资源简介

(共39张PPT)
第三节 一元二次方程
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第三节 一元二次方程
■考点一 一元二次方程的概念及一般形式
概 念 只含有 ______ 未知数，并且未知数的最高次数是 _______ 的整式方程
一般 形式
一个
2
常数项
第三节 一元二次方程
一元二次方程的解 使方程左右两边 ______ 的未知数的值.若 x=m 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解，则 am2+bm+c=0.
续表
相等
第三节 一元二次方程
知识能力进阶
判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是 2，且只含有一个未知数.
第三节 一元二次方程
方 法 思 路 适用类型
直接开 平方法 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的方程，可利用平方根的定义，直接开平方求解. ①形如方程 ax2+c=0（a≠0，ac＜0）；
②形如（nx+m）2=p（p≥0）的方程.
公式法 将方程化为一般形式，确定 a，b，c 的值，然后代入求根公式 x =___________（b2-4ac≥0）计算. 形如 ax2+bx+c=0（a ≠0）且 b2-
4ac≥0 的方程 ，如：2x2-3x-1=0.
■考点二 一元二次方程的解法（常考，考查一元二次方程的解法）
第三节 一元二次方程
配方法 把一元二次方程的二次项系数化为1；把常数项移到等号右边；两边同时加上一次项系数一半的平方；配方成（x+m）2=n 的形式，直接开平方求解. ①二次项系数化为 1 后，一次项系数是偶数的一元二次方程.如：3x2+6x-9=0；
②各项系数较小且便于配方的方程.
续表
第三节 一元二次方程
因式分解法 将方程右边化为 0；将方程左边分解为两个一次因式的乘积； 令每个因式等于 0，得到两个 一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解. ①缺少常数项，即方程 ax2+bx=0（a≠0）；
②一元二次方程的一边化为 0 后，另一边易于分解成两个一次因式
的乘积，如：（x-1）2=（2x+1）2.
续表
第三节 一元二次方程
换元法 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化. 已知（a2+b2+2）（a2+b2）=8，那么求 a2+b2的值，可设 a2+b2=y，则原方程可化为（y+2）y=8，解得 y1=-4，y2=2，结合 a2+b2＞0，可知 a2+b2=2
续表
第三节 一元二次方程
知识能力进阶
当 c=0 时，方程 ax2+bx+c=0（a≠0）必有一解为 x=0；当 a+b+c=0 时，方程 ax2+bx+c=0（a≠0）必有一解为 x=1；当 a-b+c=0 时，方程 ax2+bx+c=0（a≠0）必有一解为 x=-1.
第三节 一元二次方程
易错易混警示
1. 用公式法代 a，b，c 的值时要注意它们的符号.
2. 对于方程两边含有相同因式的一元二次方程，切勿直接约去公因式求解导致丢根，正确做法是将方程化为两个因式之积为 0 的形式，利用因式分解法求解.
第三节 一元二次方程
教材习题变式夯基础
1.［冀九上 P35 做一做变式］ 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0．
（1）若方程的一个根为 x=-1，则 k 的值为 __________；
（2）若 k=0，则此方程的解为 ___________．
1
x1=0，x2=-2
第三节 一元二次方程
2.［人九上 P17 习题改编］ 解方程：
（1）x2-16=0； （2）x（x-2）=3（x-2）；
（3）x2-5x+3=0； （4）x2-4x-5=0．
x1=-4，x2=4
x1=2，x2=3
x1=，x2=
x1=5，x2=-1
第三节 一元二次方程
■考点三 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（常考，考查一元二次方程根的判别式）
1. 一元二次方程根的判别式与根的关系 （2024 年、2025 年考查）
根的判别式 一般地，式子 ______________ 称为一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式.
判别式 与根的关系 （1）b2-4ac＞0 方程有 __________ 的实数根；
（2）b2-4ac=0 方程有 __________ 的实数根；
（3）b2-4ac＜0 方程 _______ 实数根.
b2-4ac
两个不相等
两个相等
没有
第三节 一元二次方程
2. 一元二次方程根与系数的关系 （2025 年考查）
若一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的两实数根分别为 x1，x2，
则 x1+x2=_____，x1·x2=_____.
第三节 一元二次方程
知识能力进阶
根的判别式的两个作用：（1）不解方程，直接判断或证明一元二次方程根的情况；（2）根据方程根的情况，确定某个未知数的值（或取值范围）.
