资源简介

(共22张PPT)
第三节 特殊三角形
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第三节 特殊三角形
■考点一 等腰三角形的性质与判定（常考，考查三线合一，等边对等角，轴对称）
定 义 有 _____ 边相等的三角形是等腰三角形.
性 质 （1）等腰三角形的两 ____ 相等；（2）等腰三角形的两个 _____ 角相等（简称：等边对 _____）；
（3）顶角平分线、底边上的 ____ 线、底边上的 _____ 线互相重合（三线合一）.
两
腰
底
等角
中
高
第三节 特殊三角形
续表
判 定 （1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对 _____）；
（2）有 _______ 条边相等的三角形是等腰三角形.
面 积 S= ah（其中 a 是底边长，h 是底边长上的高）.
等边
两
第三节 特殊三角形
知识能力进阶
在解决与等腰三角形的边、角有关问题时，当顶角和底角或腰和底边不确定时，需分类讨论.
1.已知等腰三角形的两边长分别为 a，b（a≠b），求周长 C 时，分两种情况：
（1）若腰长为 a 且 2a＞b，则周长 C=2a+b；
（2）若腰长为 b 且 2b＞a，则周长 C=2b+a.
第三节 特殊三角形
2.已知等腰三角形的一个角为 α，求顶角或底角的度数时，有三种情况：
（1）若 α 为钝角，则 α 为顶角，底角的度数为 （180°-α）；（2）若 α 为直角，则 α为顶角，且该三角形为等腰直角三角形，底角为 45°；（3）若 α 为锐角，则应分两种情况讨论：①当 α 为顶角时，底角的度数为 （180°-α）；②当 α 为底角时，顶角的度数为 180°-2α.
易错易混警示 无论哪种情况，都要注意三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”，三个角必须满足“三角形的内角和等于 180°”.
第三节 特殊三角形
■考点二 等边三角形的性质与判定（常考，考查等边三角形的判定及利用性质求角度）
定 义 _____ 条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.
性质 （1）等边三角形 _____ 边相等、等边三角形的 _____ 个内角都相等，且都等于 _____；（2）等边三角形是轴对称图形，它有 _____ 条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边；三边的垂直平分线是其对称轴.
三
三
三
60°
三
第三节 特殊三角形
续表
判 定 （1）_____ 条边都相等的三角形是等边三角形；（2）____ 个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是 ______ 的等腰三角形是等边三角形.
面 积 （a 是等边三角形的边长）.
三
三
60°
第三节 特殊三角形
教材习题变式夯基础
1.［人八上 P83 习题改编］ 如图，△ABC 是等边三角形，△ACD 是等腰三角形，且 AD=CD，AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 BD 于点 F，若 BC=6，则 EF 的长为 （ ）
A． 3 B．
C． 2 D． 1.5
B
第三节 特殊三角形
■考点三 直角三角形的性质与判定（常考，考查直角三角形斜边上的中线、面积、三边关系）
性质 （1）在直角三角形中，两个锐角 _____；（2）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 _____；（3）在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的 _____；（4）在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 _____；（5）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 _________．其他变形有：a2
=_______，b2=_______.
互余
一半
一半
30°
a2+b2=c2
c2-b2
c2-a2
第三节 特殊三角形
续表
判定 （１）有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形（定义）；
（2）一条边的中线等于这条边的 _____ 的三角形是直角三角形；（3）有两个角 _____ 的三角形是直角三角形；
（4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 _________，那么这个三角形就是直角三角形，其中 a，b 为直角边.
一半
互余
a2+b2=c2
第三节 特殊三角形
续表
面 积 公式 S= ab=ch（其中 a，b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高）.
应用 已知直角三角形的三边，求斜边上的高时，常用等面积法，利用公式 h= 求解.
第三节 特殊三角形
知识能力进阶
1. 勾股定理的拓展应用：若直角三角形的三边分别记为 a，b，c，分别以三条边为边向外作等边三角形、正方形、半圆，则有S1+S2=S3.
第三节 特殊三角形
2. 勾股定理与探索过程
（1）赵爽弦图：如图 2，S大正方形 =S小正方形 +4S直角三角形；
（2）加菲尔德总统拼图：如图 3，S梯形 =2S小直角三角形+S大直角三角形；
（3）毕达哥拉斯拼图：如图 4，S左图大正方形=S右图大正方形.
第三节 特殊三角形
教材习题变式夯基础
1.［冀八上 P149 习题改编］ 在△ABC 中，∠ABC=90°，若∠A=4∠C，则∠C=________°；若 AC=4，D 为 AC 的中点，则 BD 的长为 ______．
18
2
第三节 特殊三角形
■考点四 等腰直角三角形的性质与判定
性质 （1）两直角边相等，两锐角相等且都等于 ______°；（2）斜边中线将三角形分为两个全等的 _________三角形；（3）是轴对称图形，有 ____ 条对称轴，对称轴为底边的垂直平分线.
判定 （1）有一个角是 90°的 _____ 三角形是等腰直角三角形；（2）有两边相等的 _______ 三角形是等腰直角三角形；（3）有一个角是 ____°的直角三角形是等腰直角三角形；（4）有两个角是 _____°的三角形是等腰直角三角形.
45
等腰直角
一
等腰
直角
45
45
第三节 特殊三角形
例 1 ［25·广西］ 如图，点 A，D 在 BC 同侧，AB=BC=CA=2，BD=CD= ，则 AD=___________.
