解：A．若一个棱柱有个顶点，这个棱柱的底面是五边形，故选项正确，不符合题意；
B．若一个棱柱有个顶点，这个棱柱的底面是五边形，则这个棱柱有5个侧面，故选项正确，不符合题意；C．若一个棱柱有个顶点，这个棱柱是一个五棱柱，故选项错误，符合题意；
D．若一个棱柱有个顶点，这个棱柱的底面是五边形，则这个棱柱有条棱，故选项正确，不符合题意．
故选：C．
变式2．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法中正确的个数是（ ）
长方体，正方体都是棱柱；圆锥和圆柱的底面都是圆；若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面面积相等；棱锥底面边数与侧棱数相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：由题意知，长方体，正方体都是棱柱，正确，故符合要求；
圆锥和圆柱的底面都是圆，正确，故符合要求；
若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面面积相等，正确，故符合要求；
棱锥底面边数与侧棱数相等，正确，故符合要求；故选：D．
考点3.几何体的分类
例1．（25-26七年级上·山东青岛·月考）下列几何体中，柱体是 ，含曲面的有 无顶点的有 （填序号）
【答案】 ①③④⑤⑥⑧ ①②⑦ ①⑦
【详解】解：下列几何体中，柱体是①③④⑤⑥⑧，含曲面的有①②⑦，无顶点的有①⑦．
故答案为：①③④⑤⑥⑧；①②⑦；①⑦．
变式1．（24-25七年级上·浙江·课后作业）观察下图中各几何体的特征，回答下列问题：
将上述几何体按如下两种方式进行分类（请填写序号）：
（1）按形状来划分，柱体有 ，球体有 ，锥体有 ；
（2）按几何体有无顶点来划分， 为一类，几何体有顶点； 为一类，几何体无顶点．
【答案】 ①②④ ③ ⑤ ①②⑤ ③④
【详解】解：（1）由柱体，球体，锥体的定义，可按形状来划分，柱体有①②④，球体有③，锥体有⑤；
（2）由柱体，球体，锥体的特征，可按几何体有无顶点来划分，①②⑤为一类，几何体有顶点；③④为一类．故答案为：①②④；③；⑤；①②⑤；③④．
变式2．（25-26七年级上·浙江课后作业）把几何图形：①长方形；②三角形；③圆锥；④直线；⑤圆柱；⑥平行四边形；⑦球；⑧圆；⑨正方体；分别填在下面的大括号内：(填序号)
立体图形{ …}；
平面图形{ …}．
【答案】立体图形{ ③、⑤、⑦、⑨…}； 平面图形{ ①、②、④、⑥、⑧…}
【详解】解：③圆锥是立体图形，因为它是由圆形底面和曲面围成的三维图形．
⑤圆柱是立体图形，因为它是由两个平行圆形底面和曲面围成的三维图形．
⑦球是立体图形，因为它是所有点与中心点距离相等的三维图形．
⑨正方体是立体图形，因为它是由六个正方形面围成的三维图形．
①长方形是平面图形，因为它是四条边组成的二维四边形．
②三角形是平面图形，因为它是三条边组成的二维图形．
④直线是平面图形，因为它是无限延伸的一维图形，但存在于平面内．
⑥平行四边形是平面图形，因为它是四条边组成的二维四边形．
⑧圆是平面图形，因为它是所有点与中心点距离相等的二维图形．
立体图形{ ③、⑤、⑦、⑨…}；平面图形{ ①、②、④、⑥、⑧…}
变式3．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？
平面图形： （填序号）． 立体图形： （填序号）．
【答案】 ②④⑤⑥ ①③⑦
【详解】解：由题意得，平面图形有②④⑤⑥，立体图形有①③⑦，
故答案为：②④⑤⑥；①③⑦．
考点4.几何体的点、棱、面
例1．（25-26七年级上·浙江·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．棱柱的上下底面是完全相同的图形 B．五棱柱有5个面、5条棱
C．圆锥的底面是圆 D．长方体与正方体都有六个面
【答案】B
【详解】A、棱柱的上下底面完全相同，正确，不符合题意；
B、∵ 五棱柱的底面是五边形，有2个底面和5个侧面，∴ 总面数为7个；
∵ 上下底面各有5条棱，加上5条侧棱，∴ 总棱数为15条，故原说法错误，符合题意；
C、圆锥的底面是圆，正确，不符合题意；
D：长方体与正方体都有六个面，正确，不符合题意∴ 不正确的是B，故选：B．
变式1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）一个棱柱有30条棱，则这个棱柱的面有（ ）
A．10个 B．12个 C．15个 D．17个
【答案】B
【详解】解：设该棱柱为棱柱，由题意，得：，解得：，
∴该棱柱有个面，故选：B．
变式2．（25-26七年级上·浙江·课后作业）下列几何体中，有6个面的有（ ）
a．长方体；b．圆柱；c．四棱柱；d．正方体；e．三棱柱．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】长方体有6个矩形面，正确；
圆柱有2个圆形底面和1个曲面，共3个面，错误；
四棱柱有上下底面为四边形，4个侧面，共6个面，正确；
正方体有6个正方形面，正确；
三棱柱有2个三角形底面和3个侧面，共5个面，错误；
综上，符合条件的有a、c、d，共3个，故选：C．
变式3．（25-26七年级上·广东·课后作业）七棱柱的顶点个数是（ ）
A．7个 B．8个 C．14个 D．15个
【答案】C
【详解】解：∵七棱柱的底面是七边形，∴每个底面有7个顶点．
又∵有两个底面，∴总顶点数为（个）．故选：C．
考点5.欧拉公式
例1．（25-26七年级上·辽宁阜新·阶段练习）（认识概念）简单的凸多面体是指由若干个平面多边形围成，这些多边形称为面，相邻面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的交点称为顶点．
十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在关系，后人把三者关系等式称为欧拉公式．
结合你的知识积累，直接回答下列问题：三棱锥的，，（直接填出数据）
八面体的，，___（直接填出数据）
（总结与应用）（1）欧拉公式：__________________．（用字母表示即可）
（2）一个正二十面体有30条棱，直接回答它的顶点数是______．
（深度探究）下图是一个凸多面体，此多面体是由若干个黑色的正五边形和白色的正六边形围成的（它像不像一个足球，你会相信这是老师画出来的吗？）．
直接回答下列问题：设黑色的正五边形有x块．则
（3）正六边形有______块（用含x的式子直接回答）
（4）此凸多面体的棱数为______条．（用含x的式子直接回答）
【答案】[认识概念] ，，；，，；[总结与应用]（1）；（2） ；[深度探究]（3）（4）
【详解】[认识概念]解：三棱锥的，， 八面体的，，
[总结与应用] （1）欧拉公式：
（2）一个正二十面体有30条棱，则，，
∴∴，故答案为：．
[深度探究]（3）解：设黑色的正五边形有x块，则正五边形的边数为
正六边形的边数的一半是正五边形的边，即正六边形的总边数为
∴正六边形有块，故答案为：．
（4）依题意，此凸多面体的棱数为，故答案为：．
