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专题6.7 角的和差
1. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；
2．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.角度的四则运算 2
考点2.图形中的角度计算 3
考点3.三角板中的角度计算 5
考点4.几何图形中的角度计算（翻折） 9
考点5.钟面中的角度问题 10
考点6.角平分线的相关计算 11
考点7.角n等分线的相关计算 13
考点8.动态角度问题（旋转） 17
模块3：培优训练 21
1.角的和、差：
1）如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和，如图∠ABC＝∠1+∠2。
2）如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差；如图∠GEF＝∠DEG-∠1。
2.角的平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成相等的两个角，这条射线叫作这个角的平分线。如图所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA或∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA。
类似地，还有角的三等分线、n等分线等。
考点1.角度的四则运算
例1．（20-21七年级上·河北张家口·期末）计算：
(1)； (2)； (3)．
变式1．（2025七年级上·浙江·专题练习）计算(1)；(2)．
变式2．（2025七年级上·浙江·专题练习）计算：
(1)． (2)． (3)． (4)
变式3．（25-26七年级上·浙江·课后作业）计算：
(1)；(2)；(3)；(4)．
考点2.图形中的角度计算
例1．（24-25七年级上·湖南永州·期末）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25九年级下·河南信阳·月考）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为
变式2．（24-25八年级上·广东惠州·期中）一束光在空气与某透明物质的界面处发生了反射和折射现象，其光路如图所示．入射光线与界面的入射角为，折射角为，则反射光线与折射光线形成的 ．
考点3.三角板中的角度计算
例1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，将一副三角尺的两个角的顶点重叠在处，其中，，两条直角边落在直线上．将三角尺从图1的位置绕点以度/秒的速度顺时针旋转t秒．在旋转过程中，若为的角平分线，为的角平分线．(1)如图1，求的度数．(2)如图2，三角尺旋转过程中，若，当时，求t的值．(3)三角尺旋转过程中，当 秒时，．
变式1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）将一副一角板（1个两个内角都为的等腰直角三角板，一个两个内角为和的直角三角板）按如图方式摆放，与不一定互补的是（ ）
A．B． C． D．
变式3．（24-25七年级上·广东深圳·期末）综合实践课上，小明把两个三角尺按图所示那样放置在一起，若此时，则 ．
变式3．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一副三角尺按如图方式叠放，，，点，重合．为探索与的关系，某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设，求得，于是三位同学得出不同猜想，甲：；乙：；丙：．
(1)为验证猜想，他们再次假设，并求出的度数．请写出求解过程；
(2)①根据题（1）的结果，猜想一定错误的两位同学是________；
②剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由．
考点4.几何图形中的角度计算（翻折）
例1．（25-26七年级上·四川德阳·月考）如图，将长方形纸片沿直线、进行折叠后（点在边上），点刚好落在上，若折叠角，则另一个折叠角 ．
变式1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，将一张长方形纸片分别沿着折叠，使边，均落在上，得到折痕，，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·浙江·七年级期中）将矩形ABCD沿AE折叠，得如图所示的图形，已知，则的大小是（ ）．
A． B． C． D．
考点5.钟面中的角度问题
例1．（24-25七年级上·山东淄博·期末）的《我爱发明》栏目，每周一至周五的播出时间是，此时钟表的时针与分针的夹角为 ．
变式1．（24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）小华5点半吃完晚饭，之后出门散步，并在六点半前回家，出发时看到分针与时针垂直，回来时分针与时针还是垂直，则小华散步的时长为 分钟．
变式2．（2024八年级下·江西上饶·竞赛）宁宁在早晨6点至7点之间晨练，出门和回来的时候，时针与分针的夹角都是110°，则宁宁晨练的时间为（ ）分钟．
A．35 B． C．40 D．
考点6.角平分线的相关计算
例1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，点为直线上一点，以为顶点的直角绕点在直线上方旋转，作射线分别平分和．
（1）当时，的度数为 ；（2）在旋转过程中，的度数始终为 ．
变式1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，，是的平分线，则的度数为 °
变式2．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知，平分，平分，则 ．
变式3．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ．
考点7.角n等分线的相关计算
例1．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线．
(1)已知，，，那么________．
(2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分．
①如果，，求的度数．
