资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题6.10 线段中的动态模型
线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（ 中点与和差倍分模型、 定值模型、存在性模型 、分类讨论模型、新定义模型等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 2
模型2.动态线段中的 定值模型 4
模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 7
模型4.动态线段中的分类讨论模型 9
模型5.动态线段中的新定义模型 13
模块3：培优训练 16
1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。
2、线段的动态模型解题步骤：
1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型）
例1（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为．(1)当时，若，的长为______；(2)当时，若，试说明点为的中点；(3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长．
c
(1)当（P在线段上）时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，则点Q的运动速度为 ．（直接写出答案即可）(2)若点Q的运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距？
(3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，则 ．（直接写出答案即可）
例2（24-25七年级上·江苏·期末）如图，在射线上有A，B，C三点，满足．点P从点出发，沿方向以的速度运动；点Q从点C出发在线段上向点匀速运动（点Q运动到点时停止运动），两点同时出发．
(1)当（P在线段上）时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，则点Q的运动速度为 ．（直接写出答案即可）(2)若点Q的运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距？
(3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，则 ．（直接写出答案即可）
例3（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)当点与点相遇时，求的值．(2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值．
(3)当时，求的值．
模型2.动态线段中的 定值模型
例1（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为．
(1)当时，则线段________，线段________；(2)当为何值时，？
(3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值．
例2（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，线段在射线上运动，，且．
(1)求线段、的长；(2)点M、N分别为线段、的中点，若，求的长；
(3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点求证：．
例3（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在数轴上的A点表示数，B点表示数，满足。(1)点A表示的数为____________，点B表示的数为______________.
(2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点A 处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．
①当时，乙小球到原点的距离=______________；当时，乙小球到原点的距离=_______________．
②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请计算说明．
(3)现将小球乙看成动点P，当点P运动到线段上时，分别取和的中点，试判断的值是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出该定值．

模型3.动态线段中的存在性模型（探究型）
例1（24-25七年级上·北京·期末）已知点为直线上的点，且 为的中点．
(1)如图①，若，则为多少？ 若，则与的数量关系是什么？
(2)当点沿直线向左运动至图②的位置时，（）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
例2（24-25七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为．
【知识运用】（）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______．
【拓展迁移】（）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点．
①点表示的数是______（用含的代数式表示）；
②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间；
③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由．
例3（24-25七年级上·浙江·期中）已知线段，（，为常数，且），线段在直线上运动（点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧）．P是线段的中点，Q是线段的中点．
(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度（用含a，b的代数式表示）；
(2)如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系；
(3)当线段运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段，三者之间的数量关系．
模型4.动态线段中的分类讨论模型
例1（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，直线上有，两点，，点是线段上一点，．(1)________，________；(2)若点以的速度从点出发沿直线向右运动，同时，点以的速度从点出发沿直线也向右运动，设运动时间为，当点与点重合时，，两点停止运动．①当为何值时，；②当点经过点时，动点从点出发，以的速度也沿直线向右运动，当点追上点后立即返回，以的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以的速度向点运动，如此往返，直到点，停止运动时，点也停止运动，在此过程中，点行驶的总路程是多少？
例2（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知线段，点、在上且满足，点从点出发沿射线方向以的速度运动，同时，点从出发沿射线方向以的速度运动，设运动时间为秒，点、分别为、的中点，当时，则 ．
例3（24-25七年级上·吉林·期末）如图，线段，动点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，运动时间为秒，M为的中点．
(1)用含的代数式表示的长度为_____．(2)在点运动的过程中，当为多少时，？
(3)在点运动的过程中，点为的中点，证明线段的长度不变，并求出其值．
(4)当点在延长线上运动时，当、、三点中的一个点是以另两个点为端点的线段中点时，直接写出值．
模型5.动态线段中的新定义模型
例1（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”．
【理解定义】（1）若线段，C是线段的“五美点”，则______；