变式1．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）问题背景：新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体：
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4
六面体 8 6
八面体 8 12
十二面体 20 —— 30
操作探究：
通过数上面图形中每个多面体的顶点数(V)、面数(F)和棱数(E)，填写表格中空缺的部分：
通过填表发现：顶点数(V)、面数(F)和棱数(E)之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉(L． Euler，1707-1783)证明的一个关系式，我们把它称为欧拉公式；
探究应用：
(1)已知一个多面体的面数比顶点数大8，且有30 条棱，求这个多面体的顶点数；
(2)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3 条棱，求这个多面体的面数．
【答案】填空见解析；（1）顶点数12；（2）面数为6
【详解】操作探究：填表如下：
多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（）
四面体 4 4 6
六面体 8 6 12
八面体 6 8 12
十二面体 20 12 30
顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是，
故答案为：；
操作探究：（1）解：设顶点数为V，面数，
∴，解得．故顶点数为12．
（2）解：由题意得：棱的总条数为（条），
由可得,解得：，故该多面体的面数为6．
变式2．（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）（1）观察下列几何体，并把下表补充完整．
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数a 6 10 12
棱数b 9 12 15
面数c 5 6 8
（2）观察上表中的结果，你能发现a，b，c之间有什么关系吗？请写出关系式；
（3）一个几何体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个几何体有 个面．
【答案】（1）8，18，7；（2）；（3）12
【详解】解：（1）根据图形可得
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数a 6 8 10 12
棱数b 9 12 15 18
面数c 5 6 7 8
故答案为：8，18，7；
（2）分别可得，，，，所以可得；
（3）设这个几何体有个面，则这个几何体的顶点数为，
根据（2）中规律可得，解得，故答案为：．
变式3．（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与实践
问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作．
下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数：
多面体
面数 5 6 7 8
顶点数 6 8 b 12
棱数 9 a 15 18
初步探究：（1）填空：_____，_____．
（2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示）
深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数．
【答案】（1）12；10；（2）；（3）12
【详解】解：（1）由题意得；
（2）由表格中的数据可得．
（3）∵多面体的面数比顶点数小8，∴．∴，
∵该多面体一共有有30条棱，∴，∴，即这个多面体的面数为12．
考点6.点线面体之间的关系
例1．（25-26七年级上·浙江·期中）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了 ，把雨看成 ，说明 ．（用“点，线，面，点动成线，线动成面，面动成体”填空）
【答案】 点 线 点动成线
【详解】雨滴是单个实体，从数学角度可抽象为点；许多雨滴密集下落形成雨，其形态类似线，这说明了点动成线的几何变换．故答案为：点；线；点动成线．
变式1.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）有下面三种现象：①扔一块小石子，石子在空中飞行的路线；②夜晚天空划过流星的痕迹；③汽车雨刮器在挡风玻璃上刮出的痕迹．其中能说明“线动成面”的现象是 ．（填序号即可）
【答案】③
【详解】解：①扔一块小石子，石子在空中飞行的路线：石子可视为一个点，其运动轨迹形成一条线，属于“点动成线”，不符合“线动成面”；
②夜晚天空划过流星的痕迹：流星可视为一个点，其运动轨迹形成一条线，属于“点动成线”，不符合“线动成面”；③汽车雨刮器在挡风玻璃上刮出的痕迹：雨刮器可视为一条线，其运动在挡风玻璃上刮出一个扇形或矩形的面，属于“线动成面”，符合题意；故答案为：③．
变式2．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）将一枚硬币在桌面上快速转动，可看到一个球体，这种现象说明 ．
【答案】面动成体
【详解】解：硬币是一个圆形面，当它在桌面上快速转动时，绕其直径旋转，由于视觉暂留效应，形成一个球体的视觉形象，这验证了几何中的“面动成体”原理，即一个平面图形通过旋转可以生成一个立体图形，故答案为：面动成体．
变式3．（25-26七年级上·陕西西安·期中）在今年举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式中，空军八一飞行表演队飞过后留下的彩烟轨迹，以其精美的设计和深刻的寓意，成为空中梯队最绚丽的风景，这一现象用数学知识可解释为 ．
【答案】点动成线
【详解】解：飞机在空中飞行时，可视为一个点在运动，其留下的彩烟轨迹就是该点运动所形成的图形，即线，这体现了点动成线的数学知识．故答案为：点动成线．
考点7.旋转体的辨别
例1．（25-26六年级上·山东淄博·期中）如图所示的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：面动成体，长方形绕底边旋转一周可得圆柱体，
∴所求的图形是空心圆柱体．故选：D．
变式1．（2025·陕西·中考真题）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆柱，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意；
、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆台，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意；
、绕轴旋转一周，得到图中所示的立体图形，故符合题意；
