资源简介

(共31张PPT)
第一节 视图与投影
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
■考点一 投 影
中心投影 由一点（点光源）射出的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.手电筒、电灯泡所发出的光线形成的投影是 _______ 投影.
平行投影 由 _______ 光线形成的投影叫做平行投影.太阳光形成的投影是 _______ 投影.
正投影 投影线 _______ 照射在投影面上的物体的投影叫做正投影.
第一节 视图与投影
中心
平行
平行
垂直
知识能力进阶
中心投影的光线交于一点，平行投影的光线 _______.
第一节 视图与投影
互相平行
第一节 视图与投影
教材习题变式夯基础
1.［冀九下 P92 练习改编］ 下列各种现象：①阳光下沙滩上人的影子；②晚上人走在路灯下的影子；③中午用来乘凉的树影；④阳光下旗杆的影子；⑤舞台上演员的影子．其中属于中心投影的是______（填序号）．
②⑤
概 念 主视图：从正面观察物体时，看到的图形叫做主视图；左视图：从左面观察物体时，看到的图形叫做左视图；俯视图：从上面观察物体时，看到的图形叫做俯视图.
■考点二 几何体的三视图及还原（必考，考查简单组合体的三视图及由三视图判断几何体）
1. 三视图的概念及画法 （近 6 年连续考查）
第一节 视图与投影
画 法 画三视图时，主视图与俯视图要 ______ 对正，主视 图与左视图要 _________ 平齐，左视图与俯视图要 ___ 相等.
注意：看得见的部分的轮廓线画成______， 看不见的画成 ______.例如：长方体的三视图如图所示. 第一节 视图与投影
长
高
宽
实线
虚线
续表
2.常见几何体的三视图（近 6 年连续考查）
第一节 视图与投影
3. 根据三视图描述几何体 （2020 年、2022 年、2023 年、2025 年考查）
主视图反映物体的 _______ 和 _______；俯视图反映物体的 _______ 和 _______；左视图反映物体的 _______ 和 _______.
第一节 视图与投影
长
高
长
宽
宽
高
知识能力进阶
1. 由三视图判断几何体的口诀：俯视图打地基；主视图疯狂盖；左视图拆违章.
2. 根据三视图还原几何体的步骤：（1）想象：根据各视图想象从各个方向看到的几何体的形状；
（2）定形：综合确定几何体（或实物模型）的形状；
（3）定位置大小：根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置，以及各个方向的尺寸.
第一节 视图与投影
易错易混警示
1. 长方体的三视图中也可能有正方形.
2. 画圆锥的俯视图时不能忽略圆的中心的圆点.
第一节 视图与投影
第一节 视图与投影
教材习题变式夯基础
1.［北师九上 P123 习题改编］ 如图所示的几何体的主视图是（ ），左视图是（ ），俯视图是（ ）.
A
D
B
第一节 视图与投影
2.［人九下 P109 习题改编］ 如图是某个几何体从不同的方向看所得到的图形，那么这个几何体是由几个小正方体组合而成的 （ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
A
■考点三 立体图形的展开与折叠（考查常见几何体的展开与折叠）
常见几何体
展开图特点 6 个大小相同的 _____. 2 个相等的______和1 个 _____，矩形在中间，两个圆一上一下. 1 个圆和 1 个 _____，圆与扇形的弧相连. 2 个全等的 ______和 3 个 ______.
第一节 视图与投影
1. 常见几何体的展开图 （2021 年考查）
正方形
圆
矩形
扇形
三角形
矩形
续表
第一节 视图与投影
展开图 （其中一种）
类 型 展开图及特点 展开图
“1-4-1”型 展开图有 3 行，中间一行有 4 个正方形，其余两行均为 1个正方形.
“2-3-1”型 展开图有 3 行，第一行有 2 个正方形且第一个正方形露出头，中间一行有 3 个正方形，第三行有 1 个正方形（俗称“马字头”）.
第一节 视图与投影
2. 正方体展开图的常见类型（注：同色为相对面） （2021 年考查）
续表
第一节 视图与投影
“2-2-2”型 展开图有 3 行，每行均有 2 个正方形，且依次错开.
“3-3”型 展开图有 2 行，每一行均有 3 个正方形，且第一行的尾与第二行的首相接.
知识能力进阶
正方体的表面展开图中不能出现“ ”“ ”“ ”图形，
更不能出现五个排一行.若出现“ ”类型，则另两个面必须在其两侧各一个.
第一节 视图与投影
第一节 视图与投影
教材习题变式夯基础
1.［人七上 P123 习题改编］ 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是 （ ）
B
第一节 视图与投影
2.［冀九下 P111 习题改编］ 如图是一个正方体盒子展开后的平面图形，六个面上分别写有“数”“学”“核”“心”“素”“养”，则“素”字对面的字是 （ ）
A． 核 B． 心 C． 数 D． 学
B
例 1 若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都由四个同样大小 的小 正 方 体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是 （ ）
■题型一 几何体的识别 （常考考点）
第一节 视图与投影
A
题型解法
第一节 视图与投影
对点集训
练 ［25·苏州］ 如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是 （ ）
第一节 视图与投影
A
例 2 ［24·河北 6 题］如图是由 11 个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是 （ ）
■题型二 判断几何体的三视图（常考考点）
第一节 视图与投影
D
题型解法
第一节 视图与投影
对点集训
练 ［25·安徽］“阳马”是由长方体裁得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为（ ）
第一节 视图与投影
A
■题型三 由三视图还原几何体（常考考点）
例 3 ［25·河北 5 题］ 一个几何体由圆柱和正方体组成 ，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为 （ ）
第一节 视图与投影
A
题型解法
根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高，并从实线和虚线处想象几何体看得见的部分和看不见的部分的轮廓线.
