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专题6.9 线段的双中点和双角平分线模型
对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点（双角平分线）模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。
如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段（角度）和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。
模块1：核心考点 1
模型1.线段的双中点模型 1
模型2.线段的多中点模型 4
模型3.双角平分线模型 8
模型4.双角平分线模型与角n等分线模型 12
模块2：培优训练 14

模型1.线段的双中点模型
1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：.
证明：①当点B在线段AC上，如图1，
图1
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；
∵MN=BM+BN，∴；
②当点B在线段AC的延长线上，如图2，
图2
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；
∵MN=BM-BN，∴；
③当点B在线段CA的延长线上
图3
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；
∵MN=BN-BM，∴；
例1（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点．(1)如果，，求的长；(2)如果，求长．
例2（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，；②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化；
③当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
例3（24-25七年级上·广西玉林·期末）如图，点C是线段AB上一点，AC
例4（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则 ．（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
例5（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，，的中点M与的中点N的距离是，则 ．
例6（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）已知点C为线段所在直线上一点，，，点E为的中点，F为的中点．则 ．
模型2.线段的多中点模型
2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：．
证明：∵、是和的中点，∴，，
∴，∵、是和的中点，
∴，，∴，
∵，是和的中点，∴，，
∴，……发现规律：，
例1（24-25七年级上湖北·阶段练习）点M是线段的中点，点D是线段的一个三等分点，若，则 ．
例2（24-25·湖北武汉·七年级统考期末）已知点C是线段AB的一个三等分点，M是线段AB的中点，N是线段BC的中点，，则AB= ．
例3（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，已知，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作次，则 ．
例4（24-25七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ．
例5（24-25七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；…
(1)请完成下列表格数据．
次数 线段的长
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次 ①______ ②________
… … …
(2)小明对线段的表达式进行了如下化简：
因为，所以，
两式相加，得，所以．
请你参考小明的化简方法，化简的表达式．
(3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____．
例6（24-25·辽宁·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．
(1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长；
③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________；
模型3.双角平分线模型
图1 图2 图3 图4
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：。
证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，，
∴，∴。
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：。
证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，，
∴，∴。
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
结论：。
证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB，
∴。
例1（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，是的平分线，是的平分线，已知，那么 （用含的式子表示）．
例2（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知直线，相交于点O，平分，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
例3（24-25·江苏·七年级统考期末）如图，在外部，，分别是，的平分线．，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
例4（24-25七年级上·上海·期末）已知分别是的角平分线．是内部的一条射线，若，则的度数为 ．
例5（24-25七年级下·四川绵阳·开学考试）如图，平分，平分．若， ，则 ．
例6（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）已知，，平分，平分，则的度数是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
模型4.双角平分线模型与角n等分线模型
1）角n等分线模型
条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：．
证明：，、分别是和的平分线，
，，
、分别是和的平分线，，
，
、分别是和的平分线，，
，…，
由此规律得：。
例1（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，已知，平分，射线在内部，，作射线，使射线是三等分线，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
例2（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为（ ）
A． B． C． D．
例3（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线．
(1)已知，，，那么________．
(2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分．
①如果，，求的度数．
②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案）
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1.（2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．（2025·河北沧州·模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是( )
A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对
3．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）已知在一直线上有A、B、C三个点，且线段，，点M是线段的中点，则线段的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（ ）
