资源简介

(共47张PPT)
第一节 统 计
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第一节 统 计
■考点一 数据的收集与整理（必考，考查统计的步骤）
1. 调查方式 （6 年 4 考）
全面调查 抽样调查
定义 考察 ______ 对象的调查. 抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况.
适用 范围 调查对象的范围小、不具有破 坏性、 数据要求准确、全面 调查对象涉及面大、范围广，或受条件限制，或具有破坏性等.
全体
第一节 统 计
2. 统计的相关概念及一般过程 （6 年 4 考）
相关概念 总体：所要考察对象的 _______；
个体：组成总体的每一个对象；
样本：从总体中抽取的一部分个体；
样本容量：一个样本中包括的个体 ________.
一般过程
全体
数目
第一节 统 计
易错易混警示 样本容量是指样本中包含的个体的数目，不需要带单位.
第一节 统 计
教材习题变式夯基础
1.［人七下 P140 练习改编］ 指出以下问题适合采用全面调查还是抽样调查．
（1）日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命；（2）电视台想知道某电视连续剧的收视率；（3）临近考试，英语老师想在课堂上花 10 min 的时间了解每名同学记忆单词和短语的情况.
解：（1）（2）适合采用抽样调查，
（3）适合采用全面调查．
第一节 统 计
2.［冀八下 P25 习题改编］ 去年某市约有 37 000 名学生参加中考体育加试，为了解这 37 000名学生的体育成绩，从中抽取了 1 000 名学生的体育成绩进行分析，以下说法正确的是 （ ）
A. 37 000 名学生是总体
B. 抽取的 1 000 名考生的体育成绩是总体的一个样本
C. 每名学生是个体
D. 样本容量是 1 000 名学生
B
第一节 统 计
■考点二 分析统计图表（常考，考查统计图的分析与应用）
频 数 对总的数据按照统一的标准 进行分组，每个小组内数据的 _____ 叫做该组的频数.
频 率 每个小组的 _____ 与 __________ 的比值叫做这一小组的频率.
1. 频数与频率 （2022 年、2023 年、2024 年、2025 年考查）
个数
频数
数据总数
第一节 统 计
知识能力进阶
各组频数的和等于这组数据个数的总数，各组数据的频率之和等于 1；频数与频率都能反映各组数据出现的频繁程度.
第一节 统 计
统计图（表） 图 示 特 点 常考题型解法
条形 统计图 能清楚地表示出每个项目的 _________，反映事物某一阶段属性的大小变化. 未知组频数=样本容量-已知组频数之和.
2. 常见统计图（表）的特点 （近 6 年连续考查）
具体数目
第一节 统 计
续表
扇形 统计图 能清楚地表示出各部分在整体中所占的 _________，各组百分比之和为_____，各组圆心角之和为 ______，一般不表示具体的数量. ①未知组百分比=1-已知组百分比之和；②未知组百分比=未知组频数÷样本容量×100%；③若求未知组在扇形统计图中圆心角的度数，利用 360°×其所占百分比即可.
百分比
1
360°
第一节 统 计
续表
折线 统计图 可以反映数据的 ___________. 未知组频数=样本容量-已知组频数之和.
频数分布直方图 能清晰地表示出收集或调查到的数据，能显示出各数据分布的情况以 及各组频数之间的差别. 各组频数之和等于样本容量，各组频率之和等于 ______，数据总数×各组
的频率=相应组的 ______.
变化趋势
1
频数
第一节 统 计
续表
频数 分布表 ——— 能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比，能清楚地表示出每个项目的具体数目. 各组频率之和等于 ______.
1
第一节 统 计
教材习题变式夯基础
1.［人七下 P150 习题改编］“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”李老师对九年级（1）班上周课外阅读时间进行统计，得到如图所示的条形统计图，则课外阅读时间不少于 4 小时的学生人数是______ 人．
36
第一节 统 计
2.［冀八下 P27 习题改编］ 某校为了解学生最喜爱的数学活动项目，随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据统计图，解答下列问题：
（1）此次抽样调查的学生人数是 ______ 人，并补全折线统计图；
（2）求图 2 中扇形 C 的圆心角度数；
（3）估计全校 1 500 名学生中，最喜爱“数学竞赛”项目的学生人数是多少？
120
第一节 统 计
第一节 统 计
解：（1）120
补全折线统计图如下；
第一节 统 计
（2）360°× =90°.
答：扇形 C 的圆心角度数为 90°；
（3）1 500× =375（人）.
