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(共39张PPT)
第五节 二次函数的图象和性质
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第五节 二次函数的图象和性质
■考点一 二次函数的概念及三种表达形式
概 念 形如 y=ax2+bx+c（_______，a，b，c 为常数）的函数叫做二次函数．其中 a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项.
表达式的 三种形式 （1） 一般式：y=ax2+bx+c（____）；
（2） 顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），其中（h，k）为二次函数的顶点坐标；
（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.[抛物线与 ｘ 轴交于（ｘ1，0）（ｘ2，0）］
图象画法 （1）列表；（2）描点；（3）连线.
a≠0
a≠0
第五节 二次函数的图象和性质
解析式 y=ax2+bx+c y=a（x-h）2+k y=a（x-x1）（x-x2） 大致 图象 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0
开口 方向 a＞0，开口 ______；a＜0，开口 ______ 对称轴 直线 x=______ 直线 x=______ 直线 x=______ ■考点二 二次函数的图象和性质
向上
向下
第五节 二次函数的图象和性质
续表
顶点坐标 _________________ _________________ —— 最值 x=- 时y 最小=______ x=- 时，y 最大=_______ x=h 时， y 最小=_______ x=h 时， y 最大=______ x= 时，y 有最 ___值 x= 时，y 有最 ___值
（h，k）
k
k
小
大
第五节 二次函数的图象和性质
续表
增 减 性 a＞0 在对称轴左侧时，y 随 x 的增大而 ______；在对称轴右侧时，y 随 x 的增大而 ______
a＜0 在对称轴左侧时，y 随 x 的增大而 ______；在对称轴右侧时，y 随 x 的增大而 ______
减小
增大
增大
减小
第五节 二次函数的图象和性质
知识能力进阶
1. 若二次函数的表达式为 y=ax2+bx，则二次函数图象必过原点；若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过原点，则必有 c=0.
2. 二次函数图象顶点的纵坐标为函数的最大值或最小值，但是在实际应用题中，顶点的横坐标必须在二次函数自变量的取值范围内才能取到二次函数顶点的纵坐标作为函数的最大值或最小值，否则要根据实际情况求最值.
第五节 二次函数的图象和性质
教材习题变式夯基础
1.［冀九下 P38 习题变式］ 已知函数 y=-x2-4x+8.
（1）该抛物线的顶点坐标为 _____________；
（2）点（-3，y1），（-1，y2），（3，y3）都在函数 y=-x2-4x+8 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系为 ____________.
2.［人九上 P41 习题变式］ 如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点 A，B，C．下列四个结论中，所有正确结论的序号是 ______.
①抛物线开口向上；②当 x=-2 时，y 取最大值；③x＞0 时，y 随 x 的增大而减小.
（-2，12）
y1=y2＞y3
③
第五节 二次函数的图象和性质
第五节 二次函数的图象和性质
■考点三 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 a，b，c 的关系
a 决定抛物线的开口方向， |a|决定开口大小. a＞0，抛物线开口向上；a＜0，抛物线开口向下； |a|越大，抛物线开口越小； |a|越小，抛物线开口越大.
a，b 决定抛物线对称轴的位置 (对称轴为直线x=- ). b=0，对称轴为 _____；ab＞0，对称轴在 y 轴 _______侧；ab＜0，对称轴在 y 轴 _______ 侧.（左同右异）
y 轴
左
右
第五节 二次函数的图象和性质
续表
c 决定抛物线与 y 轴交点的位置. c=0，抛物线过原点；c＞0，抛物线与 y 轴交于正半轴；c＜0，抛物线与 y 轴交于负半轴.
b2-4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数. b2-4ac=0，与 x 轴有唯一交点（顶点）；b2-4ac＞0，与 x轴有 ______ 交点；b2-4ac＜0，与 x 轴没有交点.
两个
第五节 二次函数的图象和性质
续表
特殊 关系 先把含 a，b，c 的项移到等式（或不等式）的一边；看到 2a+b，比较- 和 1 的大小；看到 2a-b，比较- 和-1 的大小；看到 a+b+c，令 x=1，看 y 的值；看到 a-b+c，令 x=-1，看 y 的值；看到 4a+2b+c，令x=2，看 y 的值；看到 4a-2b+c，令 x=-2，看 y 的值.
第五节 二次函数的图象和性质
知识能力进阶
当遇见含有系数平方形式的式子时，如（a+c）2＜b2，先因式分解，再利用 x 取特殊值时与 y的式子联立进行判断二次函数图象与其系数的关系.
第五节 二次函数的图象和性质
教材习题变式夯基础
1.［人九上 P41 习题变式］ 对称轴为直线 x=1 的抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：
①abc ＜0；②b2＞4ac；③4a +2b +c ＞0；④ 3a+c＞0；⑤a +b≤m（am+b）（m 为任意实数）；⑥当 x＜-1 时，y 随 x 的增大而增大．其中结论正确的个数为 （ ）
A． 3 B． 4
C． 5 D． 6
A
第五节 二次函数的图象和性质
■考点四 二次函数解析式的确定
方 法 待定系数法
具体 求法 （1）顶点在原点，可设为 y=ax2；
（2）对称轴是 y 轴（或顶点在 y 轴上），可设为 y=ax2+c；顶点在 x 轴上，可设为 y=a（x-h）2；
（3）抛物线过原点，可设为 y=ax2+bx；
（4）已知顶点（h，k）时，可设为顶点式 y=a（x-h）2+k；
第五节 二次函数的图象和性质
具体 求法 （5）已知抛物线与 x 轴的两交点坐标为（x1，0），（x2，0）时，或已知对称轴及与 x 轴的一个交点（x1，0），利用对称轴可求出另外一个交点的坐标（x2，0），可设为两点式 y=a（x-x1）（x-x2
）；
（6）已知二次函数图象上任意三点，可设为一般式 y=ax2+bx+c.
续表
第五节 二次函数的图象和性质
■考点五 二次函数图象的变换
解析式 变换方式 变换后的 a 变换后的顶点坐标 变换后的解析式
y=a（x-h）2 +k（a≠0） 沿x轴翻折 a 变为原来的相反数 （h，-k） y=-a（x-h）2-k
沿y轴翻折 a 不变 （-h，k） y=a（x+h）2+k
绕顶点旋转180° a 变为原来的相反数 （h，k） y=-a（x-h）2+k
1. 二次函数图象的对称变换（变换特点：开口大小不变）（2024 年考查）
第五节 二次函数的图象和性质
续表
y=a（x-h）2 +k（a≠0） 绕原点 旋转180° a 变为原来的相反数 （-h，-k） y=-a（x+h）2
-k
第五节 二次函数的图象和性质
2. 二次函数图象的平移变换（2022 年考查）
一般式 y=ax2+bx+c 顶点式 y=a（x-h）2+k
向左平移 m（m＞0）个单位长度 y=a(x+____)2+b(x+____)+c. y=a(x_____-h)2+k.
向右平移 m（m＞0）个单位长度 y=a（x____）2+b（x____）+c. y=a(x_____-h)2+k.
m
m
+m
-m
-m
-m
第五节 二次函数的图象和性质
续表
向上平移 n（n＞0）个单位长度 y=ax2+bx+c+n. y=a（x-h）2+k+n.
向下平移 n（n＞0）个单位长度 即 y=ax2+bx+c-n. y=a（x-h）2+k-n.
规律总结：左右平移：x 左加右减；上下平移：等式右边整体上加下减 第五节 二次函数的图象和性质
教材习题变式夯基础
1.［冀九下 P35 习题变式］ 将抛物线 y=（x-3）2+2 向 _____ 平移 _____ 个单位长度，再向_____ 平移 ___个单位长度，得到抛物线 y=x2.
2.［人九上 P41 习题变式］ 在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于 x 轴对称，且它们的顶点相距 6 个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为 y=-x2+4x+2m，则 m 的值是 ________.
左
3
下
2
- 或-
第五节 二次函数的图象和性质
■考点六 二次函数 y=ax2+bx+c 与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的关系
b2-4ac＞0 抛物线①与 x 轴有两个交点方程有 _____________的实数根.
b2-4ac=0 抛物线②与 x 轴有一个交点（x0，0）（即顶点）方程有 ______ 实数根. b2-4ac＜0 抛物线③与 x 轴没有交点 方程 ______实数根. 两个不相等
两个相等
没有
第五节 二次函数的图象和性质
知识能力进阶
求方程 ax2+bx+c=m 的解的问题可以转化为用数形结合的方法求抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=m 的交点问题.