②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案）
变式1．（25-26七年级上·河南郑州·期中）综合与实践
特例感知：（1）如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．若，则线段_____；
知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数．
拓展探究：（3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出______°．（用含的式子表示）
综合提升：（4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出______°．
变式2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图有两个转盘，分别为甲转盘（均匀分布三片叶片）和乙转盘（均匀分布四片叶片），将甲转盘绕点逆时针转动一周回到原位置的时间为秒，乙转盘逆时针转速为36度/秒．

(1)甲转盘中线段绕点每秒逆时针转动______度；
(2)如图1，若在转盘甲转动同时，线段从线段出发，绕着点以47度/秒的速度逆时针旋转，假设同时转动的时间为（秒），请回答以下问题：
①当，求的度数；②当第一次与重合，求转动时间；
(3)现将甲转盘和乙转盘重叠，调整起始位置（如图2），使它们同时绕着点逆时针旋转，乙转盘转动一周，两个转盘同时停止转动，设转动时间为（秒），问：是否存在某个时间使得乙转盘叶片是甲转盘叶片夹角的三等分线．若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
考点8.动态角度问题（旋转）
例1．（24-25七年级上·湖南·期末）如图1所示，．射线从位置出发，绕点每秒逆时针旋转1°．射线从位置出发，绕点每秒逆时针旋转5°，当其与射线或射线相遇时，保持运动速度不变但运动方向发生改变，如此往返．当时，运动停止．设运动时间为秒．
(1)当时，求与的度数；
(2)如图2，当射线还未与射线相遇，且其为的平分线时，求的值；
(3)试求出整个运动过程中，射线与射线一共相遇了几次？
变式1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：
(1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______°
(2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；
(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4
①运动停止时，直接写出______；
②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系．
变式2．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知线段在同一平面内，且，．
(1)若平分，求的度数；(2)在（1）条件下，若也平分，求的度数；
(3)若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，则经过多少时间，与第一次垂直．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（25-26七年级上·浙江·课后作业）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，直线交于点O，平分，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）在学习本节课时，陈老师在投影上展示了一道题目，则横线上代表的序号正确的是（ ）
如图，根据图形填空______；______；___③__；_④____．
A．①代表 B．②代表 C．③代表 D．④代表
5．（24-25七年级上·重庆酉阳·期末）如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
6．（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，学校（记作）在蕾蕾家（记作）南偏西的方向上，且与蕾蕾家的距离是，若，且，则超市（记作）在蕾蕾家的（ ）
A．南偏东的方向上，相距 B．南偏东的方向上，相距
C．北偏东的方向上，相距 D．北偏东的方向上，相距
7．（24-25七年级上·浙江·期中）如图所示，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（25-26七年级上·浙江·课后作业）如图，，平分，平分，下列结论：①；②；③与可以拼成一个直角；④与可以拼成一个平角，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （ ）
A．只有甲答的对 B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·四川达州·期中）如图，一棵小树生长时与地面所成的角，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么等于 度．

12．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，桌面上平放着一把长方形直尺和它上方的一块三角板，小明将三角板的直角顶点C紧靠直尺的边缘，若分别作出与的平分线与．则 ．
13．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，小文同学为研究12点t分（）时的钟面角，把数字12所在的刻度记为点 A，把时针记为，分针记为．当两两所夹的三个角中有两个角相等时，t的值为 （本题中所有角的度数均不超过 ）．
14．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线是的“启仔等分线”．如图2，，若射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为秒当 时，射线是的“启仔等分线”．
15．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ．
