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(共43张PPT)
第三节 整 式
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第三节 整 式
■考点一 列代数式及其求值 （必考，考查列代数式、代数式求值）
代数式 用运算符号连接数和 _________ 组成的式子叫做代数式.单独的一个数或______ 也叫代数式
列代数式 把问题中与数量有关的词语，用含有字母和运算符号的式子表示出来.
字母
字母
第三节 整 式
续表
代数式 求值 直接代入法 把已知字母的值直接代入求解；
整体代入法 ①观察已知条件和所求代数式的关系；②用提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法对所求代数式、已知代数式进行变形，使它们成倍分关系；③把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值.
第三节 整 式
知识能力进阶
列代数式时注意书写规则：a×b 通常写作 a·b或 ab；1÷a 通常写作；数字通常写在字母前面，如 a×3 通常写作 3a；带分数一般写成假分数，如
，通常写作 .
易错易混警示 多项式后面带单位的，要用括号括起来，比如（a-m）天.
第三节 整 式
教材习题变式夯基础
1.［冀七上 P103 习题改编］ 根据题意列代数式：
（1）一个两位数的个位数字为 m，十位数字为 n，则这个两位数表示为 _________；
（2）弟弟今年 m 岁，比哥哥小三岁，10 年后，哥哥的年龄是 _______；
（3）某商品每件进价 a 元，出售时的价格比进价高 20%，现在由于该商品积压，按原出售价的八折出售，现售价 ________ 元．
2.［人八上 P125 习题变式］ 已知 a-b=-2，则代数式 4（a-b）2+a-b 的值为 _______.
10n+m
（13+m）岁
0.96a
14
第三节 整 式
■考点二 整式的运算（必考，考查整式的运算、化简求值）
单项式 定义 只含有数字与字母______ 的代数式叫做单项式（单独的一个数或字母也是单项式）.
系数 单项式中的 ______ 因数叫做这个单项式的系数.单项式的系数包括前面的符号，如-4xy 的系数是-4.
次数 单项式中的所有字母的 ________叫做这个单项式的次数.单独一个非零常数的次数是 0，如单项式-3的次数是 ____；字母 x 的次数是 1，而不是 0.
1. 整式的相关概念 （2024 年考查）
乘积
数字
指数的和
0
第三节 整 式
多 项 式 定 义 几个单项式的 ____ 叫做多项式.
次 数 多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中 ____________ 项的次数叫做这个多项式的次数. 常数项 不含字母的项叫做常数项. 整式 ________ 和 ________ 统称为整式. 续表
和
次数最高
单项式
多项式
第三节 整 式
同类项 所含字母相同，并且 ________ 字母的指数也 ________ 的项，所有的常数项都是同类项，同类项与字母的顺序无关.
合并同类项法则 把同类项的 ______ 相加作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变.
去括号法则 a+（b+c-d）=a+b+c-d；a-（b+c-d）=a-b-c+d.
2. 整式的加减（实质：合并同类项） （近 6 年连续考查）
相同
相同
系数
第三节 整 式
类 别 运算法则
同底数幂相乘 底数不变，指数相加，即 am·an=______.（a≠0，m，n 都是整数）
同底数幂相除 底数不变，指数相减，即 am÷an=_____.（a≠0，m，n 都是整数）
3. 幂的运算 （近 6 年连续考查）
am+n
am-n
第三节 整 式
续表
幂的乘方 底数不变，指数相乘，即（am）n=______.（a≠0，m，n 都是整数）
积的乘方 把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab）n=______.（a≠0，n 是整数）
amn
anbn
第三节 整 式
知识能力进阶
遇到积的乘方时，需要注意：（1）当括号内有“-”号时，（-abm）n =
（2）当含有系数时，一定也要对系数进行乘方运算.
第三节 整 式
教材习题变式夯基础
1. ［北师七下 P8 习题改编］ 下列计算正确的是 （ ）
A． a3·a3=a9 B． a6-a2=a4 C．（2a2）3=6a6 D． 3a2+a2=4a2
2.［人八上 P96 练习改编］ 在等式 x4·□=x11 中，“□”所表示的代数式为 （ ）
A． x6 B． -x6 C．（-x）7 D． x7
3.［人七上 P75 习题变式］ 若式子 x2+ax-（bx2-x-3）的值与 x 的取值无关，则 b-a 的值为 _____.
D
D
2
第三节 整 式
类 别 运算法则
单项式 乘单项式 把它们的 _______、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的 _______ 作为积的一个因式.
如 2a3b2·3ac3=6（a3·a）b2c3=6a4b2c3.
单项式 乘多项式 用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积 __________，如 m（a+b）=________.
4. 整式乘法运算 （近 6 年连续考查）
系数
指数
相加
ma +mb
第三节 整 式
多项式 乘多项式 先用多项式中的每一项乘另一个多项式中的每一项，再把所得的积 _____，如（m+n）（a+b）=_________________. 乘法公式 平方差公式 （a+b）（a-b）=_________.
完全平方公式 （a ±b）2 =__________.
续表
相加
ma+mb+na+nb
a2-b2
a2±2ab+b2
第三节 整 式
乘法公式 常用恒等变形 ①a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab；
②（a-b）2=（a+b）2-4ab；
③（-a-b）2=（a+b）2；④（-a+b）2=（a-b）2.
续表
第三节 整 式
类 别 运算法则
单项式除 以单项式 将系数、同底数幂分别相除，作为商的一个因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的 _______ 作为商的一个因式.
多项式除 以单项式 把多项式中的每一项都除以这个单项式，再把所得的商 ______.
整式混合 运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，运算结果是单项式或者多项式.数的运算律在整式运算中仍然成立.
5. 整式除法运算 （近 6 年连续考查）
指数
相加
第三节 整 式
知识能力进阶
幂的乘方与同底数幂乘法的区别：幂的乘方是转化为指数的乘法运算，同底数幂的乘法是转化为指数的加法运算.