■题型一 等腰（边）三角形的性质与判定（高频考点）
-1
第三节 特殊三角形
题型解法
（1）见含有 60°角的等腰三角形，联想到等边三角形；（2）在解决与等腰三角形的边、角有关问题时，注意要分类讨论；（3）见等腰三角形底边中点、高或顶角的平分线，联想到“三线合一”，构造直角三角形求解；（4）对于等腰三角形中求度数问题，可利用“三线合一”构造直角三角形求解，也可利用“等边对等角”、三角形内角和定理求解.
第三节 特殊三角形
对点集训
练 ［25·衡水摸底］ 如图，某同学用一个等边三角形 ABC 和一个正五边形 BCDEF 设计了一个宝石徽章，其中 BC 为两个图形的公共边，连接 AE，CF 交于点 G，下列说法错误的是 （ ）
A． AC⊥CF
B． DE∥CF
C． △EFG 是等腰三角形
D． AE 垂直平分 BC
A
第三节 特殊三角形
例 2 ［25·保定模拟］ 如图，小红、小丽、小明家的位置依次为 Rt△ABC 的三个顶点 A，B，C，小亮家正好位于小红和小丽家的正中间位置点 D 处，其中∠ACB=90°，已知小丽家到小红家的距离为 3 km，则小明家到小亮家的距离为 （ ）
A． 3 km B． 2 km C． 1.5 km D． 1 km
■题型二 直角三角形的性质与判定（高频考点）
C
第三节 特殊三角形
题型解法
（1）见 30°角时，联想到 30°角所对的直角边是斜边的一半；（2）见斜边中线时，要联想到直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；（3）作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数求线段长或角度；（4）利用全等三角形或相似三角形的性质进行转换求相关量.
第三节 特殊三角形
对点集训
练1 如图，在△ABC 中，DE= ，∠B =45° ， ∠ACB =60° ，AD ⊥BC 于 点 D，∠ACD 的平分线交 AD 于 E，则 AB 的长为（ ）
A． 3 B． 3
C． 3 D． 4
C
第三节 特殊三角形
练 2 如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=3，利用尺规在 BC，BA 上分别截取 BE，BD，使 BE=BD，分别以 D，E 为圆心，大于 DE 长为半径作弧，两弧在∠CBA 内交于点 F，作射线 BF 交 AC 于点G，则 AG 的长为______．(共21张PPT)
第五节 解直角三角形
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第五节 解直角三角形
■考点一 锐角三角函数及解直角三角形（必考，考查正弦、余弦、正切和特殊角的三角函数值）
1. 锐角三角函数 （近 6 年连续考查）
名 称 正 弦 余 弦 正 切
表 示
第五节 解直角三角形
2. 特殊角的三角函数值 （2021 年、2023 年、2025 年考查）
角 α 30° 45° 60°
sinα _______ _______ cosα _______ tanα 1 _______ 三角函数
第五节 解直角三角形
3. 解直角三角形 （近 6 年连续考查）
已知条件 已知一条直角边 a 和一个锐角∠A 已知斜边 c 和一个锐角∠A 已知两条直角边 a，b 已知斜边 c 和一条直角边 a
图 形
第五节 解直角三角形
续表
解 法 ∠B =90° - ∠A，AB = ，AC=_____（或 AC= ）. ∠B =90°-∠A， BC =______，AC=c·cosA（或AC= AB=______，由 tanA= 求∠A，∠B=90°-∠A. AC=________，由 sinA=
，求∠A（∠A 为锐角），
∠B=90°-∠A.
c·sinA
第五节 解直角三角形
知识能力进阶
解直角三角形的原则：有角求角，无角求边，有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中，化斜为直，方程相助.
第五节 解直角三角形
教材习题变式夯基础
1.［人九下 P64 练习改编］ 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则 sinA 的值为 （ ）
A. B. C. D.
2.［冀九上 P108 练习改编］ 在△ABC 中，∠C=90°，若 tanA= ，则 cosB 的值为 ______.
3.［人九下 P67 练习改编］ 在△ABC 中，若 |sinA- |+( -cosB) 2=0，则∠C 的度数是 _____°.
C
105
第五节 解直角三角形
■考点二 解直角三角形的应用（必考，考查方向角、仰角、俯角、坡角、坡度）
方 向 角 正北或正南方向线与目标方向线所成的小于 90° 的角，叫做方向角.通常表达成北（南）偏东 （西）××度，若正好为45°，一般表示为西 （东）南（北），如图所示.
俯 角、 仰 角 在视线与水平线所成的锐角中， 视线在水平线 _____ 方的角叫做仰角（如图）.
在视线与水平线所成的锐角中， 视线在水平线 _______ 方的角叫做俯角（如图）. 上
下
第五节 解直角三角形
续表
坡度（坡比）、 坡角 如图，坡面与水平面的夹角 α 叫做坡角； 坡面的垂直高度（h）和水平宽度（l）的 比（i）叫做坡度（或坡比）；坡度与坡角 的关系是 i=________=tanα；坡度越大， 则坡角越_____，坡面就越陡.