第五节 二次函数的图象和性质
例 1 ［25·邯郸模拟］ 如图，已知点 O（0，0），A（-9，0），B（4，2），抛物线 l：y=-（x-h）2+2（h 为常数）与 y 轴的交点为 C．
（1）若 l 经过点 B，求它的解析式，并写出此时 l 的对称轴及顶点坐标；
（2）设点 C 的纵坐标为 yc，求 yc 的最大值，此时 l 上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中 x1＞x2≥0，比较 y1 与 y2 的大小；
（3）当线段 OA 被 l 只分为两部分，且这两部分的比是 2∶7 时，求 h 的值．
■题型一 二次函数的图象和性质（必考考点）
第五节 二次函数的图象和性质
第五节 二次函数的图象和性质
解 ：（1）由 条 件 可 得-（4-h）2+2=2，解得 h=4，所以抛物
线 l 的解析式为 y=-（x-4）2+2，所以这个抛物线的对称轴为直线 x=4，
顶点坐标为（4，2）；
（2）∵ 抛物线 l 与 y 轴的交点为 C，且点 C 的纵坐标为 yc，∴yc=-（0-h）2+2 =-h2 +2，∵h2 ≥0，∴ -h2 +2 ≤2， 即yc≤2，∴yc 的最大值为 2，此时 h=0，∴ 此时抛物线 l 的解析式为 y=-x2+2，由二次函数的性质可知，当 x≥0时，y 随 x 的增大而减小 ，∵ 此时 l上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中 x1＞x2≥0，∴y1＜y2；
第五节 二次函数的图象和性质
（3）∵A（-9，0），∴OA=9，∵ 线段 OA被 l 只分为两部分，且这两部分的比是 2∶7，∴ 抛物线 l 与线段 OA 的交点坐标为（-2，0）或（-7，0），①当抛物线 l 与线段 OA 的交点坐标为（-2，0）时 ，则-（-2 -h）2+2 =0，解得h=-2+ 或 h=-2- ，
当 h=-2+ 时，抛物线 l 的对称轴为直线 x=-2+ ，此时抛物线 l与 x 轴的另一个交点为（-2+2 ，0），符合题意；当 h=-2- 时，抛物线 l 的对称轴为直线 x=-2- ，此时抛物线 l 与 x 轴的另一个交点为（-2-2 ，0），位于线段 OA 上，即此时线段 OA 被 l 分成三部分，不符合题意，舍去；
第五节 二次函数的图象和性质
②当抛物线 l 与线段 OA 的交点坐标为（-7，0）时，则-（-7-h）2+2=0，解得 h =-7 + 或 h =-7 - ，当h=-7+ 时，抛物线 l 的对称轴为直线 x=-7+ ，此时抛物线 l 与 x轴的另一个交点为（-7+2 ，0），位于线段 OA 上，即此时线段 OA 被l 分成三部分，不符合题意，舍去；当h=-7- 时，抛物线 l 的对称轴为直线 x=-7- ，此时抛物线 l 与 x轴的另一个交点为（-7-2 ，0），符合题意.综上，h 的值为-2+或-7- ．
第五节 二次函数的图象和性质
题型解法
已知抛物线上两点的横坐标，比较两个函数值大小的方法 （1）直接代入求自变量的函数值；
（2）转化为同侧点，用增减性比较大小.
（3）先定开口方向，再算“距离”，开口向上，距离对称轴越远的值越大，开口向下，距离对称轴越远的值越小.
第五节 二次函数的图象和性质
对点集训
练 ［25·唐山模拟］ 已知 a＞0，设函数 y1=a（x-1）2，y2=a（x-2）2，y3=a（x-3）2．直线 x=m 与函数 y1，y2，y3 的图象分别交于点 A（m，c1），B（m，c2），C（m，c3），下列说法正确的是 （ ）
A． 若 m＜1，则 c2＜c3＜c1
B． 若 1＜m＜2，则 c1＜c2＜c3
C． 若 2＜m＜3，则 c3＜c2＜c1
D． 若 m＞3，则 c3＜c2＜c1
D
第五节 二次函数的图象和性质
例 2 ［25·安徽］ 已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则 （ ）
A． abc＜0
B． 2a+b＜0
C． 2b-c＜0
D． a-b+c＜0
■题型二 二次函数图象与系数的关系（常考考点）
C
第五节 二次函数的图象和性质
题型解法
第五节 二次函数的图象和性质
对点集训
练 ［25·石家庄十八县区一模］如图，二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且对称轴为直线 x=1，点 B 坐标为（-1，0），则下面的五个结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③当 y＜0 时，x＜-1或 x＞3；④2c+3b=0；⑤a+b≥m（am+b）（m 为实数），其中正确的结论是 （ ）
A． ②③④⑤ B． ①③④⑤
C． ①②④⑤ D． ①②③⑤
D
第五节 二次函数的图象和性质
例 3 ［25·沧州模拟］ 已知点 P 为抛物线 C：y= x2- x-2 上一点，在透明胶片上描画出包含点 P 的抛物线 C 的一段，向上平移该胶片得到点 P′和抛物线 C′，如图所示，已知抛物线 C′的顶点 D 的纵坐标为 ，且 DP=DP′，则平移得到的点 P′的纵坐标为 （ ）
A． - B．
C． D．
■题型三 二次函数解析式的确定及图象变换（高频考点）
D
第五节 二次函数的图象和性质
题型解法
求平移后 抛物线的 解析式 （1）求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；
（2）只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，这是平移常用到的方法；
（3）根据口诀“左加右减，上加下减”直接写出平移后抛物线的解析式.
第五节 二次函数的图象和性质
对点集训
练1 如图，函数 y1=-a（x+1）2+3（x＜0）的图象过原点，将其沿 y 轴翻折，得到函数 y2 的图象，把函数 y1 与 y2 的图象合并后称为函数 L 的图象．
（1）a 的值为_____ ； 函数 y2 的解析式为__________________________（注明 x 的取值范围）；
（2）对于函数 L，当函数值 y 随 x 的增大而减小时，
x 的取值范围是 __________________.
3
y2=-3（x -1）2 +3（x ＞0）
-1＜x＜0 或 x＞1
第五节 二次函数的图象和性质
练 2 ［25·福建］ 在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx-2 的图象过点 A（1，t），B（2，t）．
（1）求 的值；
（2）已知二次函数 y=ax2+bx-2 的最大值为1- a2．
①求该二次函数的表达式；
②若 M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且 m≠0，求证： = ．
第五节 二次函数的图象和性质
解：（1）二次函数 y=ax2+bx-2 的图象的对称轴为直线 x=- ，∵ 点A（1，t），B（2，t）在该函数的图象上，
∴2- (- )=- -1，∴- = ，∴ =-3；
（2）①由（1）可得 b=-3a，∴ 该函数的表达式为 y=ax2-3ax-2，∴ 函数图象的顶点坐标为( ，- a-2 )，
∵ 函数的最大值为 1- a2，∴a＜0，且- a-2=1- a2，
解得 a=-1 或 a=4（舍去），∴b=3，
∴ 该二次函数的表达式为 y=-x2+3x-2；
第五节 二次函数的图象和性质
②证明：∵ 点 M（x1，m）在函数 y=-x2+3x-2 的图象上，
∴m=-x21+3x1-2，由①知，点 M（x1，m），N（x2，m）关于直线 x= 对称，不妨设 x1＜x2，则 x2- = -x1，即 x1+x2=3，
第五节 二次函数的图象和性质
∴ - =
=
=
=
= =0，
∴ - ．(共26张PPT)
第六节 二次函数的应用
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第六节 二次函数的应用
■考点一 二次函数的实际应用（常考）
常见考查 类型 实物抛物线型 如桥梁、隧道、拱门、运动路径等.
销售类问题 一般借助利润公式等建立二次函数，常涉及最值解决问题.
几何面积类型 通常根据几何图形的面积关系确定函数解析式，解决问题.
第六节 二次函数的应用
续表
解决步骤 （1）分析题中数量关系，确定自变量与函数；（2）建立模型，列二次函数关系式并求解；（3）研究自变量的取值范围和所得函数；（4）应用二次函数的图象与性质解题；（5）检验结果是否合理，是否符合实际问题.
第六节 二次函数的应用
知识能力进阶
抛物线型问题的几个关键点：最高点为抛物线的顶点，抛出点为抛物线中的 c值，落地点为抛物线与 x 轴的交点，落地点到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值.
第六节 二次函数的应用
教材习题变式夯基础
1.［人九上 P57 习题变式］ 如图，某农场计划修建三间矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用长≤20 m），中间用两道墙隔开，已知计划中的修筑材料可建围墙总长为 60 m，设饲养室宽为 x m，占地总面积为y m2，则三间饲养室总面积 y m2 有 （ ）
A． 最小值为 200
B． 最小值为 225
C． 最大值为 200
D． 最大值为 225
C
第六节 二次函数的应用
■考点二 二次函数的综合应用（常考）
与一次函 数结合 一次函数 y=kx+n（k≠0）的图象 l 与二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象 G 的交点个数，由方程组 的解
的数目确定，方程组有两组不同的解，l 与 G 有两个交点；方程组只有一组解，l 与 G 只有一个交点；方程组无解，l 与 G 没有交点.
与反比例 函数结合 主要涉及二次函数与反比例函数的交点问题.
1. 二次函数与其他函数结合 （2024 年、2025 年考查）
第六节 二次函数的应用
找特殊点 从题干出发，寻找抛物线上的特殊点，如与 x 轴、y 轴、几何图形各边的交点及抛物线的对称轴和顶点坐标，二次函数中有几个待定系数，则至少找几个点；
求抛物线 解析式 根据二次函数与方程（不等式）的关系、几何图形的性质，求出上述的特殊点，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
求解具体 问题 根据抛物线的解析式与相关几何图形的性质，如三角形面积、三角形全等、三角形相似、四边形判定等知识有针对性地求解具体问题.