第三节 整 式
教材习题变式夯基础
1.［人八上 P108 练习改编］ 一个长方形的面积为 4a2-b2，长为 2a+b，则长方形的宽为 （ ）
A． a+b B． a+2b C． a-2b D． 2a-b
2.［人八上 P124 习题改编］ 计算：（1）a3·（-2a）2=_______；
（2）-4a（2a2+3a-1）=_________________；
（3）若计算（x+a）（x+3）的结果中不含 x 的一次项，则 a 的值为 _______.
D
4a5
-8a3-12a2+4a
-3
定义 把一个多项式化为几个整式 ______ 的形式，叫做多项式的因式分解，也叫分解因式.
基本方法
公因式的确定：①系数：取各项系数的最大公因数；②字母：取各项相同的字母；③指数：取各项相同字母的最低次数.
第三节 整 式
■考点三 因式分解（常考，考查因式分解的意义、分解因式）
乘积
m（a+b+c）
（a+b）（a-b）
（a±b）2
第三节 整 式
步骤
续表
提取公因式
第三节 整 式
知识能力进阶
十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q），如 x2+3x+2=（x+1）（x+2）.
第三节 整 式
教材习题变式夯基础
1.［北师八下 P95 例题变式］ 下列因式分解正确的是 （ ）
A． 2a2-4a+2=2（a-1）2 B． a2+ab+a=a（a+b）
C． 4a2-b2=（4a+b）（4a-b） D． a3b-ab3=ab（a-b）2
2.［人八上 P119 练习改编］ 分解因式：
（1）4x（x-y）2-12（x-y）3=______________________；
（2）9a2-24ab+16b2=_________________；
（3）ma2-18ma-40m=___________________；
（4）3a2-27=__________________．
A
4（x-y）2 （-2x+3y）
（3a-4b）2
m（a+2）（a-20）
3（a+3）（a-3）
第三节 整 式
例 1 ［25·邯郸一模］ 已知式子 x-3y 的值是3，则式子 1-3x+9y 的值是 （ ）
A． -8 B． -6
C． 6 D． 8
■题型一 列代数式及其求值（高频考点）
A
第三节 整 式
题型解法
代数式求值的四种方法：
直接代入求值 将所给字母的取值，直接代入代数式计算.
化简求值代入 将给出的条件式进行化简求值，然后将求出的值代入目标式中.
整体代入法 用整体思想把控全局，运用局部式子的特征分析，对条件式和目标式进行适当变形，创设整体情境，然后整体代入求值.
第三节 整 式
续表
特殊值法 根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，把一般形式变为特殊形式，再进行判断.
第三节 整 式
对点集训
练1 下列各式中不能表示图中阴影部分面积的是 （ ）
A． 3（x+2）+x2
B． x2+5x
C．（x+3）（x+2）-2x
D． x（x+3）+6
B
第三节 整 式
练2 ［25·扬州］ 若 a2-2b+1=0，则代数式2a2-4b+3 的值是 _______.
1
第三节 整 式
练 3 聪聪和妍妍都用长为 4l cm 的铁丝折矩形．聪聪折成的是正方形，其面积记为S1 cm2；妍妍折成的是长、宽不相等的矩形，其一边长为 a cm，其面积记为 S2 cm2．
（1）请用含 l 和 a 的式子分别表示 S1，S2；
（2）当 l=3，a=4 时，请比较 S1，S2 的大小；
（3）请先猜想 S1，S2 的大小，再用作差法证明你的猜想．
5
第三节 整 式
解：（1）S1==l2，S2= =2al-a2；
（2）当l=3，a=4 时，S1=32=9，S2=2×4×3-42=8，∵9＞8，
∴ 当 l=3，a=4 时，S1＞S2；
（3）猜 想 ：S1 ＞S2 ． 证 明 ：S1 -S2 =l2 -（2al-a2）=l2-2al+a2=（l-a）2，∵ 妍妍折成的是长、宽不相等的矩形，其一条边的长为 a，∴a≠l，
∴S1-S2=（l-a）2＞0，即 S1＞S2．
第三节 整 式
例 2 ［24·河北 8 题］若 a，b 是正整数，且满足
则 a 与 b 的关系正确的是 （ ）
A． a+3=8b B． 3a=8b
C． a+3=b8 D． 3a=8+b
A
■题型二 整式的运算（高频考点）
第三节 整 式
题型解法
整式的混合运算，尤其是常考的加减运算，注意去括号后的变化情况，对于含字母系数的问题，将整式合并同类项后，再根据题干对未知系数进行讨论.
第三节 整 式
对点集训
练1 ［25·秦皇岛模拟］ 甲同学做完四道整式乘法的题后，同桌乙同学的批改如图所示，则乙同学批改正确的是 （ ）
A． 第①②题
B． 第①④题
C． 第②③题
D． 第③④题
A
第三节 整 式
练2 ［24·河北 2 题］下列运算正确的是 （ ）
A． a7-a3=a4 B． 3a2·2a2=6a2
C．（-2a）3=-8a3 D． a4÷a4=a
C
第三节 整 式
练3 ［25·沧州一模］ 如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球 29 个、29 个、5 个，先从甲袋中取出 2x 个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2x+2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出 2y 个球放入甲袋，此时三只袋子中球的个数都相同，则2x+y 的值为 _______.
128
第三节 整 式
练4 ［25·湖南］先化简，再求值：（x+2）（x-2）+x（1-x），其中 x=6．
解：原式=x2-4+x-x2=x-4，当 x=6时，原式=6-4=2.