、绕轴旋转一周，得到的立体图形是球体，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意；故选：C．
变式2．（25-26七年级上·广东深圳·期中）将如图所示的图形绕虚线旋转一周，得到的几何体是 ．
【答案】圆锥
【详解】解：该图形是直角三角形绕其一条直角边（虚线）旋转一周，根据 “面动成体” 的原理，得到的几何体是圆锥．
变式3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）将如图所示的图形绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：将如图所示的图形绕虚线旋转一周可得到的立体图形是： 故选：D ．
考点8.旋转体的相关计算
例1．（25-26六年级上·山东威海·期中）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形．
(1)你同意___________的说法；
(2)为了研究你的猜想是否正确，你需要求出两个立体图形的体积，请列式计算，甲乙立体图形的体积？
【答案】(1)小红(2)甲的体积为，乙的体积为
【详解】（1）解：两个立体图形的体积不相等，所以同意小红的说法；故答案为：小红；
（2）解：甲的体积为．
乙的体积为．
变式1．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则甲圆柱体与乙圆柱体的体积比为 ．
【答案】/
【详解】解：如图甲，圆柱的体积为，如图乙，圆柱的体积为，
则甲圆柱体与乙圆柱体的体积比为．故答案为：
变式2.（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示，已知直角三角形纸板，直角边，．
(1)将直角三角形纸板绕三角形的直角边所在的直线旋转一周，能得到______种大小不同的几何体；
(2)计算绕三角形边所在直线旋转一周，得到的几何体的体积（圆锥的体积，保留）
【答案】(1)2(2)立方厘米
【详解】（1）解：将直角三角形纸板绕三角形的直角边所在的直线旋转一周，能得到2种大小不同的几何体．故答案为：2；
（2）解：以边为轴：（立方厘米）；
答：以边为轴得到的圆锥的体积是立方厘米．
变式3.（25-26七年级上·贵州·阶段练习）下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形．
(1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是________（填序号）．
①点动成线； ②线动成面； ③面动成体．
(2)求得到的立体图形的体积（结果保留）．
【答案】(1)③(2)
【详解】（1）解：四边形绕虚线旋转一周得到立体图形，说明面动成体．故答案为：③．
（2）解：由题意得，沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱减去底面半径、高的圆锥组成．
设圆柱的体积为，圆锥的体积为，旋转后得到的立体图形的体积为，
，，
．答：得到的立体图形的体积为．
考点9.七巧板的相关计算
例1．（24-25八年级下·北京密云·期末）七巧板是中国传统的智力玩具．如图1，七巧板共由七块板组成：5块等腰直角三角形、1块小正方形和1块平行四边形，其完整图案为一正方形．将其打乱顺序后拼成图2所示的矩形．若图1中由七巧板拼成的正方形的面积为4，则图2中矩形的宽为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】解：∵图1中由七巧板拼成的正方形的面积为4，
∴图2中由七巧板拼成的矩形的面积为4，由图2可知，矩形的长是宽的2倍，
设宽为x，则长为，可得，∴（负值舍去）故选：D．
变式1．（2025·福建宁德·二模）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．用图1所示的“七巧板”中的六块，拼成图2所示的“家”的图形，图1中没用上的那一块七巧板是（ ）
A．④ B．⑤ C．⑥ D．⑦
【答案】B
【详解】解：根据图1可得：①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积，
根据图2可知空白部分为长方形，则④、⑥、⑦、①四部分可以组成长方形，
故图1中没用上的那一块七巧板是⑤，故选：B．
变式2．（24-25七年级上·山东烟台·期末）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．把一副七巧板按如图所示进行至编号，至号分别对应着七巧板的七块，如果编号的面积等于，则由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于 ．
【答案】40
【详解】解：的面积等于，和的面积为，的面积为，的面积为，
由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于．故答案为：．
变式3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，用边长为10的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ．
【答案】25
【详解】解：阴影部分面积等于大正方形的面积减去两个大三角形的面积和两个中等三角形的面积所得的值，而两个中等三角形的面积等于一个大三角形的面积，四个大三角形的面积等于正方形的面积，
∴阴影部分的面积等于正方形面积的即．故答案为：25．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（25-26七年级上·山西太原·期中）如图是一张几何创意小桌，其组成部分可抽象为几种常见几何体．在这些抽象出的几何体中不包括（ ）
A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．四棱柱
【答案】C
【详解】解：根据图形可知，其组成部分可抽象为：圆柱、四棱柱、球，不包括：圆锥．故选：C．
2．（25-26七年级上·广东深圳·月考）一个正n棱柱有8个面，这个几何体是（ ）
A．三棱柱 B．五棱柱 C．六棱柱 D．七棱柱
【答案】C
【详解】解：∵一个正n棱柱有8个面，∴，∴，
∵这个几何体是六棱柱，故选：C．
3．（25-26七年级上·广东深圳·期中）深圳地标建筑的外观蕴含丰富的数学立体图形元素，是“数学源于生活”的生动体现．请观察下方四幅地标图片，其可以近似地看作立体图形对应正确的是（ ）．
A．图1（平安金融中心）——球体 B．图2（华润大厦）——圆柱
C．图3（深业上城主副塔）——棱柱 D．图4（深圳湾区之光摩天轮）——圆锥
【答案】C
【详解】解：A．平安金融中心不能近似看成球体，不符合题意；
B．华润大厦不能近似看成圆柱，不符合题意；
C．深业上城主副塔可以近似看成棱柱，符合题意；
D．深圳湾区之光摩天轮不能近似看成圆锥，不符合题意．故选：C．