2. 二次函数与几何图形综合问题解决办法 （2021 年考查）
第六节 二次函数的应用
教材习题变式夯基础
1.［冀九下 P58 习题变式］如图，直线 y=- x+3 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、点 B，抛物线 y=x2+2x-2与 y 轴交于点 C，点 E 在抛物线 y=x2+2x-2 的对称轴上移动，点 F 在直线 AB上移动，CE+EF 的最小值是 （ ）
A． 4 B． 4.6
C． 5.2 D． 5.6
C
第六节 二次函数的应用
例 1 ［23·河北 23 题］ 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏． 某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表 1 m 长．嘉嘉在点 A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线 C1：y＝a（x-3）2+2 的一部分，淇淇恰在点 B（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线 C2：y=- x2+ x+c+1 的一部分．
■题型一 二次函数的实际应用（高频考点）
第六节 二次函数的应用
（1）写出 C1 的最高点坐标，并求 a，c 的值；
（2）若嘉嘉在 x 轴上方 1 m 的高度上，且到点 A 水平距离不超过 1 m 的范围内可以接到沙包，求符合条件的 n 的整数值．
第六节 二次函数的应用
解：（1）∵ 抛物线 C1：y=a（x-3）2+2，
∴C1 的最高点坐标为（3，2），
∵ 点 A（6，1）在抛物线 C1：y=a（x-3）2+2 上，∴1=a（6-3）2+2，解得 a=- ，
∴ 抛物线 C1 的解析式为 y=- （x-3）2+2，令 x=0，则 c=- ×（０－３）2+2=1；
第六节 二次函数的应用
（2）∵ 嘉嘉在 x 轴上方 1 m 的高度上，且到点 A 水平距离不超过 1 m的范围内可以接到沙包，∴ 点 A 的坐标范围在点（5，1）与点（7，1）之间，
当抛物线 C2 经过点（5，1）时，1=- ×52+ ×5+1+1，解得 n= ，当抛物线C2 经过点（7，1）时，1=- ×72+ ×7+1+1，解得 n= ，
∴ ≤n≤ ，∴ 符合条件的 n 的整数值为 4 和 5.
第六节 二次函数的应用
题型解法
解决抛物线型问题的方法：求高度时一般先求二次函数图象顶点的纵坐标，或求出自变量的取值范围，再利用函数的增减性求二次函数的最值；求水平距离时一般令函数值 y=0，解出一元二次方程的两个根，求两根之差的绝对值.
第六节 二次函数的应用
对点集训
练 ［25·保定模拟］ 如图 1，消防人员在进行救援火灾演练，发现在距离失火大楼 2 m 的A 位置向上面喷水，水流刚好在窗上沿 B 处达到最高点后进入失火房间．已知消防人员所在的消防车上 A 点距离地面 2 m，窗上沿B 距离地面 14 m．
第六节 二次函数的应用
第六节 二次函数的应用
（1）如图 2，以消防员脚下地面 O 为原点，建立平面直角坐标系，使水流线正好在一个平面上，求水流抛物线的解析式；
（2）实际操作中发现，失火中心点在房间内与窗上沿 B 水平距离 0.6 m 处，且比窗上沿 B 低 2 m 的位置，问消防员怎样移动消防设施，可以使水流刚好落在失火中心？（不计其他因素，请设计两种移动方案．参考数据： ≈2.45，结果精确到 0.1 m）
第六节 二次函数的应用
解：（1）由题意知 A（0，2），B（2，14），
设水流抛物线的解析式为 y=a（x-2）2+14，代入 A（0，2），得 2 =a（0 -2）2+14，解得 a=-3，∴ 水流抛物线的解析式是 y=-3（x-2）2+14；
（2）由题意知 ，失火中心点坐标是（2.6，12），
方案一：水流抛物线的解析式是 y=-3（x-2）2+14，
当 x=2.6 时，y=-3×（2.6-2）2+14=12.92，即抛物线向下平移 12.92 -12=0.92≈0.9（m），抛物线正好经过失火中心；
第六节 二次函数的应用
方案二 ：水流抛物线的解析式是y=-3（x-2）2+14，当 y=12 时，12=-3·（x-2）2+14，解得 x1=2+ ，x2=2- （舍去），2+ ≈2.817，
即 抛 物 线 向 左 平 移 2.817 -2.6 =0.217≈0.2（m），抛物线正好经过失火中心，所以消防员把喷水头向下平移 0.9 m，或向左平移 0.2 m，可以使水流刚好落在失火中心．
第六节 二次函数的应用
例 2 ［25·石家庄十八县区一模］ 如图，已知抛物线 y=-x2+px+q 的对称轴为直线 x=-3，过其顶点 M 的一条直线 y=kx+b 与该抛物线的另一个交点为 N（-1，1）．要在坐标轴上找一点 P，使得△PMN 的周长最小，则点 P 的坐标为 （ ）
A．（0，2）
■题型二 二次函数的综合应用（高频考点）
A
第六节 二次函数的应用
题型解法
二次函数的综合应用往往包括反比例函数、一次函数，问题涉及待定系数法求函数解析式、函数交点问题、图象与坐标轴的交点坐标、三角形（或四边形）的面积与某个变量的函数关系的相关计算、最短距离等，解决这类问题的关键是正确区分相应函数的解析式及相关性质并能灵活运用.
第六节 二次函数的应用
对点集训
练 ［24·河北 26 题］如图，抛物线 C1：y=ax2-2x 过点（4，0），顶点为 Q．抛物线 C2：y=- （x-t）2+ t2-2（其中 t 为常数，且 t＞2），顶点为 P．
（1）直接写出 a 的值和点 Q 的坐标；
（2）嘉嘉说：无论 t 为何值，将 C1 的顶点 Q向左平移 2 个单位长度后一定落在 C2 上．淇淇说：无论 t 为何值，C2 总经过一个定点．请选择其中一人的说法进行说理；
第六节 二次函数的应用
（3）当 t=4 时，
①求直线 PQ 的解析式；
②作直线 l∥PQ，当 l 与 C2 的交点到 x 轴的距离恰为 6 时，求 l 与 x 轴交点的横坐标；
（4）设 C1 与 C2 的交点 A，B 的横坐标分别为xA，xB，且 xA＜xB，点 M 在 C1 上，横坐标为 m（2≤m≤xB）．点 N 在 C2 上，横坐标为 n（xA≤n≤t），若点 M 是到直线 PQ 的距离最大的点，最大距离为 d，点 N 到直线 PQ 的距离恰好也为 d，直接用含 t 和 m 的式子表示 n.
第六节 二次函数的应用
第六节 二次函数的应用
解：（1）a=, Q（2，-2）；
（2）选择嘉嘉：把 Q（2，-2）向左平移 2 个单位长度得到对应点的坐
标为（0，-2），当 x=0 时，C2：y=- （x-t）2+ t2-2=- t2+ t2-2=-2，∴（0， -2）在 C2 上 ，∴ 嘉 嘉 说 法 正确；选择淇淇：C2：y =- （x -t）2+ t2-2=- x2+xt -2，当 x =0 时，y=-2，∴C2：y=- （x-t）2+ t2-2 过定点（0，-2），∴ 淇淇说法正确；
第六节 二次函数的应用
（3）①当 t=4 时，C2：y=- （x-t）2+ t2-2=- （x-4）2+6，
∴ 顶点 P（4，6），而 Q（2，-2），设 PQ 为 y=ex+f，
∴ 解得 ∴ 直线 PQ 的解析式为 y=4x-10；
②∵P（4，6），∴P 到 x 轴的距离为 6，
∴ 结合题意可知 l 与 C2 交点的纵坐标为-6（等于 6 两直线重合不符合题意），当 C2 ：y=- （x-4）2+6=-6 时，（x-4）2=24，∴x=4±2 ，
4e+f=6，
2e+f=-2，
e=4，
f=-10，
第六节 二次函数的应用
∵ 直线 PQ 的解析式为 y=4x-10，当y=-6 时，-6=4x-10，解得 x=1，y=4x-10=0 时，x= ，设 l 与 x 轴交点横坐标为 x，则 1-（4-2 ）= -x，解得 x= -2 ，
此时直线 l 与 x 轴交点的横坐标为 -2 或（4+2 ）-1=x- ，
解得 x= +2 ，此时直线 l 与 x轴交点的横坐标为 +2 ．综上，直线 l 与 x 轴交点的横坐标为 -2或 +2 ；
（4）n=2+t-m.(共17张PPT)
第三节 一次函数的实际应用
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第三节 一次函数的实际应用
■考点 一次函数的实际应用
解一次函数实际应用题 的一般步骤 ①设实际问题中的自变量与因变量；②通过待定系数法求一次函数解析式；③确定_________ 的取值范围；④应用一次函数的性质解决问题；⑤检验所求解是否符合题意；⑥作答.
自变量
第三节 一次函数的实际应用
教材习题变式夯基础
1.［冀八下 P101 习题变式］ 今年假期，小星一家驾车前往西柏坡旅游，在行驶过程中，汽车离西柏坡景点的路程 y（km）与所用时间 x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是 ________.
①小星家离西柏坡景点的路程为 50 km；②小星从家出发第 1 小时的平均速度为 25 km/h；③小星从家到西柏坡景点共用了 3 h.
