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(共24张PPT)
人教版六年级数学上册
数 与 形
以形导数
1+3+5+7
1+3+5+7
4+4+4+4
4
4×4
以数化形
看到 4×4=4 你还能想到什么图形呢？
依数解形 以形助数
活动要求：
1、从不同角度观察；
2、画一画、写一写。用数或式子表示出小正方形个数；
3、把你的发现和同桌交流。
形找数
1+3+5+7+9+11+13=（ ）
数想形
1+3+5+7+9+11+13=（ ）
7
7
边长
加数个数
7个
数想形
9
9 =
81
数想形
9
9
1
+3
+5
+7
+9
+11
+13
+15
+17
=
81
数想形
1=1
1+2+1=2
1+2+3+2+1=3
1+2+3+4+3+2+1=4
1+2+3+4+……+n+(n-1)+……+4+3+2+1=n
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=
6 =36
1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=( )
8
数中有形、形中有数
1=1
1+3=2
1+3+5=3
1+3+5+7=4
1
1+2+1=2
1+2+3+2+1=3
1+2+3+4+3+2+1=4
正方形数
从1开始连续奇数的和
从1开始连续回文数列的和
1.根据例1的结论填一填
1）1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=( )
2）1+3+5+7+5+3+1=（ ）
3）1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（ ）
25
4
3
5
规律运用
3
4
5
7 =49
6 =36
85
49
形 数
正方形数
长方形数
1
3
6
10
......
三角形数
......
形 数
5
9
14
......
......
梯形数
......
学法迁移
选一选
2+4+6+8+10+12=（ ）
①6
②6 +6
③7
1+3+5+7+9+11+1×6
1+3+5+7+9+11
1+3+5+7+9+11+15
独立思考：6 +6是一个什么样的图形呢？
1
3
5
7
9
2
4
6
8
10
2+4+6+8+10+12
11
12
学法迁移
6×7
2
1×2
2+4
2×3
2+4+6
3×4
2+4+6+8
4×5
n×（n+1）
2+4+6+8+10+……=
n个偶数
从2开始，n个连续偶数相加的和等于n×（n+1）。
学法迁移
……
总结梳理
通过这节课的学习，你有什么收获？
总结梳理
形
数
数与运算
解决问题
形
数
统计与概率
形
数
……
数形结合
数学奥秘
探索
“杨辉三角”
“完全平方公式”《数与形》教学设计
教学内容
人教版教科书P105。
教学目标
1.体会数与形的联系，进一步积累数形结合的数学活动经验，培养学生数形结合的数学思想意识。
2.体验数形结合的数学思想方法价值，激发学生用数形结合的思想方法解决问题的兴趣，感受数学的魅力。
3.在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想方法。
教学重难点
体会数形结合的思想，用自己的语言描述发现的规律。
教学过程
一、以形导数
课件出示图形，看到图形你能想到了哪些数或式子？
师：如果改变这个图形的涂色部分，你又能想到什么算式？
二、化数为形
师： 4×4 可以用 4 表示，看到 4×4=4 你还能想到什么图形呢？
生：边长为4的正方形。
师：看到图形我们想到数，看到数又能想到图形，看样子，形中有数，数中有形，今天我们就来学习数与形。（板书课题：数与形）
三、依数解形 以形助数
形想数：
活动一：探索发现
课件展示一组正方形图
师：观察一下屏幕上这一组正方形图，想一想可以怎么数呢，不同的数法又能得到怎样的表示方式呢？
活动要求：1、从不同角度观察；2、画一画、写一写。用数或式子表示出小正方形个数；3、把你的发现和同桌交流。
学生汇报。
预设1：直接数：我们组是通过数个数的方式得到1、4、9、16。
师：你发现这些小正方形数有什么规律？
生：我们还发现1=1×1 ，4=2×2 ，9=3×3 ，16=4×4。也就是小正方形数是大正方形边长的乘积。
预设2：拐弯数（一层一层地观察，说出每一层是连续的奇数，增加的角度看）
生：我们小组观察发现第1幅图加上3个正方形就可以围成一个大一点的正方形得到第2幅图。第2幅图再加上5个正方形，就可以可以围成一个更大的正方形得到第3幅图。依次类推。第2幅图的个数用1+3表示。
师：1在哪？3又在哪？那1+3+5+7的7又在哪里？（引导学生比划。）
