资源简介

(共31张PPT)
第二节 与圆有关的位置关系
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第二节 与圆有关的位置关系
■考点一 点与圆的位置关系
点在圆外 点在圆上 点在圆内 如图，圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d.
d___r d___r d___r ＞
=
＜
第二节 与圆有关的位置关系
位置关系 相交 相切 相离
示意图
d 与 r 的关系 d___r d___r d___r
公共点个数 2 1 0
■考点二 直线与圆的位置关系
＞
=
＜
第二节 与圆有关的位置关系
■考点三 切线的性质与判定
切 线 直线和圆只有一个公共点时，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.
性质定理 圆的切线 _____ 于过切点的半径.
判定方法 （1） 和圆只有 _____ 个公共点的直线是圆的切线；（2） 如果圆心到一条直线的距离等于圆的_____，那么这条直线是圆的切线；（3）经过半径的外端点，并且 _____ 于这条半径的直线是圆的
切线.
垂直
一
半径
垂直
第二节 与圆有关的位置关系
知识能力进阶
判断切线的常用辅助线：在判定一条直线为圆的切线时，若已知条件明确指出圆与直线有公共点，常“连半径，证垂直”；若没有明确指出圆与直线有公共点，常需“作垂直，证半径”.
第二节 与圆有关的位置关系
教材习题变式夯基础
1.［人九上 P101 习题改编］ 如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，过点 A 作 AC∥PB 交⊙O 于点 C，连接 BC，若∠P=α，则∠PBC 的度数为 （ ）
A. 90°+ α B. 90°- α C. 180°-α D. 180°- α
A
第二节 与圆有关的位置关系
2.［冀九下 P9 练习改编］ 如图，BC 是⊙O 的切线，点 B 是切点，连接 CO 交⊙O 于点 D，延长 CO 交 ⊙O 于点 A，连接 AB，若∠C=30°，OD=2，则 AB 的长为 （ ）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
C
第二节 与圆有关的位置关系
3.［人九上 P101 习题改编］ 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，O 为 AC 边上一点，以点O 为圆心，OC 为半径作圆与 AB 相切于点 D，连接 CD．若∠ACD=25°，AC=8，BC= 6，则∠ABC=_______°；⊙O 的半径 r=________．
50
3
第二节 与圆有关的位置关系
切线长 经过圆外一点作圆的切线，这点与________ 之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.
切线长 定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ______，这一点和圆心的连线_____ 两条切线的夹角.如图，PA，PB 分别切⊙O 于点 A，B，则 PA=PB，∠OPA=∠OPB.
切点
相等
平分
■考点四 切线长及切线长定理
第二节 与圆有关的位置关系
■考点五 三角形的内切圆（常考，考查三角形的内心）
定 义 与三角形各边都相切的圆.
圆 心 内心（三角形三条 _________ 的交点）. 性 质 三角形的内心到三角形 __________ 的距离相等. 角度关系 ∠BOC=90°+ ∠A. 角平分线
三边
第二节 与圆有关的位置关系
知识能力进阶
1. 在 Rt△ABC 中，若两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，则内切圆的半径为 r= ，外接圆的半径 R= .
2. 若△ABC 的三边长分别为 a，b，c，内切圆的半径为 r，则 S△ABC= （a+b+c）r.