易错易混警示 若所给方程二次项系数含有未知字母，应注意二次项系数不为 0 这个隐含条件.
第三节 一元二次方程
教材习题变式夯基础
1.［人九上 P17 习题改编］（1）关于 x 的方程 x2+kx-1=0（k 为实数）的根的情况为 _______________________；
（2）关于 x 的一元二次方程 kx2+2x-1=1 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ________________.
2.［冀九上 P46 练习变式］ 若 m，n 是一元二次方程 x2-4x-5=0 的两个根，则 m+n=_______，mn=_________，m2n+mn2 的值为 ________．
有两个不相等的实数根
k＞- 且 k≠0
4
-5
-20
第三节 一元二次方程
变化率问题 增长（降低）率= ×100%.
若起始量为 a，平均增长率为 x，终止量为 b，增长次数为 n，则有 b=a（1__x）n；
若起始量为 a，平均下降率为 x，终止量为 b，下降次数为 n，则有 b=a（1__x）n.
+
-
■考点四 一元二次方程的实际应用
第三节 一元二次方程
续表
面积问题 如图，设阴影部分的宽为 x，图 1 中S 空白=（a-2x）（b-2x）；图 2 中 S 空白=（a-x）（b-x）；通过平移的方法可得
图 3 中 S 空白=（a-x）（b-x）.
第三节 一元二次方程
续表
每每问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
（2）每每问题中，单价每涨 a 元，少卖 b 件，若涨价 y 元，则少卖的数量为 ·b 件.
循环赛问题 （1）单循环淘汰赛问题：设 x 队进行 m 场比赛，则 =m；
（2）互赠照片问题：全班 x 人，每人向其他人赠送一张，共赠送 m 张，则 x（x-1）=m.
第三节 一元二次方程
续表
传播问题 病毒传染：一人患流感，一轮传染 x 人，第二轮后共 1+x+x（1+x）人得流感.
细胞分裂：一个细胞分裂成 x 个细胞，两次分裂后，变成 x2 个细胞.
植物分支：一个主干长 a 个分支，每个分支长 a 个小分支，则主干、分支、小分支总数为 1+a+a2
第三节 一元二次方程
教材习题变式夯基础
1.［人九上 P19 探究 2 变式］ 近年来，机器人产业发展迅猛，据报道某地区 2024 年机械手的市场规模约为 225 亿元，估计 2026 年的市场规模将达到 324 亿元，如果 2025 年、2026 年的年增长率相同，那么这个相同的增长率是 ________.
2.［人九上 P22 习题改编］ 学校组织一次乒乓球赛，每两队之间都要赛一场．如果一共赛了 15 场，那么有 ______ 支队伍参赛.
20%
6
第三节 一元二次方程
3.［冀九上 P49 习题改编］ 茶文化是中华文化的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．现在围一块面积为 600 m2 的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图，茶园一面靠墙，墙长 35 m，另外三面用 69 m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇 1 m 宽的门（不需要围篱笆），则这个茶园的长为 _____ m，宽为 ______ m．
30
20
第三节 一元二次方程
例 1 ［24·河北 9 题］淇淇在计算正数 a 的平方时，误算成 a 与 2 的积，求得的答案比正确答案小 1，则 a= （ ）
A． 1 B． -1
C． +1 D． 1 或 +1
■题型一 一元二次方程的解法（常考考点）
C
第三节 一元二次方程
题型解法
当题目中要求用某一种方法求解时，则根据要求进行求解即可，如果没有要求，则按照直接开平方法→因式分解法→配方法→公式法的顺序选一种运算比较简便的方法进行求解.
第三节 一元二次方程
对点集训
练 1 ［25·石家庄三模］ 用配方法解方程 x2-4x=2 时，左右两边需同时加上的常数是（ ）
A． 16 B． 4 C． 2 D． 1
B
第三节 一元二次方程
练 2 ［25·邯郸模拟］ 习题课上，数学老师展示嘉嘉和淇淇解同一道题的错误的解答过程：
第三节 一元二次方程
（1）分别写出嘉嘉和淇淇的解答过程从第几步开始出现错误的；
（2）请给出这道题的正确解答过程．
解：（1）嘉嘉是第一步；淇淇是第二步；
（2）原方程移项，得 4（x-5）-（x-5）2=0，分解因式，得（x-5）［４－（ｘ－５）］=0，即x-5=0 或 4-x+5=0，所以 x1=5，x2=9．
第三节 一元二次方程
例 2 ［25·石家庄新华区一模］ 下列关于 x 的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是 （ ）
A． x2+mx=0 B． x2-mx=0
C． x2+mx+3=0 D． x2+mx-3=0
■题型二 一元二次方程根的判别式（高频考点）
D
第三节 一元二次方程
题型解法
如果没有说明是一元二次方程，那么还有可能是一元一次方程（即二次项系数为 0），要分类讨论.