师：你是从增加的角度观察的，每增加这样的一层，正方形就变大了。这个小组发现了小正方形的个数增加的规律。
用不同颜色的小正方形展示贴在黑板依次贴出。
小结：我们通过观察这一组图形，找到了隐藏的数。也就是形中藏数（形-->数）
观察式子，发现规律，下一个图形可以用什么式子表示？
生：1+3+5+7+9……
师：这样的式子写得完吗？如果是第n个图形呢？对应的式是？
生：1+3+5+7+9+11+…=n
引导学生用一句话来概括这个发现。
发现：从1开始，n个连续奇数相加的和等于n 。
利用规律：1+3+5+7+9+11+13=（ ） （借助图形演示。）
数想形：
看到81你会想到什么形状？（课件展示）
生：9的 ，式子是1+3+5+7+9+11+13+15+17
小结：刚才我们是先通过图形找到了隐藏的数，现在又由数字去联想到了它的形，也就是“见数思形”。（数--->形）
预设3：斜着数（对角线斜着边说边用手在方格图上比划）
1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1
师：看来，观察的角度不同，列出的式子也会不同。
课件再次演示有颜色的斜着数，加深印象。
发现：从1开始，像这样的数字相加，和就是最大的数的平方，也就是正方形边长的平方。（圈出式子中最大的数）
利用规律：1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=（ ）2
1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=( )
小结：对比这几种观察方法，可以知道同样的图形可以利用数形结合的方法从不同的角度观察找规律。回顾刚才的研究过程，我们把数和形相互对照，相互印证，得到了规律，这就是我们数学中常用的方法：数形结合。
四、以数解形
师：现在请大家利用刚才例1 的结论，完成学习单背面第一题。试试看。
练习：1.规律运用：根据例1的结论填一填
1)1+2+3+4+5+6+7+5+4+3+2+1=( )
2)1+3+5+7+5+3+1=（ ）
3)1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（ ）
师：一个有趣的算式出现了，3的平方加4的平方等于5的平方，这个有趣的算式背后还隐藏着有趣的图形，如果一个直角三角形它的一条直角边是3，另一条直角边是4，那他的斜边就一定是5，这是我们初中要学的一个重要的定理，叫做勾股定理。由此可见，数形结合的思想很重要，在今后的学习中也会经常用到。
五、认识形数
小结：通过数形结合，人们还发现了许多有意思的数。像这些正方形所对应的数，叫做“正方形数”；相类似的还有“长方形数”、“三角形数”、“梯形数”、“五边形数”等等。
练习：2.学习迁移：长方形数
师：看到这个2+4+6+8+10+12=（ ）式子，你们觉得应该选哪个？
① 6 ②6 +6 ③7
预设生：我觉得可能是②，因为6 和7 是连续的奇数相加。我用排除法觉得是②。
师：单看式子我们很难理解，我们可以借助形来帮助。
课件演示加上6个后图发现是长方形。
研究长方形数：
依次演示长方形数一层一层累加，引导生说出加法和乘法式子，从中发现规律。
再加一层……如果是n个偶数相加呢？用乘法怎么表示？
预设生：加法和乘法都是表示长方形中的小正方形个数，所以我发现：从2开始，几个连续的偶数相加，就是n×（n+1)。
小结：所以我们数形结合还可以帮助我们解决很多复杂的问题。最开始我们看到图形找到对应的式子发现了规律，这是“以数解形”，后面我们看到式子又通过图形来帮助我们理解，这就是“以形助数”。两者结合也就是“数形结合”。
总结升华
通过这节课的学习，你有什么收获吗？还有什么疑惑吗？有什么想知道的吗？
师：我们都学习过哪些数与形的知识呢？（学生自由说一说）
我们学习数与运算时，运用数形结合帮助我们理解算理，遇到较复杂的解决问题时，借助画线段图帮助我们理解题中的数量关系，在学习统计与概率的时候借助数与形的结合能够更好的帮助我们分析数据的变化情况。生活中还有哪些数与形的结合呢？我们具体来看一看！（视频播放）
七、根植思想
师：对于“数形结合”，我国著名数学家华罗庚爷爷也有句话送给大家：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休”。我们在小学学习了数形结合，后面初高中更难的知识还可以用数形结合解题。
结束语：通过今天的学习大家发现只要把数和形紧密结合起来，解决问题会变得更简单，数学会变得更有趣。希望大家在今后的学习中也能用数形结合的思想探索更多的数学奥秘！学习单（一）
活动要求：
1.尝试从不同角度去观察图形。
2.画一画、写一写；用数或式子表示出小正方形个数。
3.把你的发现和同桌交流。