答：估计最喜爱“数学竞赛”项目的学生人数是 375 人．
第一节 统 计
■考点三 平均数、中位数、众数、方差（必考，考查统计量的计算及意义）
概 念 算术平均数 一般地，我们把 n 个数 x1，x2，…，xn 的和与 n 的比值，叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数，记作“ ”，即 =_____________________.
加权平均数 一般地，如果一组数据 x1，x2，…，xn，其中 x1 出现 f1 次，x2 出现 f2次，…，xn 出现 fn 次，则平均数
=___________________ 称为这 n 个数的加权平均数.
1. 平均数 （2022 年、2023 年、2024 年、2025 年考查）
（x1+x2+）
第一节 统 计
意 义 一组数据有 ______ 个平均数，能反映一组数据的平均水平.
应 用 可以利用样本的平均数估计总体的平均数.
续表
1
第一节 统 计
概 念 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于 _______位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则最中间位置两个数的_______ 就是这组数据的中位数.
意 义 一组数据有 ______ 个中位数，能反映一组数据的集中趋势.
应 用 常用于判断某一数据在某组数据中所处的位置，比中位数大即位于前 50%，比中位数小即位于后 50%.
2. 中位数 （2020 年、2023 年、2024 年、2025 年考查）
中间
平均数
1
第一节 统 计
概 念 一组数据中出现次数 _____ 的那个数据叫做这组数据的众数.
意 义 一组数据中可能没有众数，也可能不止一个众数，但众数一定是原数据，能反映一组数据的集中程度.
应 用 在统计中“最受欢迎”“最满意”“最受关注”等都与众数有关.
3. 众 数 （2022 年、2024 年、2025 年考查）
最多
第一节 统 计
4. 方 差
方 差 设 x 是 n 个数据 x1，x2，…，xn 的平均数，各个数据与平均数之差的平方的平均数，叫做这 n 个数据的方差，用“s2”表示，即 s2=_____________________________.
标准差 方差的算术平方根称为标准差.
极 差 一组数据中的最大值与最小值的差称为极差.
[(x1-x)2+(x2-x)2+-x)2]
第一节 统 计
续表
意 义 反映一组数据波动大小（离散程度）的量，方差越大，数据的波动越 _______，偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，数据的波动越 _______，偏离平均数越小，数据越稳定.
应 用 （1）当几组数据的平均数相同时，可以用方差来比较几组数据的稳定性；（2）可以利用样本的方差估计总体的方差.
大
小
第一节 统 计
知识能力进阶
1. 数据变化对平均数、方差的影响：
2. 总体中某组的数量=总体数量×样本中该组所占的百分比（或频率）.
3. 用样本估计总体时，样本容量越大，通过样本对总体的估计越准确.
第一节 统 计
易错易混警示 平均数容易受极端值影响，中位数、众数不易受极端值影响.
第一节 统 计
教材习题变式夯基础
1.［人八下 P121 习题改编］为深化环境保护理念，某班 50 名同学进行了环保知识竞赛，测试成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖．关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是 （ ）
A． 众数、中位数 B． 众数、平均数
C． 中位数、平均数 D． 众数、方差
A
第一节 统 计
2.［冀九上 P24 习题改编］甲、乙、丙三位选手每人 10 次射击成绩的平均数和方差统计如下表：
则射击成绩最稳定的选手是 ______（选填“甲”“乙”或“丙”）
乙
第一节 统 计
例 1 下列采用的调查方式中，不合适的是（ ）
A． 调查某池塘中现有鱼的数量，采用抽样调查
B． 高铁站对乘坐高铁的旅客进行安检，采用全面调查
C． 调查某省中学生的睡眠时间，采用抽样调查
D． 调查某批新能源汽车的抗撞击能力，采用全面调查
■题型一 数据的收集与整理（常考考点）
D
第一节 统 计
题型解法
第一节 统 计
对点集训
练 某校要调查七、八、九三个年级 1 200 名学生的锻炼情况，下列抽样选取最合适的是（ ）
A． 选取该校 100 名七年级的学生
B． 选取该校 100 名男生
C． 选取该校 100 名女生
D． 随机选取该校 100 名学生
D
第一节 统 计
例 2 ［25·河北 20 题］某工厂生产 A，B，C，D 四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．
下面是该工厂这四种产品的部分信息：
a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图 1）和扇形统计图（图 2）．
■题型二 统计图（表）的认识及应用（高频考点）
第一节 统 计
第一节 统 计
第一节 统 计
说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求调整前 A 产品的年产量；
（2）直接写出 m，n 的值；
（3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低．
第一节 统 计
解：（1）调整前，总年产量为 40÷20%=200（万件），
所以 C 产品的年产量为 200×15%=30（万件），
则 A 产品的年产量为 200-（70+30+40）=60（万件）；
（2）m=25，n=28；
（3）方案甲总成本为 60×13+70×22+30×25+40×40=4 670（万元），
方案乙总成本为 60×16+70×28+30×18+40×32=4 740（万元），
4670＜4 740，所以方案甲总成本较低．
第一节 统 计
题型解法
统计图表 关键信息
条形统计图 各组数量之和等于抽样数据总数（样本容量）.