第一节 视图与投影
对点集训
练 ［25·邢台一模］一个不透明立方体的 6 个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，任意两对面上所写的两个数字之和为 7，将这样的几个立方体按照互相贴合两个面上的数字之和为 8，摆放成一个几何体．这个几何体的三视图（如图所示）有一部分被损坏，图中所标注的是部分面上所见的数字，下列关于★所代表的数可能性最大的是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
第一节 视图与投影
A
■题型四 立体图形的展开与折叠
例 4 ［25·石家庄模拟］ 爱学习的小华将“数学很好玩”这五个字分别写在如图所示的方格纸中，现将这五个方格剪下（沿实线四周剪切，相互之间不剪断），沿实线折叠成无盖的正方体盒子，则哪个字的相对面没有字（ ）
A． 数 B． 学 C． 很 D． 好
第一节 视图与投影
B
题型解法
观察三视图→判断几何体的形状→根据几何体展开图的特点求解．
第一节 视图与投影
对点集训
练 ［优质原创］如图是正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点 A 最远的点是 （ ）
A. 点 B B. 点 C
C. 点 D D. 点 E
第一节 视图与投影
B(共27张PPT)
第二节 尺规作图
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
■考点一 基本作图（必考，考查尺规作图的相关证明与计算）
五 种 基 本 作 图 作图内容 步 骤 图 示
作一条线段等于已知线段 ①作射线 OP； ②以点 O 为圆心，_____ 为半径作弧，交 OP 于点 A，线段 OA 即为所求作的线段.
作角平分线 ①以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA，OB 于点 N，M；②分别以点 M，N 为圆心，_____ MN 的长为半径作弧，两弧相交于点 P；③过点 O 作射线 OP，OP 即为所求作的角平分线.
a 的长
第二节 尺规作图
大于
续表
五 种 基 本 作 图 作线段的垂直平分线 ①分别以点 A，B 为圆心，大于 __________ 的长为半径在 AB 两侧作弧，两弧分别交于点 M 和点 N； ②过点 M，N 作直线 MN，则直线 MN 即为所求作的线段 AB 的垂直平分线.
第二节 尺规作图
AB
续表
五 种 基 本 作 图 作一个角等于已知角 ①在∠α 上以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α 的两边于点P，Q；②作射线 O′A；③以点 O′为圆心，_______________ 长为半径作弧，交 O′A 于点 M；④以点 M 为圆心，________ 长为半径作弧，交前弧于点 N；⑤过点 N 作射线 O′B，则∠BO′A 即为所求作的角.
第二节 尺规作图
OP（或 OQ）
PQ
续表
五 种 基 本 作 图 过一 点作 已知 直线 的垂 线 过直线上一点 O 作已知直线的垂线 ①以直线上的点 ____ 为圆心，任意长为半径作弧，交直线于A，B 两点；②分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 长为半径向直线两侧作弧，交点分别为 M，N；③过点 M，N 作直线 MN，则直线 MN 即为所求作的垂线
O
第二节 尺规作图
续表
五 种 基 本 作 图 过一 点作 已知 直线 的垂 线 过直线外一点 P 作已知直线的垂线 ①在直线的另一侧取点 M；②以点 P 为圆心、PM 的长为半径作弧，交直线于点 A，B；③分别以点 A，B 为圆心，大于 AB 长为半径作弧，在点 M 的同侧交于点 N；④过点 P，N 作直线 PN，则直线 PN 即为所求作的垂线.
第二节 尺规作图
知识能力进阶
过直线外一点 P 作已知直线的平行线：①如图，过点 P 作直线 PQ 交AB 于点 Q；②以点 Q 为圆心，适当长为半径作弧，交 QP 于点 D，交 QB 于点 C；③以点 P为圆心，QC（QD）长为半径作弧，交射线 QP 于点 F；④以点 F 为圆心，CD 长为半径作弧，在 QP 右侧交前弧于点 G，连接直线 PG，则直线 PG 即为所求作. （原理：同位角相等，两直线平行）
第二节 尺规作图
第二节 尺规作图
教材习题变式夯基础
1.［人八上 P51 习题改编］ 如图，在△ABC 中，∠ABC=50°，根据尺规作图痕迹，∠BDE 的度数为（ ）
A． 50° B． 60° C． 65° D． 70°
C
第二节 尺规作图
2.［冀八上 P123 习题改编］ 如图，已知∠AOB=40°，按下列步骤作图：①在 OA 上取一点 D，以点 O为圆心，OD 长为半径画弧，交 OB 于点 C，连接 CD；②以点 D 为圆心，OD 长为半径画弧，交 OB 于点E，连接 DE．
（1）若 OC=3 cm，则 DE=______ cm；
（2）∠CDE 的度数为 ______．
3
30°
已知三边 作三角形 已知：线段 a，b，c，如图. 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a.
作法：①作射线，在射线上截取线段 AB=c； ②以点 A 为圆心，b 的长为半径作弧，以 点 B 为圆心，a 的长为半径作弧且与前弧 相交于点 C； ③连接 AC，BC，则△ABC 即为所求作的三角形.如图所示.
■考点二 作三角形
第二节 尺规作图
已知两边 及其夹角 作三角形 已知：线段 m，n，∠α，如图. 求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.
作法：①作∠CAB=∠α； ②在 AB 边上截取 AB=m，在 AC 边上截取 AC=n； ③连接 BC，则△ABC 即为所求作的三角形．如图所示.
第二节 尺规作图
续表
已知两角 及其夹边 作三角形 已知：∠α，∠β，线段 m，如图. 求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=m.
作法：①作射线，在射线上截取线段 AB=m； ②在 AB 的同旁作∠A=∠α，作∠B=∠β； ③∠A 与∠B 的另一边相交于点 C，则△ABC 即为所求作的三角形.如图所示.
第二节 尺规作图
续表
已知底边 及底边上 的高作等 腰三角形 已知：线段 a，h，如图. 求作：等腰三角形 ABC，使底边 BC=a，底边上的高 AH=h.