学习单（二）
1.规律运用：根据例1的结论填一填
1）1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=( )
2）1+3+5+7+5+3+1=（ ）
3）1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（ ）
学法迁移:《数与形》逐字稿
教学内容
人教版教科书P105。
教学目标
1.体会数与形的联系，进一步积累数形结合的数学活动经验，培养学生数形结合的数学思想意识。
2.体验数形结合的数学思想方法价值，激发学生用数形结合的思想方法解决问题的兴趣，感受数学的魅力。
3.在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想方法。
教学重难点
体会数形结合的思想，用自己的语言描述发现的规律。
教学过程
一、以形导数
师：同学们，请看大屏幕，看到这些图形，你能想到了哪些数或式子？
师：如果改变这个图形的涂色部分，你又能想到什么算式？
师：看来，同一个图形，从不同的角度观察能想到不同的式子。
二、化数为形
师： 4×4 可以用 4 表示，看到 4×4=4 你还能想到什么图形呢？
生：边长为4的正方形。
师：看到图形我们想到数，看到数又能想到图形，看样子，形中有数，数中有形，今天我们就来学习数与形。（板书课题：数与形）
三、 依数解形 以形助数
活动一：探索发现
PPT展示一组图
师：观察一下屏幕上这一组正方形图，想一想可以怎么数呢，不同的数法又能得到怎样的表示方式呢？
学习单一
师：接下来请同学们小组活动完成学习单，注意活动要求：1、从不同角度观察；2、画一画、写一写。用数或式子表示出小正方形个数；3、把你的发现和同桌交流。
学生汇报。（教师巡视指导，提前找几个同学的作品拍照投放到PPT上）
师：谁想来分享一下？（依次请学生说各种法）
预设1：直接数：我们组是通过数个数的方式得到1、4、9、16。
师：你发现这些小正方形数有什么规律？
生：我们还发现1=1×1 ，4=2×2 ，9=3×3 ，16=4×4。也就是小正方形数是大正方形边长的乘积。
师：是这同学举手。
师：看到还有很多同学都没举手，是有不同的想法吗？
预设2：拐弯数：一层一层地观察，说出每一层是连续的奇数。
生：我们小组观察发现第1幅图加上3个正方形就可以围成一个大一点的正方形得到第2幅图。第2幅图再加上5个正方形，就可以围成一个更大的正方形得到第3幅图。依此类推。第2幅图的个数用1+3表示。
师：1在哪？3又在哪？
生：1就是左下角的那个小正方形，3就是在外面加的一层的3个小正方形。
（生比画横竖。）
师：那1+3+5呢，5在哪里？那1+3+5+7的7又在哪里？
学生手势比画。
师：非常棒，你是从增加的角度观察的，每增加这样的一层，正方形就变大了。这个小组发现了小正方形的个数增加的规律。
师：有谁听懂了他的方法？你来说一说他是怎么数的？
师：你们对他的方法还有什么疑问吗？
为了让大家看得更清楚，我这里用不同颜色的小正方形展示，第一层1个，接着加了几个小正方形？（3个），增加3个围成一个新的正方形，所以是1+3，接下来呢？（教师在黑板依次贴出来）
小结：我们通过观察这一组图形，找到了隐藏的数。也就是形中藏数（卡片：形→数）
师：这位同学的式子很特别，仔细观察，有什么特点？还有谁想补充？
生：都是奇数，而且是连续的奇数。从1开始。
师：还有什么发现吗？（左右对比，式子和平方数之间的规律）
师：同学们真棒！都有一双会观察会发现的眼睛。接着往下写，下一个图形可以用什么式子表示？
生：1+3+5+7+9……
师：这样的式子写得完吗？（写不完）如果是第n个图形呢？对应的式是？
生：1+3+5+7+9+11+…=n
（下划线标注：n个连续奇数）
师：你能用一句话来概括一下这个发现吗？（带着一起对比黑板上的式子和平方数进行验证，追问：几个连续奇数？等于几的平方的数？）
生：从1开始，n个连续奇数相加的和等于n 。（师板书，全班齐读）
师：利用你们刚才的发现，那这个连续奇数的和等于？1+3+5+7+9+11+13=( )
你来说一下？
生：7的平方。
师：你是什么知道的？光看数字不够直观，我们借助图形一起来看，所以是7的平方，借助图形一起来看是不是更清楚啦？
师：那81呢？你会想到什么形状？（课件展示）
生：9的 ，式子是1+3+5+7+9+11+13+15+17
师：你真有想象力！老师为你点赞！（课件出示动图）
小结：刚才我们是先通过图形找到了隐藏的数，现在又由数字去联想到了它的形，也就是“见数思形”。（卡片：数→形）
师：你们还有其他方法吗？（刚才同学们行列方法横着数，竖着数，竖着的方法数，我们还可以怎样数呀？）
预设3：斜着数（对角线斜着边说边用手在方格图上比画）
师：请你来说？怎样斜着数？