第三节 一元二次方程
对点集训
练 1 ［25·邯郸 25 中一模］ 若关于 x 的方程 x2-x-m=0 有两个不相等的实数根，则实数 m的取值范围是 （ ）
A． m＜- B． m＞- C． m＜-4 D． m＞-4
B
第三节 一元二次方程
练 2 ［25·上海］ 一元二次方程 2x2+x+m=0没有实数根，那么 m 的取值范围是 ________.
m＞
第三节 一元二次方程
例 3 ［25·河北 6 题］ 若一元二次方程 x（x+2）-3=0 的两根之和与两根之积分别为 m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位于 （ ）
A． 第一象限 B． 第二象限
C． 第三象限 D． 第四象限
■题型三 一元二次方程根与系数的关系（常考考点）
C
第三节 一元二次方程
题型解法
利用根与系数的关系解题的前提是方程存在实数根，即根的判别式 b2-4ac≥0.
第三节 一元二次方程
对点集训
练 1 ［25·石家庄长安区一模］ 已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2-k）x-1=0 的两根互为相反数，则 k 的值为 （ ）
A． -2 B． 2 C． 6 D． -6
练 2 ［25·苏州］ 已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2+2x-m=0 的两个实数根，其中 x1=1，则 x2=_______.
B
-3
第三节 一元二次方程
练 3 ［25·邯郸模拟］ 淇淇在计算两个正数的和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案 8 变成了 15，则这两个正数中，较大的正数是 _____．
5
第三节 一元二次方程
例 4 ［25·石家庄模拟］ 如图所示，点阵 M 的层数用 n 表示，点数总和用 S表示，当 S=66 时，则 n 的值为 （ ）
A． 10 B． 11 C． 12 D． 13
■题型四 一元二次方程的应用（常考考点）
B
第三节 一元二次方程
题型解法
第三节 一元二次方程
对点集训
练 1 ［25·云南］某书店今年 3 月盈利 6 000 元，5 月盈利 6 200 元．设该书店每月盈利的平均增长率为 x.根据题意，列方程为 ________________________.
6 000（1+x）2 =6 200
第三节 一元二次方程
练 2 如图，某小区要在长为 16 m，宽为 12 m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地 面积的一半，则小路宽为_____ m.(共28张PPT)
第四节 一元一次不等式（组）
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第四节 一元一次不等式（组）
■考点一 不等式的基本性质（常考，考查不等式的性质）
性 质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向________. 若 a＞b，则 a±c＞b±c. 应用：解不等式中的移项.
性 质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向________. 若 a＞b，c＞0， 则 ac＞bc 或 应用：解不等式中的去分母（或系数化为 1）.
不变
不变
第四节 一元一次不等式（组）
续表
性 质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数， 不等号的方向_______. 若 a＞b，c＜0， 则 ac＜bc 或 应用：解不等式中的去分母（或系数化为 1）.
注 意 使用不等式的性质 3 时，要注意不等式符号的改变. 改变
第四节 一元一次不等式（组）
■考点二 一元一次不等式的解法及解集表示（常考，考查列不等式和一元一次不等式的解法）
1. 一元一次不等式：只含有 __________ 未知数，且未知数的次数是 ______ 的不等式，叫做一元一次不等式，其一般形式是 ____________或 ax+b＜0（a≠0）.
2. 一元一次不等式的解法步骤及解集表示 （6 年 5 考）
解法 步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；
⑤系数化为 1（特别注意性质 3 的变号）.
一个
１
ax＋b＞0
第四节 一元一次不等式（组）
解集在数轴上的表示 x＜a
x＞a
x____a
x____a
续表
≤
≥
第四节 一元一次不等式（组）
总 结 在数轴上表示解集时，要注意“两定”：一是定边界点，二是定方向.定边界点：是“≥“” ≤”时画实心圆点，是“＞”“＜”时画空心圆圈；定方向：小于向左画折线，大于向右画折线.