A．4 B．20或10 C．10 D．20或4
5．（24-25河南信阳·七年级期末）若线段AB＝12cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，则线段BD的长为（　　）
A．2cm或4cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm
6．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（24-25·山东滨州·七年级期中）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（　　）
A．50° B．60° C．65° D．70°
8.（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
9．（24-25七年级上·山东烟台·期末）将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25七年级上·四川广元·期末）如图，是的平分线，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11.（24-25七年级上·上海·阶段练习）一条直线上依次有、、、四个点，如果，，和分别是和的中点，那么 ；
12．（24-25七年级上·山东·期末）已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，…，连续这样操作5次，则 ．

13.（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ．
14.（2024·江苏南京·中考真题）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ．
15．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线．
（1）若，则 ；
（2）如图2，若，，是的两条三分线，且．若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为
16．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，画射线，使，平分，平分，则 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,，
(1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长；
(2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长．
18．（24-25七年级上·重庆·期末）已知，，，四点在同一直线上，线段，点在线段上．
(1)如图1，点是线段的中点，，求线段的长度；
(2)若点是直线上一点，且满足，，求线段的长度．
19．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）已知线段，点C为线段上的一个动点（点C不与A、B重合），点D、E分别是和的中点
(1)若，求的长；(2)若点C恰好是的中点，且，求的长．
20．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点．
(1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________；
(2)如图2，若，，，求线段的长；(3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长．
21．（24-25七年级上·四川巴中·期末）【实例】求值：
解：设①
将等式两边同时乘2，得：②
将②式减去①式，得：，
即
【运用】（1）_______________﹔
【拓展】（2）计算：；
【迁移】（3）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；连续这样操作次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和的值为多少
22．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和
(1)若，，求的度数
(2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案）
(3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果）
23．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）线段和角在概念和结构上存在某种对应，它们的相关计算问题也存在着某种意义上的联系，其解题方法可以相互借鉴．
【线段计算】（1）如图1，已知线段，C，D分别是，的中点，则_______；一般地，若线段，C，D分别是，的中点，则_______．
【角度计算】（2）如图2，已知在的内部，射线和射线分别平分和．
①若，则的度数为_______．
②一般地，请你猜想和之间有怎样的数量关系？并说明理由．
【思想提炼】（3）在以上问题的解决过程中，你使用的数学思想方法有_______．
A．转化思想 B．数形结合 C．分类讨论 D．类比思想
24.（24-25七年级上·陕西·校考期末）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线．
【问题再现】（1）若，为的二倍分线，且，求的度数；
【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）．
①若，求的度数；②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数．
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专题6.9 线段的双中点和双角平分线模型
对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点（双角平分线）模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。
如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段（角度）和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。
模块1：核心考点 1
模型1.线段的双中点模型 1
模型2.线段的多中点模型 4
模型3.双角平分线模型 8
模型4.双角平分线模型与角n等分线模型 12
模块2：培优训练 14

模型1.线段的双中点模型
1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：.
证明：①当点B在线段AC上，如图1，
图1
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；
∵MN=BM+BN，∴；
②当点B在线段AC的延长线上，如图2，
图2
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；
∵MN=BM-BN，∴；
③当点B在线段CA的延长线上
图3
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；
∵MN=BN-BM，∴；
例1（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点．(1)如果，，求的长；(2)如果，求长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵点是线段的中点，，∴．
∵，∴．
∵点是线段的中点，∴；
（2）解：∵点是线段的中点，点是线段的中点，，
∴，，∴，∴．
例2（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，；②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化；
③当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】D
【详解】解：运动后，，
∵为的中点，为的中点，∴，
∴，故①正确；设运动秒，则，
∵为的中点，为的中点，，
∴，，
∴的值不变，故②错误；，
，解得：，故③正确；故选：D．
例3（24-25七年级上·广西玉林·期末）如图，点C是线段AB上一点，AC
【答案】4
【详解】由N是CB的中点，NB=5，得：BC=2NB=10．由线段的和差，得：AB=AC+BC=8+10=18．
∵M是AB的中点，∴，由线段的和差，得：MN=MB-NB=9-5=4，故答案为：4.