4．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）如图所示的几何体中，含有曲面的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：球的表面是曲面，圆柱的侧面是曲面，
三棱柱由两个三角形和三个矩形组成，都是平面图形，
六棱柱由两个六边形和六个矩形组成，都是平面图形．∴含有曲面的有2个．故选：B．
5．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）某智能家居公司设计了一款可折叠的创意灯罩，展开后形成一个正十二面体．已知该多面体的每个面都是正五边形，那么它的顶点数是（）
A．20 B．30 C．32 D．60
【答案】A
【详解】解：∵每个面是正五边形，有5条边，总面数，
∴总边数（每条边被两个面共享）．代入欧拉公式：，
∴，∴，∴．故选A．
6．（25-26七年级上·山西晋中·期中）小明在国庆假期参与了“变废为宝”实践活动，他用废旧扑克牌、胶带和彩纸制作了一个实用的笔筒．下列关于该笔筒的描述，错误的是（ ）
A．笔筒可以近似地看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等
C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形
【答案】C
【详解】解：．笔简可以近似的看成六棱柱，说法正确，故该选项不符合题意；
．它的所有侧棱长都相等，说法正确，故该选项不符合题意；
．它有12个顶点，原说法错误，故该选项符合题意；
．侧面的形状都是长方形，说法正确，故该选项不符合题意；故选：C．
7．（25-26七年级上·河南平顶山·月考）2025中国（北京）国际精品陶瓷博览会将于10月底举办．陶瓷器具是我国古代劳动人民的重要发明之一，是我国人民勤劳与智慧的结晶，更是我国文化的重要载体和对外交流的桥梁．如图所示，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷器具最为相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷器具最为相似的是 故选：C．
8．（25-26七年级上·四川达州·阶段练习）将如图所示的直角三角形绕的边旋转一周，可以得到一个立体图形，这个立体图形的体积是(π取3.14)（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：直角三角形绕的直角边为轴旋转一周，可以得到一个立体图形是圆锥，
这个圆锥的高是，底面半径是，∴体积是．故选：C．
9．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）下面几种几何图形中，属于平面图形的有（ ）
①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱；⑦线段；⑧点．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【详解】解：①三角形；②长方形；④圆；⑦线段；⑧点，它们的各部分都在同一个平面内，属于平面图形；③正方体；⑤四棱锥；⑥圆柱属于立体图形，共5个图形，属于平面图形，故选：D．
10．（2025·河北唐山·二模）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【详解】解：两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，
两块最大等腰直角三角形的面积为，
平行四边形和最左侧腰直角三角形的面积与小正方形的面积相等，且等于大三角形的面积的一半，
平行四边形、最左侧腰直角三角形、小正方形的面积都为，
小三角形的面积是小正方形面积的一半，小三角形的面积是，
“灵蛇开运”图的面积是，故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·陕西西安·月考）如图，一个棱长为的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是的正方体，求出剩余部分的表面积是 ，体积是 ．
【答案】
【详解】解：余下部分的体积：；
表面积：；
答：余下部分的表面积是，体积是．
12．（23-24七年级上·广东佛山·期末）如图是一个几何体，请你描述这个几何体的特点（写出三点）： ．
【答案】①有六个顶点；②有九条棱；③有五个面（答案不唯一）
【详解】解：由图可得：该几何体有六个顶点，有九条棱，有五个面，其中两个面是三角形，三个面是四边形，故答案为：①有六个顶点；②有九条棱；③有五个面．
13．（25-26七年级上·浙江·课后作业）将图中的几何体分类，多面体有 ，旋转体有 （填序号）．
【答案】 （1）（3）（6） （2）（4）（5）
【详解】解：（1）正方体由六个正方形平面围成，（3）长方体由六个矩形平面围成，（6）三棱锥由四个三角形平面围成，它们都属于多面体；
（2）圆柱由矩形绕一边旋转而成，（4）球可由半圆绕直径旋转而成，（5）圆锥由直角三角形绕一条直角边旋转而成，它们都属于旋转体；
综上，多面体有（1）（3）（6），旋转体有（2）（4）（5）．
14．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，我国南北朝时期官员独孤信的印章表面由若干个相同的正方形和等边三角形围成．若正方形的边长为m，等边三角形的高为h，则印章的表面积为 ．（用含m，h的代数式表示）
【答案】
【详解】解：由图可知，该印章共有个面，其中正方形有个，等边三角形有个，∴这个印章的表面积是，故答案为：．
15．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）如图中的几何体由 个面， 条棱， 个顶点组成．
【答案】 9 16 9
【详解】解：图中的几何体由9个面，16条棱，9个顶点组成．
故答案为：9，16，9．
16．（25-26七年级上·重庆·期中）如果笔尖在纸上画出漂亮的曲线可以看作是点动成线，那么三角板绕着一条直角边旋转一周而形成的轨迹可以看作是 ．
【答案】面动成体
【详解】解：三角板是直角三角形，作为一个平面图形，绕着一条直角边旋转一周时，其所有点形成的轨迹是一个圆锥体，这种运动方式体现了从平面到立体的转变，因此可以看作“面动成体”，
故答案为：面动成体．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（25-26七年级上·浙江·课后作业）（1）圆形硬币绕它的直径所在直线旋转，形成一个 体，用数学知识可解释为“__________”．
（2）如图，找出给定三角形绕直线旋转一周后形成的对应几何体．并把它们用线连接．
【答案】（1）球；面动成体；（2）见解析
【详解】解：（1）圆形硬币绕它的直径所在直线旋转，形成一个球体，用数学知识可解释为“面动成体”；
故答案为：球；面动成体.
（2）如图：
18．（25-26七年级上·浙江·课后作业）观察图形，回答下列问题．
(1)长方体是由几个面围成的？圆柱是由几个面围成的？它们都是平面吗？长方体有哪些面是完全相同的？圆柱呢？
(2)圆柱的侧面和底面相交成几条线？它们是直的，还是曲的？