③
第三节 一次函数的实际应用
例 ［25·天津］ 已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家 0.6 km，公园离家1.8 km.小华从家出发，先匀速步行了 6 min到书店，在书店停留了 12 min，之后匀速步行了 12 min 到公园，在公园停留 25 min 后，再用15 min 匀速跑步返回家． 下面图中 x 表示时间，y 表示离家的距离． 图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
■题型 一次函数的实际应用（高频考点）
第三节 一次函数的实际应用
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
②填空：小华从公园返回家的速度为 ____________ km/min；
0.1
0.6
1.8
0.12
第三节 一次函数的实际应用
③当 0≤x≤30 时，请直接写出小华离家的距离 y 关于时间 x 的函数解析式；
（2） 若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以 0.05 km/min 的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个 x的值，小华离家的距离为 y1，小华的妈妈离家的距离为 y2，当 y1＜y2 时，求 x 的取值范围（直接写出结果即可）．
0.1x（0≤x≤6），
0.6（6＜x≤18），
0.1x-1.2（18＜x≤30）;
y=
12＜x＜14.
第三节 一次函数的实际应用
题型解法
（1）文字型：根据实际问题中的文字信息建立一次函数模型，利用一次函数的图象与性质解决实际问题；（2）表格型：分析表格中的数据，从表格中找出两组数据利用待定系数法求出函数解析式；（３）图象型：从函数图象上找出两点，再利用待定系数法求出解析式.
第三节 一次函数的实际应用
对点集训
练 1 ［25·保定模拟］ 某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，某数学小组对该路段的交通量（辆/min）和时间进行了统计和分析，相应数据如下表所示，并发现交通量和时间的变化规律符合一次函数的特征，其中 y2=-x+33．
第三节 一次函数的实际应用
第三节 一次函数的实际应用
（1）求 y1 与 x 的函数解析式；
（2）在 13 时，通过计算判断 y1 与 y2 的大小关系；
（3）如图，该小组希望设置“可变车道”来改善拥堵状况，根据交通量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为 v=y1+y2，交通量较大的为 y，经查阅资料得：当y≥ v 时，是严重拥堵，需使可变车道行车方向与交通量较大的方向相同，以改善交通情况．该路段从 8 时至 20 时，通过计算判断在严重拥堵时如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵．
第三节 一次函数的实际应用
解：（1）设 y1 与 x 的函数解析式为 y1=kx+b.由题意可得
16=11k+b，
10=8k+b ， 解得
k=2，
b=-6 ，
∴y1 与 x 的函数解析式为 y1=2x-6；
（2）当 x = 13 时 ， y1= 2 × 13 - 6 = 20 ，y2=-13 +33 =20，∴y1 与 y2 的大小关系为 y1=y2；
第三节 一次函数的实际应用
（3）当 2x-6＞-x+33 时，x＞13，再结合（2）中的结果，可得当 8≤x＜13 时，y=-x+33；当 13＜x≤20 时，y=2x-6．v=y1+y2=x+27，当 2x-6≥ 2（x+27）时，x≥18；当-x+33≥ （x+27）时，x≤9，∴8 时到 9 时，可变车道的方向设置为自东向西；18 时到 20 时，可变车道的方向设置为自西向东.
第三节 一次函数的实际应用
练 2 如图，某铁道桥桥长 AC=1 000 m，现有一列火车 QB 以固定的速度过桥．小明在距桥头 A 处 100 m 的点 O 固定激光测速仪，激光射线 OP 与桥 AC 交于点 P（400，100），小聪在点 M（500，0）处设置可转动的另一台测速仪，射出的激光线 MQ（激光 MQ）追踪火车头点 Q，当火车头 Q 刚好在桥头时，车尾 B 的坐标为（-300，100），并测得整列火车完全在桥上行驶的时间为 14 s．
（1）火车行驶的速度为 _____ m/s，火车从开始上桥到完全过桥共用 _____ s；
50
26
第三节 一次函数的实际应用
（2）当车尾刚好经过点 P 时，求射线 MQ 所在直线的函数表达式，并求射线 MQ、射线OP 的交点坐标；
第三节 一次函数的实际应用
解：（2）∵ 火车的长度为 300 m，P（400，100），∴ 当车尾刚好经过点 P 时，火车头 Q（700，100）．
设射线 MQ 所在直线的函数表达式为 y=k1x+b1 （k1，b1 为常数，且 k1≠0）．将 M（500，0）和 Q（700，100）分别代入 y=k1x+b1，得
500k1+ b1= 0 ，
700k1+ b1= 100， 解得
k1=0.5，
b1=-250 ，
∴ 射线 MQ 所在直线的函数表达式为 y=0.5x-250①；
第三节 一次函数的实际应用
设射线 OP 所在直线的函数表达式为 y=k2x（k2≠0）．
将 P（400，100）代入 y=k2x，
得 400k2=100，解得 k2=0.25，
∴ 射线OP 所在直线的函数表达式为 y =0.25x②；
当 射 线 MQ、 射 线 OP 相 交 时 ， 联立①②，得
0.5x-250=y，
0.25x=y，解得
x=1 000，
y=250，
∴ 射线 MQ、射线 OP 的交点坐标为（1 000，250）；
第三节 一次函数的实际应用
（3）若从火车头 Q 刚好在桥头时开始计时，请直接写出激光射线 MQ 与射线 OP 有交点的时长．
（3）18 s.(共36张PPT)
第四节 反比例函数
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第四节 反比例函数
■考点一 反比例函数的图象和性质
定 义 一般地，如果两个变量 x，y 之间的关系可以表示成 y= 或 y=kx-1或 xy=k（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x的反比例函数，k 称为 __________，自变量 x 的取值范围为 x≠0.
表达式 （1）y= （k 为常数，k≠0）；（2）y=kx-1（ k 为常数，k≠0）；（3）xy=k（k 为常数，k≠0）.
比例系数
第四节 反比例函数
续表
k 的符号 k______0 k________0
大致位置
经过象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 在每一象限内 y随 x 的增大而______. 在每一象限内 y随 x 的增大而______.
减小
增大
＞
＜
第四节 反比例函数
续表
图象上点的 坐标特征 横纵坐标之积恒等于 k
对称性 （1）轴对称：反比例函数有两条对称轴，分别关于直线 y=-x 与直线 y=x 对称；
（2）中心对称：反比例函数的图象关于 ______ 成中心对称.
图象特征 是双曲线，每个分支都无限接近但永远不能到达 x 轴、y 轴； |k|越大，双曲线离原点越远.
原点
第四节 反比例函数
知识能力进阶
1. 反比例函数的图象不是连续的曲线，而是两支分布在不同象限的曲线，所以比较函数值的大小时，要注意所判断的点是否在同一象限.
2. 判断某点是否在反比例函数图象上，只需判断该点的横、纵坐标之积是否等于 k，若等于 k，则点在图象上；若不等于 k，则不在图象上.
易错易混警示 反比例函数的图象不是连续的曲线，而是两支分布在不同象限的曲线，所以比较函数值的大小时，要注意所判断的点是否在同一象限.
第四节 反比例函数
教材习题变式夯基础
1.［人九下 P9 习题变式］ 如图，函数 y= 的图象所在坐标系的原点是 （ ）
A． 点 M B． 点 N
C． 点 P D． 点 Q
A
第四节 反比例函数
2.［冀九上 P143 习题变式］ 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为（-4，y1），（-2，3），（1，y2），（2，y3），则 y1，y2，y3 的大小关系为 ______________.
3.［北师九上 Ｐ162 习题变式］ 反比例函数 y= 的图象与点 A（-1，2）的位置如图所示，写出一个与图相符的反比例函数解析式为 ________．
y2＜y3＜y1
y=-
（答案不唯一）
第四节 反比例函数
■考点二 反比例函数中 k 的几何意义
k 的几何 意义 如图，过双曲线上任意一点 P（x，y），作 PM⊥x 轴，PN⊥y 轴，连接 PO，则：
S 矩形 PMON=
PN·PM= |x| ·|y|=_______，
S△PMO=S△PNO=________.
｜k｜
第四节 反比例函数
续表
常见图形 的面积 S△AOP=____. S矩形OAPB =____ S△PAP′=2｜k｜. S△ABC=_______.
｜k｜
｜k｜
第四节 反比例函数
知识能力进阶
已知面积求 k 时，可考虑利用 k 的几何意义，由面积得出 k ，再结合图象所在象限判断 k的正负，从而得出答案.
第四节 反比例函数
教材习题变式夯基础
1.［冀九上 P137 习题变式］ 如下左图，A，B 两点在双曲线 y= 上，分别经过 A，B 两点向坐标轴作垂线段，已知 S 阴影=1，则 S1+S2=______.
8
第四节 反比例函数
2.［冀九上 P144 习题变式］ 如上右图，矩形 OABC 与反比例函数 y1= （k1 是非零常数，x＞0）的图象交于点 M，N，与反比例函数 y2= （k2 是非零常数，x＞0）的图象交于点 B，连接 OM，ON．若四边形 OMBN的面积为 3，则 k1-k2=______．
-3
第四节 反比例函数
■考点三 确定反比例函数表达式
利用待定 系数法 ①设反比例函数表达式为 y= ；②找出满足反比例函数的一个点 P（a，b）；③把点P（a，b）代入表达式得 k=ab；④确定反比例函数表达式 y= .
利用 k 的几何意义 若已知过双曲线上某点向坐标轴作垂线所围成的矩形面积，求该点所在反比例函数解析式，在确定 k 值时，要根据双曲线所在的象限确定 k 的符号.