16．（24-25七年级上·四川绵阳·月考）已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．当从如图所示位置绕点顺时针旋转时，满足，则 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）定义：如果两个角有一条边重合，且一个角是另一个角的4倍，我们称这两个角是友好关系角．如图，点是直线上一点，作射线，且．
(1)若和是友好关系角，求的度数．
(2)若平分，且和是友好关系角，求的度数．
18．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知，，，平分，平分，求的度数．
解：，平分___________=___________．
又_________________________________．
平分___________．
19．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分．
(1)当时，求的度数；(2)请你猜想和的数量关系，并说明理由．
20．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知：，射线在内部且不与重合，．
(1) ；（用α表示）(2)设．如图1，当时， ____________；
如图2，当时， ____________；
(3)求当等于多少度时，值与α无关，并说明理由．
21．（24-25七年级上·山东淄博·月考）小明同学在学习了线段的中点和角的角平分线后，发现两者在方法应用方面有相似之处，于是小明进行了下面的探索研究．
【问题提出】①已知点在线段上，取的中点，的中点，，则是_____________．
②小明在研究完之后，发现对于角的问题同样适用，如图，已知，平分，平分，则的度数为____________________．
【变式提升】①如图，已知点在线段上，点在点的左边，取的中点，的中点，，则的长为______________（用含的代数式表达）
②如图，已知，平分，平分，则的度数为_____________________．
【拓展延伸】①小明继续探究，如图，已知点在线段上，点在点的右边，取的中点，的中点，，求的长（写出求解推导的过程，用含的代数式表达）
②如图，已知，平分，平分，求的度数（写出求解推导的过程，用含的代数式表达）
22．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1－12均匀分布，分针60分钟转动一周是，时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转度．
课题学习：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．三点二十分时，时针与分针所成角度是．
问题解决：(1)三点三十分时，时针与分针所成角度是_______°，三点四十分时，时针与分针所成角度是_______°；
(2)一点钟时，时针与分针所成角度，在一点钟到两点钟之间，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻；
(3)如图2，当时针和分针所成角度180°时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图，六点整就是一个美妙时刻，时针、分钟继续转动，下一个美妙时刻是什么时刻？从0时到24时共_______个美妙时刻
23．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知．
(1)如图1，若射线，分别为，的角平分线，则 ．
(2)如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为，且平分．
①当时，若分为两个部分，求满足时，的值．
②如图3，若平分，当且时，试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
24．（24-25七年级上·北京昌平·期末）在一次数学实践探究活动中，某小组同学将三角板的直角顶点放置在直线上，且边，不与重合，作射线平分．
(1)如图1，当时，则______________；
(2)若．
①当三角板绕着点旋转至如图2的位置时，求的度数（用含的代数式表示）
②继续将三角板绕着点旋转可得到如图所示的三种位置，分别写出的度数（用含的代数式表示）
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专题6.7 角的和差
1. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；
2．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.角度的四则运算 2
考点2.图形中的角度计算 3
考点3.三角板中的角度计算 5
考点4.几何图形中的角度计算（翻折） 9
考点5.钟面中的角度问题 10
考点6.角平分线的相关计算 11
考点7.角n等分线的相关计算 13
考点8.动态角度问题（旋转） 17
模块3：培优训练 21
1.角的和、差：
1）如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和，如图∠ABC＝∠1+∠2。
2）如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差；如图∠GEF＝∠DEG-∠1。
2.角的平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成相等的两个角，这条射线叫作这个角的平分线。如图所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA或∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA。
类似地，还有角的三等分线、n等分线等。
考点1.角度的四则运算
例1．（20-21七年级上·河北张家口·期末）计算：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：
．
变式1．（2025七年级上·浙江·专题练习）计算(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
变式2．（2025七年级上·浙江·专题练习）计算：
(1)． (2)． (3)． (4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
（3）解：原式．
（4）解：原式．
变式3．（25-26七年级上·浙江·课后作业）计算：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