第二节 与圆有关的位置关系
教材习题变式夯基础
1.［人九上 P100 例题改编］ 如下图，周长为 15 cm 的三角形纸片 ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O 相切的 DE 剪下了一个三角形纸片 BDE，已知 AC=4 cm，则三角形纸片 BDE的周长是 （ ）
A． 9 cm B． 8 cm
C． 7 cm D． 随直线 DE 的变化而变化
C
第二节 与圆有关的位置关系
2.［冀九下 P13 练习题改编］ 如图，在△ABC 中，∠ACB=70°，△ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC 分别相切于点 D，E，连接 DE，AO 的延长线交 DE 于点 F，则∠AFD 的大小是 （ ）
A． 35° B． 40°
C． 45° D． 50°
A
第二节 与圆有关的位置关系
例 1 ［24·河北 25 题］ 已知⊙O 的半径为 3，弦MN＝2 ．△ABC 中，∠ABC＝90° ，AB＝3，BC＝3 ．在平面上，先将△ABC 和⊙O按图 1 位置摆放（点 B 与点 N 重合，点 A 在⊙O 上，点 C 在⊙O 内），随后移动△ABC，使点 B 在弦 MN 上移动，点 A 始终在⊙O 上随之移动．设 BN＝x．
■题型一 与切线性质有关的计算与证明（必考考点）
第二节 与圆有关的位置关系
（1）当点 B 与点 N 重合时，求劣弧AN 的长；
（2）当 OA∥MN 时，如图 2，求点 B 到 OA 的距离，并求此时 x 的值；
（3）设点 O到 BC 的距离为 d．
①当点 A 在劣弧 MN 上，且过点 A 的切线与AC 垂直时，求 d 的值；
②直接写出 d 的最小值．
第二节 与圆有关的位置关系
解：如图 1，连接 OA，OB，∵⊙O 的半径为 3，AB＝3，
∴OA＝OB＝AB＝3，
∴△AOB 为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴ 劣弧AN 的长为 =π；
第二节 与圆有关的位置关系
（2）如图 2，过点B 作 BI⊥OA 于点 I，过点 O 作 OH⊥MN 于点 H，连接 MO.
∵OA∥MN，∴∠IBH＝∠BHO＝∠HOI＝∠BIO ＝90° ，∴ 四 边 形 BIOH 是 矩形，∴BH＝OI，BI＝OH，∵MN=2 ，OH⊥MN，∴MH=NH= ，又∵OM＝3，∴OH= =2=BI，
∴ 点 B 到 OA 的距离为 2；
∵AB＝3，BI⊥OA，∴AI= = ，
∴OI=OA-AI=3- =BH，
∴x=BN=BH+NH=3- + =3；
第二节 与圆有关的位置关系
（3）①如图 3，过点 O 作 OJ⊥BC 于点 J，OK⊥AB 于点 K.∵∠ABC＝90°，过点 A 的切线与 AC 垂直，∴AC 过圆心，∴ 四边形 KOJB 为矩形，∴OJ＝KB，∵AB＝3，BC=3 ，
∴AC= =3 ，
∴cos∠BAC= = = = ，∴AK= ，
∴OJ=BK=3- ，即 d=3- ；
②d的最小值为 .
第二节 与圆有关的位置关系
题型解法
圆中常作的辅助线如下：（1）半径：圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质，如“同圆的半径相等”“圆的切线垂直于过切点的半径”等都与圆的半径有关，连接半径是常用的添加辅助线的方法之一，常用于切线的性质及证明；（2）弦心距：在解决有关弦的问题，常常作弦心距，以便利用垂径定理或三角函数；（3）构造直角三角形：在解决有关直径的问题时，常常作直径所对的周周角，构造直角三角形求解；（4）构造相等的圆周角或圆心角需要的辅助线.
第二节 与圆有关的位置关系
对点集训
练1 ［25·黑龙江龙东地区］如图，PA，PB 是⊙O的切线，A，B 为切点，AC 是直径，∠BAC=35°，∠P=_________.
70°
第二节 与圆有关的位置关系
练2 ［25·张家口模拟］ 如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，圆心 O 在 AC 上，∠A=30°，D 为BC的中点．
（1）求证：AB=BC；
（2）试判断四边形 BOCD 的形状，并说明理由．
第二节 与圆有关的位置关系
解：（1）证明：∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OBA=90°，∠AOB=90°-30°=60°．∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠OCB=∠A，∴AB=BC；
（2）四边形 BOCD 为菱形.
理由如下：如图，连接 OD 交 BC 于点 M，∵D 是BC 的中点，∴OD 垂直平分 BC．在 Rt△OMC 中，∵∠OCM=30°，∴OC=2OM=OD.
