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(共20张PPT)
6.3.3 余角和补角
1. 了解余角、补角的概念.
2. 掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的性质解决相关问题.
如图是一座造型独特的八边形古塔. 塔身的每一个棱角都显得格外精致，如果想知道这个塔的一个角(如∠α)是多少度 ，有什么简单的方法呢？
α
我们可以用今天学习的知识来解决呦，一起来看看吧！
问题 1
图中的∠1 和∠2 有怎样的数量关系？
1
2
50°
40°
1
2
测量
∠1 +∠2 = 90°
下面每个图中的两个角也满足度数之和为 90°.
2
1
2
1
2
一般地，如果两个角的和等于 90°(直角)，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中每一个角是另一个角的余角.
1
2
符号语言：
因为∠1 +∠2 = 90°，
所以∠1 与∠2 互为余角.
注意：(1) 余角是指两个角的关系；
(2) 余角只考虑两个角的数量关系，与位置无关.
例1 如图，已知∠1 = 35°.
(1) ∠1的余角是多少度？
(2) 你能画出∠1 的余角吗？
1
(1) 解：∠1 的余角的度数为 90° - 35° = 55°.
1
2
1
3
(2)
思考 1
∠1 与∠2 、∠3 都互为余角，那么∠2 与∠3 的大小有什么关系？
∠1 与∠2 、∠3 都互为余角，那么∠2 = 90° -∠1，∠3 = 90° -∠1.
所以∠2 =∠3.
余角的性质：同角(等角)的余角相等.
图中的∠1 和∠2 有怎样的数量关系？
3
4
测量
144°
36°
∠3 +∠4 = 180°
问题 2
下面每个图中的两个角也满足度数之和为 180°.
134°
46°
50°
130°
如果两个角的和等于 180° (平角)，就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角.
3
4
符号语言：
因为∠3 +∠4 = 180°，
所以∠3 与∠4 互为补角.
注意：(1) 补角是指两个角的关系；
(2) 补角只考虑两个角的数量关系，与位置无关.
思考 2
∠1 与∠2 、∠3 都互为补角，那么∠2 与∠3 的大小有什么关系？
∠1 与∠2 、∠3 都互为补角，那么∠2 = 180° -∠1，∠3 = 180° -∠1.
所以∠2 =∠3.
补角的性质：同角(等角)的补角相等.
问题解决 如图是一座造型独特的八边形古塔. 塔身的每一个棱角都显得格外精致，如果想知道这个塔的一个角(如∠α)是多少度 ，有什么简单的方法呢？
解：由图可知：∠1 + ∠α=180°，
所以∠1 与∠α互补，
我们可以通过测量∠1的度数，
利用∠α=180°- ∠1 求得∠α .
α
1
例 如图，点A，O，B在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
O
A
B
C
D
E
解：因为点A，O，B在同一条直线上，所以∠AOC 和∠BOC 互为补角.
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC= (∠AOC+∠BOC ) = 90°.
所以∠COD和∠COE互为余角.
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.
分析：互为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角.
变式 如图，直线AB，CD交于点O，∠1=∠2，∠3=∠4．求：
(1)∠2的余角、补角；
(2)∠4的余角.
解：(1) 因为∠1=∠2，∠3 = ∠4
所以∠1+∠2+∠3+∠4 = 2(∠1+∠4) = 2(∠2+∠3)=180°，
所以∠2+∠3=∠1+∠4 = 90°，所以∠2的余角为∠3和∠4，
又因为∠1+∠BOE=180°，
所以∠2+∠BOE=180°，所以∠2的补角为∠BOE.
(2) 由(1)可得∠4的余角为∠1和∠2.
1.(2024甘肃)若∠A=55°，则∠A的补角为( )
A.35° B.45°
C.115° D.125°
D
2.已知∠α与∠β互为余角，∠α=30°30′，则∠β的补角是( )
A.119°30′ B.120°30′
C.121°30′ D.149°30′
B
3.如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是( )
A
A B C D
4.(新定义型阅读理解题)定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个角分成的两个角中有一个角与已知的钝角互为补角，则称该射线为这个钝角的“割补线”．
(1)如图1，∠MON=130°，∠MOP=80°，请判断OP是否为∠MON的“割补线”并说明理由；
解：OP是∠MON的“割补线”，理由如下：
由条件可知∠NOP=∠MON -∠MOP=50°，
所以∠NOP+∠MON=180°，
所以OP是∠MON的“割补线”.
4.(新定义型阅读理解题)定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个角分成的两个角中有一个角与已知的钝角互为补角，则称该射线为这个钝角的“割补线”．
(2)若OP平分∠MON，且OP为∠MON的“割补线”，求∠MON的大小.
解：由条件可知∠MOP＝∠NOP＝ ∠MON，
所以∠MON=2∠MOP，
因为OP为∠MON的“割补线”，所以∠MOP+∠MON=180°，
所以∠MOP+2∠MOP=180°，所以∠MOP=60°，
所以∠MON=180°- ∠MOP=180°- 60°=120°.
所以∠MON的大小为120°.
余角 补角
定义
对应图形
符号语言
性质
1
2
1
2
如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互余.
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互补.
因为∠1+∠2=90°，
所以∠1和∠2互为余角.
因为∠1+∠2=180°，
所以∠1和∠2互为补角.
同角(等角)的余角相等.
同角(等角)的补角相等.

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