第四节 反比例函数
教材习题变式夯基础
1.［人九下 P8 练习变式］ 如图是一个棱长为 2 的正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字“真”相对的面上的汉字是_____.把正方体展开图放在平面直角坐标系 xOy 中，其中“考”字左上角的顶点A 坐标为（6，8）．若双曲线在第一象限的部分过该图形的对称中心，则双曲线的函数解析式为 __________．
查
y=
第四节 反比例函数
■考点四 反比例函数与一次函数图象的交点问题
反比例 函数y= 与一次函数y=k2x+b 图象的交点 求法 把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则有交点；若方程组无解，则无交点.
交点 个数 的判断 （1）k 值同号，两个函数必有两个交点；（2）k 值异号，两个函数可能有 0，1或 2 个交点.
第四节 反比例函数
续表
k 值同号 k 值异号
反比例函数与一次函数图象所围成 三角形的情况
S△ABC=2S△ACO=｜k｜ S△AOB=S△OCB+S△OCA S△AOB=S△BOC-S△OCA
第四节 反比例函数
知识能力进阶
通常情况下求解反比例函数与一次函数图象所围成三角形的面积时，可通过等底等高的三角形其面积相等将所求三角形转化为与坐标轴有关的三角形.
第四节 反比例函数
教材习题变式夯基础
1.［冀九上 P144 习题变式］ 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于点 A（-1，6），B（3，a），与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D．
（1）不等式 kx+b- ＜0 的解集为 ________________；
（2）点 M 在 y 轴上，若 S△ABM=S△BOD，
则点 M 的坐标为 ___________________．
-1＜x＜0 或 x＞3
（0，1）或（0，7）
第四节 反比例函数
■考点五 反比例函数的实际应用
解题 方法 （1）分析实际问题中变量关系，根据实际情况建立反比例函数模型；（2）通过题意或图象，利用待定系数法或跨学科的公式等确定函数解析式；（3）根据反比例函数的性质解决实际问题.
第四节 反比例函数
常见应用 （1）行程问题：速度= ；
（2）工程问题：工作效率=
（3）压强问题：压强=
（4）电学问题：电阻=
（5）矩形面积=长×宽；
（6）容积=排水速度×排水时间.
续表
第四节 反比例函数
知识能力进阶
在反比例函数实际应用题中，要注意自变量的取值范围，有时候只是反比例函数图象的一支或一段.
第四节 反比例函数
■考点六 反比例函数的综合应用
反比例函数 与一次函数 的综合应用 （1）根据点的坐标确定函数解析式；（2）根据图象比较两函数值的大小；（3）求三角形或四边形的面积；或由几何图形面积确定点的坐标或求函数解析式；（4）根据函数解析式及其图象解决其他问题；（5）根据两图象的交点问题求未知字母的取值范围.
反比例函数与二次函 数的综合应用 反比例函数与二次函数的结合，常常考查两图象各点的交点问题或某区域内的整点问题.
第四节 反比例函数
例 1 ［25·河北 10 题］ 在反比例函数 y= 中，若2＜y＜4，则 （ ）
A． ＜x＜1 B． 1＜x＜2
C． 2＜x＜4 D． 4＜x＜8
■题型一 反比例函数的图象与性质（高频考点）
B
第四节 反比例函数
题型解法
比较反比例函数图象上两点纵坐标大小的方法: （１）代值计算法：将点的横坐标分别代入解析式，计算出纵坐标再比较大小；（2）数形结合法：先根据 k 的正负画出反比例函数图象的草图， 再根据点的位置判断.（3）利用函数的增减性判断：在同一分支上的点，可以通过比较其横坐标的大小来判断函数值的大小；在不同分支上的点，可依据函数值的正负性来比较大小.
第四节 反比例函数
对点集训
练 1 ［25·张家口模拟］如图，在平面直角坐标系中有 P，Q，M，N 四个点，其中恰有三点在反比例函数 y= （k≠0）的图象上，根据图中四点的位置，其中不在反比例函数 y= （k≠0）图象上的点是 （ ）
A． 点 P
B． 点 Q
C． 点 M
D． 点 N
D
第四节 反比例函数
练 2 如图，P 是反比例函数 y1= （x＞0）的图象上一点，过点 P 分别作 x 轴，y轴的平行线，交反比例函数 y2= （x＞0）的图象于点 M，N，则△PMN 的面积为 （ ）
A． 1
B． 1.2
C． 2
D． 2.4
A
第四节 反比例函数
例 2 ［23·河北 17 题］ 如图，已知点A（3，3），B（3，1），反比例函数 y= （k≠0）图象的一支与线段 AB有交点，写出一个符合条件的 k 的整数值：_________________________________．
■题型二 反比例函数的综合应用（常考考点）
k=4（答案不唯一，满足 3≤k≤9均可）
第四节 反比例函数
题型解法
反比例函数图象与一次、二次函数图象的相交问题，主要利用解析式建立方程（组）求解；比较大小的问题，则利用数形结合观察的方法解决；反比例函数与几何图形、动态变换的综合问题，往往需要将图形性质与反比例函数相互联系进行解答.
第四节 反比例函数
对点集训
练 1 ［25·张家口模拟］如图，平面直角坐标系内有两点 A（4，0），B（0，4），若反比例函数 y= （k≠0）的图象交线段 AB 于点 C，D，且 BC=CD，则 k=______．
第四节 反比例函数
练 2 ［25·苏州］ 如图，一次函数 y=2x+4 的图象与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，与反比例函数 y= （k≠0，x＞0）的图象交于点 C，过点 B作 x 轴的平行线与反比例函数 y= （k≠0，x＞0）的图象交于点 D．连接 CD．
（1）求 A，B 两点的坐标；
（2）若△BCD 是以 BD 为底边的等腰三角形，求k的值．
第四节 反比例函数
解：（1）在 y=2x+4 中，令 y=0 得2x+4=0，解得 x=-2，∴ 点 A 的坐标为（-2，0）.在 y=2x+4 中，令 x=0 得y=4，∴ 点 B 的坐标为（0，4）；
（2）如图，过点 C 作 CE⊥BD，垂足为 E，
∵△BCD 是以 BD 为底边的等腰三角形，
∴CB=CD，∵CE⊥BD，
∴BE=DE.在 y= 中，令 y=4 得 x= ，
∴D( ，4 )，∴BE=DE= ，在 y= 中，令 x= 得 y=8，∴C( ，8 )，
第四节 反比例函数
∵ 点 C 在一次函数 y=2x+4 的图象上，
∴8=2× +4，解得 k=16，
∴k 的值为 16．
第四节 反比例函数
例 3 ［24·河北 7 题］节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买 500 度电，若平均每天用电 x 度，则能使用 y 天.下列说法错误的是（ ）
A. 若 x=5，则 y=100
B. 若 x 减小，则 y 也减小
C. 若 y=125，则 x=4
D. 若 x 减小一半，则 y 增大一倍
■题型三 反比例函数的实际应用（常考考点）
B
第四节 反比例函数
题型解法
（1）利用反比例函数解决实际问题时注意自变量和函数值的取值上的实际意义；（2）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明；（3）解决跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想.
第四节 反比例函数
对点集训
练 1 ［25·长春］ 在功 W（J）一定的条件下，功率 P（W）与做功时间 t （s）成反比例，P（W）与 t （s）之间的函数关系如图所示．当 25≤t≤40 时，P 的值可以为 （ ）
A. 24 B. 27 C. 45 D. 50
C
第四节 反比例函数
练 2 ［25·邯郸模拟］ 劳动教育课上，徐老师带领九（1）班同学对三类小麦种子的发芽情况进行了统计（种子的培养环境相同）．如图，用 A，B，C 三点分别表示三类种子的发芽率 y 与该类种子用于实验的数量 x 的情况，其中点 B 在反比例函数图象上， 则三类种子中， 发芽数量最多的是 _______ 类种子． （选填“A”“B”或“C”）
C(共31张PPT)
第一节 函数及其图象
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第一节 函数及其图象
■考点一 平面直角坐标系与点的坐标特征
各象限内点的坐标特征 点 P（x，y）在第一象限x＞0 且 y＞0； 点 P（x，y）在第二象限x___0 且 y___0； 点 P（x，y）在第三象限x___0 且 y___0； 点 P（x，y）在第四象限x＞0 且 y＜0.
坐标轴上点的坐标特征 点 A（x，y）在 x 轴上_____；点 B（x，y）在 y 轴上_____；点 P（x，y）在原点x=0 且 y=0.（坐标轴上的点不属于任何象限） ＜
＞
＜
＜
y=0
x=0
第一节 函数及其图象
续表
各象限角平分线上点的坐标特征 第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数.
平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 平行于 x 轴的直线上点的纵坐标相等，平行于 y 轴的直线上点的横坐标相等.
第一节 函数及其图象
续表
对称点的坐标特征 点 A（a，b）关于 x 轴的对称点 B 的坐标为（a，-b）；点 A（a，b）关于y 轴的对称点 C 的坐标为（-a，b）；点 A（a，b）关于原点的对称点D 的坐标为 _________；点 A（a，b）关于直线 y=x 的对称点的坐标为（b，a）；点 A（a，b）关于直线 y=-x 的对称点的坐标为_________.
（-a，-b）
（-b，-a）
第一节 函数及其图象
续表
点平移的坐标特征
平移口诀 左右横变，右加左减；上下纵变，上加下减.
（x+a，y）
（x，y+a）
（x，y-a）
第一节 函数及其图象
知识能力进阶
1. 关于坐标轴对称时，关于谁对称谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号.
