资源简介

(共41张PPT)
第十七章 因式分解
单元复习
1
2
3
目 录
CONTENTS
思维导图
知识讲解
单元检测
01
思维导图
思维导图
乘积　
(a＋b)(a－b)　
(a±b)2
知识讲解
02
知识点1 因式分解的概念
把一个多项式化成了几个 的 的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
整式
乘积
例1、下列各式从左到右，属于因式分解的是（　B　）
A． 2a(m＋n)＝2am＋2an
B． a2－b2＝(a－b)(a＋b)
C． m(a＋b＋c)＝am＋bm＋cm
D． x2＋6x＋16＝x(x＋6)＋16
B
多项式中各项都有的公共的 叫作这个多项式各项的公因式．
因式
知识点2 公因式
　例1、填空：
(1)多项式6m2－8m3的公因式是 ；
　 (2)多项式3x2y2－12x2y4－6x3y3的公因式是 ；
　 (3)多项式2x(a－5)－y(5－a)的公因式是 ．
2m2
3x2y2
a－5或5－a
知识点3 提公因式法进行简单的因式分解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．
例1、分解因式：
　　(1)m2－m; (2)ab2－3a2b＋b.
　　(1)解：原式＝m·m－m·1
＝m(m－1)．
　　(2)解：原式＝b·ab－b·3a2＋b·1
　　＝b(ab－3a2＋1)．
例2、分解因式：
　　(1)2xy(a－2)3－2y(2－a)3；
　　解：原式＝2y(a－2)3·x＋2y(a－2)3·1
　　＝2y(a－2)3(x＋1)．
　　(2)a2(6b－3)＋a(3－6b)．
　　解：原式＝a2(6b－3)－a(6b－3)
　　＝3a(2b－1)·a－3a(2b－1)·1
　　＝3a(2b－1)(a－1)．
　知识点4 直接运用平方差公式进行因式分解
　
＝(a＋b)(a－b)，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
a2－b2
例1、分解因式：
　　
(1)x2－4＝( )2－( )2＝ ；
(2)9m2－1＝( )2－( )2＝ ；
(3)－a2＋9＝( )2－( )2＝ .
x
2
(x＋2)(x－2)
3m
1
(3m＋1)(3m－1)
3
a
(3＋a)(3－a)
　　例2、分解因式：
　　(1) a2－4b2； (2)－25n2＋m2； (3)81a2－49b4.
　　解： (1) 原式＝ －(2b)2＝( a+2b)( a-2b).
　　 (2) 原式＝m2－(5n)2＝(m＋5n)(m－5n)．
　　 (3)原式＝(9a)2－(7b2)2＝(9a＋7b2)(9a－7b2)．
　例3、分解因式：(2x＋y)2－(x＋2y)2.
　　解：原式＝[(2x＋y)＋(x＋2y)][(2x＋y)－(x＋2y)]
　　 ＝(2x＋y＋x＋2y)(2x＋y－x－2y)
　　 ＝(3x＋3y)(x－y)
＝3(x＋y)(x－y)．
＝(a＋b)2， ＝(a－b)2，即
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．我们把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫作完全平方式．
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
知识点5 直接运用完全平方公式进行因式分解
例1、下列多项式：①x2－4x＋4；②x2－2x－1；
③4x2－2x＋1；④x2＋x＋ ，其中是完全平方式的有 ．(填序号)
①④
　例2、分解因式：
　　(1)x2＋2x＋1＝x2＋2·x·1＋12＝ ；
　　(2)49x2－28x＋4＝( )2－2· · ＋( )2
＝ ；
　　(3)4x2－12xy＋9y2＝ ．
(x＋1)2
7x
7x
2
2
(7x－2)2
(2x－3y)2
　例3、分解因式：
　　(1)(整体思想)(m＋n)2－14(m＋n)＋49；
　　(1)解：原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·7＋72
　　 ＝(m＋n－7)2.
　　(2)－6y－y2－9.
　　(2)解：原式＝－(y2＋6y＋32)
　　 ＝－(y＋3)2.
　　
例4、分解因式：
　　(1)m4－n4; (2)(x2＋y2)2－4x2y2.
　　(1)解：原式＝(m2＋n2)(m2－n2)
　　 ＝(m2＋n2)(m＋n)(m－n)．
　　(2)解：原式＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)
　　 ＝(x＋y)2(x－y)2.
　　(3)4ax2＋8axy＋4ay2；
　　解：原式＝4a(x2＋2xy＋y2)
　　 ＝4a(x＋y)2.
　　(4)－4x3＋4x2y－xy2.
　　解：原式＝－x(4x2－4xy＋y2)
　　 ＝－x(2x－y)2.
知识点6 十字相乘法：
方法：首尾分解，交叉相乘再相加要等于中间项，成功之后横着写．
　1. x2＋(p＋q)x＋pq型多项式的因式分解
　例1、分解因式：