第三节 整 式
例 3 ［25·内江］ 已知实数 a，b 满足 a+b=2，则 a2-b2+4b=______．
■题型三 因式分解（常考考点）
4
第三节 整 式
题型解法
通过因式分解将多项式合理变形，是代数式求值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
第三节 整 式
对点集训
练1 下列各式从左到右的变形是因式分解的是 （ ）
A．（x-3）（x+1）=x2-2x-3
B． x2-xy=x（x-y）
C． ab+bc+d=b（a+c）+d
D． 6x2y=3xy·2x
B
第三节 整 式
练 2 若 k 为任意整数，则（k+5）2-（k-3）2 的值总能 （ ）
A. 被 5 整除 B. 被 6 整除
C. 被 7 整除 D. 被 8 整除
D
第三节 整 式
例 4 ［25·张家口万全区一模］如图，在矩形 ABCD中，AB=10，BC=5，点 M 和点 N 分别在 AB和 BC 边上，并且 AM-CN=1，分别以 BM 和BN 为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为 S1 和 S2，且 S1+S2=50，则图中阴影部分的面积为 （ ）
A． 15 B． 17 C． 19 D． 21
■题型四 乘法公式的几何意义（常考考点）
B
第三节 整 式
题型解法
第三节 整 式
对点集训
练1 ［25·保定三模］ 剪纸艺术历史悠久．一张正方形剪纸的边长为（3x+2） cm，如图，现将其沿虚线裁剪后仍是正方形剪纸，则小正方形剪纸的面积比原正方形剪纸的面积减少了 （ ）
A．（5x2+8x） cm2
B．（8x+4） cm2
C．（4x2+8x） cm2
D．（5x2+4x） cm2
D
第三节 整 式
练2 如图，大正方形与小正方形的面积差为 72，则阴影部分的面积为 （ ）
A． 18 B． 24
C． 36 D． 72
C(共65张PPT)
第一节 实数的有关概念及运算
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第一节 实数的有关概念及运算
■考点一 实数与正负数的意义（必考，考查有理数的分类、正负数）
1. 实数的分类（2020 年、2025 年考查）
按定义分类 按性质分类
0
无限不循环
第一节 实数的有关概念及运算
2. 正负数的意义及非负数（近 6 年连续考查）
正负数的 意义 用正负数可以表示一组具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，包含两个要素，一意义相反，二都是数量．如把向上平移 20 m 记作+20 m，则把向下平移 30 m 记作-30 m.
非负数 ________ 和 ________ 统称为非负数.如果 a 是非负数，那么可表示为 a≥0.
0
正数
第一节 实数的有关概念及运算
知识能力进阶
常见的四种无理数类型：①开方开不尽的数，如 ， ， 等；②含有根号的三角函数值，如 sin45°，sin60°，cos30°等；③有规律的无限不循环小数，如 0.101 001 000 1…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）等；④π 及化简后含有 π 的数，如 π， ，-π 等.
易错易混警示 （1）0 既不是正数，也不是负数；（2）用正负数表示实际问题时，数量一定要有单位.
第一节 实数的有关概念及运算
教材习题变式夯基础
1.［冀八上 P71 习题改编］分类（填序号）：①- ，②- ，③ ，④ ，⑤- ，⑥0，⑦-π，⑧- ，⑨3.101 001 000 1…（每相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）．
（1）无理数：_____________；（2）分数：_____________；（3）负实数：_____________.
②③⑦⑨
①④⑧
①②⑦⑧
第一节 实数的有关概念及运算
2.［人七上 P5 习题改编］ 中国空间站位于距离地面约 400 km 的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上 150 ℃，其背阳面温度可低于零下 100 ℃．若零上150 ℃记作+150 ℃，则零下 100 ℃记作 ________ ℃．
-100
第一节 实数的有关概念及运算
1. 数 轴 （近 6 年连续考查）
数轴三要素 注：数轴上的点与实数一一对应. 用数轴上的点表示无理数，核心是勾股定理.
■考点二 实数的相关概念 （必考，考查数轴、相反数、绝对值）
第一节 实数的有关概念及运算
续表
两点间的距离 用右边点表示的数减去左边点表示的数. 如图，数轴上 A，B 两点间的距离为_____，
线段 AB 的中点 C 对应的实数为 _____.
b-a
第一节 实数的有关概念及运算
相反数 绝对值
定 义 只有 ______ 不同的两个数互为相反数. 数轴上表示数 a 的点与原点的 ___，记作 |a|.
性 质 （1）0 的相反数是 ______，非零实数 a 的相反数是-a；（2）如果 a，b 互为相反数，那么 a+b=______， =_______（b≠0）.
绝对值具有非负性.
2. 相反数和绝对值 （2021 年考查）
符号
距离
0
0
-1
第一节 实数的有关概念及运算
相反数 绝对值
几何意义 在数轴上，表示互为相反数的两个数（0 除外）对应的点，分别位于原点两侧，并且到原点的距离 _____，即表示这两个数的点关于____对称. 数轴上表示这个数的点到原点的距离，离原点越远的点表示的数的绝对值越 _____.
续表
相等
原点
大
第一节 实数的有关概念及运算
定 义 乘积是 ______ 的两个数互为倒数.
性 质 0 没有倒数；倒数等于本身的数是 _________.非零实数 a 的倒数是 ，a，b 互为倒数ab=______.
3. 倒 数 （2022 年考查）
1
1 和-1
1
第一节 实数的有关概念及运算
知识能力进阶
1. 已知数轴上两点间的距离和其中一点对应的实数，求另一点对应的实数时，需要分类讨论.如点 M 对应实数 3，若 MN=3，则点 N 对应的实数为 0 或 6.
2. 绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若|a| =|b| ，则 a=b 或 a+b=0.
3. 若几个非负数的和为 0，则这几个非负数均为 0，如：（1）若 a2+b2=0，则 a=0 且 b=0；（2）若|a|+|b|=0，则 a=0 且 b=0；（3）若 + =0，则 a=0 且 b=0；（4）若 a2+|b|+ =0，则 a=0，b=0，c=0.