(3)长方体有几个顶点？经过每个顶点有几条棱？这些棱有什么特点？
【答案】(1)长方体是由个面，圆柱是由个面，它们有平面也有曲面，长方体，圆柱相对的面是完全相同的 (2)相交成条线，它们是曲的 (3)长方体有个顶点，经过每个顶点有条棱，它们相互垂直
【详解】（1）解：长方体是由个面，圆柱是由个面，它们有平面也有曲面，长方体，圆柱相对的面是完全相同的；
（2）相交成条线，它们是曲的；
（3）长方体有个顶点，经过每个顶点有条棱，它们相互垂直．
19．（25-26七年级上·四川·期中）如图，已知长方形的长为，宽为，以边所在直线旋转一周，得到一个立体图形．
(1)这个立体图形名称为_________．(2)求此立体图形的体积．（结果保留 ）
【答案】(1)圆柱(2)旋转之后的立体图形体积为．
【详解】（1）解：由题意可知，得到的立体图形的名称是圆柱．故答案为：圆柱；
（2）解：由题意可知，如图旋转的圆柱底面半径为，高为，
∴圆柱的体积为，
所以旋转之后的立体图形体积为．
20．（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察图中的几何体，回答下列问题：
(1)请将图中的几何体分类：
柱体： （填序号）锥体： （填序号） 球体： （填序号）
(2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可）
【答案】(1)①②④⑤⑥， ⑦， ③
(2)图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）；
不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面
【详解】（1）解：按柱体、锥体、球体划分可分为三类：①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体．
（2）解：图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）；
不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）．
21．（25-26七年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图所示是一些常见的多面体．
(1)数一下每一个多面体具有的顶点数、面数和棱数，并且把结果记入表中：
多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（）
四面体 4 4 6
正方体 6
八面体 6 12
十二面体 20 12
二十面体 12 20 30
观察表中数据，猜想多面体的顶点数和面数的和与棱数之间的关系为_______；
(2)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（1）中的结果求这个多面体的面数．
【答案】(1)表格见解析，(2)这个多面体的面数为14
【详解】（1）解：所填数据如表所示：
多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（）
四面体 4 4 6
正方体 8 6 12
八面体 6 8 12
十二面体 20 12 30
二十面体 12 20 30
，
，；
（2）解：由，得，
这个多面体的面数为14．
22．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）同一个图形绕不同的轴旋转时，得到的几何体一般不同．如图是一个直角三角形．
(1)当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，请求出这个几何体的体积（结果保留π）；
(2)当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，请求出这个几何体的体积（结果保留π）．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到的几何体是底面半径，高为的圆柱体，如图1，所以体积为；
（2）当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到两个等底面的圆锥体的组合体，如图2，设边上的高为r，因为所以．所以体积为
23．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图所示的①，②，③，④四个图形是平面图形．本题我们探索各图形顶点、边、区域三者之间的数量关系．例如，我们规定图形①的顶点数为4(顶点为，，，)，边数为5(像，为其中的两条边，但不能再算一条边，边与边不能重叠)，区域数为2(它们是两个相互独立，不重叠的小三角形区域)．
(1)数一数，每一个图形各有多少个顶点？多少条边？这些边围出了多少个区域？将结果填入下表(图形①已填好)．
图形标号 顶点数 边数 区域数
① 4 5 2
② 5 ___________ 3
③ ___________ 9 4
④ 7 ___________ 6
(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数，边数，区域数之间有什么关系？
(3)现已知某一个平面图形的顶点数是2025，区域数比顶点数多1，请你利用（2）发现的结论，确定这个图形的边数是多少？
【答案】(1)②7，③6，④12(2)(3)4050
【详解】（1）解：由题意可得，
图形标号 顶点数 边数 区域数
① 4 5 2
② 5 7 3
③ 6 9 4
④ 7 12 6
故答案为：7，6，12；
（2）解：由（1）中的规律可得，；
（3）解：，区域数比顶点数多1，．
，．
24．（25-26七年级上·上海宝山·阶段练习）图1中的正方形是由七巧板拼合而成（七块板之间不重叠、无缝隙），其中编号分别为①②③④⑤的图形是等腰直角三角形，编号分别为⑥⑦的图形是平行四边形（⑥号图形是正方形）．
某校数学兴趣小组对图1进行变换，从而得到一款新型七巧板．
变换方法如下：将图1中正方形的两条边的长度沿水平方向扩大至原来的倍，另外两条边长度保持不变，可得到一个新矩形（如图2）．
请利用图2设计新型七巧板（画出图1中的七块板在图2中的对应图形），并直接判断新型七巧板中的七块板的具体形状．
【答案】见解析
【详解】解：如图，拼成一个长方形
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专题6.1几何图形
1．理解几何图形的概念，并能对具体图形进行识别或判断；
2. 理解点、线、面、体之间的关系，掌握怎样由平面图形旋转得到几何体，能够借助平面图形剖析常见几何体的形成过程。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.几何体的识别 2
考点2.几何体的构成 3
考点3.几何体的分类 4
考点4.几何体的点、棱、面 6
考点5.欧拉公式 8
考点6.点线面体之间的关系 12
考点7.旋转体的辨别 13
考点8.旋转体的相关计算 15
考点9.七巧板的相关计算 17
模块3：培优训练 18