　　(1)x2＋7x＋10; (2)x2－8x＋12；
(3)x2－x－6; (4)x2＋2x－8.
　　解：(1)原式＝(x＋2)(x＋5)．
　　 (2)原式＝(x－6)(x－2)．
　　 (3) 原式＝(x＋2)(x－3)．
　　 (4) 原式＝(x＋4)(x－2)．
　　2. x2＋(p＋q)xy＋pqy2型多项式的因式分解
　　
例2、分解因式： (1)x2－2xy－8y2 ；(2) x2－5xy－6y2.
　　解： (1)原式＝(x－4y)(x＋2y)．
　　 (2)原式＝(x－6y)(x＋y)．
　　3. ax2＋bx＋c(a≠1)型多项式的因式分解
　　
例3、分解因式： (1)2x2－3x＋1; (2)2x2－5x－3.
　　解： (1)原式＝(x－1)(2x－1)．
　　 (2)原式＝(2x＋1)(x－3)．
　　4. 先提公因式，再用十字相乘法因式分解
　　
例4、分解因式： ： (1)2x2＋6x－36； (2) －3x2＋3xy＋6y2.
　　解： (1)原式＝2(x2＋3x－18)
　　 ＝2(x－3)(x＋6) ；
　　 (2)原式＝－3(x2－xy－2y2)
　　 ＝－3(x＋y)(x－2y)．
　　
单元检测
03
1． 下列从左到右的变形属于因式分解的是（　B　）
A． a(b＋c)＝ab＋ac
B． x2－y2＝(x＋y)(x－y)
C． 4m2b＝2m2·2b
D． m2－1＋x＝(m＋1)(m－1)＋x
B
一、选择题
2．8x2y3z－6xy2z2＋12xy3z分解因式时，应提取的公因式
是（　B　）
B
A． 4x2y2z B． 2xy2z C． 6xy D． 2
3． 下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（　D　）
A． x2＋4y2
B． x2＋4xy＋4y2
C． x2－4y
D． x2－4y2
D
4． 给出下列式子：①－x2－xy－y2；② a2－ab＋ b2；
③－4ab2－a2＋4b4；④4x2＋9y2－12xy；⑤3x2＋6xy＋3y2.其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（　C　）
C
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
5．若a＝4＋b，ab＝3，则－a3b＋2a2b2－ab3的值为（　A）
A
A．－48 B． －12 C． －36 D． 12
　6．分解因式：2x2－6xy＝ ．
　7．若多项式x2＋mx＋12因式分解得(x＋3)·(x＋n)，则m＋n＝
．
　8．已知4a2＋12ab＋m是一个完全平方式，则m的值为 ．
　9．如果(x＋y－3)2＋(x－y＋5)2＝0，那么x2－y2的值为 ．
　10．已知一个长方形的长与宽分别为a，b.若其周长为20，面积
为6，则a3b＋2a2b2＋ab3＝ ．
2x(x－3y)
11
9b2
－15
600
二、填空题
三、解答题
　　11． 因式分解：
　　(1)4x3y－8x2y2＋4xy3；(2)9a2(x－y)＋4b2(y－x)．
　　解：(1)原式＝4xy(x2－2xy＋y2)
　　 ＝4xy(x－y)2.
　　 (2)原式＝9a2(x－y)－4b2(x－y)
　　 ＝(x－y)·(9a2－4b2)
　　 ＝(x－y)(3a＋2b)(3a－2b)．
　　12． (新定义)若一个正整数a可以表示为连续的两个奇数的平方差的形式，如：8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52，…，我们则称形如8，16，24这样的正整数a为“奇特数”．
　　(1)请写出最小的三位数的“奇特数”是 ，将它表示成连续的两个奇数的平方差的形式为 ；
104
104＝272－252
　　(2)求证：任意一个“奇特数”都是8的倍数．
证明：设连续的两个奇数分别为2k＋3，2k＋1(k＝0，1，2，…)．
　 ∴m＝(2k＋3)2－(2k＋1)2
＝(2k＋3＋2k＋1)(2k＋3－2k－1)
＝2(4k＋4)＝8(k＋1)．
　　∴任意一个“奇特数”都是8的倍数．
　　13． 【阅读理解】分解因式：x2－4y2－2x＋4y.
　　细心观察上面这个式子就会发现，前两项满足平方差公式的应用条件，后两项可提取公因式，前两项和后两项分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程：x2－4y2－2x＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．
　　这种分解因式的方法叫作分组分解法．
　　请利用这种方法解决下列问题：
　　(1)分解因式：x2－y2－x－y；
　　解：(1)原式＝(x＋y)(x－y)－(x＋y)
　　 ＝(x＋y)(x－y－1)．
(2)△ABC的三边长a，b，c满足a2－ab－ac＋bc＝0，试判断△ABC的形状．
　　(2)∵a2－ab－ac＋bc＝0，
　　∴a(a－b)－c(a－b)＝0.
　　∴(a－b)(a－c)＝0.
　　∴a－b＝0或a－c＝0.
　　∴a＝b或a＝c.
　　∴△ABC是等腰三角形．
谢谢观看

展开更多......

收起↑