第一节 实数的有关概念及运算
易错易混警示 确定数轴上所表示的点或距原点的距离时，需先明确数轴的单位长度是不是 1.
第一节 实数的有关概念及运算
教材习题变式夯基础
1.［人七上 P14 习题改编］数轴上到数-5 表示的点的距离等于 2 个单位长度的点所对应的数是__________.
2.［冀七上 P10 习题变式］ 如图，（1）数轴的单位长度为 1，如果点 A，B 表示的数互为相反数，那么点 C 表示的数是 ______；
（2）若点 B 和点 C 所表示的两个数的绝对值相等，则点 A 表示的数是 ______，点 A 表示的数的倒数是 _______；点 A，B，C 表示的数中绝对值最大的数对应的点是 _______.
-3 或-7
-1
-4
-
A
第一节 实数的有关概念及运算
3.［北师七上 P32 练习变式］（1）若|a+2|与|b-3|互为相反数，则 2a+b=__________；
（2）已知 a，b 都是实数，若|a-2|+ =0，则 =______.
-1
-2
第一节 实数的有关概念及运算
■考点三 近似数和精确度
近似数定义 接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数.
精确度定义 近似数与精确度的接近程度可以用精确度来表示， 一个近似数四舍五入到哪一位就说这个数精确到哪一位.如 0.148 26，精确到百分位是 ____，精确到千分位是 ______.
0.15
0.148
第一节 实数的有关概念及运算
■考点四 科学记数法 （必考，考查用科学记数法表示数、还原用科学记数法表示的数）
定 义 把一个数表示成 ____________ 的形式，其中 1≤｜a｜＜10，n 是整数. n 的确定 当原数的绝对值≥10 时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减 1 或原数变为 a 时小数点向左移动的位数. 当 0＜原数的绝对值＜1 时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前 0 的个数（包括小数点前面的 0）或原数变为 a 时小数点向右移动的位数.
a×10n
第一节 实数的有关概念及运算
把用科学 记数法表 示的数还 原 （1）若 a×10n 中，n 大于 0，只需把 a 的小数点向右移动 _____ 位即可，不够的数位用 _____ 补齐；（2）若 a×10n 中，n 小于 0，只需把 a 的小数点向左移动 _____ 位即可，不够的数位用_____ 补齐.
续表
n
0
｜n｜
0
第一节 实数的有关概念及运算
知识能力进阶
1. 用科学记数法表示含有计数单位或计量单位的数，需要先把计数单位或计量单位转换为数字，再用科学记数法表示.常见的计数单位有：1 万=104，1 亿=108；计量单位有：1 mm=10-3 m，1 μm=10-6 m，1 nm =10-9 m.
2. 分数表示成科学记数法：方法一是先将分数表示成小数，再表示成科学记数法；方法二是先分离出分子整除分母的部分，将分母剩余部分表示成科学记数法，再结合 a-n= 表示成科学记数法，如 = = =1×10-3.
第一节 实数的有关概念及运算
易错易混警示 对于负数，科学记数法的表示方法与正数基本相同，只不过在数值前面会有一个负号，切勿与小数的表示方法混淆.
第一节 实数的有关概念及运算
教材习题变式夯基础
1.［人七上 P47 习题变式］为了纪念“中国航天之父”钱学森，中国科学院紫金山天文台将一颗距地球约 5.23 亿千米的行星命名为“钱学森星”．数据“5.23 亿”用科学记数法表示为_____________.
2.［冀七下 P95习题改编］ 一个水分子的质量大约为 3×10-23 g，一滴水的质量大约为 0.05 g，则一滴水中水分子的个数大约是 ___________.
3.［冀七下 P95 习题改编］整数 73880…0 用科学记数法表示为 7.388 ×1011 ，则原数中“0”的个数为______.
5.23×108
1.67×1021
8
第一节 实数的有关概念及运算
■考点五 平方根、算术平方根、立方根（常考，考查平方根、算术平方根、立方根的计算）
类 别 概 念 性 质
平方根 如果一个数 x 的平方等于 a， 即x2=a， 那么这个数x 就叫做 a 的平方根或二次方根，记为 _________（a≥0）. 正数有两个互为相反数的平方根；_________ 没有平方根；
0 的平方根是 ____.
负数
0
第一节 实数的有关概念及运算
算术平方根 如果一个正数 x的平方等于 a，那么这个正数 x 为 a的算术平方根，记为（a≥0）. 一个非负数只有一个算术平方根且大于或等于 _____；0
的算术平方根是 0.算术平方根等于其本身的数是 _____.
开平方 求一个非负数 a 的平方根的运算. 续表
0
0 和 1
第一节 实数的有关概念及运算
立方根 如果一个数 x 的立方等于 a， 那么这个数 x 叫做 a的立方根或三次方根，记为 . 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根；0 的立方根是_____.立方根等于其本身的数是 ________.
续表
0
0，±1
第一节 实数的有关概念及运算
教材习题变式夯基础
1.［冀八上 P65 习题改编］（1） 的平方根是 __________，算术平方根是 _______；
（2）27 的立方根是 __________，算术平方根是 _______，平方根是 ________.
2.［冀八上 P68 习题变式］若（a≠0）是有理数，则 a 的值可以是 _________. （写一个即可）
3
3
3
3
第一节 实数的有关概念及运算
■考点六 实数的大小比较（常考，考查利用数轴等方法比较实数的大小）
数轴比较法 当数轴上的正方向为从左到右时，数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数 _____.
性质比较法 正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
作差比较法 ①a-b＞0 ______；②a-b＜0 ______；③a-b=0 _____.
平方法 a2＞b a＞（a＞0，b＞0）（常应用在无理数估值及含有无理数的大小比较中）.
大
a＞b
a＜b
a=b
第一节 实数的有关概念及运算
作商比较法
倒数比较法
特殊值法 给字母取符合条件要求的数值 ， 再代入验证比较大小.