续表
第四节 一元一次不等式（组）
教材习题变式夯基础
1.［人七下 P120 习题变式］ 不等式-3x＞-6 的解集在数轴上表示正确的是 （ ）
B
第四节 一元一次不等式（组）
2.［冀七下 P136 习题变式］ 关于 x 的不等式 m- ≤1-x 有正数解，m 的值可以是 _______（写出一个即可）.
3.［人七下 P126 习题变式］ 解不等式：
（1）3x-2（x-1）≥1； （2） -1＜ .
0
x≥-1
x＜-
第四节 一元一次不等式（组）
■考点三 一元一次不等式组的解法及解集表示
解法 步骤 ①分别求出不等式组中各个不等式的解集，在同一个数轴上表示出来，找出公共部分；②根据公共部分写不等式组的解集；如果没有公共部分，则不等式组无解.
第四节 一元一次不等式（组）
解集的类型及其在数轴上的表示（b>a） 类型 解集 在数轴上的表示 确定解集的口诀
____ 同大取大
____ 同小取小
____ 大小小大中间找
____ 大大小小找不到
续表
ｘ＞ｂ
ｘ＜ａ
ａ＜ｘ＜ｂ
无解
第四节 一元一次不等式（组）
解集的类型及其在数轴上的表示（b>a） 注 意
在数轴上表示解集时，当“＜”换成“≤”，或“＞”换成“≥”时，数轴上的空心小圆圈变成实心小圆点.
续表
第四节 一元一次不等式（组）
易错易混警示
不等式组的解集中含有字母时，要注意对字母的取值进行讨论.
第四节 一元一次不等式（组）
教材习题变式夯基础
1.［冀七下 P125 习题变式］ 若关于 x 的不等式 2（x+a）＞4 的最小整数解是 2，则 a 的取值范围是__________.
2.［人七下 P119 练习改编］ 关于 x 的不等式组
5（x+2）≥3x，
x-m＞-2 的解集为 x≥-5，则 m 的取值范围是___________.
0＜a≤1
m＜-3
第四节 一元一次不等式（组）
■考点四 一元一次不等式的实际应用
1.一般步骤:
第四节 一元一次不等式（组）
2. 常见关键词与对应不等号
（1）见到“大于、多于、超过、高于”用＞；
（2）见到“小于、少于、不足、低于”用 _____；
（3）见到“至少、不低于、不小于”用 ____；
（4）见到“至多、不超过、不高于、不大于”用 _____；
＜
≥
≤
第四节 一元一次不等式（组）
教材习题变式夯基础
1.[人七下 P126 习题变式] 小明家距离学校 2 km.一天中午,小明从家里出发时,离规定到校时间只剩15 min,为了准时到校,他必须加快速度.已知他每分钟走 90 m,若跑步每分钟可跑 210 m.为了不迟到,小明至少要跑多少分钟 设要跑 x min,则列出的不等式为 __________________________.
2.[冀七下 P139 习题改编] 在一次“航天知识“竞赛中,竞赛题共 20 道,每道题都给出 4 个答案,其中只有一个答案正确,选对得 5 分,不选或选错扣 1 分,张华得分不低于 70 分.设张华答对 x 道题,可列不等式为 _________________.
210x+90（15-x）≥2 000
5x-（20-x）≥70
第四节 一元一次不等式（组）
例 1 已知 a≥b，则一定有-2 025a□-2 025b，“□”中应填的符号是 （ ）
A． ≤ B． ≥ C． ＜ D． ＞
■题型一 不等式的基本性质 （常考考点）
A
第四节 一元一次不等式（组）
题型解法
根据不等式的性质进行不等式的变形时，要特别注意不等号变号的情况.
第四节 一元一次不等式（组）
对点集训
练 ［25·沧州一模］已知代数式 P=x+1，Q= ，当 x ＜ - 1 时 ， 则 P 与 Q 的大小关系是 ：P______Q（选填“＞”“＜”或“=”）．
＜
第四节 一元一次不等式（组）
例 2 ［25·河北 17 题］（1）解不等式 2x≤6，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（2）解不等式 3-x＜5，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（3）直接写出不等式组 的解集．
■题型二 一元一次不等式（组）的解法（高频考点）
第四节 一元一次不等式（组）
解：（1）x≤3，如图；
（2）x＞-2，如图；
（3）-2＜x≤3．
第四节 一元一次不等式（组）
题型解法
不等式（组）的解集问题：
（1）若 x＞a 的解集是 x＞2，则 a=2；
（2）若 x＜a 的解集是 x＜2，则 a=2；
（3）若 x＞a 的解都是 x＞2 的解，则 a≥2；
（4）若 x＜a 的解都是 x＜2 的解，则 a≤2；
（5）若
x＞2，
x＞a 的解集是 x＞2，则 a≤2.