∴OM=MD，∴ 四边形 BOCD 为菱形．
第二节 与圆有关的位置关系
练3 ［25·邯郸名校模拟］ 如图 1 为一种半圆形摇椅，如图 2，未乘坐时，其截面是以AB 为直径的半圆 O，AC，OD 及 BC 是支撑杆，点 C 在半圆上，OD⊥AC，AC=12 dm，OD=6 dm，AC 平行于地面 MN，OD 的延长线交 MN 于点 P．如图 3，乘坐时，半圆沿地面向后做无滑动滚动，AB 平行于地面 MN，半圆与地面 MN 相切于点 Q，OD 的延长线交半圆 O 于点 P′．
（1）求半径 OA 的长；
（2）乘坐时（如图 3），点 D 到地面的高度为多少？
（3）P′Q 的长是 _______ dm．
2π
第二节 与圆有关的位置关系
第二节 与圆有关的位置关系
解：（1）∵OD⊥AC，AC=12 dm，
∴AD= AC=6 dm.∵OD=6 dm，OD⊥AC，在 Rt△OAD 中，
由勾股定 理 得 OA = = =12（dm）；
（2）OD=6 dm，OA=12 dm，如图，过点D 作 DE⊥OQ 于点 E．∴sin∠OAD= = ，∴∠OAD=30°．
∵ 半 圆 与 地 面 M N 相 切 于 点 Q，
∴OQ ⊥MN， ∴ ∠OQN =90° ．∵AB ∥MN，∴∠AOQ=∠OQN=90°，
第二节 与圆有关的位置关系
∴∠AOD+∠DOE=90°．∵OD⊥AC，
∴ ∠ODA =90° ，∴ ∠OAD + ∠AOD =90°，∴∠DOE=∠OAD=30°，
∴OE=OD·cos30°=3 dm．∵OQ=OA= 12 dm ，
∴EQ=OQ-OE =（12 -3 ） dm.∵DE⊥OQ，OQ⊥MN，
∴DE∥MN，∴ 点 D 到地面的高度即为 EQ 的长，
∴ 点 D 到地面的高度为（12-3 ） dm；
第二节 与圆有关的位置关系
例 2 ［25·邯郸模拟］ 如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC，点 M 在 AB 边上，连接 CM，点 N 是△ACM 的内心，连接CN，若∠NCB=50°，则∠CMB=________°.
■题型二 三角形内心与外心的有关计算（常考考点）
80
第二节 与圆有关的位置关系
题型解法
三角形的内心是三角形角平分线的交点，又是三角形内切圆的圆心，且内心到三角形三边的距离相等. 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三角形各顶点的距离相等.
第二节 与圆有关的位置关系
对点集训
练1 如图，点 O 是△ABC 外接圆的圆心，点I 是△ABC 的内心，连接 OB，IA．若∠CAI=37°，则∠OBC 的度数为 （ ）
A． 37° B． 20°
C． 16° D． 14°
C
第二节 与圆有关的位置关系
练2 ［25·上海］ 在锐角三角形 ABC 中，AB=AC，BC=8，它的外接圆 O 的半径长为 5，若点 D 是边 BC 的中点，以点 D 为圆心的圆和⊙O 相交，则⊙D 的半径长可以是 （ ）
A． 2 B． 5 C． 8 D． 10
B
第二节 与圆有关的位置关系
练3 ［优质原创］如图，在 ABCD 中，AB=3，AD=5，将△ABD 沿 BD 翻折得到△A′BD，若A′D 经过△CBD 的内心 I ，则 DI 的长为_____．
2(共22张PPT)
第一节 圆的有关概念及基本性质
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第一节 圆的有关概念及基本性质
■考点一 圆的有关概念及性质
圆 的 有 关 概 念 定义 一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端
点 A 所形成的图形叫做圆（如图）.固定的端点 O 叫做圆心.线段 OA叫做半径.
第一节 圆的有关概念及基本性质
圆 的 有 关 概 念 确定圆 的条件 （1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；
（2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦.如上图中弦 AB.
直 径 经过 _____ 的弦叫做直径.如上图中 EF.
弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做 _________，如上图中 ；小于半圆的弧叫做 _______，如上图中 ；能够完全重合的弧叫做 ________.