续表
＞
第一节 实数的有关概念及运算
知识能力进阶
若一组数据中有正数、0、负数，判断最大的数直接在正数中比较，判断最小的数直接在负数中比较.实数比较大小时，若涉及运算，则先计算再比较.
第一节 实数的有关概念及运算
教材习题变式夯基础
1.［人七上 P14 习题变式］ 有理数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中错误的是 （ ）
A． b＞2 B． a-c＞0
C．|d|＞|c| D． b+c＞0
D
第一节 实数的有关概念及运算
2.［冀八上 P77 例题改编］ 已知实数： ， |-1.5| ， ，-2，-π．按照从小到大的顺序排列是 _____________________________；其中绝对值最大的是 ________.
-π＜-2＜ ＜ ＜｜-1.5｜
-π
第一节 实数的有关概念及运算
■考点七 实数的运算（必考，考查有理数的加、减、乘、除、乘方运算）
加法 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取____________ 加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同 0 相加仍等于这个数.
减法 减去一个数等于加上这个数的_________.a-b=a+（-b）.
乘法 两数相乘，同号得 ____，异号得___，再将两数绝对值相乘；任何数与 0 相乘得 0.
1. 有理数的运算（近 6 年连续考查）
绝对值较大的
相反数
正
负
第一节 实数的有关概念及运算
除法 除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的 _____,0 除以任何不为 0 的数仍得 0.a÷b=a× （b≠0）.
乘 方 几个相同因数的乘积运算.
续表
倒数
第一节 实数的有关概念及运算
加法 交换律：a+b=b+a；结合律：a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c）.
乘法 交换律：ab=ba；结合律：（ab）c=a（bc）；分配律：a（b+c）=_______.
2. 运算律（近 6 年连续考查）
ab+ac
第一节 实数的有关概念及运算
运 算 法 则 示 例
零次幂 任何非零实数的零次幂都为____， 即 a0 =____（a≠0）；0 的任何非零次幂都等于 ____. （π-3）0
=____；（sin30°）0
=____.
负整数指数幂 a-p= （a≠0，p 为正整数）；特别强调 a-1= （a≠0）. =_____；
3-2=______.
3. 常见的实数运算及法则（近 6 年连续考查）
1
1
0
1
1
4
第一节 实数的有关概念及运算
-1 的高次幂 正数的任何次幂都是正数. （-1）2 025=-1，（-1）2 026=1
去绝对值符号 |1-| = -1， | - 1| = -1，若|x|=5，则 x=±5.
续表
第一节 实数的有关概念及运算
常见的开方 =2， =2 ， =3 ，
=2， =3， =-2， =-3.
实数的 运算顺序 先算 ____________，再算 _________，最后算 __________，有 _________ 的要先算 _________，若没有括号，在同一级运算中，要 _____________ 依次进行运算.
续表
乘方
乘除
加减
括号
括号里面的
从左到右
第一节 实数的有关概念及运算
核心思想 凑整，一种是将算式中所有的小数或分数凑成整数；一种是将算式中个位不为 0 的整数凑成整十、整百、整千等.
方 法 （1）凑十、凑百法：结合完全平方公式、平方差公式的简便运算：如 99×101=（100-1）×（100+1）；
（2）小数或分数凑整法：利用交换律、结合律和分配律的简便计算，如
4. 简便运算 （2020 年考查）
第一节 实数的有关概念及运算
易错易混警示
1.（b-c）÷a=b÷a-c÷a（a≠0）能应用分配律；a÷（b-c）则不能应用分配律.
2.
第一节 实数的有关概念及运算
教材习题变式夯基础
1.［人七上 P51 习题变式］ 简便计算：（1）2 025×2 023-2 0242
=________；（2）1992=________.
2.［北师七上 P46 习题变式］计算：（1）2×（-3）+（ ）2-|-4| + =_________；
（2）（- ）2-|-4|+（2 025-π）0+tan45°=_________；
（3）（-1）2 025+ + -1+ |1-| =_________．
-1
39601
-2
1
5
第一节 实数的有关概念及运算
例 1 ［25·邢台一模］ 四个数 |-3.14| ，-a，-12，（-2）2 中一定为负数的是 （ ）
A． |-3.14| B． -a
C． -12 D．（-2）2
■题型一 实数的相关概念 （常考考点）
C
第一节 实数的有关概念及运算
题型解法
求一个数的相反数，只需在它的前面添加负号即可.求一个数的绝对值，要先看这个数是正数、负数还是 0，一个数的绝对值一定是非负数.
第一节 实数的有关概念及运算
对点集训
练 1 ［25·秦皇岛一模］一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近 规定长度质量越好． 检查其中四个零件，结果如下：第一个为-0.02 mm，第二个为 0.06 mm，第三个为-0.04 mm，第四个为0.01 mm.则这四个零件中质量最差的是（ ）
A． 第一个 B． 第二个
C． 第三个 D． 第四个
B
第一节 实数的有关概念及运算
练 2 ［25·武汉］ 力在物理中是矢量（注：矢量是有大小也有方向的量）．如果小毛拉动某一物体时用了 100 N 的力，那么物体给小毛的力为 _____ N．
练 3 已知 a 与 b 的和为 2，b 与 c 互为相反数，若|c|=1，则 a=__________.
100
3 或 1
第一节 实数的有关概念及运算
例 2 ［24·河北 20 题］如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点 A，B，C 所对应的数依次为-4，2，32，乙数轴上的三点 D，E，F 所对应的数依次为 0，x，12．
（1）计算 A，B，C 三点所对应的数的和，并求 的值；
（2）当点A 与点 D 上下对齐时，点 B，C 恰好分别与点 E，F 上下对齐，求 x 的值．
■题型二 与数轴有关的运算（常考考点）
第一节 实数的有关概念及运算
解：（1）∵ 点 A，B，C 所对应的数依次为-4，2，32，
∴A，B，C 三点所对应的数的和为-4+2+32=30，
∵AB=2-（-4）=6，AC=32-（-4）=36，
∴ = = ；
（2）由数轴得，DE=x-0=x，DF=12-0=12，
由题意得 = ，
∴ = ，∴x=2．
第一节 实数的有关概念及运算
题型解法
根据某点在原点左侧或右侧，结合该点距离原点有几个单位长度确定该点所表示的实数.表示一对互为相反数的点在数轴上分别位于原点两侧，且到原点的距离相等，即这两点关于原点对称.