第四节 一元一次不等式（组）
对点集训
练 1 ［25·邯郸模拟］ 下列数中，能使不等式2x≤4-x 成立的 x 的值为 （ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
A
第四节 一元一次不等式（组）
练 2 ［25·扬州］ 解不等式组
4x-3≤x①，
3（x+1）＞2x②，并写出它的所有负整数解．
解：由①得，x≤1，由②得，x＞-3，
∴ 不等式组的解集为-3＜x≤1．
其负整数解有-2，-1．
第四节 一元一次不等式（组）
例 3 ［25·张家口万全区一模］某服装店现有一款热卖的羽绒服，进价为 280 元/件，售价为400 元/件．现准备打折销售，在保证利润（利润=售价-进价）不低于 10%的情况下，打 x折，则下列说法正确的是 （ ）
A． 依据题意得 400x-280≥280×10%
B． 依据题意得 400× -280≥400×10%
C． 该款羽绒服可以打七五折
D． 该款羽绒服最多打七七折
■题型三 不等式（组）的应用 （常考考点）
D
第四节 一元一次不等式（组）
题型解法
在建立不等式时要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
第四节 一元一次不等式（组）
对点集训
练 ［25·秦皇岛一模］ 某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收 费 400 元 ，当研学人数超过 100 人时 ，旅行社给出两种优惠方案：
方案一：研学团队先交 2 000 元后，每人收费 300 元.
方案二：4 人免费，其余每人收费打八折．
（1）用代数式表示，当参加研学的总人数是x（x ＞100）人时，方案一和方案二各是多少钱？
（2）当参加研学的总人数是多少人时，采用方案一省钱？
第四节 一元一次不等式（组）
解：（1）方案一的费用是（2 000+300x）元 ， 方 案 二 的 费 用 是 400 ×80%（x-4）=（320x-1 280）（元）；
（2）根据题意，令 2 000+300x＜320x-1 280，整理得 20x＞3 280，
解得 x＞164.
答：当参加研学的总人数大于 164 人时，采用方案一省钱．(共39张PPT)
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
■考点一 等式的基本性质
性质 1 等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等，即如果 ａ=ｂ，那么 a±c=b_____. 应用：解方程中的移项
性质 2 等式的两边都乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等，即如果 a=ｂ，那么 ac=bc；如果 a=ｂ，那么=____（c≠0）. 应用：解方程中的去分母或系数化为 1
±c
易错易混警示 运用等式的性质 2 时需要注意除以的这个数不能为 0.
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
教材习题变式夯基础
1.［人七上 P83 习题变式］ 下列运用等式的性质变形正确的是 （ ）
A． 若 x=y，则 x+5=y-5
B． 若 a2=b2，则 a=b
C． 若 = ，则 a=b
D． 若 ax=ay，则 x=y
C
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
定义 只含有 ______ 未知数，并且未知数的最高次数是 ______ 的整式方程叫做一元一次方程.
一般形式 ax+b=0（a≠0）.
判断方法 判断一个方程是不是一元一次方程，一定要先把方程化简后，再根据定义判定.
1. 一元一次方程
一个
1
■考点二 一元一次方程及其解法
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
步 骤 具体做法 解： 易错警示
去分母 方程两边同乘各分母的 ____________. 5（y-1）=20-2（y+2） 分子是多项式的，去分母时分子要加括号；不要漏乘不含分母的项.
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 5y-5=20-2y-4 括号前面是负号，去括号时括号内的每一项都要变号.
2. 解一元一次方程的一般步骤 （2022 年、2023 年考查）
最小公倍数
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
移项 将含未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边. 5y+2y=20-4+5 移项必须变号.
合并同类项 把方程化为 ax=b（a≠0）的形式. 7y=21 用合并同类项法则时，只合并系数.
系数化为 1 方程两边同除以未知数的 _____ 或同乘未知数系数的倒数. y=3 方程两边同时除以未知数的系数.
续表
系数
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
知识能力进阶
关于 x 的方程 ax=b，若没有给出 a，b 的取值，则其解有以下三种情况：当 a≠0 时，方程是一元一次方程，有唯一解；当 a=0，b≠0 时，方程无解；当 a=0，b=0 时，方程有无数个解.