2. 若点 P（x1，y1）与点 Q（x2，y2）关于直线 x=m 对称，则 y1=y2，m= .
第一节 函数及其图象
教材习题变式夯基础
1.［冀八下 P40 习题变式］ 在平面直角坐标系中，已知点 M（m+2，m-5）．
（1）若点 M 在 x 轴上，m 的值为 _______；
（2）若点 M 在第二、四象限的角平分线上，则点 M 的坐标为 ________；
（3）若将点 M 向下平移 3 个单位长度得到点 N（6，x），则 m 的值为 ______；
（4）若点 M 关于 x 轴的对称点为（a，6），则点 M 位于第 _____ 象限.
4
四
5
第一节 函数及其图象
2.［人七下 P69 习题变式］ 如图，直线 m⊥n，在某平面直角坐标系中，x 轴∥m，y 轴∥n，点 A 的坐标为，点 B 的坐标为（2，-4），则坐标原点为 ______.
O1
第一节 函数及其图象
点到坐标轴 及原点的距离 如图，点 P（a，b）到 x 轴的距离为｜b｜ ，点 P（a ， b）到 y 轴 的距离为｜a｜ ， 点 P（a，b）到原点的距离为PO=
■考点二 平面直角坐标系中的距离及中点坐标
第一节 函数及其图象
续表
x 轴上（或平 行于 x 轴的 直线上）两点 的距离及其 中点坐标 点 A（x1，0），B（x2，0）在 x 轴上时，两点间的距离 AB= ｜x1-x2｜；线段 AB 的中点坐标为
点 A′（x1，m），B′（x2，m）在平行于 x 轴的直线 y=m 上时，两点间的距离 A′B′=｜x1-x2｜；线段 A′B′的中点
坐标为_____________
第一节 函数及其图象
续表
y 轴上（或平 行于 y 轴的 直线上）两点 的距离及其 中点坐标 点 C（0，y1），D（0，y2）在 y 轴上时，两点间的距离 CD= ｜y1-y2｜ ；线段 CD 的中点坐标为
点 C′（n，y1），D′（n，y2）在平行于 y 轴的直线 x=n 上时，两点间的距离 C′D′=｜y1-y2｜；线段 C′D′的中点坐标为
第一节 函数及其图象
知识能力进阶
A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系内任意两点，则 AB 的中点坐标为(,),A，B 两点之间的距离 AB=
第一节 函数及其图象
教材习题变式夯基础
1.［人七下 P79 习题变式］ 点 P（a，b）在 y 轴的右侧，且到 x 轴的距离是 4，到 y 轴的距离是 3，则点 P 的坐标为 ___________________.
2.［冀八下 P54 习题变式］ 在平面直角坐标系中，已知点 A（-3，3），B（3，5），C（x，y），若 AC∥x 轴，则线段 BC 的最小值为 ______，此时点 C 的坐标为 _______.
（3，4）或（3，-4）
2
（3，3）
第一节 函数及其图象
■考点三 函数相关概念及自变量的取值范围（常考，考查新定义、动点问题的函数图象）
1. 函数的有关概念及表示方法 （2023 年考查）
常量和变量 在一个变化过程中，发生变化的量叫做变量，保持不变的量叫做常量.
函数概念 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就说 y 是 x 的函数.其中，x 叫做自变量，y 叫做因变量.
第一节 函数及其图象
续表
函数值 在自变量 x 的取值范围内，如果当 x=a 时，y=b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值.
表示方法 解析式法；______ 法；图象法.
列表
第一节 函数及其图象
2. 函数自变量的取值范围
类型 整式型 ， 如 y=x-1 分式型 ， 如 偶次根式型，如y= 分式+偶次根式型，如y= 零（负整数）指数幂型，如 y=x-1 或 y=x0 混合型
第一节 函数及其图象
续表
自变量的 取值范围 _______ 使分母不为0 的实数. 使被开方数____ _____0 的实数. 同时满足：①被开方数大于等于0；②分母不为 0. 使底数不为 0的实数. 各个代数式中自变量取值范
围的公共部分.
实数
3. 函数图象的画法：列表、描点、连线.
大于等于
第一节 函数及其图象
知识能力进阶
判断符合题意的函数图象的方法
与实际问题 结合 ①找起点；②找特殊点；③判断图象趋势；④看图象是否与坐标轴相交，即此时一个量为 0.
与几何图形 结合 一般都可转化为求线段的长度.一般利用勾股定理、三角形相似、线段成比例等考查自变量与因变量之间的函数关系，再找相应图象.
第一节 函数及其图象
续表
与几何图形 中的动点结合 一般设时间为 t，找出因变量与 t之间存在的函数关系，用含 t 的式子表示，再找出相对应的函数图象，注意是否需要分类讨论.（注意分类讨论时自变量的取值范围）
易错易混警示 在实际问题中自变量的取值范围要符合问题的实际意义.
第一节 函数及其图象
教材习题变式夯基础
1.［冀八下 P67 练习改编］ 函数 y= 中自变量 x 的取值范围是 （ ）
A． x＞-2 B． x≠0
C． x≥-2 且 x≠0 D． x＞-2 且 x≠0
C
第一节 函数及其图象
2.［冀八下 P72 习题改编］ 小花用洗衣机在洗涤衣服时经历三个连续过程：注水、清洗、排水．若洗衣服前洗衣机内无水，清洗时停止注水，则在这三个过程中洗衣机内水量 y（L）与时间 x（min）之间的函数关系对应的图象大致为 （ ）
C
第一节 函数及其图象
3.［人八下 P82 习题变式］ 如图，在平面直角坐标系中，在边长为 1 的正方形 ABCD 的边上有一动点 P 沿A→D→C→B→A 运动一周，则点 P 到 x 轴的距离 y 与点 P 走过的路程 s 之间的函数关系用图象表示大致是 （ ）
A
第一节 函数及其图象
例 1 ［25·邯郸 25 中一模］ 在北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受到了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为 4 的正六边形 ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若 AB 与 x 轴垂直，顶点A 的坐标为（2，-3），则顶点 C 的坐标为（ ）
A．（2-2 ，3）
B．（0，1+2 ）
C．（2- ，3）
D．（2-2 ，2+ ）
■题型一 平面直角坐标系中点的坐标特征（常考考点）
A
第一节 函数及其图象
题型解法
第一节 函数及其图象
对点集训
练 1 ［25·石家庄模拟］ 如图，在平面直角坐标系中，将线段 AB 平移到线段 CD 的位置，则 a+b= （ ）
A． -1 B． 0 C． 1 D． 2
C
第一节 函数及其图象
练 2 ［25·广安］在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（a，b），且 a，b 满足（a-2）2+|b+3|=0，则点 A 在第 _____ 象限．
四
第一节 函数及其图象
例 2 ［23·河北14题］ 如图是一种轨道示意图，其中ADC 和ABC 均为半圆，点 M，A，C，N 依次在同一直线上，且 AM＝CN．现有两个机器人（看成点）分别从 M，N 两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为 M→A→D→C→N 和 N→C→B→A→M． 若移动时间为 x，两个机器人之间距离为y， 则 y 与 x 关系对应的图象大致是 （ ）
■题型二 函数及函数图象的分析与判断（常考考点）
D
第一节 函数及其图象
（1）甲、乙的原始成绩分别为 95 分和 130 分，若 p=100，求甲、乙的报告成绩；
（2）丙、丁的报告成绩分别为 92 分和 64 分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高 40 分，请推算 p 的值；
（3）下表是该公司 100 名员工某次测试的原始成绩统计表：
第一节 函数及其图象
题型解法
判断函数图象的突破点：（1）明确“两轴”所表示的意义；（2）弄清图象上的点（起点、转折点、最高（低）点）所表示的意义；（3）弄清上升线和下降线及其趋势所表示的意义.
第一节 函数及其图象
对点集训
练 1 ［新考法］ 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流 I 与使用电器的总功率 P 的函数图象（如图 1），插线板电源线产生的热量 Q 与 I 的函数图象（如图 2）．下列结论中错误的是 （ ）
A． 当 P=440 W 时，I=2 A
B． Q 随 I 的增大而增大
C． I 每增加 1 A，Q 的增加量相同
D． P 越大，插线板电源线产生的热量 Q 越多
C
第一节 函数及其图象
练 2 ［25·湖北］ 如图 1，在△ABC 中，∠C=90°，BC=4 cm，AB=n cm.动点 P，Q 均以 1 cm/s的速度从点 C 同时出发，点 P 沿折线 C→B→A 向点 A 运动，点 Q 沿边 CA 向点 A 运动．当点 Q 运动到点 A 时，两点都停止运动．△PCQ 的面积 S（单位：cm2）与运动时间 t （单位：s）的关系如图 2 所示．
（1）m=______； （2）n=______．
8
12(共54张PPT)
第二节 一次函数的图象和性质
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第二节 一次函数的图象和性质
■考点一 一次函数的图象和性质
定义 一般地，形如 y=kx+b（k，b 是常数，k≠0）的函数为一次函数.特别地，当 b=0 时，y=kx（k 是常数，k≠0）叫做正比例函数，其中 k 是比例系数. k，b 符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0
第二节 一次函数的图象和性质
续表
大致图象
经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四
判断倾斜方向、增减性看 k k＞0，图象呈“/”，必过第一、三象限，y 随 x 的增大而 ______. k＜0，图象呈“\”，必过第二、四象限，y 随 x的增大而 ______. 增大
减小
第二节 一次函数的图象和性质
续表
判断与 y 轴交点位置看 b b＞0，图象交于 y 轴的正半轴，必过第一、二象限；b=0，图象过 ______；b＜0，图象交于 y 轴的负半轴，必过第三、四象限.