例4（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则 ．（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【详解】解：由，得，
，，
E、F分别是的中点，，，
，
解得：，，故选：C．
例5（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，，的中点M与的中点N的距离是，则 ．
【答案】
【详解】解：∵∴设，，，
∵M是的中点，N是的中点，∴，，
∵的中点M与的中点N的距离是∴，
∴，∴．故答案为：．
例6（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）已知点C为线段所在直线上一点，，，点E为的中点，F为的中点．则 ．
【答案】或
【详解】解：∵点E，F分别是线段，的中点，且线段，线段，
当点C在点B的右侧时，如图1所示，∴，∴，

当点C在点B的左侧时，如图2所示，∴，∴，

故答案为：或．
模型2.线段的多中点模型
2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：．
证明：∵、是和的中点，∴，，
∴，∵、是和的中点，
∴，，∴，
∵，是和的中点，∴，，
∴，……发现规律：，
例1（24-25七年级上湖北·阶段练习）点M是线段的中点，点D是线段的一个三等分点，若，则 ．
【答案】3
【详解】解：①若点D为靠近点A的三等分点，如图1所示
∵，点M是线段的中点，点D是线段的一个三等分点，
∴AM=，AD=；∴DM=AM－AD=3；
②若点D为靠近点B的三等分点，如图2所示
∵，点M是线段的中点，点D是线段的一个三等分点，
∴BM=，BD=；∴DM=BM－BD=3； 综上：DM=3 故答案为：3．
例2（24-25·湖北武汉·七年级统考期末）已知点C是线段AB的一个三等分点，M是线段AB的中点，N是线段BC的中点，，则AB= ．
【答案】或/12或6
【详解】解：如图1，∵点C是线段上的三等分点，∴，
∵M，N是线段，的中点，∴，，
∴，∴；
如图2，∵点C是线段上的三等分点，∴，
∵M，N是线段，的中点，∴，，
∴，∴；故答案为或．
例3（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，已知，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作次，则 ．
【答案】
【详解】解：∵线段，线段和的中点，，
∴，
∵线段和的中点，；∴
发现规律：，∴．故答案为：．
例4（24-25七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ．
【答案】
【详解】解：∵、是和的中点，∴，，
∴，∵、是和的中点，
∴，，∴，
∵，是和的中点，∴，，
∴，……发现规律：，
∴
∴
两式相减，得，故答案为：．
例5（24-25七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；…
(1)请完成下列表格数据．
次数 线段的长
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次 ①______ ②________
… … …
(2)小明对线段的表达式进行了如下化简：
因为，所以，
两式相加，得，所以．
请你参考小明的化简方法，化简的表达式．
(3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____．
【答案】(1)①；② (2)(3)
【详解】（1）解：，；
故答案为：，；
（2）因为，所以．
两式相加，得．所以；
（3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是．
故答案为：．
例6（24-25·辽宁·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．
(1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长；
③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________；
【答案】(1)6(2)①；②；③
【详解】（1）解：∵AB=12，AC=8，∴BC=AB-AC=4，
∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC=4，CN=BC=2，∴MN=CM+CN=6；故答案为：6；
（2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=AC+BC=AB，
∵AB=a，∴MN=a；故答案为：a；
②∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a；
③∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，
∵AB=a，∴MN=a，故答案为：a．
模型3.双角平分线模型
图1 图2 图3 图4
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：。
证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，，
∴，∴。
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：。
证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，，
∴，∴。
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
结论：。
证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB，
∴。
例1（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，是的平分线，是的平分线，已知，那么 （用含的式子表示）．
【答案】/
【详解】解：因为平分， 平分，所以 ， ，
所以 ，．故答案为：．
例2（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知直线，相交于点O，平分，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵平分，平分，∴，，
∴，
∵，∴，∴．故选：C．
例3（24-25·江苏·七年级统考期末）如图，在外部，，分别是，的平分线．，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，，，
平分，平分，，，
．故选：D．
例4（24-25七年级上·上海·期末）已知分别是的角平分线．是内部的一条射线，若，则的度数为 ．
【答案】/90度
【详解】解：∵分别是的角平分线，∴，
∵，∴，
∴，故答案为：．
例5（24-25七年级下·四川绵阳·开学考试）如图，平分，平分．若， ，则 ．
【答案】
【详解】解：∵平分，平分，∴，，
∵， ，∴，
∴，∴，
∵，∴，故答案为：．
例6（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）已知，，平分，平分，则的度数是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【详解】解：分为两种情况：如图1，当在内部时，
，，，
平分，平分，，，
；
如图2，当在外部时，，，，
平分，平分，，，
；综上，的度数是或．故选:C．
模型4.双角平分线模型与角n等分线模型
1）角n等分线模型
条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：．
证明：，、分别是和的平分线，
，，
、分别是和的平分线，，
，
、分别是和的平分线，，
，…，
由此规律得：。
例1（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，已知，平分，射线在内部，，作射线，使射线是三等分线，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】解： 平分，，，