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
教材习题变式夯基础
1.［人七上 P98 习题改编］ 解方程 =1- ，嘉琪写出了以下过程：①去分母，得 3（x-2）=6-2（2x-1）；②去括号，得 3x-6=6-4x-2；③移项、合并同类项，得 7x=10；④系数化为 1，得 x= ．开始出错的一步是 _______.
②
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
2.［冀七上 P156 习题改编］ 解下列方程：
（1）4x-3（2-x）=5； （2） =1- ； （3） -1= ．
x=
x=
x=-2.
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
■考点三 二元一次方程（组）及其解法
类 别 定义 解
二元一 次方程 含有 ______ 未知数，并且含有未知数的项的次数都是______的整式方程叫做二元一次方程. 二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值.
两个
1
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
二元 一次 方程组 含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
注 意 二元一次方程组的解是一对确定的数值. 续表
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
基本 思想 解二元一次方程组的基本思路是通过消元将二元一次方程组转化为 ________ 方程. 代入消元法 将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程求解. 多适用于方程组中的方程有一个未知数的系数是 1 或-1的情形.
2. 二元一次方程组的解法 （近 6 年连续考查）
一元一次
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
加减 消元法 将方程组中的两个方程通过适当变形后相加（或相减），消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程求解. 多适用于方程组中两个方程中的同一个未知数的系数相同或互为相反数或为倍数关系的情形.
续表
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
二元一次方程 若 x=m，y=n 是关于 x，y 的二元一次方程 ax+by=0 的解，则 am+bn=0.
二元一次方程组 x=m，y=n 是关于 x，y 的二元一次方程组
的解，则
3. 二元一次方程（组）解的运用
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
知识能力进阶
1. 三元一次方程组的解法常应用于待定系数法求二次函数的解析式.
2. 基本思路：
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
教材习题变式夯基础
1.［人七下 P95 例题变式］ 在解二元一次方程组
6x+my=3①，
2x-ny=-6② 时，若①-②可直接消去未知数 y，则 m 和 n 需要满足 ____________.
m+n=0
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
2.［冀七下 P13 习题改编］ 解方程组
x-2y=5，①
3x-2y=3, ②
解法一：由①得 x=2y+5③，把③代入②得 __________________，整理得 4y=-12，解得 y=-3，把 y=-3 代入③，得______________，则方程组的解为
x=-1，
y=-3；
3（2y+5）-2y=3
x=-1
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
解法二：①-②，得 _________，解得 x=_______，把 x=___ 代入①，得__
________，解得 y=____，则方程组的解为 _________.
总结：解法一使用的具体方法是 ____________，解法二使用的具体方法是 _____________，以上两种方法的共同点是 _______________________________
_________________________________________________________.
-2x=2
-1
-1
-1-2y=5
-3
x=-1，
y=-3
代入消元法
加减消元法
基本思路都是消元（或都设法消去了一个未知数，使二元问题转化为了一元问题）
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
■考点四 一次方程（组）的实际应用（常考，考查一元一次方程的应用）
1. 列方程（组）解应用题的一般步骤
（1）审清题意，分清题中的已知量、未知量；（2）设关键未知数，一般求什么，就设什么，也可间接设未知数；（3）找出适当的等量关系，列方程（组）；（4）解方程（组）；（5）检验所解答案是否正确且是否符合题意；（6）解答题需要作答，注意单位名称.
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
和（差）关系 总量=各分量之和，大数=小数+大数与小数之差. 倍（分）关系 几倍后的量=基础量×倍数，分量=总量×分量所占总量的份数（比例）. 行程问题 基本关系 路程=速度×时间.
相遇问题 同时出发：s 甲+s 乙=sAB，t 甲=t 乙；
2. 常见类型及关系式 （2022 年、2023 年、2025 年考查）
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
行程 问题 追及 问题 同时不同地：s 甲=s 乙+sAC，t 甲=t 乙；
同地不同时：甲出发 t h 后乙出发，在 B 处乙追上甲，s 甲=s 乙，t 甲=t 乙+t.
续表
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
行程 问题 环形 问题 环形追及：快者路程-慢者路程=环形周长；
环形相遇：甲路程+乙路程=环形周长.
航行 问题 顺水速度=静水速度+水流速度；
逆水速度=静水速度-水流速度.
工程 问题 工作效率= ；甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率；通常把工作总量看成单位“1”. 续表
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
销售 问题 总价=单价×数量，售价=标价×折扣，
销售额=售价×销量，利润=售价-进价，利润率= ×100%.