考点2.图形中的角度计算
例1．（24-25七年级上·湖南永州·期末）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，正方形的每个角都是，
，，，
又，∴．故选：C．
变式1．（24-25九年级下·河南信阳·月考）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为
【答案】
【详解】解：补上反射光线如图：
由题意可知，，∴，
∴，∴，故答案为：．
变式2．（24-25八年级上·广东惠州·期中）一束光在空气与某透明物质的界面处发生了反射和折射现象，其光路如图所示．入射光线与界面的入射角为，折射角为，则反射光线与折射光线形成的 ．
【答案】/120度
【详解】解：过点作法线，得到界面，
由图可知是入射光线，是反射光线，是折射光线，
界面，，得到，
入射角等于反射角，，与界面的夹角是，
，故；故答案为120°．
考点3.三角板中的角度计算
例1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，将一副三角尺的两个角的顶点重叠在处，其中，，两条直角边落在直线上．将三角尺从图1的位置绕点以度/秒的速度顺时针旋转t秒．在旋转过程中，若为的角平分线，为的角平分线．(1)如图1，求的度数．(2)如图2，三角尺旋转过程中，若，当时，求t的值．(3)三角尺旋转过程中，当 秒时，．
【答案】(1)（1）(2)(3)或或
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：旋转t秒时，，，
∵为的角平分线，为的角平分线，
∴，，
∵，∴，解得：；
（3）①当时，如图，，
，
∵，∴，解得；
②当时，如图，，
，
∵，∴，解得；
③当时，如图，，，，
∵为的角平分线，为的角平分线，
∴，
∴，
∵，∴，解得；
综上所述，t的值为：或或，故答案为：或或．
变式1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）将一副一角板（1个两个内角都为的等腰直角三角板，一个两个内角为和的直角三角板）按如图方式摆放，与不一定互补的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、，即与互补，故选项A不符合题意；
B、无法计算，故选项B符合题意；
C、如图，，则，
∵，∴，故选项C不符合题意；
D、如图，，
∵，，
∵，∴，故选项D不符合题意；故选：B．
变式3．（24-25七年级上·广东深圳·期末）综合实践课上，小明把两个三角尺按图所示那样放置在一起，若此时，则 ．
【答案】/度
【详解】解：∵，，∴，
又∵，∴，故答案为：
变式3．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一副三角尺按如图方式叠放，，，点，重合．为探索与的关系，某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设，求得，于是三位同学得出不同猜想，甲：；乙：；丙：．
(1)为验证猜想，他们再次假设，并求出的度数．请写出求解过程；
(2)①根据题（1）的结果，猜想一定错误的两位同学是________；
②剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由．
【答案】(1)，过程见解析(2)①甲，乙；②丙同学的猜想正确，理由见解析
【详解】（1）解：，
（2）解：①甲，乙，理由如下由（1）可知，
，故甲，乙的猜想错误；
②正确，理由如下：
∴丙同学的猜想正确．
考点4.几何图形中的角度计算（翻折）
例1．（25-26七年级上·四川德阳·月考）如图，将长方形纸片沿直线、进行折叠后（点在边上），点刚好落在上，若折叠角，则另一个折叠角 ．
【答案】
【分析】解：由折叠重合得：，
∵，∴，
∴，故答案为：。
变式1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，将一张长方形纸片分别沿着折叠，使边，均落在上，得到折痕，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由折叠知，，，，
，，故选C．
变式2．（2024·浙江·七年级期中）将矩形ABCD沿AE折叠，得如图所示的图形，已知，则的大小是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：矩形沿折叠，，
又∵，，，．故选：B．
考点5.钟面中的角度问题
例1．（24-25七年级上·山东淄博·期末）的《我爱发明》栏目，每周一至周五的播出时间是，此时钟表的时针与分针的夹角为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得：，
此时钟表的时针与分针的夹角为，故答案为：．
变式1．（24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）小华5点半吃完晚饭，之后出门散步，并在六点半前回家，出发时看到分针与时针垂直，回来时分针与时针还是垂直，则小华散步的时长为 分钟．
【答案】
【详解】解：设出发时间为5点m分，此时时针角度：（5时对应，每分走），分针角度：（每分走），所以解得： 即小华出门时刻是分钟．
设回家时间为6点n分，此时时针角度：（6时对应），分针角度：（每分走），
所以解得：
即小华回家的时刻是分钟．（分钟）
答：小华散步的时长为分钟．故答案为：．
变式2．（2024八年级下·江西上饶·竞赛）宁宁在早晨6点至7点之间晨练，出门和回来的时候，时针与分针的夹角都是110°，则宁宁晨练的时间为（ ）分钟．
A．35 B． C．40 D．
【答案】C
【详解】解：设宁宁开始晨练的时间是6点分，
根据题意，得，解得：；
再设结束晨练的时间是6点分，∴，解得：，
∴宁宁晨练的时间为分钟．故答案为：40．
考点6.角平分线的相关计算
例1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，点为直线上一点，以为顶点的直角绕点在直线上方旋转，作射线分别平分和．
（1）当时，的度数为 ；（2）在旋转过程中，的度数始终为 ．
【答案】
【详解】解：（）∵，∴，
∵分别平分和，
∴，，∴，
∵，∴，故答案为：；
（）∵，∴，
∵分别平分和，
∴，，∴，
∴，故答案为：．
变式1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，，是的平分线，则的度数为 °
【答案】30
【详解】解：因为，所以.