，，
∵是三等分线，∴①若，
则，；
②若，则，；
综上，的度数为或，故选：C．
例2（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，射线是的角平分线，∴，
∵射线是的角平分线，∴，
∵射线是的角平分线，∴，∴，
则，故选：D．
例3（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线．
(1)已知，，，那么________．
(2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分．
①如果，，求的度数．
②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案）
【答案】(1)(2)①；②，
【详解】（1）解：∵，，
∴，
又∵，∴，故答案为：；
（2）解：①∵，，∴，
∵平分，平分．∴，
∴，∴；
②∵的度数是，的度数是，∴，
∵平分，平分．∴，
∴，
又∵平分，平分，
∴，∴，
同理，，
∴，
∴．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1.（2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【详解】解：①当点C在线段上时，如图所示：
∵，，∴（），
∵M是的中点，N是的中点，
∴，，∴（）．
②当点C在线段的延长线上时，如图所示：
∵，，∴（），
∵M是的中点，N是的中点，
∴，，∴（）．
综上所述，线段的长度是8．故选：A．
2．（2025·河北沧州·模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是( )
A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对
【答案】A
【详解】解：①“延长线段到，使”，则点是线段中点，故嘉嘉说法正确；
②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”，如图，如果线段，那么线段或，故淇淇说法错误．故选：A．


3．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）已知在一直线上有A、B、C三个点，且线段，，点M是线段的中点，则线段的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】解：如图，当点在点左侧时，可有，
∵点是线段的中点，∴；
如图，当点在点右侧时，可有，
∵点是线段的中点，∴；
综上：的长为或；故选：C．
4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（ ）
A．4 B．20或10 C．10 D．20或4
【答案】D
【详解】解：当点在线段上时，如图：
由题意，得：，，∴，∴；
当点在线段上时，如图：则，，
∵，∴，∴；综上，线段的长是20或4．故选：D．
5．（24-25河南信阳·七年级期末）若线段AB＝12cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，则线段BD的长为（　　）
A．2cm或4cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm
【答案】D
【详解】解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，
∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm），点D是线段AC的三等分点，
①当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）；
②当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）．
所以线段BD的长为10cm或8cm，故选：D．
6．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【详解】解：①、由，得：，故正确；
②、由E是的中点，，得，则是的中点，故正确；
③、由D，E分别是的中点，得：，故正确；
④、由上述结论，得：，故正确；
⑤、由，，得到，又，则，，，，
，，，
图中所有线段之和为，故正确，综上所述，正确的结论共有5个，故选：D
7．（24-25·山东滨州·七年级期中）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（　　）
A．50° B．60° C．65° D．70°
【答案】D
【详解】∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°，
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠COE=×60°=30°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°．故选D．
8.（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
【答案】A
【详解】解：如图1，当位于内部时，
∵，是的平分线，∴．
∵，∴，．
∵平分，∴，∴；
如图2，当位于外部时，
∵，是的平分线，∴．
∵，∴，．
∵平分，∴，∴；
综上可知或．故选：A．
9．（24-25七年级上·山东烟台·期末）将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵平分，平分，∴，，
∴
，
又，，∴，故选：C．
10．（24-25七年级上·四川广元·期末）如图，是的平分线，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，，，，
是的平分线，．故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11.（24-25七年级上·上海·阶段练习）一条直线上依次有、、、四个点，如果，，和分别是和的中点，那么 ；
【答案】
【详解】解：如图，
∵在一条直线上且依次排列∴，
∵，，∴，即，
∵M、N分别是、的中点，∴，．
∴ ．故答案为：6．
12．（24-25七年级上·山东·期末）已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，…，连续这样操作5次，则 ．

【答案】4
【详解】解：根据题意可得，∵，∴，
∴，∴，
∴，……依次类推， ，∴，故答案为：4．
13.（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ．
【答案】40或80
【详解】解：∵，，N是线段的中点，∴，，
①若，如图1所示：
∵，∴，∵，∴∴，
∵M是线段的中点，N是线段的中点，
∴，，∴；
②若，如图：∴，
∵，∴，∴，
∵M是线段的中点，N是线段的中点，
∴，，
∴；故答案为：40或80．
14.（2024·江苏南京·中考真题）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，
∵是的平分线，∴，
∴，∴，
∵是的平分线，，
∴；故答案为：
15．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线．
（1）若，则 ；
（2）如图2，若，，是的两条三分线，且．若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为
【答案】 或
【详解】解：（1）∵，，
∴，∴，故答案为：；
（2）∵是的一条三分线，，且，
∴，，∴，
∵将顺时针旋转（）得到，∴，
分两种情况：如图，当是的三分线，且时，
∴，∴，
∴，∴，即的值为；
如图2，当是的三分线，且时，
∴，∴，∴，即的值为；
综上所述，的值为或．
16．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，画射线，使，平分，平分，则 ．
【答案】或
【详解】解：当射线在内时，如图1，
∵，，∴，，
∵平分，平分，∴，，
∴.