扇形统计图 （1）各百分比之和等于 1；
（2）各部分圆心角的度数=各部分所占百分比×360°.
折线统计图 各组数量之和等于抽样数据总数（样本容量）.
频数分布直方图 各组频数之和等于抽样数据总数（样本容量）.
频数分布表 （1）各组频率之和等于 1；
（2）数据总数×某组的频率=相应组的频数.
第一节 统 计
对点集训
练 ［25·唐山模拟］ 某中学为了解九年级同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分 30 分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图 1 和图 2），已知图 2 中得 28 分的人数所对圆心角为 90°，回答下列问题：
（1）条形统计图有一部分污损了，求得分 27分的人数；直接写出所抽取学生测试成绩的中位数和众数；
（2）一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，求该名同学的补测成绩．
第一节 统 计
第一节 统 计
解：（1）由题意知，抽取总人数为
10÷ =40（人），
∴ 得分 27 分的人数为 40 -2 -10 -12-8=8（人），
中位数为 28.5 分，众数为 29 分；
（2）∵ 中位数变大了，∴ 该名同学的补测成绩为 29 分或 30 分．
第一节 统 计
例 3 ［24·河北 17 题］某校生物小组的 9 名同学各用 100 粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为 89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为 _____．
■题型三 平均数、中位数、众数、方差的计算及意义
89
第一节 统 计
题型解法
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数据就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，出现次数最多的数据，就是这组数据的众数.
第一节 统 计
对点集训
练1 ［25·邢台一模］ 某校为了解九年级学生每周参与垃圾分类的次数情况，倡导环保意识，随机抽测了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下统计表：
关于这次垃圾分类情况的调查和数据分析，下列说法错误的是 （ ）
A． 平均数是 3.5 次 B． 中位数是 4 次
C． 众数是 4 次 D． 样本容量是 40
A
第一节 统 计
练2 ［25·石家庄长安区一模］某学校篮球队所有队员的年龄（单位：岁）只有12，13，14，15，16 这五种情况，如图所示，其中部分数据因破损无法看到，若队员年龄的唯一的众数与中位数相等，则年龄为 14 岁的队员人数可能是 （ ）
A． 1 B． 2
C． 3 D． 4
D
第一节 统 计
练3 某学校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从平时表现、民主测评和讲演三个方面分别按百分制打分，然后以 3∶2∶5 的比例计算最终成绩，若一名同学的平时表现、民主测评和讲演成绩分别为 90 分、80 分和 94分，则这名同学的最终成绩为 ________ 分．
90
第一节 统 计
练4 ［25·陕西］为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分，满分 100 分均不低于 60 分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图．
其中 B 组共有 15 个成绩，从高到低分别为：
89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，
80，80，80．
根据以上信息，解答下列问题：
第一节 统 计
（1）B 组 15 个成绩的平均数为 _______ 分；
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为 ______，本次被抽取的所有成绩的中位数为 ______ 分；
84
50
80
第一节 统 计
（3）学校决定对本次竞赛成绩 90 分及以上的学生进行奖励，该校共有 500 名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数．
解：500×24%=120（人），
所以估计本次竞赛获奖人数为 120.(共33张PPT)
第二节 概 率
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第二节 概 率
■考点一 事件的分类
确定事件 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件，概率 P=________
不可能事件：在一定条件下，不可能发生的事件，概率 P=______.
随机事件 在一定条件下，有可能发生也有可能不发生的事件，概率在 0～1 之间.
1
0
第二节 概 率
知识能力进阶
1. 发生可能性再大的随机事件也不是必然事件；发生可能性再小的随机事件也不是不可能事件.
2. 一般地，随机事件发生的可能性是有大有小的.例如，口袋中装有 3 个黑球和 4 个白球，若从中随机摸出一个球，则摸到白球的可能性较大.