因为是的平分线，所以．故答案为：．
变式2．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知，平分，平分，则 ．
【答案】/60度
【详解】解：∵平分，平分，∴，
∴，
∵，∴．故答案为：
变式3．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：∵是直角，∴，∴，
∵射线平分，∴，∴，
∵射线平分，∴，
∴．故答案为：．
考点7.角n等分线的相关计算
例1．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线．
(1)已知，，，那么________．
(2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分．
①如果，，求的度数．
②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案）
【答案】(1)(2)①；②，
【详解】（1）解：∵，，
∴，
又∵，∴，故答案为：；
（2）解：①∵，，∴，
∵平分，平分．∴，
∴，∴；
②∵的度数是，的度数是，∴，
∵平分，平分．∴，
∴，
又∵平分，平分，∴，
∴，
同理，，
∴，
∴．
变式1．（25-26七年级上·河南郑州·期中）综合与实践
特例感知：（1）如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．若，则线段_____；
知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数．
拓展探究：（3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出______°．（用含的式子表示）
综合提升：
（4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出______°．
【答案】（1）7；（2）；（3）；（4）
【详解】解：（1），，，
点，分别是和的中点，，，
，故答案为：7；
（2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分，
，，
，；
（3），，，
，，，
．故答案为：；
（4）设，∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴．故答案为：80．
变式2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图有两个转盘，分别为甲转盘（均匀分布三片叶片）和乙转盘（均匀分布四片叶片），将甲转盘绕点逆时针转动一周回到原位置的时间为秒，乙转盘逆时针转速为36度/秒．

(1)甲转盘中线段绕点每秒逆时针转动______度；
(2)如图1，若在转盘甲转动同时，线段从线段出发，绕着点以47度/秒的速度逆时针旋转，假设同时转动的时间为（秒），请回答以下问题：
①当，求的度数；②当第一次与重合，求转动时间；
(3)现将甲转盘和乙转盘重叠，调整起始位置（如图2），使它们同时绕着点逆时针旋转，乙转盘转动一周，两个转盘同时停止转动，设转动时间为（秒），问：是否存在某个时间使得乙转盘叶片是甲转盘叶片夹角的三等分线．若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)32(2)①；②；
(3)当或5或10时，乙转盘叶片是甲转盘叶片夹角的三等分线
【详解】（1）解：∵甲转盘绕点逆时针转动一周回到原位置的时间为秒，
∴线段绕点每秒逆时针转动的度数为；故答案为：32．
（2）解：①∵线段从线段出发，绕着点以47度/秒的速度逆时针旋转，
∴当时，；
②当第一次与重合时，，解得：，
答：当第一次与重合，转动时间；
（3）解：∵乙转盘逆时针转速为36度/秒，∴；
根据题意得：，，
，，
当为的三等分线时，，解得：；
当为的三等分线时，，解得：；
当为的三等分线时，，解得：；
综上分析可知，当或5或10时，乙转盘叶片是甲转盘叶片夹角的三等分线．
考点8.动态角度问题（旋转）
例1．（24-25七年级上·湖南·期末）如图1所示，．射线从位置出发，绕点每秒逆时针旋转1°．射线从位置出发，绕点每秒逆时针旋转5°，当其与射线或射线相遇时，保持运动速度不变但运动方向发生改变，如此往返．当时，运动停止．设运动时间为秒．
(1)当时，求与的度数；
(2)如图2，当射线还未与射线相遇，且其为的平分线时，求的值；
(3)试求出整个运动过程中，射线与射线一共相遇了几次？
【答案】(1)，(2)或(3)5次
【详解】（1）解：当时，，．
此时射线在射线与之间．
，．
（2）解：设射线第一次与射线相遇时运动时间为，
则．．
情况一：当时，，，
射线为的角平分线，，；
情况二：当且未与射线相遇（即）时，
，，
射线为的角平分线，，，综上，或．
（3）解：运动终止时，时间为秒，
设射线与射线某一次相遇时，且下一次相遇时，考虑两次相遇间过程：
时，；
时，，
在该过程中，射线一直逆时针旋转，所花时间为：秒，
射线先回到射线，再追到射线，所花时间为：
秒，故，即，
已知第一次相遇时间为5秒，则：
第二次相遇时间：秒；
第三次相遇时间：秒；
第四次相遇时间：秒；
第五次相遇时间：秒；
第六次相遇时间：，故全过程一共相遇了5次．
变式1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：
(1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______°