第一节 实数的有关概念及运算
对点集训
练1 ［25·沧州名校模拟］ 如图，嘉嘉借助刻度尺画了一条数轴，则这条数轴上点 A 对应的实数为 （ ）
A． -5 B． -2.5 C． 0 D． 2.5
A
第一节 实数的有关概念及运算
练2 ［25·唐山古冶区三模］ 如图，点 A，B，C，D在数轴上，其中表示互为相反数的点是（ ）
A． 点 A 与点 D B． 点 B 与点 D
C． 点 A 与点 C D． 点 B 与点 C
A
第一节 实数的有关概念及运算
练3 ［25·衡水模拟］ 如图，有一根木条 MN（M在 N 的左边）在数轴上移动，数轴上 A，B两点之间的距离 AB=10，当点 N 移动到与点 B 重合时，点 M 恰好对应数轴上的数为4；当点 N 移动到与线段 AB 的中点重合时，点 M 所对应的数为 __________.
-1
第一节 实数的有关概念及运算
例 3 ［23·河北 10 题］ 光年是天文学上的一种距离单位， 一光年是指光在一年内走过的路程，约等于 9.46×1012 km，下列正确的是（ ）
A． 9.46×1012-10＝9.46×1011
B． 9.46×1012-0.46＝9×1012
C． 9.46×1012 是一个 12 位数
D． 9.46×1012 是一个 13 位数
■题型三 用科学记数法表示数（必考考点）
D
第一节 实数的有关概念及运算
题型解法
第一节 实数的有关概念及运算
对点集训
练1 ［25·邯郸一模］用科学记数法表示的数4×10 -2 在如图所示的数轴上的大致位置可能是 （ ）
A． 点 A B． 点 B
C． 点 C D． 点 D
B
第一节 实数的有关概念及运算
练2 ［25·沧州模拟］ 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小．据测量，200 粒粟的质量大约为 1 g，用科学记数法表示一粒粟的质量约为 （ ）
A． 2×102 g B． 2×10-2 g
C． 5×10-2 g D． 5×10-3 g
D
第一节 实数的有关概念及运算
例 4 ［24·河北 1 题］ 如图显示了某地连续 5 天的日最低气温，则能表示这 5 天日最低气温变化情况的是 （ ）
■题型四 实数的大小比较 （必考考点）
A
第一节 实数的有关概念及运算
题型解法
1. 实数比较大小时的常用方法是作差法和平方法.
2. 利用数轴比较实数的大小时，常先在数轴上表示出来，再根据右边的数总比左边的数大；在原点左侧的数，绝对值大的反而小进行比较.
第一节 实数的有关概念及运算
对点集训
练1 ［25·安徽］ 在-2，0，2，5 这四个数中，最小的数是 （ ）
A． -2 B． 0 C． 2 D． 5
A
第一节 实数的有关概念及运算
练2 ［25·邯郸 25 中一模］ 实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是 （ ）
A． ab＞0 B． a+b＞0
C． a+3＜b+3 D． -3a＜-3b
D
第一节 实数的有关概念及运算
例 5 ［25·河北 18 题］（1）一道习题及其错误的解答过程如下：
■题型五 实数的运算 （必考考点）
第一节 实数的有关概念及运算
请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程；
（2）计算：|2-| -（-2）2×
解：（1）原解题步骤从第一步开始出现错误，正确步骤如下：
原式=（-6）× +（-6）× -（-6）× =-3-4+5=-2；
（2）原式=2- -4× =2- - =2 - -（2-1）=2- -1=1- ．
第一节 实数的有关概念及运算
题型解法
有关实数运算的解答题，一般包括加、减、乘除、乘方、开方以及零指数幂与负整数指数幂等内容，以考查运算法则与运算律为主，做此类题可简单分析归纳，结合运算律解答.
第一节 实数的有关概念及运算
对点集训
练1 ［25·秦皇岛一模］计算 =（ ）
A． 81 B． 9m C． D．
D
第一节 实数的有关概念及运算
练2 ［25·沧州名校联考］ 如图所示的是珍珍的一道作业题的部分计算过程．
（1）在①～④的计算结果中，有错误的是 ________（选填序号）；为了区分（-2）2 和 2-2，请直接写出（-2）2=____，2-2=____；
（2）对于这道作业题，请给出正确的计算过程．
②④
4
第一节 实数的有关概念及运算
解：（2）原式=-4-（ -1）+1+2× =-4- +1+1+ =-2．
第一节 实数的有关概念及运算
练3 ［25·承德模拟］佳佳和苗苗玩卡片游戏，游戏规则：把写有-20～20 的 40 张卡片打乱顺序，背面朝上，每人随机从中取出三张卡片，计算三张卡片上的数的和，再取和的绝对值，若为 8 则取胜，在第一局中，佳佳取出的三张卡片上的数分别为 4，-3，-9．
（1）佳佳第一局是否会取胜？
（2）第二局苗苗取胜，苗苗取出的三张卡片中有两张卡片上的数分别为-8 和 2，求苗苗取出的另一张卡片上的数．
第一节 实数的有关概念及运算
解：（1）｜ 4+（-3）+（-9）｜ =8，佳佳第一局取胜；
（2）设苗苗取出的另一张卡片上的数为 x，｜x+（-8）+2｜ =8，
当 x+（-8）+2=8 时，解得 x=14，
当 x+（-8）+2=-8 时，解得 x=-2，
即苗苗取出的另一张卡片上的数为14 或-2．(共27张PPT)
第四节 分 式
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第四节 分 式
■考点一 分式的相关概念
相关概念 分式 一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有 ______，那么代数式 叫做分式.