1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1（生说，师板书）
看来，观察的角度不同，列出的式子也会不同。
师：大家听懂了他的方法吗？你来说一说。你还有什么发现想和大家分享的吗？
ppt再次播放有颜色的斜着数，加深印象。
师：请同学观察，这个式子有怎样的规律呢？有什么特点？
预设：像这样的数字相加，和就是最大的数的平方，也就是正方形边长的平方。
从1开始连续自然数加到n，再倒着加到1这样的式子等于n的 。
师：是这样吗？最大的是几？等于几的平方的数？（圈出式子中最大的数）
请同学们用刚才的规律说一说：1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=（ ）2
1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=( )
小结：对比这几种观察方法，可以知道同样的图形可以利用数形结合的方法从不同的角度观察找规律。回顾刚才的研究过程，我们把数和形相互对照，相互印证，得到了规律，这就是我们数学中常用的方法：数形结合（板书）
四、以数解形
师：现在请大家利用刚才例1 的结论，完成学习单背面第一题。试试看。
学习单二
1.规律运用：根据例1的结论填一填
1)1+2+3+4+5+6+7+5+4+3+2+1=( )
2）1+3+5+7+5+3+1=( )
3)1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=( )
生2： 1+3+5+7=4 5+3+1=3 4 + 3 =7
师：3的平方加4的平方等于几？25是几的平方？
师：大家看，一个有趣的算式出现了，3的平方加4的平方等于5的平方，这个有趣的算式背后还隐藏着有趣的图形，你们看看这三个正方形中间出现了什么？
生：直角三角形
师：神奇吧，如果一个直角三角形它的一条直角边是3，另一条直角边是4，那他的斜边就一定是5，这是我们初中要学的一个重要的定理，叫作勾股定理。
师：由此可见，数形结合的思想很重要，在今后的学习中也会经常用到。
五、认识形数
小结：通过数形结合，人们还发现了许多有意思的数。像这些正方形所对应的数，叫作“正方形数”；相类似的还有“长方形数”“三角形数”“梯形数”“五边形数”等等。
2.学习迁移
师：看到这个式子，你们觉得应该选哪个？
预设生：我觉得可能是②，因为6 和7 是连续的奇数相加。我用排除法觉得是②。
师：你很有数学逻辑，同学你们呢？单看式子我们很难理解，我们可以借助谁来帮助我们？（形），大家6 的边长为6的正方形，大家想象一下如果再加上6个小正方形会是什么形状呢？你来说？
pp演示加上6个后的动态图：我们一起来看，借助图形我们发现是什么图形？现在能理解了吗？
研究长方形数：
依次演示长方形数一层一层累加，引导生发现规律。
师：这是1个长方形，由2个正方形组成，长和宽是？用乘法表示是1×2。加上一层呢？加法？乘法？再加一层……如果是n个偶数相加呢？用乘法怎么表示？
师：你们能发现什么规律？
生：这些都是连续的偶数相加。
生：都是从2开始相加。
师：还有什么发现吗？
预设生：加法和乘法都是表示长方形中的小正方形个数，所以我发现：从2开始，几个连续的偶数相加，就是n×（n+1）。
小结：所以我们学习数与形还可以帮助我们解决很多复杂的问题。最开始我们看到图形找到对应的式子发现了规律，这是“以数解形”，后面我们看到式子又通过图形来帮助我们理解，这就是“以形助数”。两者结合也就是“数形结合”。
总结升华
通过这节课的学习，你有什么收获吗？还有什么疑惑吗？有什么想知道的吗？
师：我们都学习过哪些数与形的知识呢？（学生自由说一说）
我们学习数与运算时，运用数形结合帮助我们理解算理，遇到较复杂的解决问题时，借助画线段图帮助我们理解题中的数量关系，在学习统计与概率的时候借助数与形的结合能够更好地帮助我们分析数据的变化情况。生活中还有哪些数与形的结合呢？我们具体来看一看！（视频播放）
七、根植思想
师：对于“数形结合”，我国著名数学家华罗庚爷爷也有句话送给大家：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休”。我们在小学学习了数形结合，后面初高中更难的知识还可以用数形结合解题。
师傅：通过今天的学习大家发现只要把数和形紧密结合起来，解决问题会变得更简单，数学会变得更有趣。
小结：希望大家在今后的学习中也能用数形结合的思想探索更多的数学奥秘！
拓展延伸：这里老师给大家留了两个有意思的探究（杨辉三角和完全平方公式），感兴趣的同学课后可以自主探索，我们下节课再一起探讨！下课！
板书设计：

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