易错易混警示 事件肯定会发生，是确定事件；事件肯定不会发生，也是确定事件.
第二节 概 率
教材习题变式夯基础
1.［冀九下 P62 习题改编］ 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是 （ ）
A． 手可摘星辰 B． 黄河入海流 C． 大漠孤烟直 D． 鱼戏莲叶东
2.［人九上 P128 练习改编］ 化学课上，小明为了验证氧气的助燃性，将一根带火星的木条伸入充满氧气的集气瓶中，该木条复燃是 __________；“掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为 6”这个事件是__________．（选填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”）
A
必然事件
随机事件
第二节 概 率
■考点二 概率的计算（常考，考查概率的计算方法）
公式法 一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件
A 发生的概率 P（A）=____.
列表法 当一次试验涉及两个因素，且可能出现的结果数目较多时，可采用列表法列出所有可能的结果，再运用概率公式来计算.
画树状 图法 当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树状图法列出所有可能的结果，再运用概率公式来计算.
第二节 概 率
用频率估计概率 有些事件的概率很难直接计算或不能直接计算，这就需要进行重复试验，根据频率的稳定性，用 ______ 来估计概率.一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 会逐渐稳定在某个常数 p 附近，那么事件 A 发生的概率 P（A）=________.
几何概型 一般是用几何图形的面积（长度、 时间）之比来求概率，计算公式为 P （A）=
续表
频率
p
第二节 概 率
知识能力进阶
1. 当试验为两步试验时，用列表法和画树状图法都可以求概率；当试验在三步或三步以上时应当采用画树状图法，不适合用列表法.
2. 概率的应用：游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相同的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平.
3. 用一个事件发生的频率估计概率时，必须有足够的重复试验才可以用频率作为事件发生概率的估计值.
第二节 概 率
教材习题变式夯基础
1.［人九上 P140 习题改编］ 如图，电路图上有 A，B，C 三个开关和一个正常的小灯泡 L，随机闭合这三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率为 （ ）
A． B．
C． D．
D
第二节 概 率
2.［冀九下 P77 习题改编］ 在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共 20 个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是 0.4，则盒子中大约有红球 （ ）
A． 16 个 B． 14 个 C． 12 个 D． 8 个
C
第二节 概 率
例 1 ［25·苏州］为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有 A，B，C 共 3 部电影，甲、乙 2 位同学分别从中任意选择 1 部电影观看．
（1）甲同学选择 A 电影的概率为 ____；
（2）求甲、乙 2 位同学选择不同电影的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）．
■题型一 单纯概率的计算（常考考点）
第二节 概 率
解：（2）画树状图如下：
共有 9 种等可能的结果，其中甲、乙 2 位同学选择不同电影的结果有 6 种，
∴ 甲、乙 2 位同学选择不同电影的概率为 = ．
第二节 概 率
题型解法
放回型 不放回型
问 题 ①从一个不透明的袋子中摸出一个球，放回，再摸出一个球 （共 n 个球）；②转动一个转盘两次（n 等分）；③从两个不透明的袋子中各摸一个球（都有 n 个球）. ①从一个不透明的袋子中摸出一个球，不放回，再摸出一个球（共 n个球）；②从一个不透明的袋子中摸出两个球（共 n个球）.
列表法 对角线上有情况. 对角线上无情况.
第二节 概 率
放回型 不放回型
画树状 图法 第一层情况数为 n， 第二层情况数为 n·n. 第一层情况数为n，第二层情况数为 n（n-1）.