最简分式 分子和分母没有 __________ 的分式.
字母
公因式
第四节 分 式
与分式 有关的 “六个 条件” 的字母 表示 （1）分式 无意义时，B___________；
（2）分式 有意义时，B___________；
（3）使分式 有意义的条件是 B，C，D 均不等于 0；
（4）分式 的值为零时，Ａ__________且 B________；
（5）分式 的值为正时，Ａ，B________；
（6）分式 的值为负时，Ａ，B________.
续表
=0
≠0
=0
≠0
同号
异号
第四节 分 式
■考点二 分式的基本性质（常考，考查应用性质进行分式化简）
分式的 基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值 _______.
应用 约 分 把一个分式的分子与分母的 _________约去，不改变分式的值，叫做约分.
通 分 把几个异分母分式分别化成与原来的分式相等的 _________ 分式的过程叫做分式的通分.
不变
公因式
同分母
第四节 分 式
应用 变号 法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任意两个，分式的值 ______.
不变
续表
第四节 分 式
知识能力进阶
1. 通分的关键是找最简公分母.找最简公分母的方法：①分母中能分解因式的先分解因式；②取各分母所有因式的最高次幂的积（数字因式取它们的最小公倍数）作为公分母.
2. 约分的关键是找公因式.找公因式的方法：①分子、分母能分解因式的，先分解因式；②取分子、分母中相同的因式的最低次幂的积（数字因式取它们的最大公约数）作为公因式.
第四节 分 式
教材习题变式夯基础
1.［人八上 P133 习题改编］ 若 a≠b，则下列分式化简正确的是 （ ）
D
第四节 分 式
2.［冀八上 P4 习题变式］ 若 a≠b≠0，且 ，两个“□”中是运算符号“+”“-”“×”“÷”中的同一种，则“□”里可以填 _____________． （写出一种情况即可）
3.［人八上 P132 例题改编］（1）分式 的最简公分母是 _________；
（2）分式 与 的最简公分母是 __________________.
×（答案不唯一）
6x2y2
2b（a+b）（a-b）
第四节 分 式
■考点三 分式的运算（必考，考查分式的四则运算及经过计算化简后求值）
加减 法法则 同分母分式的加减 分母不变，只把分子相加减；公式表示：
异分母分式的加减 先通分，化为同分母分式后，再加减；公式表示：
第四节 分 式
乘除法 法则 分式乘法 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母；公式表示：
分式除法 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘；公式表示：
分式乘方的运算法则 分式乘方是把分子、分母各自乘方，即 =______（n 为整数）.
续表
第四节 分 式
分式的化简与求值 先把分式化简成最简分式（或不含括号的整式），再通过直接代值或通过计算得到的未知字母的值，代入计算（注意代入的值不能使原分式无意义）.
续表
第四节 分 式
知识能力进阶
分式乘除运算的关键是约分，约分的关键是找公因式.步骤如下：
第四节 分 式
易错易混警示
分式化简注意事项：（1）分式化简时，分子分母可以分解因式的一定要先分解因式再约分，化为最简分式或整式；（2）当整式与分式进行加减运算时，要将整式看作分母为 1 的式子，然后进行通分；（3）代值计算时，应注意分母不为 0 的情况.
第四节 分 式
教材习题变式夯基础
1.［人八上 P146 习题改编］ 化简：
第四节 分 式
2. ［冀八上 P17 习题变式］ 若 x+y=2，xy=-2，则 + =________.
-4
第四节 分 式
例 1 如果分式 中的 x，y 都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值 （ ）
A． 不变
B． 扩大为原来的 2 倍
C． 缩小为原来的
D． 缩小为原来的
■题型一 分式的基本性质（常考考点）
B
第四节 分 式
题型解法
在应用分式的基本性质的时候，要注意符号的化简，避免失误.
第四节 分 式
对点集训
练1 不改变分式的值， 下列各式中变形正确的是 （ ）
D
第四节 分 式
练2 若 成立， 则 x 的取值范围是 ___________.
x≠1
第四节 分 式
例 2 ［24·河北 13 题］ 已知 A 为整式，若计算 的结果为 ，则 A=（ ）
A． x B． y C． x+y D． x-y
■题型二 分式的运算（高频考点）
A
第四节 分 式
题型解法
分式的混合运算要注 意的问题 注意化 简结果 运算的结果要化成最简分式或整式.
注意运 算律的 应用 分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用运算律运算，这样会简化运算过程.
第四节 分 式
对点集训
练1 ［25·唐山遵化一模］ 试卷上一个正确的式子 被小明同学不小心滴上了墨汁．被墨汁遮住部分★处的代数式为 （ ）
B
第四节 分 式
练2 ［25·陕西］ 化简： _______________.
x+2
第四节 分 式
例 3 ［25·河北 8 题］ 若 a=-3，则 =（ ）
A． -3 B． -1 C． 3 D． 6
■题型三 分式的化简求值（高频考点）
B
第四节 分 式
题型解法
分式化简求值时需注 意的问题 （1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大而缺少必要的步骤；
（2）代入求值时，可根据题目的具体条件选择合适的方法，如直接代入法、整体代入法等．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 0.
第四节 分 式
对点集训
练1 ［25·邯郸永年区摸底］ 若 a 为正整数，下列关于分式 的值的结论正确的是（ ）
A． 有最大值是 2
B． 有最大值是
C． 有最小值是 1
D． 有最小值，没有最大值
B
第四节 分 式
练2 ［25·福建］ 先化简，再求值：
其中 a= -1．
解：原式=（ + ）÷ = ·= ，
当 a= -1时，原式= = = = ．(共22张PPT)
第二节 二次根式
中考考点清单解读
● 深挖教材过考点
● 河北中考题型强化提升
第二节 二次根式
■考点一 二次根式的有关概念及性质
二次根式 一般地，形如 （a________）的式子叫做二次根式.