1．几何图形：从实物中得到的点、线、面、体称为几何图形。
注意：几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置。
2.立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等。
3.平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。
4.几何图形的分类
注意：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果。
3.几何体的构成元素：几何体是由点、线 、面构成的。
点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成。
考点1.几何体的识别
例1．（24-25七年级上·广东河源·期中）观察下列实物模型，其整体形状给我们以圆柱的形象的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（25-26七年级上·陕西西安·期中）用数学的眼光观察我们身边的物体，下列可以抽象为棱柱的物体是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察下列实物模型，其整体形状呈现为圆锥形象的是（ ）
A． B． C． D．
变式3.（25-26七年级上·河北唐山·期中）图是美术素描常用的几何体模型，其中没有下列哪个几何体（　　）
A．球 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥
考点2.几何体的构成
例1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）下列说法错误的是（　　）
A．圆锥的侧面是曲面 B．正方体的所有棱长都相等
C．棱柱的侧面可能是三角形 D．圆柱的侧面展开图为长方形
变式1．（24-25七年级上·山东烟台·期中）若一个棱柱有个顶点，则下列说法错误的是（ ）
A．这个棱柱的底面是五边形 B．这个棱柱有5个侧面
C．这个棱柱是一个十棱柱 D．这个棱柱有条棱
变式2．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法中正确的个数是（ ）
长方体，正方体都是棱柱；圆锥和圆柱的底面都是圆；若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面面积相等；棱锥底面边数与侧棱数相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点3.几何体的分类
例1．（25-26七年级上·山东青岛·月考）下列几何体中，柱体是 ，含曲面的有 无顶点的有 （填序号）
变式1．（24-25七年级上·浙江·课后作业）观察下图中各几何体的特征，回答下列问题：
将上述几何体按如下两种方式进行分类（请填写序号）：
（1）按形状来划分，柱体有 ，球体有 ，锥体有 ；
（2）按几何体有无顶点来划分， 为一类，几何体有顶点； 为一类，几何体无顶点．
变式2．（25-26七年级上·浙江课后作业）把几何图形：①长方形；②三角形；③圆锥；④直线；⑤圆柱；⑥平行四边形；⑦球；⑧圆；⑨正方体；分别填在下面的大括号内：(填序号)
立体图形{ …}； 平面图形{ …}．
变式3．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？
平面图形： （填序号）． 立体图形： （填序号）．
考点4.几何体的点、棱、面
例1．（25-26七年级上·浙江·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．棱柱的上下底面是完全相同的图形 B．五棱柱有5个面、5条棱
C．圆锥的底面是圆 D．长方体与正方体都有六个面
变式1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）一个棱柱有30条棱，则这个棱柱的面有（ ）
A．10个 B．12个 C．15个 D．17个
变式2．（25-26七年级上·浙江·课后作业）下列几何体中，有6个面的有（ ）
a．长方体；b．圆柱；c．四棱柱；d．正方体；e．三棱柱．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式3．（25-26七年级上·广东·课后作业）七棱柱的顶点个数是（ ）
A．7个 B．8个 C．14个 D．15个
考点5.欧拉公式
例1．（25-26七年级上·辽宁阜新·阶段练习）（认识概念）简单的凸多面体是指由若干个平面多边形围成，这些多边形称为面，相邻面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的交点称为顶点．
十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在关系，后人把三者关系等式称为欧拉公式．
结合你的知识积累，直接回答下列问题：三棱锥的，，（直接填出数据）
八面体的，，___（直接填出数据）
（总结与应用）（1）欧拉公式：__________________．（用字母表示即可）
（2）一个正二十面体有30条棱，直接回答它的顶点数是______．
（深度探究）下图是一个凸多面体，此多面体是由若干个黑色的正五边形和白色的正六边形围成的（它像不像一个足球，你会相信这是老师画出来的吗？）．
直接回答下列问题：设黑色的正五边形有x块．则
（3）正六边形有______块（用含x的式子直接回答）
（4）此凸多面体的棱数为______条．（用含x的式子直接回答）
变式1．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）问题背景：新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体：
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4
六面体 8 6
八面体 8 12
十二面体 20 —— 30
操作探究：通过数上面图形中每个多面体的顶点数(V)、面数(F)和棱数(E)，填写表格中空缺的部分：
通过填表发现：顶点数(V)、面数(F)和棱数(E)之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉(L． Euler，1707-1783)证明的一个关系式，我们把它称为欧拉公式；
探究应用：
(1)已知一个多面体的面数比顶点数大8，且有30 条棱，求这个多面体的顶点数；
(2)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3 条棱，求这个多面体的面数．
变式2．（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）（1）观察下列几何体，并把下表补充完整．
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数a 6 10 12
棱数b 9 12 15