大
第五节 解直角三角形
教材习题变式夯基础
1.［人九下 P78 习题改编］ 如右图，在离地面高度为 1.5 m 的 A 处放风筝，风筝线 AC长 5 m，用测倾仪测得风筝线与水平面的夹角为 θ，则风筝线一端的高度 CD 为（ ）
A.（1.5+5sinθ） m B.（1.5-5sinθ） m
C. （1.5+ ） m D. （1.5- ） m
A
第五节 解直角三角形
2.［人九下 P77 练习改编］ 如右图是一个港湾，A 是码头，OA，OD 是笔直的海岸，B 是海岛，D 在点 O 的正东方向上，点 A 在点 O 北偏东 25°的方向上，点 B 在点 O 北偏东 65°的方向上，OA=3 km，点 O 与点 B 的距离为 4 km.现有一艘货船按计划从码头 A 出发后，先停靠 OD 海岸上任意点 C 处装货后再开往海岛 B，则按此计划，货船行驶的水路最短为 ________ km.
5
第五节 解直角三角形
例 1 ［新考法］ 如图，小明想利用“∠A=30°，AB=6 cm，BC=4 cm”这些条件作△ABC．他先作出了∠A 和 AB，在用圆规作 BC 时，发现点C 出 现 C1 和 C2 两 个 位置，那么 C1C2 的长是 （ ）
A. 3 cm B. 4 cm
C. 2 cm D. 2 cm
■题型一 解直角三角形（常考考点）
D
第五节 解直角三角形
题型解法
解直角三角形时，首先要选择一个未知量，再找出与之相关的已知量，判断两者之间的关系，分别用勾股定理、三角形内角和定理的推论、三角函数等连接未知与已知，通过已知求未知.
第五节 解直角三角形
对点集训
练 如图， 边长为 1 的小正方形网格中，点A，B，C ， E 在格点上，连接AE，BC，点 D 在 BC 上且满足 AD⊥BC，连接 DE，则cos∠AED 的值是 ________.
第五节 解直角三角形
例 2 ［25·邢台一模］ 某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 AB．如图，一架水平飞行的无人机在 C 处测得河流左岸 A 处的俯角为 30°，河流右岸 B 处的俯角为 60°，线段 CD 为无人机距地面的铅直高度．已知CD=24 m，点 A，B，D 在同一条直线上．
（1）∠A=____°，∠CBD=____°；
（2）求河流的宽度AB．
■题型二 解直角三角形的应用（必考考点）
30
60
第五节 解直角三角形
解：（2）在 Rt△CBD 中，∵∠D=90°，∠CBD=60°，CD=24 m，
∴tan∠CBD= ，即 tan60°= ，解得 BD=24 m．
在 Rt△ACD 中，∠D=90°，∠A=30°，CD=24 m，
∴tan∠A= ，即 tan30°= ，
解得 AD=72 m．
∴AB=AD-BD=48 m.
答：河流的宽度 AB 为 48 m．
第五节 解直角三角形
题型解法
测量物体高度的常见模型
图 形 解 法
母 子 型 构造 Rt△ABC，Rt△FBG求解.
通过在△ABD 外部作高 BC，构造 Rt△ABC，
Rt△DBC求解.
第五节 解直角三角形
背 靠 背 型 通过在△ABC 内部作高CD，构造 Rt△ACD，
Rt△BCD 求解.
构造 Rt△ACD，Rt△BEF求解.
第五节 解直角三角形
对点集训
练1 如图，在 A 处测得点 P 在北偏东 60°方向上，在 B 处测得点 P 在北偏东30°方向上，若 AB=2 m，则 点 P 到直线 AB 的距离 PC 为（ ）
A. 3 m B. m
C. 2 m D. 1 m
B
第五节 解直角三角形
练 2 ［25·河北 16 题］ 2025 年 3 月是第 10 个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字 1～12 对应的点均匀分布在一个圆上，数字 0 对应圆心．图中以数字 0～12 对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为 1，则这条线段的长为 ________．
（参考数据 ：sin15°= ，sin75°= ）
第五节 解直角三角形(共46张PPT)
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
■考点一 线段、射线与直线（常考，考查两点确定一条直线）
两个基本事实 直线的基本事实：经过两点有且只有 _____ 条直线.
线段的基本事实：两点之间，_______ 最短.
线段的和与差 如图，在线段 AC 上截取一点 B，则有 AB+___=AC，AB=_____-BC，BC=AC- ____.
线段中点 能把线段分为 ______ 两部分的点.
两点之间的距离 连接两点之间线段的 _____.
线段长短的比较方法 ①度量法；②叠合法；③观察法.
一
线段
BC
AC
AB
相等
长度
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
易错易混警示 一条线段的三等分点有两个，处理相关几何问题时注意分情况讨论.
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
教材习题变式夯基础
1.［人七上 P128 思考改编］ 如图，从 A 地到 B 地的四条路线中，路程最短的是 （ ）
A． 1 B． 2
C． 3 D． 4
C
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
■考点二 角及角平分线（常考，考查角度之间数量关系）
角的概念 定义 定义一：有公共端点的两条 _____ 组成的图形叫做角.
定义二：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角. 角的表示 用“∠”表示角，如图，可表示为∠AOB 或∠O，也可用数字或希腊字母表示. 1. 角的相关概念及角的比较
射线
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
分 类 锐角 直角 钝角 平角 周角
0°＜α＜ 90° α=90° 90°＜α＜ 180° α=180° α= 360°
角的比较方法 ①观察法：钝角＞直角＞锐角. ②度量法：量角器的中心 O 和角的顶点重合，量角器的零刻度线和角的一条边重合，做到两重合之后看角的另一边对应的刻度线的度数.角的开口方向向右，读内圈刻度，角的开口方向向左，读外圈刻度； ③叠合法：把要比较的两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同侧，通过另一边的位置关系比较两角的大小. 续表
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
余角 （1）概念：如果∠α+∠β=____°，那么称∠α，∠β 互为余角；
（2）性质：同角（或等角）的余角 _____.