第二节 概 率
对点集训
练1 ［25·石家庄 18 县区一模］ 小亮与同学组队玩寻宝游戏，在某个环节，小亮面前有 A，B两组箱子，A 组有 3 个箱子，其中 1 个箱子中装有重要线索；B 组有 2 个箱子，其中 1 个箱子中装有重要线索．小亮要从 A，B 两组箱子中各选一个箱子去获得线索，则小亮一条线索都没有得到的概率为 （ ）
B
第二节 概 率
练2 在某次数学活动中，有两个如图所示的转盘 A，B，转盘 A 被分成四个相同的扇形，分别标有数字 1，2，3，4，转盘 B 被分成三个相同的扇形，分别标有数字 5，6，7，指针固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）．
（1）若单独自由转动转盘 A，当它停止时，指针指向奇数区的概率是 ________；
（2）小滨自由转动转盘 A，小河自由转动转盘B，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之和为 3 的倍数的概率．
第二节 概 率
第二节 概 率
解：（2）根据题意画树状图如下：
一共有 12 种等可能的情况，两数之和为 3 的倍数的情况有 4 种，所以P（两数之和为 3 的倍数）= = ．
第二节 概 率
练 3 ［25·云南］ 九年级某班学生计划到甲、乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成 A，B 两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．
游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字 1，2 的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为 x.在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字 1，2，3 的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为 y.若 x=y，则 A 组学生到甲敬老院，B 组学生到乙敬老院；若 x≠y，则 A 组学生到乙敬老院，B 组学生到甲敬老院．
第二节 概 率
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）求 A 组学生到甲敬老院，B 组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率 P．
第二节 概 率
解：（1）画树状图如下：
共有 6 种等可能的结果总数，即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）；
第二节 概 率
（2）由（1）可知，共有 6 种等可能的结果，其中 A 组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的结果有 2 种，即（1，1），（2，2），
∴A 组学生到甲敬老院，B 组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率
P= = ．
第二节 概 率
例 2 ［25·河北 7 题］ 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6 个面上分别标有 1，2，3 中的一个数字），若向上一面出现数字 1 的概率为 ，出现数字 2 的概率为 ，则该木块不可能是（ ）
■题型二 和其他知识结合的概率计算（常考考点）
A
第二节 概 率
题型解法
第二节 概 率
对点集训
练1 ［25·邯郸 25 中一模］ 第 19 届亚洲运动会在杭州举行．某高校为了解学生对亚运会的关注度，设置了 A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 ______ 名学生，并补全条形统计图；
（2）求 A 所在扇形的圆心角度数；
（3）学校将在 A 选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，直接写出甲、乙同时被选中的概率．
500
第二节 概 率
第二节 概 率
解：（1）500
选项 B 的人数为 500-200-100-50=150（人）．
补全条形统计图如图所示；
第二节 概 率
（2）360°× =144°；
（3） .
第二节 概 率
练 2 甲、乙两个不透明的袋子中，分别装有大小材质完全相同的小球，其中甲口袋中小球的编号分别是 1，2，3，4，乙口袋中小球的编号分别是 2，3，4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下编号为 m，再从乙袋中摸出一个小球，记下编号为 n.
（1）请用画树状图或列表的方法表示（m，n）所有可能情况；
（2）规定：若 m，n 都是方程 x2-5x+6=0 的解时，小明获胜；m，n 都不是方程 x2-5x+6=0 的解时，小刚获胜，请说明此游戏规则是否公平？
第二节 概 率
解：（1）画树状图如图所示，
所有（ｍ，ｎ）可能的情况有（1，2），
（1，３），（1，４），（2，２），（2，３），（2，４），
（3，２），（3，３），（3，４），（4，２），（4，3），
（4，４），共 12 种等可能的结果；
第二节 概 率
（2）不公平.理由：因为方程 x2-5x+6=0 的解为 x=2 或 x=3.由树状图可以看出共有 12种等可能的结果，m，n都是方程 x2-5x+6=0 的解的结果有4 种，m，n 都不是方程 x2-5x+6=0 的解的结果有 2 种，所以小明获胜的概率为 = ，小刚获胜的概率为 = ， ≠ .所以此游戏规则不公平.
第二节 概 率
练 3 ［25·唐山古冶区三模］现有一组数据：1，2，5，6，6，小明准备再添加两个数，组成一组新的数据．
（1）若添加的数是 3，4，则这组数据的平均数 ________（选填“变大”“不变”或“变小”）；
（2）若添加的数是 a，b，记 s=a+b，当 s 满足什么条件时，这组数据的平均数变大，并说明理由；
（3）在一个不透明的口袋中，有 4 个小球（除标有数字不同外，其余均相同），分别标有数字 2，3，5，6（如图）搅匀后从中摸出一个小球，记下数字，再从剩下的小球中随机摸出第二个小球，记下数字．将两次得到的数字添加到原组数据中，求这组数据平均数变大的概率．
变小
第二节 概 率
第二节 概 率
解：（2）当 s＞8 时，这组数据的平均数变大.理由：因为原数据的平均数为 4，所以 （a+b）＞4，所以 s＞8；
（3）从数字 2，3，5，6 中随机取出 2 个数所有可能出现的结果如下：
共有 12 种等可能出现的结果，其中两个数的和大于 8 的有 4 种，所以将两次得到的数字添加到原组数中，这组数据平均数变大的概率为 = ．

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