作法：①作射线，在射线上截取线段 BC=a； ②作 BC 的垂直平分线 MN，交 BC 于点 H； ③在 MN 上截取 HA=h，得点 A，连接 AB， AC，则△ABC 即为所求作的等腰三角形.如图所示.
第二节 尺规作图
续表
已知一直 角边和斜 边作直角 三角形 已知：线段 a，b，如图. 求作：△ABC，使∠BAC=90°，BC=a，AC=b.
作法：①作直线，在直线上截取线段 AC=b； ②过点 A 作 AC 的垂线； ③以点 C 为圆心，线段 a 长为半径作弧， 交 AC 的垂线于点 B；连接BC， 则△ABC 即为所求作的直角三角形.如图所示.
第二节 尺规作图
续表
过不在同一直线上的三点作圆 已知：不在同一直线上的三点 A，B，C. 求作：⊙O，使它经过点 A，B，C.
作法：如图，①连接 AB，作线段 AB 的 垂直平分线 EF； ②连接 BC，作线段 BC 的垂直平分线 MN； ③以 EF 和 MN 的交点 O 为圆心，以 OB 长为半径作圆.则⊙O 就是所求作的圆． ■考点三 作 圆
第二节 尺规作图
作三角形 的外接圆 及内切圆 作三角形 的外接圆 已知△ABC，求作△ABC 的外接圆⊙O.
作法：如图，①分别作边 AC，BC 的垂直平分线 EF，MN 交于点 O； ②以 O 为圆心，OA 长为半径作圆，则⊙O 就是所求作的圆. 第二节 尺规作图
续表
作三角形 的外接圆 及内切圆 作三角形 的内切圆 已知△ABC，求作△ABC 的内切圆⊙O.
作法：如图，①作∠B，∠C 的平分线，两平分线交于点 O； ②过点 O 作直线 AC 的垂线交 AC 于点 E； ③以点 O 为圆心，OE 长为半径作圆，则⊙O 就是所求作的圆. 第二节 尺规作图
续表
作圆的内接正方形和正六边形 以圆的内接正六边形为例. 已知⊙O，求作⊙O 的内接正六边形.
作法：如图，①画⊙O 的任意一条直径 AB； ②分别以点 A，B 为圆心，以⊙O 的半径 R 为半径作弧，与⊙O 相交于点 C，D 和 E，F； ③顺次连接点 A，C，E，B，F，D 即可得到正六边形 ACEBFD，则六边形 ACEBFD 即为所求. 第二节 尺规作图
续表
例 1 ［25·保定模拟］如图是一张平行四边形纸片 ABCD，要求利用所学知识作出一个菱形，以下是嘉嘉和琪琪两位同学的作法．
■题型一 判断尺规作图（高频考点）
第二节 尺规作图
对于嘉嘉和琪琪的作法，可判断 （ ）
A． 嘉嘉正确，琪琪错误
B． 嘉嘉错误，琪琪正确
C． 嘉嘉和琪琪均正确
D． 嘉嘉和琪琪均错误
第二节 尺规作图
A
题型解法
第二节 尺规作图
对点集训
练 ［25·邯郸二模］ 根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC 的外心的是（ ）
第二节 尺规作图
B
例 2 ［23·河北 8 题］ 综合实践课上， 嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．图 1～图 3是其作图过程．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形 ABCD 为平行四边形的条件是（ ）
A． 两组对边分别平行
B． 两组对边分别相等
C． 对角线互相平分
D． 一组对边平行且相等
■题型二 根据尺规作图进行计算或证明 （常考考点）
第二节 尺规作图
C
第二节 尺规作图
题型解法
常见作图痕迹 隐藏条件
作角平分线 角相等；角平分线上的点到角两边的距离相等.
作线段垂直平分线 线段垂直；线段相等；角相等.
作一个角等于已知角 角相等；直线平行.
第二节 尺规作图
对点集训
练1 ［25·唐山模拟］ 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是 （ ）
A． ∠BDE=∠BAC B． ∠BAD=∠B
C． DE=DC D． AE=AC
第二节 尺规作图
B
练2 ［25·吉林改编］ 如图，在△ABC 中，∠B=45°，且∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如图所示．则下列结论错误的是 （ ）
A. ∠B=∠DCB B. ∠BDC=90°
C. DB=DC D. AD+DC=BC
第二节 尺规作图
D(共34张PPT)
第四节 图形的相似及位似
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
■考点一 比例的有关概念和性质
线段的比 在同一单位长度下，两条线段长度的比叫做两条线段的比.
比例线段 在四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 = ，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
1.比例的相关概念
第四节 图形的相似及位似
比例中项 如果 = ，即 b2=____，就把 b 叫做 a，c的比例中项.
黄金分割 如图，若 = ，则线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 称为线段 AB 的黄金分割点， 称为黄金比.（黄金比= ≈0.618）
续表
第四节 图形的相似及位似
ac
基本性质 如果= ，那么 __________；如果 ad=bc，那么 ab =____（b，d≠0）.
等比性质 如果= =…= （b，d，…，n≠0，b+d+…+n≠0），那么
= ________.
合比性质 如果 = ,那么= ; 如果 = ,那么 = .
2. 比例的性质
第四节 图形的相似及位似
ad=bc
知识能力进阶
1. 一条线段上有两个黄金分割点.
2. 判断四条线段是不是成比例线段，通常先由小到大排列，若最长与最短两条线段长度的积等于另外两条线段长度的积，则这四条线段是成比例线段，否则不是.
第四节 图形的相似及位似
易错易混警示 求两条线段的比值时，两条线段的长度单位应保持一致，但这个比值与单位无关.