续表
圆心
优弧
劣弧
等弧
第一节 圆的有关概念及基本性质
圆 的 有 关 概 念 圆心角 顶点在 _____ 的角叫做圆心角.如上图中∠AOF.
圆周角 顶点在 ________，两边分别和圆相交的角叫做圆周角.如上图中∠ABC.
半 圆 圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.如上图中 EF.
续表
圆心
圆上
第一节 圆的有关概念及基本性质
性 质 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心.
旋转 不变性 圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合.
续表
第一节 圆的有关概念及基本性质
■考点二 圆心角、弧、弦之间的关系（常考）
定 理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 _____ 相等，所对的 _____ 相等.
推 论 1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧与劣弧分别相等.
弧
弦
第一节 圆的有关概念及基本性质
■考点三 垂径定理及其推论（常考，考查垂径定理及其推论的应用）
垂径定理 垂直于弦的直径平分 _____，并且平分弦所对的两条 _____.
推 论 平分弦（不是直径）的 _____ 垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
弦
弧
直径
第一节 圆的有关概念及基本性质
知识能力进阶
1. 有关弦的问题，常作其弦心距，构造以半径、弦的一半、弦心距为边的直角三角形，利用勾股定理求解.
2. 如图，根据圆的对称性，在以下5 个结论中：①AC =BC ；②AD =BD ；③AE=BE（AB 不是直径）；④CD⊥AB；⑤CD 是直径，只要满足其中的两个结论，另外三个结论就一定成立，即“知二推三”.
第一节 圆的有关概念及基本性质
教材习题变式夯基础
1.［冀九上 P165 习题改编］ 如下图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD∥AC 交圆于点 D，交 BC 于点 E，若 BC=8，ED=2，则⊙O 的半径是 （ ）
A． 3 B． 4
C． 5 D． 2
C
第一节 圆的有关概念及基本性质
2.［人九上 P83 练习改编］ 如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器———蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为 9 cm，瓶内液体的最大深度 CD=6 cm，则截面圆中弦 AB 的长为 ______ cm.
12
第一节 圆的有关概念及基本性质
■考点四 圆周角定理及其推论（常考，考查圆周角定理的应用）
定 理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________，都等于这条弧所对圆心角的 ________.
推 论 1. 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 ________.
2. 半圆（或直径）所对的圆周角是 ________ 角；90°的圆周角所对的弦是 ________.
相等
一半
相等
直
直径
第一节 圆的有关概念及基本性质
知识能力进阶
1. 利用半径相等，构造等腰三角形.
2. 有直径求角度时，注意构造直角三角形.
3. 由于圆中一条弦对应两段弧， 若题中未明确弦对应哪段弧，而要求圆中一条弦对应的圆周角的度数时，要分情况讨论，如图.
第一节 圆的有关概念及基本性质
■考点五 圆的内接四边形
概 念 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
性 质 圆内接四边形的对角 _____.如图：∠A+∠BCD=_______，∠B+∠D=_______. 圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角（和它相邻的内角的对角）. 互补
180°
180°
第一节 圆的有关概念及基本性质
教材习题变式夯基础
1.［冀九上 P160 例题改编］ 如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，BE 是⊙O 的直径，连接 AE．若∠BCD=2∠BAD，则∠DAE 的度数是 （ ）
A． 50° B． 45° C． 40° D． 30°
D
第一节 圆的有关概念及基本性质
2.［人九上 P87 例题改编］ 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，点 E 在 AD 的延长线上，∠ABC=135°，AC=4．
（1）∠CDE 的度数为 ________；
（2）⊙O 的半径为 _________．
135°
2
第一节 圆的有关概念及基本性质
例 1 如图，已知⊙O 的半径为 10，弦 AB 与弦 CD 位于圆心 O 的异侧，AB∥CD，CD=12，在AB 上取点 E ， 连 接 EO 并延长交 CD 于点 F．若 OE ∶ OF=1 ∶ 2，则 AB 的长为（ ）
A． 12 B． 4
C． 6 D． 2
■题型一 垂径定理及其推论（高频考点）
B
第一节 圆的有关概念及基本性质
题型解法
利用垂径定理解决半径问题→构造直角三角形→勾股定理求解.