球赛积分问题 胜场数+平场数+负场数=总场数；
胜场积分+平场积分+负场积分=总场积分.
数字 问题 数字问题常间接设未知数，如十位、个位上的数字分别为 a，b 的两位数为10a+b；百位、十位、个位上的数字分别为 a，b，c 的三位数为 100a+10b+c.
续表
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
鸡兔同笼问题 鸡的头数+兔的头数=总头数；
鸡脚的总数+兔脚的总数=脚数和.
配套 问题 如果 a 件甲产品和 b 件乙产品配成一套，那么甲产品数的 b 倍等于乙产品数的 a 倍，即 b×甲产品数=a×乙产品数.
续表
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
教材习题变式夯基础
1.［冀七下 P23 习题改编］《九章算术》是中国古代的数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤.雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的质量各为多少？ 设每只雀重 x 斤，每只燕重 y 斤，
可列方程组为 _________.
5x+6y=1，
4x+y=5y+x
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
2.［人七上 P112 习题变式］ 一快递员需要在规定时间内开车将快递送到某地，若快递员开车每分钟行驶1.2 km，就早到 10 min；若快递员开车每分钟行驶 0.8 km，就要迟到 5 min．试求出规定时间及快递员所行驶的总路程．然然和涵涵列出的方程如下：
然然：1.2（x-10）=0.8（x+5）.涵涵：+10= -5.
（1）然然所列方程中的 x 表示 __________；涵涵所列方程中的 x 表示 _______________________；
（2）规定时间为 _________ min，行驶的总路程为 __________ km.
规定时间
快递员所行驶的总路程
40
36
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
例 1 ［25·衡水模拟］ 观察下图，若天平保持平衡，同一种物体的质量都相等，则一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的 （ ）
A． 8 倍 B． 6 倍 C． 4 倍 D． 2 倍
■题型一 等式的基本性质（常考考点）
C
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
题型解法
天平问题 根据天平前后变化抽象出等式的性质，确定第三个天平的平衡条件.
等式型问题 直接根据等式的性质判断.
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
对点集训
练 设 x，y，c 是实数，则下面选项中正确的是（ ）
A． 若 x=y，则 x+c=c-y
B． 若 x=y，则 c-x=c-y
C． 若 x=y，则
D． 若 ，则 2x=3y
B
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
例 2 ［25·邢台一模］ 某同学在解关于 x 的一元一次方程 2a+x=3 时，误将+x 看作÷x ，得到方程的解 为 x = 2 ，则原方程的为（ ）
A． x=-3 B． x=
C． x=2 D． x=3
■题型二 一次方程（组）的解法（常考考点）
A
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
题型解法
解一元一次方程的注意事项：（1）移项时不要忘记改变符号；（2）利用等式的性质 2对方程进行变形时，不要出现漏乘的情况；（3）去分母时不要忽略分数线的括号作用.
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
对点集训
练 1 ［25·保定二模］ 已知二元一次方程组 的解是 则 * 表示的方程可能是（ ）
A． x-y=-3 B． x+y=4
C． 2x-y=-3 D． 2x+3y=-4
A
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
练 2 ［26·预测］程序框图中的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”． 根据如图所示的程序进行计算，若输出的值为 5，求输入的 x 的值．
解：根据题意，得 4x-（3-x）+（-2）=5，去括号，得 4x-3+x-2=5，
移项、合并同类项，得 5x=10，系数化为 1，得 x=2，即输入的 x 的值为 2．
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
例 3 ［25·河北 15 题］ 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为 a，b.如图，将甲纸条的 与乙纸条的 叠合在一起，形成长为 81 的纸条，则 a+b=_________.
■题型三 一次方程（组）的应用（高频考点）
99
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
题型解法
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
对点集训
练 1 ［25·沧州模拟］ 宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则“■”位置的数是 （ ）
A． 4 B． 5
C． 6 D． 7
D
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
练 2 ［25·陕西］ 草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多 2.4 kg. 已知小康平均每小时采摘 6 kg，小悦平均每小时采摘 4 kg，小康采摘的时长是 _____ h．
1.2
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
练 3 ［25·石家庄桥西区一模］ 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住 7 人，那么有 7 人无房住；如果每一间客房住 9 人，那么就空出一间客房．设该店有客房 x 间、房客 y 人，则
列方程组为 ______________________.