第四节 图形的相似及位似
教材习题变式夯基础
1.［人九下 P27 习题改编］ 已知 a，c，b，d 是成比例线段，其中 a=3 cm，b=2 cm，c=6 cm，则线段 d 的长为（ ）
A． 1 cm B． 4 cm C． 9 cm D． 16 cm
2.［冀九上 P61 习题改编］ 如果 = ，那么下列各式不成立的是 （ ）
B
A
第四节 图形的相似及位似
3.［北师九上 P82 习题改编］ 若点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AB=8 cm，AC＞BC，则 AC 等于 （ ）
A． -12 cm B． 2（ -1） cm
C． 4（ -1） cm D． 6（ -1） cm
C
基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的线段对应 ______. 如图，若 l1∥l2∥l3，则
推论1 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）， 所得的对应线段 _________.如图，若 DE∥BC，则
推论2 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线， 所截得的三角形与原三角形的对应边 ______.如图， 若 DE∥BC，则
成比例
第四节 图形的相似及位似
成比例
成比例
■考点二 平行线分线段成比例（常考）
第四节 图形的相似及位似
教材习题变式夯基础
1.［人九下 P43 习题改编］ 如图，用带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点 A 在数轴上表示的数是-2，则点 B 在数轴上表示的数是 ______．
4
定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做 _______.
性 质 （1）相似三角形的对应角 __________，对应边 _________.
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 _______.
（3）相似三角形周长的比等于 _______，面积的比等于相似比的 ________.
■考点三 相似三角形的判定与性质（必考，考查相似三角形的判定与性质）
第四节 图形的相似及位似
相似比
相等
成比例
相似比
相似比
平方
判定 （1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形_______.
（2）__________ 角对应相等的两个三角形相似.
（3）两边对应成比例且 _________ 角相等的两个三角形相似.
（4）__________ 边对应成比例的两个三角形相似.
（5）直角边、斜边对应成比例的两个 __________ 三角形相似.
续表
夹
第四节 图形的相似及位似
三
直角
相似
两
第四节 图形的相似及位似
知识能力进阶
相似三角形的五种基本模型
第四节 图形的相似及位似
易错易混警示 1. 利用相似三角形的性质解决问题时，没有给出对应关系时，要分类讨论.
2. 在确定对应角和对应边时，要遵循“大对大，小对小”，对顶角、公共角是对应角.
第四节 图形的相似及位似
教材习题变式夯基础
1.［人九下 P42 习题改编］ 如图，AE，BD 交于点 C，BA⊥AE 于点 A，ED⊥BD 于点 D，若 AC=4，AB=3，CD=2，则 DE=______．
第四节 图形的相似及位似
2.［冀九上 P71 习题改编］ 如图，D 是△ABC 的边 AB 上的一点，BD= ，AB=3，BC=2．若 CD= ，则AC 的长为 ______．
■考点四 相似多边形
定 义 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.
性 质 ①相似多边形的对应角 ______；
②相似多边形中的对应线段（边、高线、中线和角平分线）的比等于 ______；
③相似多边形的周长的比等于 ______，面积比等于相似比的 ______.
第四节 图形的相似及位似
相等
相似比
相似比
平方
定义 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做___________，相似比叫做 _______.
性质 （1）两个图形是相似图形，具有相似图形的一切性质；
（2）对应点的连线都经过 ______；
（3）对应边互相 ______ 或在同一条直线上；
（4）在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，位似比为 k，那么位似图形上的对应点的坐标比等于 ________.
第四节 图形的相似及位似
位似中心
位似比
同一点
平行
k 或-k
■考点五 位似图形
位似 作图 （1）确定位似中心 O；
（2）连接图形各关键点与位似中心 O；
（3）依照位似比在所连接的线段（或延长线）上找各关键点变换后的对应点；
（4）顺次连接各关键点变换后的对应点，所得图形就是所求作的图形.
续表
第四节 图形的相似及位似
知识能力进阶
1. 位似是具有特殊位置关系的相似.位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.
2. 位似作图时，同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形.
第四节 图形的相似及位似
第四节 图形的相似及位似
教材习题变式夯基础
1.［人九下 P42 习题改编］ 如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，AC 的中点，则与△ADF 位似的三角形是 ____________．
△ABC，△EFD
第四节 图形的相似及位似
2.［北师九上 P105 习题改编］ 一把放缩尺如图所示，当画笔 A 沿图形 F 运动时，画笔 A′随之画出放大后的位似图形 F′．若位似比为 1∶3，图形 F 的周长是 4，则图形 F′的周长是________．
12
例 1 ［25·河北 9 题］ 如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长 BA，BC，分别交直线 DE 于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是 （ ）
A． ∠B+∠4=180° B． CD∥AB
C． ∠1=∠4 D． ∠2=∠3
■题型一 相似三角形的判定与性质（常考考点）
第四节 图形的相似及位似
D
题型解法
第四节 图形的相似及位似
对点集训
练 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC的边上，且 DE∥BC，△ABC 的中线 AF 交DE 于点 G．若四边形 BDEC 的面积与△ADE的面积相等，AG=1，则 FG 的长为 （ ）
A． 1 B． -1
C． D． -1
第四节 图形的相似及位似
B
例 2 ［25·邢台模拟］ 风力发电是我国电力资源的重要组成部分．嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算．如图（图中所有的点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段 OA，OB，OC 表示三片风叶，OA=OB=OC，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，某时刻 OA，OB 的影子恰好重合为线段 EF，OD⊥DF 于点 D，测得 DE=36 m，EF=20 m.同一时刻测得高 4 m的标杆 MN 影长为 3 m.
（1）直接写出∠ABO 的度数及 OD 的长；
（2）求风叶转动时点 B 到地面 DF 的最小距离．
■题型二 相似三角形的应用
第四节 图形的相似及位似
第四节 图形的相似及位似
第四节 图形的相似及位似
解：（1）∠ABO=30° ，OD=48 m；
（2）如图 2，过点 O 作 OH⊥AB 于点H，过点 E 作 EI⊥AF 于点 I，
第四节 图形的相似及位似
在 Rt△NMG 中，由勾股定理得 NG=5 m，同理可证明△EIF∽△NMG，
∴ = ，∴ = ，∴EI=16 m，
由题意得，OE∥AF，而 OH⊥AF，EI⊥AF，∴OH =EI =16 m，∵ 在 Rt△OBH中，∠ABO=30°，∴BO=2OH=32 m，
∴ 当 OB 在 OD 上时，点 B 到 DF 的距离最小，为 48-32=16（m）.