面数c 5 6 8
（2）观察上表中的结果，你能发现a，b，c之间有什么关系吗？请写出关系式；
（3）一个几何体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个几何体有 个面．
变式3．（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与实践
问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作．
下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数：
多面体
面数 5 6 7 8
顶点数 6 8 b 12
棱数 9 a 15 18
初步探究：（1）填空：_____，_____．
（2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示）
深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数．
考点6.点线面体之间的关系
例1．（25-26七年级上·浙江·期中）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了 ，把雨看成 ，说明 ．（用“点，线，面，点动成线，线动成面，面动成体”填空）
变式1.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）有下面三种现象：①扔一块小石子，石子在空中飞行的路线；②夜晚天空划过流星的痕迹；③汽车雨刮器在挡风玻璃上刮出的痕迹．其中能说明“线动成面”的现象是 ．（填序号即可）
变式2．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）将一枚硬币在桌面上快速转动，可看到一个球体，这种现象说明 ．
变式3．（25-26七年级上·陕西西安·期中）在今年举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式中，空军八一飞行表演队飞过后留下的彩烟轨迹，以其精美的设计和深刻的寓意，成为空中梯队最绚丽的风景，这一现象用数学知识可解释为 ．
考点7.旋转体的辨别
例1．（25-26六年级上·山东淄博·期中）如图所示的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2025·陕西·中考真题）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（25-26七年级上·广东深圳·期中）将如图所示的图形绕虚线旋转一周，得到的几何体是 ．
变式3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）将如图所示的图形绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
考点8.旋转体的相关计算
例1．（25-26六年级上·山东威海·期中）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形．
(1)你同意___________的说法；
(2)为了研究你的猜想是否正确，你需要求出两个立体图形的体积，请列式计算，甲乙立体图形的体积？
变式1．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则甲圆柱体与乙圆柱体的体积比为 ．
变式2.（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示，已知直角三角形纸板，直角边，．
(1)将直角三角形纸板绕三角形的直角边所在的直线旋转一周，能得到______种大小不同的几何体；
(2)计算绕三角形边所在直线旋转一周，得到的几何体的体积（圆锥的体积，保留）
变式3.（25-26七年级上·贵州·阶段练习）下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形．
(1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是________（填序号）．
①点动成线； ②线动成面； ③面动成体．
(2)求得到的立体图形的体积（结果保留）．
考点9.七巧板的相关计算
例1．（24-25八年级下·北京密云·期末）七巧板是中国传统的智力玩具．如图1，七巧板共由七块板组成：5块等腰直角三角形、1块小正方形和1块平行四边形，其完整图案为一正方形．将其打乱顺序后拼成图2所示的矩形．若图1中由七巧板拼成的正方形的面积为4，则图2中矩形的宽为（ ）
A． B． C．1 D．
变式1．（2025·福建宁德·二模）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．用图1所示的“七巧板”中的六块，拼成图2所示的“家”的图形，图1中没用上的那一块七巧板是（ ）
A．④ B．⑤ C．⑥ D．⑦
变式2．（24-25七年级上·山东烟台·期末）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．把一副七巧板按如图所示进行至编号，至号分别对应着七巧板的七块，如果编号的面积等于，则由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于 ．
变式3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，用边长为10的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（25-26七年级上·山西太原·期中）如图是一张几何创意小桌，其组成部分可抽象为几种常见几何体．在这些抽象出的几何体中不包括（ ）
A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．四棱柱
2．（25-26七年级上·广东深圳·月考）一个正n棱柱有8个面，这个几何体是（ ）
A．三棱柱 B．五棱柱 C．六棱柱 D．七棱柱
3．（25-26七年级上·广东深圳·期中）深圳地标建筑的外观蕴含丰富的数学立体图形元素，是“数学源于生活”的生动体现．请观察下方四幅地标图片，其可以近似地看作立体图形对应正确的是（ ）．
A．图1（平安金融中心）——球体 B．图2（华润大厦）——圆柱
C．图3（深业上城主副塔）——棱柱 D．图4（深圳湾区之光摩天轮）——圆锥
4．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）如图所示的几何体中，含有曲面的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）某智能家居公司设计了一款可折叠的创意灯罩，展开后形成一个正十二面体．已知该多面体的每个面都是正五边形，那么它的顶点数是（）
A．20 B．30 C．32 D．60
6．（25-26七年级上·山西晋中·期中）小明在国庆假期参与了“变废为宝”实践活动，他用废旧扑克牌、胶带和彩纸制作了一个实用的笔筒．下列关于该笔筒的描述，错误的是（ ）