补角 （1）概念：如果∠α+∠β=______°，那么称∠α，∠β 互为补角；
（2）性质：同角（或等角）的补角 _____.
2. 余角与补角
90
相等
180
相等
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
定 义 从角的端点引出一条射线把角分成两个相等的角，这条射线叫做角的平分线. 定 理 角平分线上的点到这个角的两边的距离 _________. 如图， 已知 OC 是∠AOB 的平分线， 点 D 是 OC 上一点，DE⊥OA 于点 E，DF⊥OB 于点 F，则 DE=DF. （该性质可独立作为证明两条线段相等的依据）
3. 角平分线 （2021 年、2022 年、2024 年考查）
相等
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
逆定理 到角的两边距离 ________ 的点在角的平分线上.如图，已知 DE⊥OA，DF⊥OB，且 DE=DF，则∠AOC=∠BOC= ∠AOB.
续表
相等
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
知识能力进阶
与角平分线有关的辅助线的作法（OC 为∠AOB 的平分线）：
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
特殊角之间 的关系 1 周角=___ 平角=___ 直角=360°
1 平角=___ 直角=180° 1 直角=90°
度、分、秒的 转化 1°=___′，1′=___″，1′=____°，1″=____′.
4. 角的换算
2
4
2
60
60
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
教材习题变式夯基础
1.［人七上 P138 练习改编］ 如下图，A，O，B 在同一条直线上，∠AOC=∠BOC，若∠1=∠2，则图中互余的角共有 ______ 对．
4
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
2.［人七上 P140 习题改编］ 从点 O 引出三条射线 OA，OB，OC，已知∠AOB=40°，在这三条射线中，当其中一条射线是另两条射线所组成角的平分线时，则∠AOC=_______________°．
3.［人八上 P51 习题改编］ 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB．若 AC=2，DE=1，则 S△ACD=______．
20 或 40 或 80
1
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
■考点三 相 交 线（常考）
对顶角 ∠1 与 _______，∠2 与 ______，∠5 与 _____，∠6 与 ______.性质：对顶角 _____.
邻补角 ∠1 与∠2 或∠4，∠6 与∠5 或∠7，∠4 与∠3 或∠1，∠5 与∠6 或∠8. 性质：互为邻补角的两个角的和为 ____°. 同位角 ∠1 与 ______，∠4 与 ______，∠3 与 ______，∠2 与 _____. 1. 三线八角
∠3
∠4
∠7
∠8
相等
180
∠5
∠8
∠7
∠6
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
内错角 ∠3 与 _____，∠4 与 _____.
同旁内角 ∠4 与 _____，∠3 与 _____. 续表
∠5
∠6
∠5
∠6
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
垂 直 定 义 如果两条直线相交成 _____ 角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，交点叫做 _____.
性 质 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直.
垂线段 点到直线的距离 过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足之间的线段
叫做垂线段，它的 _____ 叫做点到直线的距离.
性 质 在直线外一点与直线上各点的连线中，_____ 最短.
2. 垂线及其性质 （6 年 5 考）
直
垂足
一
长度
垂线段
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
续表
线段的垂直平分线 定 义 经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）.
性质定理 线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离 ____.
逆定理 到线段两端点的距离 _____ 的点在这条线段的垂直平
分线上.
相等
相等
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
教材习题变式夯基础
1.［人七下 P8 习题改编］ 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC，∠EOC∶∠EOD=2∶3，则∠BOD=______．
36°
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
2.［冀八上 P117 习题改编］ 如图，已知∠BAC=135°，若 PM 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC，则∠PAQ=______．
90°
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
■考点四 平 行 线（常考，考查平行线的性质与判定）
平行线 定义：在同一平面内，_____ 的两条直线叫做平行线.
特点：两条平行线间的距离处处 ________.
平行公理 在同一平面内，经过直线外有且只有 ______ 条直线与已知直线平行（基本事实）.
平行公理的 推 论 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线 ________.
不相交
相等
一
平行
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
续表
拓 展 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
平行线的判定 与性质
相等
相等
互补
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
知识能力进阶
平行线求角度的辅助线作法：
作法一： 作平行线
作法二：拐 点延长相交
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
续表
角度关系 ∠ABE+∠DCE=∠BEC ∠ABE + ∠DCE + ∠BEC=360° ∠ABE-∠DCE=∠BEC ∠ABE-∠DCE=∠BEC
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
教材习题变式夯基础
1.［北师七下 P56 习题改编］ 如图，直线 a，c 固定，∠1=70°，直线 b 绕着点 O 旋转，当旋转到使∠2=______°时，有 a∥b.
70
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
2.［冀七下 P62 习题改编］ 如下左图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB，∠1=∠2=36°，则∠3=______°．
3.［人七下 P16 习题改编］ 将含 30°角的三角板和直尺按如右图方式放置，若∠1=120°，BC=3，则 AC 的长为 ______.
72
3
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
■考点五 命题与定理
命 题 判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果……那么……”的形式.
真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题.
假命题 题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题.
1. 命题
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
续表
真假命 题的 判断 命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个 _____ 即可.
互逆 命题 一个命题的题设和结论分别是另一个命题的 _____ 和 ______，这两个命题就称为互逆命题，其中的一个命题叫做另一个命题的逆命题.一个命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题是不是真命题，需要具体问题具体分析.