最简二次 根式 必须同时满足以下条件：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）被开方数不含分母.
同类二次 根式 几个二次根式化成最简二次根式后， 如果 ________ 相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
≥0
被开方数
1. 相关概念
第二节 二次根式
双重非负性 是二次根式，则 a≥0， ≥0， 即 （a ≥0）是一个非负数.
性质公式
a
a
0
-a
2. 性 质 （2021 年、2023 年考查）
第二节 二次根式
教材习题变式夯基础
1.［人八下 P5 习题改编］ 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是______.
2.［北师八上 P29 习题改编］ 化为最简二次根式.
（1） =_______；（2） =_______；
（3）（- ）2=_______；（4） =_______.
x＞1
9
49
第二节 二次根式
■考点二 二次根式的运算（常考，考查二次根式的加减乘除运算）
加减法 先将各根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式.如：
乘除法
混合运算 与实数的运算顺序相同且运算结果必须为最简二次根式.
1. 四则运算 （近 6 年连续考查）
2
3
第二节 二次根式
知识能力进阶
乘法公式在二次根式运算中的应用:
易错易混警示 1. 二次根式加减的本质是合并同类二次根式，切记： + ≠ .
2. 二次根式的最终运算结果必须化为最简二次根式形式.
第二节 二次根式
教材习题变式夯基础
1.［冀八上 Ｐ105 习题改编］ 下列计算，结果正确的是 （ ）
A． × =6 B． ÷ =±2
C． + = D． 3 - =2
D
第二节 二次根式
2.［人八下 P15 习题改编］ 计算：
（1） -3 =_____； （2） ÷ =_____；
（3） ÷ × =______；
（4） × - =_______； （5）（2 +3）（2 -3）=_____；
（6）（ -2）3（ +2）3=_____.
0
6
6
-
3
1
第二节 二次根式
方法 （1）先将分子、分母化成最简二次根式；（2）将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根式；（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式.
举例
2. 分母有理化 （6 年 5 考）
第二节 二次根式
■考点三 二次根式的估值
估计 （a≥0）在哪两个整数之间 ①把所求根式进行平方得到 a；②找出与平方后所得的数字 a 相邻的两个开得尽方的整数；③对上面两个整数进行开方；④确定在开方后的两个整数之间.
关键点：m2＜a＜n2（m＞0，a＞0，n＞0） m＜ ＜n.
确定 （a≥0）离 哪个整数较近 ①求出在哪两个连续整数之间；②求这两个整数的平均数；
③对二次根式和平均数进行平方，若二次根式的平方大于平均数的平方，则离较大的整数近；否则离较小的整数近.
第二节 二次根式
确定（a≥0）的整数部分或小数部分 首先求出与相邻的两个连续整数 b 和 c（b＜c），则 的整数部分是____， 的小数部分为______.
续表
b
第二节 二次根式
知识能力进阶
1. 根据不等式的性质可得其负根式的范围，如-3＜- ＜-2.
2. 确定 ±b 的值在哪两个连续整数之间时，只需在确定 在开方后的两个整数之间的基础上给不等号的两边加减 b.
第二节 二次根式
教材习题变式夯基础
1.［人七下 P47 习题变式］ 估计 的值在 （ ）
A． 4 和 5 之间 B． 5 和 6 之间
C． 6 和 7 之间 D． 7 和 8 之间
2.［人七下P47习题变式］ 已知 m，n 分别表示 5- 的整数部分和小数部分，则 m-n 等于__________.
C
-1
第二节 二次根式
例 1 ［25·沧州一模］ 用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为 2 的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为 2，则一块“甲”纸片的边长为 （ ）
A． 2 B． 2+2
C． 3 D． 4+2
■题型一 二次根式的运算（高频考点）
B
第二节 二次根式
题型解法
第二节 二次根式
对点集训
练1 ［25·石家庄桥西区一模］ 已知 k = ×（ + ）（ - ），则 k 的值为（ ）
A． 3 B． 4
C． 7 D． 4
D
第二节 二次根式
练2 若 m 为实数， 在“（ +2）□m”的“□”中添上一种运算符号（在“+”“-”“×”“÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则 m 的值不可能是 （ ）
A． +2 B． -2
C． 2 D． 2-
C
第二节 二次根式
练3 计算：
（1）［25·云南］ （π-2）0-（）2+|-6|+-1-2cos60°；
（2）［25·上海］ - + |2-|+-3．
解：（1）原式=1-3+6+5-2× =1-3+6+5-1=8；
（2）原式= -2 + -2+8
= -1-2 + -2+8=5．
第二节 二次根式
例 2 ［24·河北 18 题］已知 a，b，n 均为正整数．
（1）若 n＜ ＜n+1，则 n=____；
（2）若 n-1＜ ＜n，n＜ ＜n+1，则满足条件的 a 的个数总比 b 的个数少 ______ 个．
■题型二 二次根式的估值（高频考点）
3
2
第二节 二次根式
题型解法
第二节 二次根式
对点集训
练1 ［25·天津］ 估计 1+ 的值在 （ ）
A． 1 和 2 之间 B． 2 和 3 之间
C． 3 和 4 之间 D． 4 和 5 之间
练2 ［25·邯郸模拟］ m，n 是连续的两个整数，若 m＜ ＜n，则 m+n 的值为 _______.
C
5
第二节 二次根式
练3 已知 a 是 的整数部分，b 是它的小数部分，求（-a）3+（b+3）2 的值．
解：∵3＜ ＜4，
∴a=3，b= -3，
∴ 原式=（-3）3+（ -3+3）2=-27+10=-17．

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