【解决问题】（2）如图，E在射线上，．
①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度；②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程．
例2（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“奇点”．
【新知理解】（1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”）
【问题解决】（2）若点和点在数轴上表示的数分别是和，点是线段的“奇点”，求点在数轴上表示的数．
【应用拓展】（3）如图②，已知．动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当点是线段的“奇点”时，直接写出运动时间的所有可能值．
例3（24-25·七年级上·江苏泰州·期末）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作．
【理解与应用】(1)已知点在线段上．若，，则________；
若，，则_________．
(2)如图2，线段， 是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为， 当其中一点到达点时，两点都停止运动．
①若点在上运动时，总有，求出的值；
②若，则当为何值时，；
③若时，，则___________．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级上·重庆·期末）已知点C在线段上，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧．若，线段在线段上移动，且满足关系式，则的值为（ ）

A．5 B． C．或 D．
2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，，现在点，点同时分别按图示方向运动，点以每秒速度向左移动，点以每秒速度向右移动．问（ ）秒时，点是线段的中点．
A． B． C．1 D．
3．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，；②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化；
③当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
4．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）定义：如图1，点在射线上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“美点”．如图，已知，动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“美点”时，最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级上·广东·专题练习）如图所示，线段上的点C和点D将线段均分为等长的三部分．点P从点A出发，以每秒3个单位的速度去往点B，到达点B后立即回头向点A运动，以此往复．已知，下列时间中，使得点P在线段上的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点A、B、C、D为直线l上从左到右的四个点，且，动点P、Q在直线l上，点P从点A出发向右运动，同时点Q从点D出发向左运动，点P的速度是点Q的速度的2倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（　　）
A． B． C． D．
7．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；
④当时，运动时间为．

A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
8．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如右图所示：C是线段上一点，且，P、Q从C点同时出发，分别朝着点A运动、点B运动，且点P的运动速度是点Q的一半，当时，的长为（ ）

A． B． C． D．
9．（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（ ）
①对应的数是；②点到达点时，；③时，；
④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化．
A． B． C． D．
10．（24-25七年级上·四川广元·期末）已知有理数a，b满足∶ ．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动(点B在点C的左侧)，且，下列结论：

①，； ②当点B与点O重合时，；③当点C与点A重合时， 若点P是线段延长线上的点， 则；④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N 为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合．
12．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，P是线段上任意一点，，C，D两点分别从P，B同时向A点运动，且C点的运动速度为，D点的运动速度为．若运动时间为3s时，，则 ．
13.（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 ．
14．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）如图，射线上有A、B、C三点，满足，，．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，2秒后点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，则点Q的运动速度是 ．
15．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知直线上的三条线段分别为：，，，将线段固定不动，线段以每秒个单位的速度向右运动，、分别为、中点，设线段的运动时间为，当时， ．
16.（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，C为射线上一点，，比的多5，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，M为线段上一点，且，N为的中点，以下结论：
①；②；③当时，，其中正确的是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点在线段上，，线段在直线上移动（点，不与点，重合）
(1)若，求和的长；(2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧，①如图，当点为中点时，求的长；②点（不与点，，重合）在线段上，，，求的长．
18.（24-25七年级下·广东湛江·开学考试）如图，是线段上任意一点，，，两点分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为．（其中一点到达点时，两点停止运动）
(1)若．①运动后，求的长．②若点在线段上运动，问经过多长时间，？
(2)如果时，，试探索的长．
19．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，．(1)____________；(2)若点是直线上一点，且满足，求的长；(3)若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，．
20．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，P是线段上任一点，，C，D两点分别从P，B同时向A点运动，且C点的运动速度为：，D点的运动速度为，运动的时间为．
(1)若，①运动后，求的长．②当D在线段上运动时，探究与的数量关系．
______，，
______；
∴与的数量关系为______．
(2)如果时，，求的值．