第一节 圆的有关概念及基本性质
对点集训
练1 一款带毛刷的圆形扫地机器人的俯视图如图所示，⊙O 的直径为 40 cm，毛刷的一端为固定点 P，另一端为点 C，CP=10 cm，毛刷绕着点 P 旋转形成的圆弧交⊙O 于点 A，B，且 A，P，B 三点在同一直线上．毛刷在旋转过程中，与⊙O 交于点 D，则 CD 的最大长度为 （ ）
A. 20 cm
B.（20-10 ） cm
C.（20 -20） cm
D. 10 cm
C
第一节 圆的有关概念及基本性质
练2 ［25·衡水模拟］ 如图 1，将一装有水的球形容器放在水平地面上，其截面为⊙O 的一部分，AB 为容器口，DE 为水面．已知⊙O 的半径为 5，AB=6，DE=8，将容器从 AB 与地面平行时向右缓慢做无滑动滚动，地面与⊙O 始终相切，当容器口边缘点 B 恰好经过水面 DE 时停止，如图 2，则容器口边缘点 A 相对操作前（图 1）升高了 ______.
第一节 圆的有关概念及基本性质
例 2 ［25·山西］ 如图，AB 为⊙O 的直径，点C，D 是⊙O 上位于 AB 异侧的两点，连接 AD，CD．若AC =BC ，则∠D 的度数为 （ ）
A． 30° B． 45°
C． 60° D． 75°
■题型二 圆周角与圆心角的相关计算（高频考点）
B
第一节 圆的有关概念及基本性质
题型解法
利用圆周角定理及其推论解题时常用辅助线：①过圆上某点作直径，连接过直径端点的弦；②弦垂直平分半径时可构造直角三角形；③构造同弧所对的圆周角；④构造圆内接四边形，利用对角互补求角.
第一节 圆的有关概念及基本性质
对点集训
练 ［25·石家庄新华区一模］ 如图，△ABC 是⊙O的内接三角形，AB=BC，∠BAC=30°，AD 是直径，AD=8，则 AC 的长为 （ ）
A. 4 B． 4
C． D． 2
B(共18张PPT)
第三节 与圆有关的计算
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第三节 与圆有关的计算
■考点一 弧长和扇形面积的相关计算（必考，考查弧长和扇形面积）
圆周长 弧 长 圆面积 扇形面积 R 为圆（扇形）的半径，
n°为弧所对的圆心角
度数，l 是扇形的弧长.
C=______. l=_____. S=_______. S=_______= lR 2πR
πR2
第三节 与圆有关的计算
知识能力进阶
应用弧长公式和扇形面积公式时，一不要混淆字母，二要牢记 n 指的是扇形的圆心角度数，而不是圆周角度数.
第三节 与圆有关的计算
教材习题变式夯基础
1.［人九上 P115 习题变式］ 如图，一个半径为 9 cm 的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了 120°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是 （ ）
A． 5π cm B． 6π cm C． 7π cm D． 8π cm
B
第三节 与圆有关的计算
2.［冀九上 P169 习题变式］ 三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点 O 为扇形的圆心，格点 A，B，C 分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为 1，则扇形 EOF 的面积为 （ ）
A． π B． π C． π D． π
A
圆锥的有关公式 （1）侧面积：S 侧= = _______. （2）全面积：S 全=S 侧+S 底，其中 S 底=πr2.
侧面展开 图圆心角 第三节 与圆有关的计算
■考点二 圆锥的相关计算
πrl
第三节 与圆有关的计算
知识能力进阶
圆锥与其侧面展开图之间的关系：（1）圆锥的侧面展开图是扇形；（2）圆锥的轴截面是等腰三角形，圆锥的母线长 l 和底面圆半径 r、圆锥的高 h 满足 r2+h2=l2；（3）圆锥底面圆的周长等于其侧面展开后所得扇形的弧长；圆锥的母线长等于其侧面展开后所得扇形的半径.