A．笔筒可以近似地看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等
C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形
7．（25-26七年级上·河南平顶山·月考）2025中国（北京）国际精品陶瓷博览会将于10月底举办．陶瓷器具是我国古代劳动人民的重要发明之一，是我国人民勤劳与智慧的结晶，更是我国文化的重要载体和对外交流的桥梁．如图所示，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷器具最为相似的是（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26七年级上·四川达州·阶段练习）将如图所示的直角三角形绕的边旋转一周，可以得到一个立体图形，这个立体图形的体积是(π取3.14)（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）下面几种几何图形中，属于平面图形的有（ ）
①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱；⑦线段；⑧点．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2025·河北唐山·二模）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·陕西西安·月考）如图，一个棱长为的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是的正方体，求出剩余部分的表面积是 ，体积是 ．
12．（23-24七年级上·广东佛山·期末）如图是一个几何体，请你描述这个几何体的特点（写出三点）： ．
13．（25-26七年级上·浙江·课后作业）将图中的几何体分类，多面体有 ，旋转体有 （填序号）．
14．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，我国南北朝时期官员独孤信的印章表面由若干个相同的正方形和等边三角形围成．若正方形的边长为m，等边三角形的高为h，则印章的表面积为 ．（用含m，h的代数式表示）
15．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）如图中的几何体由 个面， 条棱， 个顶点组成．
16．（25-26七年级上·重庆·期中）如果笔尖在纸上画出漂亮的曲线可以看作是点动成线，那么三角板绕着一条直角边旋转一周而形成的轨迹可以看作是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（25-26七年级上·浙江·课后作业）（1）圆形硬币绕它的直径所在直线旋转，形成一个 体，用数学知识可解释为“__________”．
（2）如图，找出给定三角形绕直线旋转一周后形成的对应几何体．并把它们用线连接．
18．（25-26七年级上·浙江·课后作业）观察图形，回答下列问题．
(1)长方体是由几个面围成的？圆柱是由几个面围成的？它们都是平面吗？长方体有哪些面是完全相同的？圆柱呢？
(2)圆柱的侧面和底面相交成几条线？它们是直的，还是曲的？
(3)长方体有几个顶点？经过每个顶点有几条棱？这些棱有什么特点？
19．（25-26七年级上·四川·期中）如图，已知长方形的长为，宽为，以边所在直线旋转一周，得到一个立体图形．
(1)这个立体图形名称为_________．(2)求此立体图形的体积．（结果保留 ）
20．（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察图中的几何体，回答下列问题：
(1)请将图中的几何体分类：
柱体： （填序号）锥体： （填序号） 球体： （填序号）
(2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可）
21．（25-26七年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图所示是一些常见的多面体．
(1)数一下每一个多面体具有的顶点数、面数和棱数，并且把结果记入表中：
多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（）
四面体 4 4 6
正方体 6
八面体 6 12
十二面体 20 12
二十面体 12 20 30
观察表中数据，猜想多面体的顶点数和面数的和与棱数之间的关系为_______；
(2)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（1）中的结果求这个多面体的面数．
22．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）同一个图形绕不同的轴旋转时，得到的几何体一般不同．如图是一个直角三角形．
(1)当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，请求出这个几何体的体积（结果保留π）；
(2)当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，请求出这个几何体的体积（结果保留π）．
23．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图所示的①，②，③，④四个图形是平面图形．本题我们探索各图形顶点、边、区域三者之间的数量关系．例如，我们规定图形①的顶点数为4(顶点为，，，)，边数为5(像，为其中的两条边，但不能再算一条边，边与边不能重叠)，区域数为2(它们是两个相互独立，不重叠的小三角形区域)．
(1)数一数，每一个图形各有多少个顶点？多少条边？这些边围出了多少个区域？将结果填入下表(图形①已填好)．
图形标号 顶点数 边数 区域数
① 4 5 2
② 5 ___________ 3
③ ___________ 9 4
④ 7 ___________ 6
(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数，边数，区域数之间有什么关系？
(3)现已知某一个平面图形的顶点数是2025，区域数比顶点数多1，请你利用（2）发现的结论，确定这个图形的边数是多少？
24．（25-26七年级上·上海宝山·阶段练习）图1中的正方形是由七巧板拼合而成（七块板之间不重叠、无缝隙），其中编号分别为①②③④⑤的图形是等腰直角三角形，编号分别为⑥⑦的图形是平行四边形（⑥号图形是正方形）．
某校数学兴趣小组对图1进行变换，从而得到一款新型七巧板．
变换方法如下：将图1中正方形的两条边的长度沿水平方向扩大至原来的倍，另外两条边长度保持不变，可得到一个新矩形（如图2）．
请利用图2设计新型七巧板（画出图1中的七块板在图2中的对应图形），并直接判断新型七巧板中的七块板的具体形状．
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