(2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；
(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4
①运动停止时，直接写出______；
②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系．
【答案】(1)90(2)正确，代数式的值为；
(3)①；②当时，；当时，．
【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线，∴，
∵，∴．故答案为：90；
（2）∵，设，则，
∴，，
∴．
∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为；
（3）解：∵，∴，，
设运动时间为，则，则．
①运动停止时，即时，OA旋转的角度为，
∴，故答案为：；
②当点C，O，A三点共线时，；
∴当时，，，
∴；
当时，，
，∴．
综上，当时，；当时，．
变式2．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知线段在同一平面内，且，．
(1)若平分，求的度数；(2)在（1）条件下，若也平分，求的度数；
(3)若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，则经过多少时间，与第一次垂直．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：∵，，∴，
∵平分，∴，∴．
（2）解：∵，，∴，
∵平分，∴，
∵平分，∴，∴．
（3）解：根据题意，得时针每分钟转过，分针每分钟转过，
设转动，两个指针第一次垂直，根据题意，得，解得．
故经过，与第一次垂直．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（25-26七年级上·浙江·课后作业）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、∵，，，
∴，选项说法错误，不符合题意；
B、，，选项说法错误，不符合题意；
C、，选项说法正确，符合题意；
D、，选项说法错误，不符合题意；故选：C．
2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：是的两条三等分线，，
，故A选项等式正确，不符合题意；
，，即，
，故B选项等式不正确，符合题意；
，故C选项等式正确，但不符合题意；
，，故D选项等式正确，但不符合题意．故选：B．
3．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，直线交于点O，平分，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，∴，
∵平分，∴，∴；故选：C
4．（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）在学习本节课时，陈老师在投影上展示了一道题目，则横线上代表的序号正确的是（ ）
如图，根据图形填空______；______；___③__；_④____．
A．①代表 B．②代表 C．③代表 D．④代表
【答案】C
【详解】解：A．，①代表，故A选项不符合题意；
B．，②代表，故B选项不符合题意；
C．，③代表，故C选项符合题意；
D．，④代表，故D选项不符合题意．故选：C．
5．（24-25七年级上·重庆酉阳·期末）如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【详解】解：由图知：时针转动了4小格，每一小格代表： ，即时针转了24°，
∵分针每转动1°，时针转动 ，由此知：分针转动： ，
由每一大格对应30°知： ，
即分针走了9大格，3个小格，从而确定12点位置：
由此确定此时是10点48分；故答案为：A．
6．（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，学校（记作）在蕾蕾家（记作）南偏西的方向上，且与蕾蕾家的距离是，若，且，则超市（记作）在蕾蕾家的（ ）
A．南偏东的方向上，相距 B．南偏东的方向上，相距
C．北偏东的方向上，相距 D．北偏东的方向上，相距
【答案】A
【详解】解：如图：
由题意知，所以，
所以超市（记作）在蕾蕾家的南偏东的方向上，相距，故选：．
7．（24-25七年级上·浙江·期中）如图所示，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∴．故选：C．
8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，射线平分，
，．故选：C．
9．（25-26七年级上·浙江·课后作业）如图，，平分，平分，下列结论：①；②；③与可以拼成一个直角；④与可以拼成一个平角，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】∵，平分，∴
∵平分．∴，
∴，，
∴①，正确；②，正确；
③与可以拼成一个直角，正确；
④与可以拼成一个平角，正确，故选：D．
10．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （ ）
A．只有甲答的对 B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整