21．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知线段，点、点都是线段上的点．
(1)如图1，若点为的中点，点为的中点，则线段长为 ；
(2)若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长；
(3)如图2，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动个单位和每秒移动个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值．
22．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”．
(1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；
(2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______；
(3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由．
23.（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．

(1)若，当点C、D运动了，求的值；
(2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______；
(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值．
24.（24-25七年级上·江苏南京·期中）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作．
【理解与应用】(1)已知点线段上．若，，则______；若，，则_____．
(2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动．
①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当t为何值时，；③若时，，则_____．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题6.10 线段中的动态模型
线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（ 中点与和差倍分模型、 定值模型、存在性模型 、分类讨论模型、新定义模型等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 2
模型2.动态线段中的 定值模型 4
模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 7
模型4.动态线段中的分类讨论模型 9
模型5.动态线段中的新定义模型 13
模块3：培优训练 16
1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。
2、线段的动态模型解题步骤：
1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型）
例1（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为．(1)当时，若，的长为______；(2)当时，若，试说明点为的中点；(3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【详解】（1）解：∵点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设且运动时间为，
∴，，故，即，
当时，，即，
若，则，可得出，
则．故答案为：．
（2）解：由（1）可得，
当时，，即，
若，则，可得出，
则，即，故点为的中点．
（3）解：由（1）可得，即，
若点，运动到任一时刻，总有，即，
整理得，∴，故的长为．
例2（24-25七年级上·江苏·期末）如图，在射线上有A，B，C三点，满足．点P从点出发，沿方向以的速度运动；点Q从点C出发在线段上向点匀速运动（点Q运动到点时停止运动），两点同时出发．
(1)当（P在线段上）时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，则点Q的运动速度为 ．（直接写出答案即可）(2)若点Q的运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距？
(3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，则 ．（直接写出答案即可）
【答案】(1)(2)或(3)
【详解】（1）解：如图所示，
∵，，∴，
∵点Q运动到的位置恰好是线段的中点，∴，
∴，，
∴点运动的时间为，∴点的速度为，故答案为：；
（2）解：当点没有运动到了点时，假设点运动的时间为，，，∴，
根据题意得，①解得，，符合题意，
所以，经过P、Q两点相距；
②解得，∵，该种情况不符合题意，舍去；
当点运动到了点，停止运动时，此时，，根据题意得，
点运动的时间为，
综上，经过或P、Q两点相距；
（3）解：①如图所示，当点位于点左侧，点位于点左侧时，
∵和的中点为E、F，∴，
令，则，∴，
，，，
∴；
②如图所示，当点位于点左侧，点位于点右侧时，
∵和的中点为E、F，∴，
令，则，∴，
，，，
∴；
③如图所示，当点位于点右侧时，
∵和的中点为E、F，∴，
令，则，∴，
，，，
∴；综上，．
例3（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)当点与点相遇时，求的值．(2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值．
(3)当时，求的值．
【答案】(1)(2)当或时，点与点之间的距离为个单位长度(3)
【详解】（1）解：∵点在线段上，，，
∴，依题意，，
当点与点相遇时，解得：；
（2）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，，解得：，
相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则，解得：，
综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度；
（3）∵，当在线段上时，，此时，
∵，∴，解得：（舍去）
当在线段上时，，此时，
∵，∴，解得：，∴
模型2.动态线段中的 定值模型
例1（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为．
(1)当时，则线段________，线段________；(2)当为何值时，？
(3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值．
【答案】(1)4；3(2)或(3)，定值为5
【详解】（1）解：∵，点以的速度运动，∴时，，，
∵是线段的中点，∴故答案为：
（2）解：∵是线段的中点，∴，
∵，∴，∴，，
当点从时，
当点从时，∵点沿的路线需要故
综上所述，当为或时，．
（3）解：如图，由题意得：点的速度是，点速度为
∵，∴点在点右侧，由题意可知∴
∵是线段的中点∴即
∵线段的长度始终是一个定值∴故解得，定值为5
②，长度变化；①长度不变，．
例2（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，线段在射线上运动，，且．
(1)求线段、的长；(2)点M、N分别为线段、的中点，若，求的长；
(3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点求证：．
【答案】(1)(2)(3)见解析
【详解】（1）解：，，
，，；
（2）解：①点C在点B右边时，如图：
M、N分别为线段的中点，
，，
；
②点C在点B左边时，如图：
M、N分别为线段的中点，
，，
；综上，．
（3）证明：当点B与点D重合时，如图：
，，．
，即．
例3（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在数轴上的A点表示数，B点表示数，满足。(1)点A表示的数为____________，点B表示的数为______________.