与坐标轴交点 令 x=0，求对应的 y 值，交点坐标为 ________，令 y=0，求对应的 x 值，交点坐标为 _______.
原点
（0，b）
（，0）
第二节 一次函数的图象和性质
知识能力进阶 两条直线 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 之间的位置关系：①重合：k1=k2，b1=b2；②平行：k1=k2，b1≠b2； ③垂直：k1·k2=-1 （可直接应用于选择题）； ④关于 x 轴对称：k1=-k2，b1=-b2； ⑤关于 y 轴对称：k1=-k2，b1=b2
易错易混警示 “一次函数图象不经过第三象限”包含以下两种情况：①一次函数的图象经过第一、二、四象限，即 k＜0，b＞0；②一次函数的图象只经过第二、四象限，即 k＜0，b=0.
第二节 一次函数的图象和性质
教材习题变式夯基础
1.［人八下 P99 习题变式］ 已知函数 y=kx 的图象如图所示，那么函数 y=kx-k 的图象大致是 （ ）
C
第二节 一次函数的图象和性质
2.［冀八下 P94 习题变式］ 已知直线 y=-3x+m 过点 A（-1，y1）和点 B（-3，y2），则 y1 和 y2 的大小关系是y1_____y2.
＜
第二节 一次函数的图象和性质
■考点二 一次函数解析式的确定
常用方法 ____________
一般步骤 ①设：设一次函数表达式的一般形式；②列：把已知两点的坐标代入表达式，得到关于待定系数的方程组；③解：解方程组，求出待定系数 k，b 的值；④还原：将 k，b 代入所设表达式中.
待定系数法
第二节 一次函数的图象和性质
教材习题变式夯基础
1.［人八下 P98 练习变式］ 在平面直角坐标系中，已知点（1，2）与（2，4）在直线 l 上，则直线 l 必经过（ ）
A．（-2，-1） B．（-1，-2） C．（6，3） D．（6，8）
B
第二节 一次函数的图象和性质
2.［冀八下 P94 习题变式］ 物理课上小刚探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”，多次改变砝码的质量 x（g），测量得到弹簧的长度 y（cm），其中 0≤x≤250．通过实验获得下面的几组数据，在数据分析时，发现有一个弹簧的长度是错误的，则这个错误的数据是 （ ）
A． 4 B． 5 C． 7 D． 5.5
D
第二节 一次函数的图象和性质
直线 y=kx +b （k≠0） 向左平移 m（m＞0）个单位长度 直线 y=k（x__m）+b 左加
右减
向右平移 m（m＞0）个单位长度 直线 y=k（x__m）+b 向上平移 n（n＞0）个单位长度 直线 y=kx+b__n 等号右边整体上加下减
向下平移 n（n＞0）个单位长度 直线 y=kx+b__n +
-
+
-
■考点三 一次函数图象的平移
第二节 一次函数的图象和性质
教材习题变式夯基础
1.［人八下 P99 习题变式］ 在平面直角坐标系中，将正比例函数 y=-2x 的图象向右平移 3 个单位长度，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为 ________.
2.［冀八下 P95 习题变式］ 直线 y=-3x+6 可以由 y=-3（x+1）向 ______（选填“上”或“下”）平移 ______ 个单位长度后得到.
y=-2x+6
上
9
第二节 一次函数的图象和性质
有两边在坐标轴上 有一边在坐标轴上 三边均不与坐标轴平行
图 形
面 积 S△AOB= AO·BO= |xA|·|yB| S△ABC=BC·AD= ______________ S△ABC= BC·AD= |yB-yC|·|xA| S△ABC=S△ABD+S△ACD
= BE·AD+ CF·AD= |xC-xB|·AD
■考点四 坐标系中三角形的面积的求法（常考）
｜xC-xB｜·｜yA｜
第二节 一次函数的图象和性质
教材习题变式夯基础
1.［冀八下 P98 习题变式］ 如图，正比例函数 y=4x 的图象与一次函数 y=kx+b 的图象交于点 A（m，4），一次函数的图象经过点 B（-4，-2），与 y 轴的交点为 C，与 x 轴的交点为 D．则△AOB 的面积为 _________．
7
第二节 一次函数的图象和性质
2.［人八下 P99 习题变式］ 已知函数 y-b=k（x+1）（k≠0）的图象过点 ， 且与坐标轴围成的三角形的面积为 ，则此函数的解析式为 ____________________．
y=2x-3 或 y=-2x+3
第二节 一次函数的图象和性质
■考点五 一次函数与一次方程（组）、一元一次不等式的关系
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数与一元一次不等式的关系 （1）kx+b＞0 的解集是一次函数 y=kx+b 的图象上 y＞0 时 x 的取值范围；
（2）kx+b＜0 的解集是一次函数 y=kx+b 的图象上 y＜0 时 x 的取值范围；
第二节 一次函数的图象和性质
一次函数与一元一次不等式的关系 （3）如图，不等式 kx+b＞mx+n 的解集函数 y1=kx+b 的图象在函数y2=mx+n 图象上方部分所对应的 x的取值范围，即 x＞xA；
（4）不等式 kx+b＜mx+n 的解集函数 y1=kx+b 的图象在函数 y2=mx+n图象下方部分所对应的 x 的取值
范围，即 x＜xA.
续表
第二节 一次函数的图象和性质
一次函数与二元一次方程组的关系 两个一次函数图象的交点坐标就是它们的表达式所组成的二元一次方程组的解.如图，两个方程组的解是函数 y1=kx+b 与 y2=mx+n的图象的交点（点 A）的坐标.
续表
第二节 一次函数的图象和性质
知识能力进阶
求两个函数的不等关系时，以交点 A（m，n）为界限，直线 l1：y1=k1x+b1 位于直线 l2：y2=k2x+b2上方时，y1＞y2，直线 l1 位于直线 l2 下方时，y1＜y2.
第二节 一次函数的图象和性质
教材习题变式夯基础
1.［人八下 P99 习题变式］ 如右图，直线 y=-2x+2 与直线 y=kx+b（k，b 为常数，k≠0）相交于点 A（m，4），则关于 x 的不等式-2x+2＜kx+b 的解集为 _______.
2.［冀八下 P98 习题变式］ 若以二元一次方程 2x+y=6 的解为坐标的点 P（x，y）恰好在直线y= x+1 上，则点 P 的位置在第 ____ 象限.
x＞-1
一
第二节 一次函数的图象和性质
■考点六 一次函数的交点问题
如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，各边与坐标轴分别平行，点 A 的坐标为（1，2）.
直线 y=kx+k 与 AB 有交点，k 的取值范围为 ________；直线 y=kx+k 与 AD 有交点，k 的取值范围为________；直线 y=kx+k 与正方形 ABCD 有交点，k 的取值范围为 ________. ≤k≤1
≤k≤1
≤k≤1
第二节 一次函数的图象和性质
例 1 ［24·河北 14 题］扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为 120°时，扇面面积为S，该折扇张开的角度为 n°时，扇面面积为 Sn，若 m＝ ，则 m 与 n 关系的图象大致是 （ ）
■题型一 一次函数的图象与性质（高频考点）
C
第二节 一次函数的图象和性质
题型解法
一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象及函数的增减性均由 k，b 的符号决定，即简记为：k 为正→右上斜，k 为负→右下斜；b 正交 y 轴正，b 负交 y 轴负.
第二节 一次函数的图象和性质
对点集训
练 1 直线 l1：y=kx-b 和 l2：y=-2kx+b 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （ ）
B
第二节 一次函数的图象和性质
练 2 ［25·苏州］ 过 A，B 两点画一次函数 y=-x+2 的图象，已知点 A 的坐标为（0，2），则点 B 的坐标可以为 ____________（填一个符合要求的点的坐标即可）．
（1，1）
第二节 一次函数的图象和性质
练 3 ［新考法］如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如下图所示建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为 y1=k1x，y2=k2x，则关于k1 与 k2 的关系，正确的是 （ ）
A． k2＜0＜k1 B． k1＜0＜k2
C． k1＜k2＜0 D． k2＜k1＜0
D
第二节 一次函数的图象和性质
例 2 ［25·承德模拟］ 如图，在平面直角坐标系中，有一动点 P（a，a+3），点 A（1，6）先向右平移 3 个单位长度再向下平移 6 个单位长度得到点 B．
（1）求直线 AB 的解析式；
（2）①当 a=2 时，判断点 P 是否在直线 AB 上；②求 AP+BP 的最小值；
（3）若点 P 在△OAB 内部（不含边界），直接写出 a 的取值范围．
■题型二 一次函数的平移问题
第二节 一次函数的图象和性质
第二节 一次函数的图象和性质
解：（1）点 A（1，6）先向右平移 3 个单位长度再向下平移 6个单位长度得到点 B（4，0），设直线AB 的解析式为 y=kx+b，把 A（1，6），B（4，0）代入，得
6=k+b，
0=4k+b，
解得
k=-2,
b=8，
∴ 直线 AB 的解析式为 y=-2x+8；
第二节 一次函数的图象和性质
（2）①当 a=2 时，P（2，5），当 x=2 时，y=-2x+8=-2×2+8=4≠5，∴ 点 P 不在直线 AB 上；
②∵AP+BP≥AB，∴ 当点 P 在直线AB 上且在 AB 两点之间时，AP+BP有最小值，最小值为 AB= =3 ；
（3） ＜a＜ .