【答案】C
【详解】解：由题意，可知：，∴，
当两个三角板不重合时，如图：则：，
当两个三角板有重合部分时，如图：∵，
∴，∴，
∴；故甲、乙答案合在一起才完整；故选C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·四川达州·期中）如图，一棵小树生长时与地面所成的角，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么等于 度．

【答案】10
【详解】解：由题意得：，故答案为：10．
12．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，桌面上平放着一把长方形直尺和它上方的一块三角板，小明将三角板的直角顶点C紧靠直尺的边缘，若分别作出与的平分线与．则 ．
【答案】225
【详解】解：由题意，得：，∴，
∵与分别是与的平分线，∴，
∴，
∴；故答案为：225．
13．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，小文同学为研究12点t分（）时的钟面角，把数字12所在的刻度记为点 A，把时针记为，分针记为．当两两所夹的三个角中有两个角相等时，t的值为 （本题中所有角的度数均不超过 ）．
【答案】或
【详解】解：∵钟表一周为∴分针每分钟走，时针每分钟走，
依题意得，
①当时，，，，不存在相等的两个角，
②当时，即：时，，，
此时可能相等的两个角是：当 时，即，解得：，
③当时，即：时，，，
此时可能相等的两个角是：当 时，即，解得：，
综上，当或时， 三个角中有两个角相等
14．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线是的“启仔等分线”．如图2，，若射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为秒当 时，射线是的“启仔等分线”．
【答案】秒或5秒或20秒
【详解】解：由题意，可分四种情况：
当时，，所以 秒；
当时，，所以 秒；
当时，，所以 秒；
当时，，
不符合条件“当首次等于时停止旋转”，舍去．故答案为：5秒或秒或20秒．
15．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ．
【答案】/75度
【详解】解：设，则，
，∴，
，∴，
∴．故答案为：．
16．（24-25七年级上·四川绵阳·月考）已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．当从如图所示位置绕点顺时针旋转时，满足，则 ．
【答案】30或50或90
【详解】解：由题图可知．
①当时，和在直线的右侧，如图：
，
，；
②当时，如图所示，在直线的左侧，在直线的右侧，
此时，∵本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角，
故，
，
，，解得；
③当时，如图所示，
，
，∴，解得；
④当时，如图：
，
，，
，
，
，
∵，∴，解得（舍去）．
故答案为：30或50或90．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）定义：如果两个角有一条边重合，且一个角是另一个角的4倍，我们称这两个角是友好关系角．如图，点是直线上一点，作射线，且．
(1)若和是友好关系角，求的度数．
(2)若平分，且和是友好关系角，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：设，
∵，∴，
∵和是友好关系角，且，
∴，即， 解得，∴的度数为．
（2）解：∵平分，∴，
设，则，．
∵和是友好关系角，且，
∴，即，解得，∴．
18．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知，，，平分，平分，求的度数．
解：，平分
___________=___________．
又
_________________________________．
平分
___________．
【答案】；45；；45；15；30
【详解】解：，平分，，
又，，
平分，．
故答案为：；45；；45；15；30．
19．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分．
(1)当时，求的度数；(2)请你猜想和的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析
【详解】（1）解：∵，，∴，
∵平分，∴，∴；
（2）解：，理由如下：∵，∴，
∵平分，∴，
∴．
20．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知：，射线在内部且不与重合，．
(1) ；（用α表示）(2)设．如图1，当时， ____________；
如图2，当时， ____________；
(3)求当等于多少度时，值与α无关，并说明理由．
【答案】(1)(2)(3)当等于60度时，值与α无关
【详解】（1）解：由题意知，故答案为：；
（2）在图1中，，
在图2中，，，
故答案为：；
（3）当等于60度时，值与α无关，理由如下：
当时，在图1中，，，，
在图2中，，，，
所以，当等于60度时，值始终为2，与α大小无关．
21．（24-25七年级上·山东淄博·月考）小明同学在学习了线段的中点和角的角平分线后，发现两者在方法应用方面有相似之处，于是小明进行了下面的探索研究．