反例
结论
题设
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
定理 经过证明的真命题称为定理.对于定理，它是经过证明的真命题，但并不是所有的真命题都是定理.定理可以作为判定其他命题真假的依据.
互逆 定理 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.一个定理和它的逆定理是互逆定理.
反证 法 从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法的关键在于反设所证命题的结论，其适用范围：对于证明有困难，情况多或复杂的命题，否定则比较简单.
2. 定理
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
例 1 ［25·保定模拟］ 王师傅将甲、乙两块木板叠放在一起，截面图如图所示，若乙木板确定是平直的，则王师傅判断甲木板受潮变形，不再平直．他判断的数学依据是（ ）
A． 两点之间直线最短
B． 经过一点有且只有一条直线
C． 经过两点有且只有一条直线
D． 线段可以向两个方向延长
■题型一 线段、射线与直线（高频考点）
C
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
题型解法
此类题型主要考查了点与直线、线段的相关概念，准确识图，熟练掌握点与直线、线段的相关概念是解决问题的关键.
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
对点集训
练 ［25·广西］ 在跳远比赛中，某同学从点 C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示．测量线段 AB 的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是 （ ）
A． 垂线段最短
B． 两点确定一条直线
C． 两点之间，线段最短
D． 两直线平行，内错角相等
A
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
例 2 ［25·沧州模拟］ 将两根矩形木条如图放置，固定其中一根，转动另一根，若∠1增大 3°，则下列说法正确的是 （ ）
A． ∠2 减小 3°
B． ∠3 减小 3°
C． ∠4 增大 3°
D． ∠2 与∠4 的和不变
■题型二 相 交 线 （必考考点）
A
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
题型解法
解决此类问题要善于发掘图形中的隐藏条件，如两条直线相交形成的对顶角相等；平角的存在，可利用邻补角的性质进行计算；有垂直这一条件时往往想到 90°这一数量关系.
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
对点集训
练1 ［25·石家庄长安区一模］如图，AB⊥BC 于点 B，AB=3，点 P 在射线 BC 上，则线段AP 的长不可能是 （ ）
A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
D
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
练2 汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法． 为了探清一口深井的底部情况，如图，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线 AB 与地面 CD 所成夹角∠ABC=50°时，已知∠ABE=∠FBM，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜 EF 与地面的夹角∠EBC= （ ）
A． 60° B． 70°
C． 80° D． 85°
B
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
例 3 如图，OC 是∠AOB 的平分线，OD 是∠COB 的平分线，∠AOD=60°，则∠AOB=______°．
■题型三 角及角平分线的计算（高频考点）
80
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
题型解法
在角平分线这一条件下求角，往往想到角的相等，有时候角平分线也和、角的倍、分、和、差结合进行计算.
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
对点集训
练1 ［25·广安］ 若∠A=25°，则∠A 的余角为（ ）
A． 25° B． 65° C． 75° D． 155°
B
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
练 2 ［优质原创］如图，直线 BD 分别交 AE，CF 于点 B，D，连接 AD，BC，若 DA 平分∠BDF，∠3=∠4，若∠1=50°，∠2=130°，则∠CBD 的度数为 （ ）
A． 45° B． 50° C． 60° D． 65°
D
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
例 4 ［25·河北 2 题］ 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC=70°，则∠BAD=（ ）
A． 70° B． 100° C． 110° D． 130°
■题型四 平行线的性质与判定 （高频考点）
C
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
题型解法
与平行线有关的常见模型：①两个点的正北（东、西、南）方向可以组成一组平行线；②直尺或长方形纸条对边可以表示一组平行线．
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
对点集训
练1 ［25·石家庄 18 县区一模］ 如图是一辆竖直放在地面上的自行车的示意图，其中 a∥b，c∥d，∠1=115°，则∠2=（ ）
A． 55° B． 60° C． 65° D． 70°
C
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
练 2 ［25·深圳］如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线 OA 经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO=122°，∠BON=90°，则入射角∠AON的度数为 （ ）
A． 22° B． 32° C． 35° D． 122°
B
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
练 3 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手 AB 与底座 CD 都平行于地面 EF， 前支架 OE 与后支架 OF 分别与CD 交于点 G 和点 D，AB 与 DM 交于点 N，∠AOE=∠BNM．
（1）求证：OE∥DM；
（2）若 OE 平分∠AOF，∠ODC=30°，
求扶手AB 与靠背 DM 的夹角∠ANM 的度数．
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
解：（1）证明：∵∠BNM=∠AND，∠AOE=∠BNM，∴∠AOE=∠AND，
∴OE∥DM；
（2）∵AB 与底座 CD 都平行于地面EF，
∴AB∥CD，∴∠BOD=∠ODC=30°，
∵ ∠AOF + ∠BOD =180° ，∴ ∠AOF =150°.
∵OE 平分∠AOF，∴∠EOF= ∠AOF=75° ，
∴ ∠BOE = ∠BOD + ∠EOF =105°，∵OE∥DM，
∴∠ANM=∠BOE=105°．(共23张PPT)
第四节 全等三角形
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第四节 全等三角形
■考点一 全等三角形的有关概念及性质（必考，考查全等三角形的对应边，对应角相等）
全等形 能够完全 ____ 的两个图形称为全等形；全等形的 _____ 和 _____ 都相同.
全等三 角形 能够完全 _____ 的两个三角形叫做全等三角形. 性质 （1） 全等三角形的对应边 _____， 对应角 _____；（2） 全等三角形的周长 _____， 面积_____；（3）全等三角形对应的中线、高、角平分线、中位线都 _____. 重合
形状
大小
重合
相等
相等
相等
相等
相等
第四节 全等三角形
续表
注意 平移、翻折、旋转前后的图形 _____.