(2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点A 处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．
①当时，乙小球到原点的距离=______________；当时，乙小球到原点的距离=_______________．
②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请计算说明．
(3)现将小球乙看成动点P，当点P运动到线段上时，分别取和的中点，试判断的值是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出该定值．

【答案】(1)，5(2)①2，4；②能，当或时，甲、乙两小球到原点的距离相等
(3)的值是定值，这个定值为2
【详解】（1）解：，，，解得，
则点表示的数为，点表示的数为5，故答案为：，5．
（2）解：①点表示的数为5，，
当时，乙小球运动的距离为，则乙小球到原点的距离为，
当时，乙小球运动的距离为，则乙小球到原点的距离为，故答案为：2，4；
②假设甲、乙两小球到原点的距离能相等，
乙小球从点运动到原点所需时间为（秒），
当时，则，解得，符合题设；
当时，，解得，符合题设；
综上，当或时，甲、乙两小球到原点的距离相等．
（3）解：由（1）可知，，点从点运动到点，再从点运动到点所需时间为（秒），点是的中点，点表示的数为5，点表示的有理数为，
①如图，当时，则运动秒后，点表示的有理数为，
，
点是的中点，点表示的数为，点表示的有理数为，
，；
②如图，当时，则运动秒后，点表示的有理数为，
，
点是的中点，点表示的数为，点表示的有理数为，
，，
综上，的值是定值，这个定值为2．
模型3.动态线段中的存在性模型（探究型）
例1（24-25七年级上·北京·期末）已知点为直线上的点，且 为的中点．
(1)如图①，若，则为多少？ 若，则与的数量关系是什么？
(2)当点沿直线向左运动至图②的位置时，（）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
【答案】(1)，(2)仍然成立，理由见解析
【详解】（1）解：∵，，∴，
∵为的中点，∴，∵，∴，
∵，，∴ ，
∵为的中点，∴，
∵，∴，∴；
（2）解：仍然成立，理由如下：
∵为的中点，∴，∴，
∴仍然成立．
例2（24-25七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为．
【知识运用】（）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______．
【拓展迁移】（）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点．
①点表示的数是______（用含的代数式表示）；
②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间；
③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（）；；（）；或；存在，，此时定值．
【详解】解：（）∵与互为倒数，与互为相反数，
∴，，∴；
线段的中点表示的数为；故答案为：；；
（）秒后，点表示的数为，点表示的数为，
∵点是线段的中点，∴点表示的数是，故答案为：；
当点为中点时，则，解得，不合，舍去；
当点为中点时，则，解得；
当点为中点时，则，解得；∴运动时间的值为或；
当点在点左侧时，，，
∴，
当时，∴，此时，定值．
例3（24-25七年级上·浙江·期中）已知线段，（，为常数，且），线段在直线上运动（点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧）．P是线段的中点，Q是线段的中点．
(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度（用含a，b的代数式表示）；
(2)如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系；
(3)当线段运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段，三者之间的数量关系．
【答案】(1) (2) (3)或
【详解】（1）解：因为P是线段的中点，Q是线段的中点，
所以，，∴．
（2）因为P是线段的中点，Q是线段的中点，所以，，
因为，所以，因为，所以．
（3）如图①，
当点M在点B的左侧时，，，所以；
如图②，当点M在点B的右侧时，，所以．
综上所述，或．
模型4.动态线段中的分类讨论模型
例1（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，直线上有，两点，，点是线段上一点，．(1)________，________；(2)若点以的速度从点出发沿直线向右运动，同时，点以的速度从点出发沿直线也向右运动，设运动时间为，当点与点重合时，，两点停止运动．①当为何值时，；②当点经过点时，动点从点出发，以的速度也沿直线向右运动，当点追上点后立即返回，以的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以的速度向点运动，如此往返，直到点，停止运动时，点也停止运动，在此过程中，点行驶的总路程是多少？
【答案】(1)，(2)①或②
【详解】（1）解：∵，，∴，
∴，∴；故答案为：，；
（2）①由题意，得：，，则：，
当在线段上时，，由题意，得：，解得：，