【问题提出】①已知点在线段上，取的中点，的中点，，则是_____________．
②小明在研究完之后，发现对于角的问题同样适用，如图，已知，平分，平分，则的度数为____________________．
【变式提升】①如图，已知点在线段上，点在点的左边，取的中点，的中点，，则的长为______________（用含的代数式表达）
②如图，已知，平分，平分，则的度数为_____________________．
【拓展延伸】①小明继续探究，如图，已知点在线段上，点在点的右边，取的中点，的中点，，求的长（写出求解推导的过程，用含的代数式表达）
②如图，已知，平分，平分，求的度数（写出求解推导的过程，用含的代数式表达）
【答案】[问题提出]①6；②；[变式提升]①；②；[拓展延伸]①；②
【详解】解：[问题提出]①∵M是的中点，N是的中点，
∴，，∴，
又，∴，故答案为：6；
②∵平分，平分，∴，，
∴，
又，∴，故答案为：；
[变式提升]①∵M是的中点，N是的中点，∴，，
∴，
又，∴，故答案为：；
②∵平分，平分，∴，，
∴
，
又，∴，故答案为：；
[拓展延伸]①∵M是的中点，N是的中点，
∴，，∴
，又，∴；
②∵平分，平分，∴，，
∴
，
又，∴．
22．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1－12均匀分布，分针60分钟转动一周是，时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转度．
课题学习：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．三点二十分时，时针与分针所成角度是．
问题解决：(1)三点三十分时，时针与分针所成角度是_______°，三点四十分时，时针与分针所成角度是_______°；
(2)一点钟时，时针与分针所成角度，在一点钟到两点钟之间，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻；
(3)如图2，当时针和分针所成角度180°时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图，六点整就是一个美妙时刻，时针、分钟继续转动，下一个美妙时刻是什么时刻？从0时到24时共_______个美妙时刻
【答案】(1)(2)在一点二十二分或一点五十五分时，时针和分针垂直
(3)下一个美妙时刻是七点零五分；22
【详解】（1）解：三点整，时针与分针所成角度为，从三点到三点三十分，分针旋转的角度是，时针旋转的角度是 ，
∴三点三十分时，时针与分针所成角度是；
三点到三点四十分，分针旋转的角度是，时针旋转的角度是，
∴三点四十分时，时针与分针所成角度是； 故答案为：；
（2）设从一点开始过了x分钟时针和分针垂直，由题意，得：分针旋转角度（初始角度时针旋转角度)最终差值，当分针和时针垂直时，最终差值可以是或；
①当最终差值为时：， 解得：，此时为一点二十二分；
②当最终差值为时：，解得：，此时为一点五十五分．
综上：在一点二十二分或一点五十五分时，时针和分针垂直．
（3）解：再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转，分针每分钟旋转，时针每分钟少旋转，
∴到达下一个美妙时刻需要时间分钟，此时为七点零五分．
一天有分钟， ，即一天有22个美时刻．故答案为：．
23．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知．
(1)如图1，若射线，分别为，的角平分线，则 ．
(2)如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为，且平分．
①当时，若分为两个部分，求满足时，的值．
②如图3，若平分，当且时，试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)(2)①或；②，为定值
【详解】（1）解：如图1，，则，
射线，分别为，的角平分线，，，
，故答案为：．
（2）解：①如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，运动时间为，
，，，
平分，分为两个部分，
，，或，，
当，时，
，，
，，解得：；
当，时，
，，
，，解得：；综上所述，的值为或．
②当时，如图3，，，，
平分，平分，，，
，
，
，为定值；
当时，如图4，，，，
平分，平分，，，
，，
，为定值；
综上所述，，为定值．
24．（24-25七年级上·北京昌平·期末）在一次数学实践探究活动中，某小组同学将三角板的直角顶点放置在直线上，且边，不与重合，作射线平分．
(1)如图1，当时，则______________；
(2)若．
①当三角板绕着点旋转至如图2的位置时，求的度数（用含的代数式表示）
②继续将三角板绕着点旋转可得到如图所示的三种位置，分别写出的度数（用含的代数式表示）
　　_____； ____； ____；
【答案】(1)30(2)①；②；；
【详解】（1）解：，，，
平分，，
又，．故答案为：30．
（2）解：①，，，
平分，，
，，的度数为；
②位置1：，，，
平分，，
，；
位置2：同理位置1的方法可得：；
位置3：同理①的方法可得：．故答案为：；；．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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