答：风叶转动时点 B 到地面 DF 的最小距离为 16 m.
题型解法
实际生活中，面对不能直接测量出长度和宽度的物体，我们可以应用相似三角形的知识来测量，在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造和实物所在三角形相似的三角形，而且要能测量已知三角形的各条线段的长，把实际问题转化为数学问题，建立三角形相似关系，运用相似三角形对应线段（边、高线、中线和角平分线）的比成比例求解.
第四节 图形的相似及位似
对点集训
练 如图，安装路灯 AB 的路面CD 比种植树木的地面 PQ 高CP=1.2 m，在路灯的照射下，路基 CP 留在地面上的影长EP 为 0.4 m， 通过测量知道BC 的距离为 1.5 m， 则路灯AB 的高度是 （ ）
A． 3 m B． 3.6 m C． 4.5 m D． 6 m
第四节 图形的相似及位似
C
例 3 ［25·邯郸模拟］ 如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，则位似中心是 （ ）
A． 点 M B． 点 N
C． 点 Q D． 点 P
■题型三 与位似有关的证明与计算 （常考考点）
第四节 图形的相似及位似
D
题型解法
第四节 图形的相似及位似
对点集训
练1 ［25·内蒙古］ 如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标分别是 O（0，0），A（2，1），B（1，2），以原点 O 为位似中心，在第三象限画△OA′B′与△OAB 位似，若△OA′B′与△OAB 的相似比为 2∶1．则点 A 的对应点 A′的坐标为 （ ）
A．（-2，-1） B．（-4，-2）
C．（-1，-2） D．（-2，-4）
第四节 图形的相似及位似
B
练2 ［25·秦皇岛一模］ 如图，正方形 OEFG 和正方形 ABCD 是位似图形，且点 F 与点 C 是一对对应点，点 F 的坐标是（1，1），点 C 的坐标是（4，2），则它们的位似中心的坐标是 ________．
第四节 图形的相似及位似
（-2，0）(共62张PPT)
第三节 图形的对称、平移与旋转
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
■考点一 成轴对称与轴对称图形（常考，考查轴对称图形及轴对称的性质）
轴对称图形 轴对称
图形
1. 轴对称图形与成轴对称（2024 年、2025 考查）
第三节 图形的对称、平移与旋转
定义 如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全 _____，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做 ________.如上图 ， △ABC 是 轴 对称图形，直线 l 为对称轴. 如果两个图形沿某条直线对折后，这两个图形能够完全 _______，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做_________.如
上图，△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 成轴对称.
续表
第三节 图形的对称、平移与旋转
重合
对称轴
重合
对称轴
区别 （1）轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；（2）对称轴可能不止一条. （1）成轴对称是指两个全等图形之间的相互位置关系；（2）只有一条对称轴.
轴对称的性质 （1）对应点的连线被对称轴 ______； （2）对应线段 _____，对应角 ______； （3）对应线段或延长线的交点在 ______ 上； （4）成轴对称的两个图形 _______. 续表
第三节 图形的对称、平移与旋转
垂直平分
相等
相等
对称轴
全等
续表
轴对称图形的 作法 （1）作垂线：过关键点（如三角形顶点）向对称轴作垂线；（2）作延长：作出垂线段的延长线；（3）截相等：在延长线上截取和垂线段相等的线段，交点即为该关键点的对应点；（4）连线：按原图形的顺序依次连接对应点，得到轴对称图形.
常见的轴对称 图形 线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、正 n（n 是正整数）边形、圆等.
第三节 图形的对称、平移与旋转
易错易混警示
1. 对称轴是一条直线，而不是射线或线段.
2. 成轴对称的两个图形全等，而全等的两个图形不一定成轴对称，成轴对称是和位置有关的一种图形变换.
第三节 图形的对称、平移与旋转
折叠的 实质 几何图形折叠的实质是 _______，位于折痕两侧的图形关于折痕所在直线成轴对称.
折叠的 性质 （1）满足轴对称的所有性质，即折叠前后的两部分图形 ______，对应边、角、线段、周长、面积等均相等；
（2）折叠前后，对应点的连线被折痕 ________.
2. 几何图形的折叠 （2022 年考查）
第三节 图形的对称、平移与旋转
轴对称
全等
垂直平分
知识能力进阶
在折叠背景的问题中，常见的问题有角度的计算、线段长度的计算.
（1）当题目中涉及直角时，常利用勾股定理、相似三角形的性质或锐角三角函数建立方程来解决问题；
（2）当题目中涉及中点时，常利用中线或中位线的知识解决问题；
（3）当折叠背景为平行四边形时，要考虑平行四边形的性质，常利用角平分线和平行线构造等腰三角形解决问题.
第三节 图形的对称、平移与旋转
第三节 图形的对称、平移与旋转
教材习题变式夯基础
1.［人八上 P64 习题改编］ 如图中所有的小正方形都全等，若拿走图中①②③④某一位置上的小正方形，使剩下的 6 个小正方形组成的图形是轴对称图形，则这个位置是 （ ）
A． ① B． ② C． ③ D． ④
C
第三节 图形的对称、平移与旋转
2.［冀八上 P114 习题改编］ 如图，在正方形纸片 ABCD 上，E 是 AD 上一动点（不与点 A，D 重合）．将正方形纸片沿 BE 折叠，使得点 A 的对应点 A′落在正方形内部，延长 EA′交 CD 边于点 F，则∠EBF的度数为 （ ）
A． 40° B． 45° C． 50° D． 不是定值
B
第三节 图形的对称、平移与旋转
3.［冀八上 P136 习题改编］ 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D，E 分别为 AB，AC 上一点，将△BCD，△ADE 分别沿 CD，DE 折叠，点 A，B 恰好重合于点 A′处．则∠EA′C=______，若 BC=3，AC=5，则 AE=______．
90°
■考点二 常见图形的裁剪与拼接
第三节 图形的对称、平移与旋转
如图 1，在任意直角三角形中，找其中任意两条边的中点，沿着中点的连线裁剪可拼成平行四边形.