第二节 一次函数的图象和性质
题型解法
通过图象可直观理解一次函数的平移，在平面直角坐标系中能清晰看到平移过程，平移的单位长度数决定了图象移动的距离.
第二节 一次函数的图象和性质
对点集训
练1 ［25·天津］ 将直线y=3x-1 向上平移 m 个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则 m 的值可以是 ______________________（写出一个即可）．
2（m＞1 即可，答案不唯一）
第二节 一次函数的图象和性质
练 2 ［25·唐山模拟］ 如图，直线 l：y=- x+2与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，将直线 l向上平移 4 个单位长度后得到直线 l′，交 y轴于点 C．
（1）求 A，B 两点的坐标；
（2）求直线 l′的函数表达式，并求直线 l′
与直线 l 之间的距离；
（3）动点 M 从点 A 沿 x 轴向左移动，直接写出：
点 M 移动距离为多少时，线段 CM 的中点落在直线 l 上．
第二节 一次函数的图象和性质
解：（1）在 y=- x+2 中，令 x=0，
则 y=2，令 y=0，则- x+2=0，解得x=6，∴A（6，0），B（0，2）；
（2）由（1）可 得 A（6，0），B（0，2），
∴OA=6，OB=2，∴AB= =2 ，
∵ 将直线 l 向上平移 4 个单位长度后得到直线 l′，∴ 直线 l′的表达式为 y=- x+6，令 x=0，则 y=6，
∴C（0，6），∴BC=6-2=4，如图，
第二节 一次函数的图象和性质
过点 B 作 BD⊥l′于点 D，则∠BDC=∠AOB=90°，∵l∥l′，∴∠ABO=∠DCB，
∴△AOB∽△BDC，∴ = ，即 = ，
∴BD= ，∴ 直线 l′与直线 l 之间的距离为 ；
（3）12.
第二节 一次函数的图象和性质
例 3 ［23·河北 25 题］ 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点（x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式．
例 点 P 从原点 O 出发连续移动 2 次，若都按甲方式，最终移动到点 M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点 N（2，4）；若按 1 次甲方式和 1 次乙方式，最终移动到点 E（3，3）．
（1）设直线 l1 经过上例中的点 M，N，求 l1 的解析式；并直接写出将 l1 向上平移 9 个单位长度后得到的直线 l2 的解析式；
■题型三 一次函数的综合应用（高频考点）


第二节 一次函数的图象和性质
（2）点 P 从原点 O 出发连续移动 10 次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q（x，y）．其中，按甲方式移动了 m 次．
①用含 m 的式子分别表示 x，y；
②请说明：无论 m 怎样变化，点 Q 都在一条确定的直线上．设这条直线为 l3，在图中直接画出 l3 的图象；
（3）在（1）和（2）中的直线 l1，l2，l3 上分别有一个动点 A，B，C，横坐标依次为 a，b，c，若 A，B，C 三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c 之间的关系式．




第二节 一次函数的图象和性质
第二节 一次函数的图象和性质
解：（1） 设直线 l1 的解析式为 y=kx+b，把 M（4，2），N（2，4）代入，得 解得
∴l1 的解析式为 y=-x+6.将 l1 向上平移 9个单位长度后得到的直线 l2 的解析式为 y=-x+15；
（2）①∵ 点 P 按照甲方式移动了 m次，点 P 从原点 O 出发连续移动 10次，∴ 点 P 按照乙方式移动了（10-m）次，∴ 点 P 按照甲方式移动 m 次后得到的点的坐标为（2m，m），∴ 点（2m，m）按照乙方式移动（10-m）次后得到的点的横坐标为 2m+10-m=m+10， 纵坐标为 m+2（10-m）=20-m，∴x=m+10，y=20-m；
4k+b=2，
2k+b=4，
k=- ，
b=6，
第二节 一次函数的图象和性质
②∵ 点 Q 的坐标为（m+10，-m+20），x+y=m+10+20-m=30，∴ 直线 l3 的解析式为 y=-x+30，∴ 无论 m 怎么变化，点 Q 都在一条确定的直线上即y=-x+30 上，函数图象如图所示；
第二节 一次函数的图象和性质
（3）a，b，c 之间的关系式为 5a+3c=8b.
第二节 一次函数的图象和性质
题型解法
一次函数与几何 图形的面积问题 先根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
一次函数的最值 问题 先由不等式找到 x 的取值范围，进而利用一次函数的增减性在取值范围内的前提下求出最值.
用函数图象解决 实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题.
一次函数的 交点问题 根据图形与线段的交点求解 k 的取值范围（需考虑端点处的情况）
第二节 一次函数的图象和性质
对点集训
练 1 ［25·邯郸名校模拟］ 如图，在平面直角坐标系中，x 轴上有一点 A（-3，0），C（-2，0），过点 C 作 CD∥y 轴，设点 D 的纵坐标为 a，将点 A 先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度得到点 B．
（1）在图中画出直线 AB，并求直线 AB 的解析式；
（2）若直线 AB 与线段 CD 有交点，求 a 的取值范围；
（3）若直线 y=kx-k+2（k＜0）与 x 轴，直线 AB围成的封闭图形（不包括边界）有 4 个整点（横、纵坐标均为整数的点），直接写出 k 的取值范围．
第二节 一次函数的图象和性质
第二节 一次函数的图象和性质
解：（1）∵ 将点 A 先向右平移 3个单位长度，再向上平移 2 个单位长度得到点 B，∴B（0，2）， 画出直线 AB 如图 1.设直线 AB 的解析式为 y=k1x+b1，把点 A，点 B 的坐标分别代入，得
-3k1+b1=0，
b1=2 ， 解得
k1= ，
b1=2，
∴ 直线 AB 的解析式为 y= x+2；
第二节 一次函数的图象和性质
（2）由（1）得，直线 AB 的解析式为y= x+2，∵CD∥y 轴，
∴ 点 D 的横坐标为-2，
∵ 直 线 AB 与 线 段 CD 有 交 点 ，
∴a≥ ×（-2）+2，解得 a≥ ；
（3）k 的取值范围是-1＜k≤- ．
第二节 一次函数的图象和性质
练 2 ［25·石家庄裕华区一模］ 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y1=mx+n（m≠0）与 x轴交于点 A，与 y 轴交于点 B（0，6），直线y2=x+2 与 y 轴交于点 P，与 y1 交于点 C（3，b）．点 D 为 x 轴正半轴上一动点， 过点 D 作 x轴的垂线与直线 y1，y2 分别相交于 E，F 两点，过点 E 作 EH∥x 轴交 y2 于点 H．
（1）求 b 的值及 y1 的函数解析式；
（2）当 EF=4 时，求点 D 的坐标；
（3）以 EF，EH 为边作矩形 EFMH，当点 D 在运动过程中，试探究 M 的运动轨迹是不是为一条直线中的一部分？ 若是，直接写出该直线解析式；若不是，请说明理由．
第二节 一次函数的图象和性质
第二节 一次函数的图象和性质
解：（1）∵ 直线 y2=x+2 过点 C（3，b），∴b=3+2=5，由题意得，
n=6，
3m+n=5 ，
∴ m=- ，
n=6 ，
∴ 直线 y1 的解析式为 y=- x+6；
第二节 一次函数的图象和性质
（2）设点 D（k，0），则 E (k，- k+ 6 )，F（k，k+2），由 EF=4 得，｜（k+2）- (- k+ 6 )｜=4，∴k=0（舍去）或 k=6，∴D（6，0）；
（3）是. y=-3x+14.
第二节 一次函数的图象和性质
练 3 ［新考法］如图，P（a，a+3）是平面直角坐标系中的一个动点，直线 l：y=kx+b 与 x 轴、y 轴分别交于点 A（-4.5，0），B（0，6），点 C 在 x 轴的正半轴上，且 OC=6．
（1）求直线 l 的解析式；
（2）判断点 P 是否有可能落在直线 l 上？ 并说明理由；
（3）当点 P 在△ABO 的内部（不包括边界）时，求 a 的取值范围；
（4）连接 CP．把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．点 M（15，26），N（-12，-10）在直线 l 上，若直线 CP 将线段 MN（包括端点）上的“好点”的个数平分，请直接写出满足条件的“好点”P 的坐标．
第二节 一次函数的图象和性质
第二节 一次函数的图象和性质
解：（1）把 A（-4.5，0），B（0，6）的坐标代入 y=kx+b，得
解得
∴ 直线 l 的解析式为 y= x+6；
（2）点 P 有可能落在直线 l 上，理由如下：把点 P（a，a+3）的坐标代入 y= x+6，得 a+3= a+6，解得 a=-9，
∴ 当 a=-9 时，P（a，a+3）落在直线 l 上；
-4.5k+b=0，
b=6，
k= ，
b=6，
第二节 一次函数的图象和性质
（3）当点 P（a，a+3）在△ABO 的内部（不包括边界）时，需满足
解得-3＜a＜0，
∴a 的取值范围是-3＜a＜0；
（4）P 的坐标为（2，5）或（3，6）．
-4.5＜a＜0，
0＜a+3＜ a+6，

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