全等
第四节 全等三角形
知识能力进阶
“△ABC 与△DEF 全等”和“△ABC≌△DEF”的区别：（1）当两个三角形用符号“≌”连接时，它们的对应顶点、对应边、对应角都是唯一确定的；（2）当用“△ABC 与△DEF全等”表达时，两个三角形的顶点、边、角的对应关系不确定，此时需要分类讨论，以免漏解.
第四节 全等三角形
教材习题变式夯基础
1.［人八上 P33 习题改编］ 如下左图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C =30°，∠DAC=30°，则∠EAC 的度数为 （ ）
A． 40° B． 35° C． 30° D． 25°
2.［冀八上 P36 例题改编］ 如下右图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC 于点 E，AD，BE 交于点 F ， △ADC ≌ △BDF ， 若 BD = 4 ，DC = 2 ， 则 △ABC 的面积为 ______．
A
12
第四节 全等三角形
■考点二 全等三角形的判定（必考，考查五种判定三角形全等的方法）
判定方法 文字叙述 图 形
一般三角形 边边边（SSS） 三边对应相等的两个三角形全等.
边角边（SAS） 两边和它们的 _____ 角对应相等的两个三角形全等.
1. 三角形全等的判定定理 （近 6 年连续考查）
夹
第四节 全等三角形
续表
一般三角形 角边角（ASA） 两角和它们的 _____ 边对应相等的两个三角形全等.
角角边（AAS） 两角和其中一角的 _____边对应相等的两个三角形全等.
夹
对
第四节 全等三角形
续表
直角三角形 直角边、斜边（HL） 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等. （注：一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形）
第四节 全等三角形
2. 判定两个三角形全等的思路 （近 6 年连续考查）
第四节 全等三角形
知识能力进阶
常见的全等模型
模型展示 模型特点
平移 模型 沿同一条直线（BC）平移后可得两个三角形重合（BE=CF）.
第四节 全等三角形
续表
轴对 称模 型 1. 有公共边： 一般所给图形沿公共边所在直线或经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合.
2. 有公共顶点： 第四节 全等三角形
续表
自旋转 模型 1. 共顶点旋转： 1. 共顶点，绕该顶点旋转可得两个三角形重合；
2. 不共顶点，绕某一点旋转后，再平移可得两个三角形重合.
2. 不共顶点旋转： 第四节 全等三角形
教材习题变式夯基础
1.［人八上 P37 练习改编］ 如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线 OA重合，另一把直尺的边与射线 OB 重合，两把直尺的另一边在∠AOB 的内部交于点 P，作射线 OP，若∠AOB=50°，则∠AOP 的度数为 （ ）
A． 25° B． 30° C． 40° D． 50°
A
第四节 全等三角形
2.［冀八上 P56 习题改编］ 如图，已知 AB=DE，∠A=∠D，请你添加一个条件（一个即可）：______________________，使△ABC≌△DEC．
AC=DC（答案不唯一）
第四节 全等三角形
例 ［25·河北 19 题］ 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 E，AC=AD，∠ACB=∠ADB，点 F 在 ED 上，∠BAF=∠EAD．
（1）求证：△ABC≌△AFD；
（2）若 BE=FE，求证：AC⊥BD．
■题型 全等三角形的性质与判定
第四节 全等三角形
证明：（1）∵AC，BD 相交于点 E，∠ACB=∠ADB，点 F 在 ED 上，
∴∠ACB=∠ADF，∵∠BAF=∠EAD，∴∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF，
即∠BAC=∠FAD.
在△ABC 和△AFD 中，
∠BAC=∠FAD，
AC=AD，
∠ACB=∠ADF,
∴△ABC≌△AFD（ASA）；
（2）由（1）得△ABC≌△AFD，∴AB=AF，∵BE=FE，∴AE⊥BF，即 AC⊥BD.
第四节 全等三角形
题型解法
（1）证明两条线段相等时，若两条线段在一个三角形中，一般考虑利用“等角对等边”证明；若两条线段不在同一个三角形中，则一般利用全等三角形的判定与性质证明；
（2）证明两条线段之和等于较长线段时，通常可借助截长补短法，构造全等三角形，将两条线段转化到一条线段上证明.