当在线段的延长线上时，，由题意，得：，解得：；
综上：或；
②∵，∴点运动到点时，，此时两点的间的距离为：，
当点与点重合时，所需时间为：秒，∴点行驶的总路程是．
例2（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知线段，点、在上且满足，点从点出发沿射线方向以的速度运动，同时，点从出发沿射线方向以的速度运动，设运动时间为秒，点、分别为、的中点，当时，则 ．
【答案】或
【详解】解：∵，，
∴，
如图所示，以点A为原点，射线的方向为正方形，为1个单位长度建立数轴，
∴点A表示的数为0，点B表示的数为5，点C表示的数为20，点D表示的数为50；
由题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为，
∵点、分别为、的中点，
∴点E表示的数为，点F表示的数为，
∴，，
∵，∴，解得或，
∴或，
综上所述，的长为或，故答案为；或。
例3（24-25七年级上·吉林·期末）如图，线段，动点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，运动时间为秒，M为的中点．
(1)用含的代数式表示的长度为_____．(2)在点运动的过程中，当为多少时，？
(3)在点运动的过程中，点为的中点，证明线段的长度不变，并求出其值．
(4)当点在延长线上运动时，当、、三点中的一个点是以另两个点为端点的线段中点时，直接写出值．
【答案】(1)(2)或(3)的长度不变，其值为(4)或
【详解】（1）解：当运动到点时，
当点在线段上，即时，；
当点在的延长线上时，即时，，
∴的长度为，故答案为：．
（2）解：∵是线段的中点，∴，
∵，∴，∴或，解得或；
∴当或秒时， ；
（3）解：的长度不变，其值为，证明如下：
当时，如图所示，
是线段的中点， ，
是线段的中点，，，
的长度是一个常数，的长度不变，其值为；
当时，如图所示，
是线段的中点， ，
是线段的中点，，，
的长度不变，其值为；
（4）解：点在延长线上运动时，，由（3）可得，
∴，
∴点在的右侧，不能为中点，分两种情况讨论，
①当是的中点时，如图所示，
∴∴ ∵∴；
②当是的中点，如图所示，
∴，∴，
∵是线段的中点， ∴，解得：，
综上所述，或．
模型5.动态线段中的新定义模型
例1（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”．
【理解定义】（1）若线段，C是线段的“五美点”，则______；
【解决问题】（2）如图，E在射线上，．
①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度；②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程．
【答案】（1）5或1，（2）①；②t=或t=或t=或t=
【详解】解：（1）∵C在线段上，∴．
∵C是线段的“五美点”，∴或，即或．
∴或．
又∵，∴或1．故答案为：5或1；
（2）①∵点D、F均为线段的“五美点”，且，
∴，，∴，
∵K为线段的中点，∴，∴；
②由题意得：点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，点P追上点Q时，
，解得：，
Ⅰ、点E是线段的“五美点”，则或，
∴或，解得：或；
Ⅱ、点P是线段的“五美点”，则或，
或，解得：或，综上：或或或
例2（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“奇点”．
【新知理解】（1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”）
【问题解决】（2）若点和点在数轴上表示的数分别是和，点是线段的“奇点”，求点在数轴上表示的数．
【应用拓展】（3）如图②，已知．动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当点是线段的“奇点”时，直接写出运动时间的所有可能值．
【答案】（1）是；（2）或或；（3）或或
【详解】解：（1）设点为线段的中点，∴，
∵点在线段上，∴中点是线段的“奇点”，故答案为：是；
（2）设点在数轴上表示的数为，
∵点和点在数轴上表示的数分别是和，∴，，
∵点是线段的“奇点”，∴点在线段上，且或或，
当时，得：，解得：；
当时，得：，解得：；
当时，得：，解得：；
综上所述，点在数轴上表示的数为或或；
（3）秒后，，，，
∵点是线段的“奇点”，∴或或，
当时，得：，解得：；
当时，得：，解得：；
当时，得：，解得：；
∴当为或或时，点是线段的“奇点”．
例3（24-25·七年级上·江苏泰州·期末）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作．
【理解与应用】(1)已知点在线段上．若，，则________；
若，，则_________．
(2)如图2，线段， 是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为， 当其中一点到达点时，两点都停止运动．
①若点在上运动时，总有，求出的值；
②若，则当为何值时，；
③若时，，则___________．
【答案】(1)；18(2)①；②；③或
【详解】（1）解：若，，则，
若，，则，∵，∴．
∵∴．故答案为：；18；
（2）①，．∵，∴．
∴．∴；
②∵，，∴，则．
∴，，
∵，∴，故；
③∵．∴，．分两种情况：
当在的左侧时，∵，∴．∴．
可知，，则；
当在的右侧时，．，