第三节 与圆有关的计算
■考点三 阴影部分面积的计算
规则扇形 （1）已知圆心角 n 和半径 R，直接套用公式 S= ； （2）已知弧长 l 和半径 R，直接套用公式 S= lR. 扇形不规 则图形 （转化法） 等积变形法
第三节 与圆有关的计算
扇形不规 则图形 （转化法） 构造和差法
对称法
续表
第三节 与圆有关的计算
例 ［25·河北 21 题］ 如图 1，图 2，正方形ABCD的边长为 5．扇形 OEF 所在圆的圆心 O 在对角线 BD 上，且不与点 D 重合，半径 OE=2，点 E，F 分别在边 AD，CD 上，DE=DF（DE≥2），扇形 OEF 的弧交线段 OB 于点 M，记为 EMF ．
（1）如图 1，当 AE=3 时，求∠EMF 的度数；
（2）如图 2，当四边形 OEMF 为菱形时，求DE 的长；
（3）当∠EOF=150°时，求 EMF 的长．
■题型 弧长与扇形面积的计算（高频考点）
第三节 与圆有关的计算
第三节 与圆有关的计算
解：（1）∵ 四边形 ABCD 为边长为5 的正方形，∴AD=BC =5，∠ADC =90°，∵AE=3，∴DE=2，∵DE=DF，
∴DE=DF =2．∵OE=OF =2，∴DE =DF =OE=OF=2，∴ 四边形 OEDF 为正方形，∠EOF=90°，∴∠EMF= ∠EOF=45°；
第三节 与圆有关的计算
（2）如图 1，连接 EF，交 BD 于点 H，
∵ 四边形 OEMF 为菱形，∴OE=EM=OF=MF=2，EH⊥MD，
∵OM=OE=OF=2，∴△OEM，△OFM 为等边三角形，
∴∠OEM=∠OME=∠OMF=∠OFM=60°，
∴EH=ME·sin60°=2× = ．
∵ 四边形 ABCD 为边长为 5 的正方形，
∴BD 平分∠ADC，∴∠ADB=45°，
∴△EDH 为等腰直角三角形，∴DH=EH= ，
∴DE= DH= ；
第三节 与圆有关的计算
（3）当∠EOF=150°时，如图 2，
∴EMF 的长为 = ；
当∠EOF=150°时，如图 3，
∴EMF 的长为 = ．
综上，当∠EOF=150°时，EMF 的长为 或 ．
第三节 与圆有关的计算
题型解法
求弧长与扇形面积的关键是求出弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径.当题中没有直接给出这两个条件时，需要利用圆的相关知识（弦、弦心距、圆心角等）求出圆的半径或弧所对的圆心角，对于不规则扇形的计算，通常利用转化法求解.
第三节 与圆有关的计算
对点集训
练 ［25·张家口模拟］日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，⊙O 表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边 AB 在水平线 l 上，△OAB 为等边三角形，OA，OB 与⊙O 分别交于 P，Q 两点．点 C，D 是⊙O 上两点，CD∥AB，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，交 CD 于点F，交⊙O 于点 M．已知 CD=60 cm，FM=30 cm，ME=20 cm.
（1）求⊙O 的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
第三节 与圆有关的计算
解：（1）∵OE⊥AB，CD∥AB，
∴OE⊥CD，∴DF=CF= CD，∵CD=60 cm，
∴DF=30 cm，在题图上连接OD，
设⊙O 的半径 OD=OM=r，
∴OF=OM-FM=r-30，在 Rt△ODF中，r 2=（30 ）2+（r-30）2，解得 r=60，即⊙O 的半径为 60 cm；
第三节 与圆有关的计算
（2）∵△OAB 为等边三角形，
∴∠OBE=∠BOA=60°，AB=OB，∵OE⊥AB，∴∠BEO=90°，BE= AB，
∴OE=OM+ME=60+20=80（cm），
在 Rt△BOE 中，802+( AB)2=OB2=AB2，解得 AB= （负值舍去），
∴S △OAB= AB·OE= × ×80= ，
∵S 扇形 POQ= =600π，
∴S 阴影=S△OAB-S 扇形 POQ=( -600π )cm2．

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