如图 2，在等腰直角三角形中可以沿着斜边中线裁剪，拼成三种平行四边形，也就是说两个全等的三角形可以拼成三种平行四边形．
如图 ３，一大一小两个正方形可以裁剪拼接成一个大正方形．
如图 ４，当 时，正方形可裁剪拼接成矩形.
第三节 图形的对称、平移与旋转
知识能力进阶
1. 图形的裁剪与拼接的过程中，总面积是不变的.
2. 一个图形裁剪成两个图形，周长增加两个裁剪痕迹的长；两个图形拼接成一个图形，周长减少两个裁剪痕迹的长.
第三节 图形的对称、平移与旋转
中心对称图形 中心对称
图 形
■考点三 中心对称图形与中心对称 （常考，考查中心对称的辨别与性质）
第三节 图形的对称、平移与旋转
定 义 如果一个图形绕某一个点旋转 _____后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形 ， 这个点叫做它的 _______，其中对称的点叫做________.如上图， ABCD 是中心称图形， 点 O 是_________. 如果一个图形绕某一点旋转 _____ 后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称，这个点叫做 _____，其中成中心对称的点、线段和角，分别叫做对应点、对应线段和对应角.如上图，△ABC 与△A′BC′关于点O成中心对称.
续表
第三节 图形的对称、平移与旋转
180°
对称中心
对应点
对称中心
180°
对称中心
区 别 中心对称图形是指具有特殊形状的一个图形. 中心对称是指两个全等图形之间的相
互位置关系.
中心对 称的 性质 （1）成中心对称的两个图形，对应点连线都经过___________，并且被对称中心_______； （2）成中心对称的两个图形 _______. 第三节 图形的对称、平移与旋转
对称中心
平分
全等
续表
确定对称中心 的方法 （1）连接任意一对对应点，取这条线段的中点，则该中点为对称中心；
（2）任意连接两组对应点，这两条线段的交点就是对称中心.
常见的中心对 称图形 线段、平行四边形、正 2n（n 为正整数）边形、圆等.
续表
第三节 图形的对称、平移与旋转
知识能力进阶
1. 过中心对称图形对称中心的直线将图形分成全等的两部分.
2. 成中心对称的两个图形，其对应线段互相平行或在同一条直线上.
第三节 图形的对称、平移与旋转
第三节 图形的对称、平移与旋转
教材习题变式夯基础
1.［人九上 P69 习题改编］ 在下列图形中，是轴对称图形的是 ______，是中心对称图形的是 ______，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ______. （填序号）
①③④
②④
④
■考点四 最短路线问题
基本 问题 如图，在直线 l 上找一点P，使得点 P 到点 A 和
点 B 的距离之和最小，即 PA+PB 的值最小.
解决 方法 如图，作点 A 关于直线 l的对称点 A′，连接 A′B
且与直线 l 相交于点 P，连接 PA，PB，则点 P 即
为所求，此时 PA+PB 的值最小.
依据 ①轴对称的性质；②两点之间，线段最短.
第三节 图形的对称、平移与旋转
■考点五 图形的平移（必考,常结合平移考查几何图形综合问题）
定义 如图，在平面内，一个图形沿着一定的方向
移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.
要素 平移的 ____ 和 _____.
性质 （1）平移前后，对应线段 ____，对应角 _____；
（2）各对应点所连接的线段 _____（或在同一条直线上）且 ______；
（3）平移前后的图形 ______.
第三节 图形的对称、平移与旋转
方向
距离
相等
相等
平行
相等
全等
1. 图形的平移 （近 6 年连续考查）
作图 步骤 （1）确定平移的方向和距离；
（2）找出原图形的关键点；
（3）过关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移距离相等的线段，得到关键点的对应点；
（4）按原图形的顺序依次连接各对应点，得到平移后的图形
续表
第三节 图形的对称、平移与旋转
2. 图形的平移与坐标变换 （2021 年、2022 年、2024 年、2025 年考查）
平移方式 图形向上（下）平移 m个单位长度 图形向右（左）平移 n 个单位长度 图形平移各点坐标变化口诀
平移后的各点坐标 （x，y+m）［（x，y-m）］ （x+n，y）［（x-n，y）］ 横坐标右移 _____，左移 ____；
纵坐标上移 _____，下移 _____.
第三节 图形的对称、平移与旋转
加
减
加
减
知识能力进阶
1. 平移的距离相等，平移可以改变图形的位置和朝向，但不改变图形的形状和大小，平移是可逆的，即平移逆向运动之后返回原始位置.
2. 图形平移的距离是指连接一对对应点的线段的长度.在计算图形平移的距离时，首先找到一对对应点，连接它们的线段的长度即为平移的距离，注意表示平移距离长度的线段不唯一，要选择合适的线段进行计算.
第三节 图形的对称、平移与旋转
第三节 图形的对称、平移与旋转
教材习题变式夯基础
1.［人七下 P28 思考改编］ 如图，四边形 A′B′C′D′是由四边形 ABCD 平移得到的，若 BB′=3，AD=7，则 AD′长度的取值范围是 ____________．
4＜AD′＜10
第三节 图形的对称、平移与旋转
2.［人七下 P29 例改编］ 如图，已知△ABC 的面积为 6，BC=4．现将△ABC 沿直线 BC 向右平移 a 个单位长度到△DEF 的位置．当△ABC 所扫过的面积为 18 时，那么 a 的值为 ______．
4
定 义 如图，把一个图形绕着平面内的某一点沿某个方向旋转
一定角度的图形变换叫做旋转，这个点叫做旋转中心，
转动的角度叫做旋转角.
要 素 旋转中心、旋转 ____ 和旋转 _____.