则；综上所述，或；故答案为：或．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级上·重庆·期末）已知点C在线段上，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧．若，线段在线段上移动，且满足关系式，则的值为（ ）

A．5 B． C．或 D．
【答案】B
【详解】设，则，∴．∵，∴．设，
当点E在线段之间时，如图，

∴，∴．
∵，∴，∴，
∴，∴；
当点E在线段之间时，如图，

∴，∴．
∵，∴，解得：，不符合题意，舍；综上可得．故选B．
2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，，现在点，点同时分别按图示方向运动，点以每秒速度向左移动，点以每秒速度向右移动．问（ ）秒时，点是线段的中点．
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】解：设秒时，点是线段的中点，此时，,根据题意可得，解得， 即秒时，点是线段的中点，故选：D
3．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，；
②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化；
③当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】D
【详解】解：运动后，，
∵为的中点，为的中点，∴，
∴，故①正确；设运动秒，则，
∵为的中点，为的中点，，
∴，，
∴的值不变，故②错误；，
，解得：，故③正确；故选：D．
4．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）定义：如图1，点在射线上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“美点”．如图，已知，动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“美点”时，最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，设点的运动时间为，∴，，
当时，相遇，即，解得：
当时，，
当时，，∴，
由新定义可知或或，
当时，则，解得或（舍去）
当时，则，解得；
当时，则，解得或，
∴的最大值为，最小值为，∴，故选：D．
5．（24-25七年级上·广东·专题练习）如图所示，线段上的点C和点D将线段均分为等长的三部分．点P从点A出发，以每秒3个单位的速度去往点B，到达点B后立即回头向点A运动，以此往复．已知，下列时间中，使得点P在线段上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵线段上的点C和点D将线段均分为等长的三部分，，
∴，设点P运动的路程为，
当时，，，点P在线段上，
当时，，，点P在线段上，
当时，，，点P在线段上，
当时，，，点P与点重合，不在线段上，
综上，C选项符合题意；故选：C．
6．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点A、B、C、D为直线l上从左到右的四个点，且，动点P、Q在直线l上，点P从点A出发向右运动，同时点Q从点D出发向左运动，点P的速度是点Q的速度的2倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵∴设
∵点P的速度是点Q的速度的2倍∴设
∴
；∴若要知道的长，则只要知道的长，故选：C．
7．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；
④当时，运动时间为．

A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【详解】解：运动后，，，
M为的中点，，，故①错误；
设运动t秒，则，，
M为的中点，N为的中点，，
，的值随着运动时间的改变而改变，故②正确；
，，，
的值不变，故③正确；，，
，解得：，故④正确；故选：D
8．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如右图所示：C是线段上一点，且，P、Q从C点同时出发，分别朝着点A运动、点B运动，且点P的运动速度是点Q的一半，当时，的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：点P的运动速度是点Q的一半，，
，，，，
，故选C．
9．（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（ ）
①对应的数是；②点到达点时，；③时，；
④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵已知(在的左侧)是数轴上的两点，点对应的数为，且，
∴对应的数为，故正确；∵，∴点到达点时，，故是正确的；
当点在点右边时，∵，∴，∴；
当点在点左边时，∵，∴，∴，
∴时，或，故错误；
在点的运动过程中，当点在点右边时，；
在点的运动过程中，当点在点左边时，；
∴在点的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故错误；∴正确结论有，故选：．
10．（24-25七年级上·四川广元·期末）已知有理数a，b满足∶ ．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动(点B在点C的左侧)，且，下列结论：