第四节 全等三角形
对点集训
练1 ［24·河北 19 题］如图，△ABC 的面积为 2，AD 为 BC 边上的中线，点 A，C1，C2，C3 是线段 CC4 的五等分点， 点 A，D1，D2 是线段 DD3的四等分点，点 A 是线段 BB1的中点．
（1）△AC1D1 的面积为 _______；
（2） △B1C4D3 的面积为 _______．
1
7
第四节 全等三角形
练2 ［25·张家口万全区一模］【发现问题】如图1，△ABC 是等边三角形，点 E 在边 AC 上，连接 BE， 以 BE 为边向下作等边三角形BEF，连接 CF．
（1）判断 AB 和 CF 的位置关系，并说明理由；
（2）探究 CF，CE 和 BC 的数量关系；
【问题拓展】（3）如图 2，△ABC 是等边三角形，点 E 在边 AC 上，点 D 在边 BC 上，连接DE，以 DE 为边向下作等边三角形 DEF（点F 在线段 BC 下方），连接 CF．探究 CF，CE 和CD 的数量关系；
第四节 全等三角形
（4）如图 3，在菱形 ABCD 中，AB=4，∠ABC=60°，点 P 为 AB 的中点，点 E 为线段 BC 延长线上一点，连接 EP 交 AC 于点 F，以 EF为边向上作等边三角形 EFG，连接 CG．若CF=1，则 CG 的长为 ________．
3
第四节 全等三角形
解：（1）AB∥CF，理由：∵△ABC和△BEF 都是等边三角形 ，
∴AB =CB，EB =FB，∠A = ∠ACB = ∠ABC =∠EBF=60°，
∴∠ABE =∠CBF=60°-∠CBE，在△ABE 和△CBF 中，
AB=CB，
∠ABE=∠CBF，
EB=FB,
∴ △ABE ≌ △CBF （SAS），∴ ∠A =∠BCF =60° ，∴ ∠ACF = ∠ACB +
∠BCF=60°+60°=120°，∵∠A+∠ACF=60°+120°=180°，∴AB∥CF；
第四节 全等三角形
（2）CF + CE = BC ， 理 由 ： 由（1）得△ ABE ≌ △CBF，
∴AE =CF，∵AE +CE=AC，AC=BC，∴CF+CE=BC；
（3）CF+CE=CD，理由：如图，作 DH∥AB 交 AC 于点 H，
∵△ABC 和△DEF都是等边三角形，
∴∠CDH=∠B=60°，∠CHD=∠A=60°，∠HCD=60°，DF=DE，∠FDE=60°，∴△HDC 是 等 边 三 角 形 ， ∠FDC =∠EDH=60°-∠CDE，∴CD=HD=CH，在△FDC 和△EDH 中，
DF=DE，
∠FDC=∠EDH，
CD=HD,
第四节 全等三角形
∴△FDC≌△EDH（SAS），∴CF =HE，
∴CF +CE =HE +CE =CH，∴CF +CE =CD；
（4）3(共27张PPT)
第二节 三角形的基本性质
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第二节 三角形的基本性质
■考点一 三角形的概念及分类
定 义 由不在同一直线上的三条线段 ______________ 所组成的平面图形叫做三角形. 分 类 按角分 锐角三角形（三个角均小于 90°）、直角三角形、钝角三角形.
按边分 ①不等边三角形；②等腰三角形（等边三角形、底与腰不相等的等腰三角形）.
三角形的特点 三角形具有 _____ 性. 稳定
首尾顺次相接
第二节 三角形的基本性质
■考点二 三角形的边和角（常考，考查边的取值范围，角度计算）
三角形的 三边关系 定 理 三角形两边之和 _____ 第三边；三角形两边之差 _____ 第三边.
判断方法 两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
大于
小于
第二节 三角形的基本性质
内角和 定 理 三角形的内角和是 _____.
特殊性 三角形中有一个角是 90°时，其余两角互_____.
外角 定 义 三角形的一边与另一边的 _____ 组成的角，叫做三角形的外角.
性 质 三角形的任意一个外角 _____ 和它不相邻的两个内角的和.
三角形的任意一个外角 _____ 和它不相邻的任意一个内角.
续表
180°
余
延长线
等于
大于
第二节 三角形的基本性质
知识能力进阶
三角形的边角关系：在同一个三角形中，等边对等角，等角对等边，大边对大角，小边对小角.
第二节 三角形的基本性质
教材习题变式夯基础
1.［人八上 P28 习题改编］ 某建筑工具是如下左图所示的人字架，若该人字架中的∠3=110°，则∠1 比∠2 大 ______.
2.［冀七下 P114 习题改编］ 如下右图，将△ABC 沿 DE，EF 翻折，顶点 A，B 均落在点 O 处，且 EA 与 EB 重合于线段 EO，若∠CDO+∠CFO=104°，则∠C 的度数为 ______.
70°
38°
第二节 三角形的基本性质
■考点三 三角形中的重要线段（常考，考查三角形的中位线，角平分线，中线和高）
名 称 图 示 定 义 性 质 相关结论
中线 三角形一边的 _____ 与此边所对顶点的连线. BD=____=____BC，S △ABD_____S△ADC = ×S△ABC 重心：三角形的三条中线的交点.
中点
CD
=
第二节 三角形的基本性质
角平 分线 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，这个内角的顶点与所交的点间的线段. ∠1=___= _______. 内心：三角形的三条角平分线的交点；三角形的内心到三角形各 _____ 的距离相等.
续表
∠2
∠BAC
边
第二节 三角形的基本性质
高线 从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段. ∠ADB=∠ADC=___，S△ABC= BC·AD. 垂心：三角形的三条高所在直线的交点.锐角三角形的垂心在三角形的 ___ 部；直角三角形的垂心是直角顶点；钝角三角形的垂心在三角形的 ___ 部.
续表
90°
内
外
第二节 三角形的基本性质
中位线 连接三角形两边 ___ 的 线段. DＥ___BC， 且 DE=___BC， △ADE 与△ABC 的相似比为 _______，面积 比为 ________. 当三角形中遇到中点时，常构造三角形中位线，进一步利用其证明线段平行或倍分关系；在平行四边形或菱形中，常连接中点与对角线的交点构造中位线.
续表
中点
∥
1∶2
1∶4
第二节 三角形的基本性质
中垂线 三角形一边的垂直平分线. DE⊥BC，且 BE=CE，BD=CD. 外心：三角形的三条边的中垂线的交点，到三角形三个顶点的距离相等.