性 质 （1）对应点到旋转中心的距离 _____；（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形 ______.
■考点六 图形的旋转（必考，考查旋转的性质）
第三节 图形的对称、平移与旋转
方向
角度
相等
全等
作图 步骤 （1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角；（2）找出原图形的关键点；（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；（4）按原图形的顺序依次连接各对应点，得到旋转后的图形.
续表
第三节 图形的对称、平移与旋转
知识能力进阶
确定旋转中心的方法：在图形的旋转过程中，判断旋转中心的位置，要看旋转中心是在图形上还是不在图形上；若在图形上，哪一点在旋转的过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心；若不在图形上，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心.
第三节 图形的对称、平移与旋转
第三节 图形的对称、平移与旋转
教材习题变式夯基础
1.［人九上 P63 习题改编］ 如图，将一个三角板 ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 60°，得到△ADE，连接BE，且 AC=BC=2，∠ACB=90°，则线段 BE 的长度为 （ ）
A． - B． C． D． 1
A
第三节 图形的对称、平移与旋转
2.［北师八下 P77 习题改编］ 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 α（0°＜α＜90°）得到△A′BC′，M，M′分别为 AC，A′C′的中点．
（1）若∠ABC′=145°，则 α=______°；
（2）若 AC=10，MM′=5，则 α=______°．
55
60
例 1 ［25·邯郸模拟］ 如图，沿着大圆的外围放置 n 个小等圆，若得到图形是中心对称图形，则 n 的值可能是（ ）
A． 3 B． 5
C． 7 D． 8
■题型一 对称图形的识别
第三节 图形的对称、平移与旋转
D
题型解法
轴对称图形与 中心对称图形 的判断方法 （1）判断轴对称图形的关键是寻找对称轴；判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心；（2）边数为奇数的正多边形是轴对称图形，不是中心对称图形；边数为偶数的正多边形既是中心对称图形，又是轴对称图形.
轴对称图形与 中心对称图形 的特点 中心对称图形只有一个对称中心，但轴对称图形的对称轴未必唯一；如果一个图形既是轴对称图形（对称轴不止一条）又是中心对称图形，那么对称轴的交点必是对称中心.
第三节 图形的对称、平移与旋转
对点集训
练 ［25·新疆］ 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是 （ ）
第三节 图形的对称、平移与旋转
C
例 2 ［24·河北 3 题］如图，AD 与 BC 交于点O，△ABO 和△CDO 关于直线 PQ 对称，点A，B 的对称点分别是点 C，D． 下列不一定正确的是 （ ）
A. AD⊥BC
B. AC⊥PQ
C. △ABO≌△CDO
D. AC∥BD
■题型二 与图形对称有关的证明和计算 （常考考点）
第三节 图形的对称、平移与旋转
A
题型解法
对称图形的性质：（1） 对应点的连线被对称轴平分；（2）对应线段相等，对应角相等；（3）对应线段或延长线的交点在对称轴上；（4）成轴对称的两个图形全等.
第三节 图形的对称、平移与旋转
对点集训
练1 ［25·邯郸模拟］如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线 MN 对称，BB′交 MN 于点 O，下列结论：①AB=A′B′；②OB=OB′；③AA′∥BB′；④△ABC≌△A′B′C′，其中错误的有（ ）
A． 4 个
B． 1 个
C． 0 个
D． 2 个
第三节 图形的对称、平移与旋转
C
练2 ［优质原创］折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，点 P 在边 CD 上，且不与点 C，D 重合，直线AP 与 BC 的延长线交于点 E．
（1）如图 1，当点 P 是 CD 的中点时，猜想△ADP 与△ECP 的关系为 ______________，证明你的结论；
第三节 图形的对称、平移与旋转
△ADP≌△ECP
第三节 图形的对称、平移与旋转
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥CB，
∴∠DAP=∠E，∠D=∠DCE，
∵ 点 P 是 DC 的中点，
∴DP=CP，
∴△ADP≌△ECP（AAS）；
（2）如图 2，将△ADP 沿直线 AP 折叠得到△AD′P，点 D′落在矩形 ABCD 的内部，延长PD′交直线 AB 于点 F．
①猜想 AF 与 PF 的数量关系为 ________________，在（1）条件下可求
AF=__________；②连接 D′C，求△PCD′周长的最小值.
第三节 图形的对称、平移与旋转
AF=PF
第三节 图形的对称、平移与旋转
解：②∵ 将△ADP 沿直线 AP 折叠得到△AD′P，∴AD′=AD=3，PD′=PD，
∴△PCD′的周长=CP+PD′+CD′=CD+CD′=4+CD′，
如图，连接 AC，∵AD′+D′C＞AC，
∴ 当点 D′恰好位于对角线 AC 上时，CD′+AD′最小，
在 Rt△ABC 中，AB=4，DC=3，∴AC= =5，
∴CD′的最小值=AC-AD′=5-3=2，
∴△PCD′周长的最小值=4+CD′=4+2=6．
■题型三 图形的裁剪与拼接
例 3 在某次数学探究活动中，小明将一张斜边长为 4 的等腰直角三角形 ABC（∠A=90°）硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F 分别是 AB，AC，BC 的中点，G，H 分别为 DE，BF 的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为______，最大值为 __________.
第三节 图形的对称、平移与旋转
8
8+2
题型解法
理解图形属性→学会分割图形→掌握图形拼接的方式→注意面积和比例的关系
第三节 图形的对称、平移与旋转
对点集训
练 如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪成四部分， 恰好能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形，则这个正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为 （ ）
第三节 图形的对称、平移与旋转
C
■题型四 图形平移的有关计算与证明（常考考点）
例 4 ［25·邯郸模拟］ 如图，△A′B′C′是由△ABC沿 AD 方向平移得到的，其中点 D 为 BC 的中点，当△ABC 的面积为18 cm2， △A′ EF 的面积为 8 cm2，AA′ =1 cm 时 ，A′D 的长为 （ ）
A． 2 cm B． 3 cm C． 4 cm D． 5 cm
第三节 图形的对称、平移与旋转
A
题型解法
第三节 图形的对称、平移与旋转
对点集训
练1 如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点 P 处始终以一定角度 α 向液面 l1 发射一束细光，光束在液面 l1的 O1 处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点 S1．当液面上升至 l2 时，入射点就沿着入射光线的方向平移至 O2 处，反射光线也跟着向左平移至 S2 处，O1S1 交l2 于点 Q，在 O1 处的法线交 l2 于点 N，O2 处的法线为 O2 M．若 S1S2=5.4 cm，α=45°，则液面从 l1 上升至 l2 的高度为 ________ cm.