①，； ②当点B与点O重合时，；③当点C与点A重合时， 若点P是线段延长线上的点， 则；④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N 为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，，∴，，故①正确；∴，
当点B与点O重合时，点B在点C的左侧，∴C对应的数是2，∴，故②错误；
当点C与点A重合时，点C对应的数是4，点B对应的数是2，
设点P对应的数是x，则，，，
∴，故③正确；
设B表示的数为c，则C表示的数为， ∵M为线段的中点，∴M表示的数为，
∵N为线段的中点，A表示的数是4，∴N表示的数为
∴，故④正确，∴正确的是①③④，故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合．
【答案】3或6
【详解】解：，，．设点的运动时间为 ，
当时，，，根据题意得：，解得：；
当时，，，根据题意得：，解得：．
综上所述，当点出发或时，，两点重合．故答案为：3或6．
12．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，P是线段上任意一点，，C，D两点分别从P，B同时向A点运动，且C点的运动速度为，D点的运动速度为．若运动时间为3s时，，则 ．
【答案】6或16
【详解】解：由题意可知：，
当点D在C的右边时，如图所示：
∵，∴，
∴，∴，
当点D在C的左边时，如图所示：
∴，∴，
综上所述，或，故答案为：6或16．
13.（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 ．
【答案】或1
【详解】解：设运动时间为t，
∵，，，，，
∴，∴，
∴，∴，
当N点在线段上时，如图所示，
∵，，∴，∴，即；
当N点在线段的延长线上时，如图所示，
∵，，∴，∴，即；
综上所述，或1．故答案为：或1．
14．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）如图，射线上有A、B、C三点，满足，，．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，2秒后点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，则点Q的运动速度是 ．
【答案】2
【详解】解：设点Q的运动速度是，
因为当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，
所以，整理得，解得，故答案为：．
15．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知直线上的三条线段分别为：，，，将线段固定不动，线段以每秒个单位的速度向右运动，、分别为、中点，设线段的运动时间为，当时， ．
【答案】6
【详解】解：设运动秒后，点表示，点表示，点表示，点表示，
为中点，为中点，点表示，点表示，
，，，
当时，．故答案为：．
16.（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，C为射线上一点，，比的多5，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，M为线段上一点，且，N为的中点，以下结论：
①；②；③当时，，其中正确的是 ．
【答案】①
【详解】解：当在线段上时，∵，比的多5，
∴，解得：，则，∴，
当在线段外时，∵，比的多5，
∴，解得：，不合题意；故①正确；
∵P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，∴时间为时，，，
当在左边时，，∵，∴，
∴，∴，
∵N为的中点，∴，∴，∴；
当在右边时，，∵，∴，
∴，∴，
∵N为的中点，∴，此时不一定等于；故②错误，
当在左边时，，，
∴当时，则，解得：，
当在右边时，，，
∴当时，则，解得：，故③错误，故答案为：①．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点在线段上，，线段在直线上移动（点，不与点，重合）
(1)若，求和的长；(2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧，①如图，当点为中点时，求的长；②点（不与点，，重合）在线段上，，，求的长．
【答案】(1)，
【详解】（1）解：，，；
（2）解：，，，
当点为中点时，则，
，，；
分两种情况：）当在点左侧时，如图，
，，，
，，，；
）当在点右侧时，如图，
，，，，，
，；综上所述，或．
18.（24-25七年级下·广东湛江·开学考试）如图，是线段上任意一点，，，两点分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为．（其中一点到达点时，两点停止运动）
(1)若．①运动后，求的长．②若点在线段上运动，问经过多长时间，？
(2)如果时，，试探索的长．
【答案】(1)①；②(2)或
【详解】（1）①当时，，，
∵，，∴，∴；
②∵，，∴，∵，，
∴，，∴，
∵，∴，解得∴经过后，；
（2）当时，，，
当点D在C的右边时，如图：
∴，∴，∴；
当点D在C的左边时，如图：
∴，∴，
∴；综上可得，的长为或．
19．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，．(1)____________；(2)若点是直线上一点，且满足，求的长；(3)若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，．