续表
第二节 三角形的基本性质
知识能力进阶
1. 三角形中“中点”问题的四种常见模型及辅助线作法：
（1）单个中点首先考虑倍长中线（如图 1）；
（2）多个中点首先考虑中位线（平行四边形中连接两条对角线即可产生中点）（如图 2）；
（3）等腰三角形底边上出现中点考虑三线合一（如图 3）；
（4）直角三角形斜边出现中点考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，另外还产生了两组相等的角（如图 4）.
第二节 三角形的基本性质
2. 若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质将它们转化到一个三角形中去．
3. 探究角度之间的不等关系，多用外角的性质“三角形的任意一个外角大于和它不相邻的任意一个内角”．
第二节 三角形的基本性质
教材习题变式夯基础
1.［人八上 P8 习题改编］ 王爷爷要将一块如右图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段 AD 应该是△ABC 的 （ ）
A． 角平分线 B． 中线
C． 高线 D． 以上都不是
B
第二节 三角形的基本性质
2.［冀八上 P149 习题改编］ 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=30°，点 D 是斜边 AB 的中点，点 G 是Rt△ABC的重心，GE⊥AC 于点 E，若 BC=6，则 GE 的长为 （ ）
A． 1
B． 2
C． 3
D．
B
第二节 三角形的基本性质
例 1 ［25·石家庄长安区一模］ 如图，为估计池塘两岸 A，B 两点间的距离，小奇在池塘一侧选取了一点 P．分别测得 PA=7 m，PB=5 m，若 A，B 间的距离长度为偶数（单位：m），那么 A，B 间的最大距离是_____ m.
■题型一 三角形三边关系的简单应用（常考考点）
10
第二节 三角形的基本性质
题型解法
判断已知长度的三条线段能否组成三角形的一般步骤：（1）将线段按长短顺序排列；（2）计算较短两条线段的和或最长线段与最短线段的差，比较所得和或差与第三条线段的大小关系；（3）根据大小关系判断能否组成三角形.
第二节 三角形的基本性质
对点集训
练 嘉嘉和琪琪两位同学一同攀岩，攀岩面都是由相同的圆组成的五环，且攀岩面上的所有圆大小都相同，攀爬点都是某个圆的八等分点．嘉嘉和琪琪的攀岩路径分别如图 1，图 2 所示，若他们同时出发且攀岩速度相同，并都到达了最高点，则下列说法正确的是（ ）
A． 嘉嘉先完成
B． 琪琪先完成
C． 嘉嘉、琪琪同时完成
D． 无法判断
B
第二节 三角形的基本性质
例 2 ［25·张家口万全区一模］ 如图，直角三角板 ABC 的直角顶点 C 在直线 l 上，∠B=30°，∠α=110°，则∠BCD 的度数为 （ ）
A． 30° B． 40° C． 35° D． 45°
■题型二 三角形的内外角关系的相关证明和计算（高频考点）
B
第二节 三角形的基本性质
题型解法
转化思想 利用三角形内角和与内外角的关系求角的问题，一般都需要利用题目所给的条件，将角转化到同一个三角形中.
方程思想 若题目中没有明确给出角度，必要时可根据角之间的数量关系设未知数，列方程求解.
构造 三角形 在不规则的四边形中求角度时，常常需要添加辅助线，构造出三角形，再利用三角形的内角和或外角性质求解.
第二节 三角形的基本性质
对点集训
练 1 将两张三角形纸片△AOB 和△COD按如图 1 位置放置， 点 D，C 分别在 AO，BO的延长线上， 记∠A+∠B=α； 沿虚线将△AOB 剪掉一部分得到图 2 的△MON，记∠M+∠N=β，则正确的是 （ ）
A． α＞β
B． α=β
C． α＜β
D． 无法比较 α 与 β 的大小
B
第二节 三角形的基本性质
练2 如图，有一张三角形纸片ABC，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角进行折叠，使点 C 落在△ABC 外，若∠2=36°，则∠1 的度数为 （ ）
A． 96° B． 106° C． 116° D． 126°
C
第二节 三角形的基本性质
例 3 ［24·河北 5 题］观察图中尺规作图的痕迹，可得线段 BD 一定是△ABC 的 （ ）
A． 角平分线
B． 高线
C． 中位线
D． 中线
■题型三 三角形中的重要线段（常考考点）
B
第二节 三角形的基本性质
题型解法
四种重要线段把三角形分成两部分的面积比：
（1）高线：如图 1，两部分不等底同高，S 左∶S 右=a∶b；
（2）中线：如图 2，两部分等底同高，S 左=S 右；
（3）中位线：如图 3，S 左∶ （S 左+S 右）=1∶4；S 左∶S 右=1∶3；
（4）角平分线：如图 4，分别以 c，d 为底，两部分不等底同高；分别以 a，b 为底，两部分不等底同高，S 左∶S 右=a∶b=c∶d.
第二节 三角形的基本性质
第二节 三角形的基本性质
对点集训
练 1 ［25·邯郸模拟］ 一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB=90°，点 D 为边 AB 的中点，点 A，B 对应的刻度分别为 1，7，则 CD 的长度为 （ ）
A． 3.5 cm B． 3 cm
C． 4.5 cm D． 6 cm
B
第二节 三角形的基本性质
练 2 ［25·扬州］ 如图，在△ABC 中，点 D，E分别是边 AB，BC 的中点，点 F 在线段 DE的延长线上，且∠BFC=90°．若 AC=4，BC=8，则 DF 的长是 ________.
6

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