当射线在外时，如图2，∵，，
∴，，
∵平分，平分，∴，，
∴.综上所述：或
故答案为：或．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,，
(1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长；
(2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长．
【答案】(1)41(2)49
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴；
（2）∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴．
∵，∴．
18．（24-25七年级上·重庆·期末）已知，，，四点在同一直线上，线段，点在线段上．
(1)如图1，点是线段的中点，，求线段的长度；
(2)若点是直线上一点，且满足，，求线段的长度．
【答案】(1)5(2)线段的长度为或
【详解】（1）解：，点是线段的中点，，
又，，，；
（2）解：①当点在线段上时，如图，
，，，；
②当点在点的右侧时，如图，
，，，；
③当点在点的左侧时，此时，不存在符合题意的点．综上，线段的长度为或．
19．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）已知线段，点C为线段上的一个动点（点C不与A、B重合），点D、E分别是和的中点
(1)若，求的长；(2)若点C恰好是的中点，且，求的长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：如图：∵点D、E分别是和的中点，∴，，
，
∵，∴；
（2）解：∵点C恰好是的中点，∴，
∵点D、E分别是和的中点，∴，，
∴，∴．
20．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点．
(1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________；
(2)如图2，若，，，求线段的长；(3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长．
【答案】(1)(2)5厘米(3)
【详解】（1）解：∵M，N分别是，的中点，，
∴，
∴，故答案为：；
（2）解：∵，∴；
（3）解：∵，
∴．
21．（24-25七年级上·四川巴中·期末）【实例】求值：
解：设①
将等式两边同时乘2，得：②
将②式减去①式，得：，
即
【运用】（1）_______________﹔
【拓展】（2）计算：；
【迁移】（3）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；连续这样操作次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和的值为多少
【答案】（1）；（2）；（3） 或
【详解】解：（1）设①
将等式①的两边同时乘以2得： ②
将②式减去①式，得：，∴．故答案为：．
（2）设①
将等式两边同时乘3，得：②
将②式减去①式，得
∴，即
（3）∵，、是线段和的中点，
∴，同理可得……
∴
设① ∴②
将①式减去②式，得 ∴
22．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和
(1)若，，求的度数
(2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案）
(3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果）
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：∵射线和射线分别平分和．
，
．
（2）解：，∵射线和射线分别平分和．
，
，即；
（3）解：，，
又 ∵，，
．
23．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）线段和角在概念和结构上存在某种对应，它们的相关计算问题也存在着某种意义上的联系，其解题方法可以相互借鉴．
【线段计算】（1）如图1，已知线段，C，D分别是，的中点，则_______；一般地，若线段，C，D分别是，的中点，则_______．
【角度计算】（2）如图2，已知在的内部，射线和射线分别平分和．
①若，则的度数为_______．
②一般地，请你猜想和之间有怎样的数量关系？并说明理由．
【思想提炼】（3）在以上问题的解决过程中，你使用的数学思想方法有_______．
A．转化思想 B．数形结合 C．分类讨论 D．类比思想
【答案】（1）22；；（2）①；②，理由见解析；（3）D
【详解】解：（1）C，D分别是，的中点，
，
，又，
，，
；
C，D分别是，的中点，，
，又，
，，
，故答案为：22；；
（2）①由条件可知，
，
，，
，．
②，理由如下：，
；
（3）在以上问题的解决过程中，我们会发现角的规律和线段的是一样的，所以运用了类比思想，故选：D．
24.（24-25七年级上·陕西·校考期末）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线．
【问题再现】（1）若，为的二倍分线，且，求的度数；
【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）．
①若，求的度数；②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数．
【答案】（1）；（2）①；②不变，见解析；（3）
【详解】解：（1）因为，为的二倍分线，且，
所以，，所以．所以．
（2）①因为，分别为和的三倍分线（，），
所以，，
因为，所以，所以，，
所以，，所以．
②不变．理由如下：因为，分别为和的三倍分线，，，
所以，，
所以；
（3）设，因为，所以，
因为所在射线恰好分别为和的三倍分线，，，
所以，，
因为，所以，
所以，所以，，所以．
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