【答案】(1)24；12(2)或(3)或
【详解】（1）∵，
∵，解得，，故答案为：24；12；
（2）设的长是，依题意有：
①当点在线段上时，，解得，；
②当点在线段上时，，解得，（舍去）；
③当点在线段的延长线上时，，解得，，
故的长为或；
（3）当运动时间为时，点表示的数为，点表示的数为，
当时，，
，，
当时，有，解得，；
当时，有，解得，
故当为或时，．
20．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，P是线段上任一点，，C，D两点分别从P，B同时向A点运动，且C点的运动速度为：，D点的运动速度为，运动的时间为．
(1)若，①运动后，求的长．②当D在线段上运动时，探究与的数量关系．
______，，
______；
∴与的数量关系为______．
(2)如果时，，求的值．
【答案】(1)①；②；； (2)或
【详解】（1）解：①由题意可知：，
，，；
②，，，
，．故答案为：；；；
（2）解：当时，，
当点D在C的右边时，如图所示：
由于，，
，，
当点D在C的左边时，如图所示：
，，
综上所述，或11.5cm．
21．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知线段，点、点都是线段上的点．
(1)如图1，若点为的中点，点为的中点，则线段长为 ；
(2)若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长；
(3)如图2，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动个单位和每秒移动个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值．
【答案】(1)(2)见解析，或(3)或
【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点，∴，，
∵，∴；故答案为： ；
（2）如图，点在点的左侧，
∵点是线段的中点，点是线段的中点，∴，，
∴
如图，点在点的右侧，
∵点是线段的中点，点是线段的中点，∴，，
∴，
综上，的长为或；
（3）运动秒后，，
∵为的中点，∴，∴，
∵，为的中点，∴，
又∵，∴，或，
由得：或，解得：或．
22．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”．
(1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；
(2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______；
(3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由．
【答案】(1)是；是(2)或或(3)或或，理由见解析
【详解】（1）解：根据“巧点”定义可知，线段的中点是这条线段的“巧点”，线段的三等分点是这条线段的“巧点”；故答案为：是；是．
（2）解：∵当点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”，
∴，或，
或．故答案为：或或．
（3）解：由题意得：，，，t的范围应该在秒之间，
∵点P为的巧点，∴点P应该在点Q的左边，t的范围应该在秒之间，
当时，P为的巧点，∴ ，解得：；
当时，P为的巧点，∴，解得：；
当时，P为的巧点，∴ ，解得：；
所以当t为或或时，点Р为线段的“巧点”．
23.（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．

(1)若，当点C、D运动了，求的值；
(2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______；
(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值．
【答案】(1)(2)(3)或1
【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，，
，．
（2）解：设运动时间为t，则，，，，
又，，即，
，，；
（3）解：当点N在线段上时，如图
，又，，，即．
当点N在线段的延长线上时，如图：
，又，，即．
综上所述的值为或．
24.（24-25七年级上·江苏南京·期中）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作．
【理解与应用】(1)已知点线段上．若，，则______；若，，则_____．
(2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动．
①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当t为何值时，；③若时，，则_____．
【答案】(1) (2)①　②　③
【详解】（1）解：因为，所以．
因为，所以．所以．故答案为：
（2）①设，则，．
根据题意，得 解得
．．所以．
②根据题意，得，．，．
根据题意，得解得
③设．当点在点的左侧时：，，，
，可得解得；所以．
当点在点的右侧时：，，．
．可得 解得
所以．综上所述，或．故答案为：或
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