第三节 图形的对称、平移与旋转
2.7
第三节 图形的对称、平移与旋转
练2 【问题背景】如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=4，E 为边 BC 上一点，沿直线 DE将矩形折叠，使点 C 落在 AB 边上的点 C′处．
（1）【问题解决】填空：AC′的长为 _____；
（2）如图 2，展开后，将△DC′E 沿线段 AB 向右平移，使点 C′的对应点与点 B 重合，得到△D′BE′，D′E′与 BC 交于点 F，求线段 EF的长；
（3）【拓展探究】如图 3，在△DC′E 沿射线AB向右平移的过程中，设点 C′的对应点为 C″，则当△D′C″E′在线段 BC 上截得的线段 PQ的长度为 1 时，直接写出平移的距离．
第三节 图形的对称、平移与旋转
3
第三节 图形的对称、平移与旋转
第三节 图形的对称、平移与旋转
解：（2）由（1）得 AC′=3，∴BC′=AB-AC′=2，由折叠的性质得 C′E=CE，设 BE=x，则 C′E=CE=4-x，在 Rt△BEC′中，BE2+BC′ 2 =C′ E2，x2 +22 =（4 -x）2， 解得 x= ，即 BE= ，CE=4- = ，
连接 EE′ ，如图 1，由平移的性质
得 E′E=BC′=2，EE′∥AB∥CD，D′E′∥DE，∴△FEE′∽△FCD′∽△ECD，
∴ = = = ，∴EF= EE′=1；
（3）平移的距离为 或 .
■题型五 图形旋转的有关计算与证明 （必考考点）
例 5 ［25·唐山模拟］ 如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转 α 度得到△AB′C′．当点 B，C，B′在同一直线上，∠BAC=100°，α=150 时，∠C′= （ ）
A． 60°
B． 65°
C． 70°
D． 75°
第三节 图形的对称、平移与旋转
B
题型解法
等腰直角三角形旋转模型 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=
BC，P 为△ABC 内一点，将△APC 绕点
C 按逆时针方向旋转 90° ，使得 AC
与 BC重合 ， 得 到的△P′CP 为等腰直角三角形.
等边三角形旋转模型 如图，在等边三角形 ABC 中，P 是△ABC内一点，将△ABP 绕点
A 按逆时针方向旋转60°，
使得 AB 与 AC重合，得到
的△APP′为等边三角形.
第三节 图形的对称、平移与旋转
续表
正方形旋转模型 如图，在正方形 ABCD 中，P 为正方形
ABCD 内一点，将△ABP 绕点 B 按顺时
针 方 向 旋 转 90° ，使得 BA 与 BC
重合，得到的△PBP′为等腰直角三角形.
第三节 图形的对称、平移与旋转
对点集训
练1 ［25·沧州模拟］ 如图，在△ABC 中，AB=6 cm，∠CAB=45°，将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为 （ ）
A． 6 cm2 B． 9 cm2
C． 12 cm2 D． 12 cm2
第三节 图形的对称、平移与旋转
B
练2 ［25·石家庄新华区一模］ 如图，在△ABC中，∠A=70°，AC=BC，将△ABC绕点 B 按顺时针方向旋转一定角度， 得到 △A′BC′，点 A′ 恰好落在 AC 上，连接 CC′，则∠ACC′的度数为______.
第三节 图形的对称、平移与旋转
110°
练3 ［25·苏州］ 综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB，△CDE中，∠DCE=90°，∠E=30°，AB=CE=12 cm.
【观察感知】（1）如图 1，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE 交于点 F，求∠AFD 的度数和线段 AD的长；（结果保留根号）
【探索发现】（2）在图 1 的基础上，保持△CDE不动，把△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转一定的角度，使得点 A 落在边 DE 上（如图 2）．
①求线段 AD 的长；（结果保留根号）
②判断 AB 与 DE 的位置关系，并说明理由．
第三节 图形的对称、平移与旋转
第三节 图形的对称、平移与旋转
第三节 图形的对称、平移与旋转
解：（1）∵△ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB，∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵△CDE 中，∠DCE=90°，∠E=30°，
∴ ∠CDE =60° ，∴ ∠AFD = ∠CDE -∠A=60°-45°=15°.
在 Rt△ABC 中，AC=AB·sin∠ABC=12× =6（cm），
在 Rt△CDE 中，CD=CE·tanE =12 × =4（cm），∴AD=AC-CD=（6 -4 ） cm；
第三节 图形的对称、平移与旋转
（2）①如图，过点 C 作 CG⊥DE，垂足为 G，∵ 在 Rt△CDG 中，∠CGD=90°，∠CDE=60°，CD=4 cm，
∴DG=CD·cos∠CDE=2 cm，CG=CD·sin∠CDE= 6 cm，∵在 Rt△CGA中，∠CGA=90°，CA=6 cm，CG=6 cm，
∴AG= =6 cm，
∴AD=AG+DG=（6+2 ） cm；
第三节 图形的对称、平移与旋转
②AB⊥DE，理由：∵ 在 Rt△CGA 中，∠CGA=90°，AG=CG=6 cm，
∴∠CAG=∠ACG=45°，又 ∵∠BAC=45°，
∴∠DAB=∠CAG+∠BAC=45°+45°=90°，∴AB⊥DE．

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