7x+7=y，
９（x-1）＝y
第一节 一元一次方程与二元一次方程组
练 4 实验表明，物体在做匀加速直线运动时，速度 V（m/s）随着运动时间t （s）的改变而改变，它的速度可用公式 V=V0+at 计算，已测得当 t=1（s）时，速度 V=5.5（m/s）；当 t=6（s）时，速度 V=18（m/s），求：
（1）V0=______，a=______；
（2）当速度 V=21（m/s）时该物体的运动时间t=______ s.
3
2.5
7.2(共18张PPT)
第二节 分式方程
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第二节 分式方程
■考点一 分式方程的相关概念及其解法（常考，考查分式方程的解法）
分式方程 的概念 分母中含有 ______ 的方程叫做分式方程.
分式方程 的解法
未知数
第二节 分式方程
分式方程 的增根 概念 当去分母后所得整式方程的根使分式方程中分母的值为 0
时，分式方程无解，这样的根叫做分式方程的增根.
检验 方法 ①利用方程的解的定义进行检验；
②将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否等于 0，若等于 0，则为增根.
续表
第二节 分式方程
分式方程 的增根 产生 原因 增根是由于“去分母”造成的去分母时，方程两边同乘的最
简公分母为 0 时，对于整式方程来说，求出的根能使整式方程成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.
续表
第二节 分式方程
知识能力进阶
1. 去分母时，不要漏乘没有分母的项.
2. 分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根不仅是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为 0 的根.
第二节 分式方程
教材习题变式夯基础
1.［冀八上 P8 习题改编］ 解分式方程 时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是 ____________.
2.［人八上 P151 例题变式］ 如果方程 会产生增根，那么 k 的值是 _________.
x（x-3）
5
第二节 分式方程
■考点二 分式方程的应用
1. 用分式方程解实际问题的一般步骤
第二节 分式方程
2. 常见关系式
类 型 基本数量关系
行程问题 ,路程=速度×时间
购买（盈利）问题
工程问题
第二节 分式方程
易错易混警示 结果要双检验：一要检验是不是分式方程的解；二要检验是不是符合实际情况.
第二节 分式方程
教材习题变式夯基础
1.［人八上 Ｐ155 习题改编］ 马拉松赛是全民健身的热门项目，全程的总赛程约为 42 km，在同一场比赛中选手甲的平均速度是选手乙的 1.5 倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早 30 min，若乙的平均速度为x km/h，则可列方程为 ____________________.
- =
第二节 分式方程
例 1 ［25·遂宁］若关于 x 的分式方程 无解，则 a 的值为 （ ）
A． 2 B． 3 C． 0 或 2 D． -1 或 3
■题型一 分式方程的解法及解的运用（常考考点）
D
第二节 分式方程
题型解法
第二节 分式方程
对点集训
练 1 嘉淇准备完成题目：解方程 0．发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是 x=-1，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是 （ ）
A． x-1 B． -x-1 C． x+1 D． x2-1
A
第二节 分式方程
练 2 当 x=______ 时，分式 与 的值互为相反数．
0
第二节 分式方程
例 2 ［25·唐山古冶区三模］ DeepSeek 公司研发的两个 AI 模型 R1 和 R2 共同处理一批数据．已知 R2 单独处理数据的时间比 R1 少 2 h．若两模型合作处理，仅需 1.2 h 即可完成．设 R1 单独处理需要 x h，则根据题意列方程为________________.
■题型二 分式方程的应用（常考考点）
+ =
第二节 分式方程
题型解法
在分式方程应用题中找等量关系时，用含未知数的代数式把题目中的有关量表示出来，必要时作出示意图或列成表格.
第二节 分式方程
对点集训
练 ［25·云南］ 某化工厂采用机器人 A，机器人B 搬运化工原料，机器人 A 比机器人 B 每小时少搬运 20 kg，机器人 A 搬运 800 kg 所用时间与机器人 B 搬运 1 000 kg 所用时间相等．求机器人 A，机器人 B 每小时分别搬运多少千克化工原料．
第二节 分式方程
解：设机器人 A 每小时搬运 x kg化工原料，则机器人 B 每小时搬运
（x+20） kg 化工原料，根据题意得 = ，
解得 x=80，经检验，x=80 是分式方程的解，且符合题意，
∴x+20=80+20=100（kg）．
答：机器人 A 每小时搬运 80 kg 化工原料，机器人 B 每小时搬运 100 kg化工原料．

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