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(共24张PPT)
第三章 整式及其加减
问题解决策略：归纳
学习目标
1.进一步经历借助归纳策略解决问题的过程,了解归纳策略的意义、适用条件和一般步骤,体会归纳策略在分析问题、解决问题中的价值,发展推理能力.
2.积累利用归纳策略解决不同知识领域问题的经验,提高分析问题、解决问题的能力.
教学设计的基本环节：
协作破阵
问题萌生
情境趣引
教师演示
巩固拓能
当堂小测
反思拾贝
作业妙想
情境趣引
问题:从数到式的思维进阶是怎样发生的,借助代数式表达的规律有怎样的意思？是如何找到这个规律的？
“学校要在教学楼前的台阶摆花,第1级台阶摆3盆,第2级摆5盆，第3级摆7盆…… 老师想知道,摆到第10级台阶时需要多少盆花？如果要摆101盆花,能摆到第几级台阶？
问题萌生
在本章学习过程中,我们经历过很多次“归纳”的过程,即从几种特殊情形出发,进而找到一般规律的过程.归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略.
的个位数字是多少？
问题1:这个问题中，已知条件是什么？要解决的问题是什么？
条件：一个关于3的高次幂的运算
问题：寻找它的个位数字
追问1:你遇到的问题是什么？你准备怎么办？
2024次幂的结果太大，无法计算；尝试从低次幂开始，借助探索规律中的学习经验，找找规律.
问题萌生
追问2:你能尝试计算3的低次幂,完成下面的表格吗？
幂 个位数字
3
9
7
1
3
9
7
1
追问3:观察指数和个位数字的结果，你有怎样的发现？
1.末尾数字按3,9,7,1的顺序循环出现,4次一个完整循环
2.2024÷4=506，所以问题中的个位数字与的个位数字相同是1
追问4:解决本例的方法，你有怎样的思考？
问题萌生
问题背景：“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格.它将整个区域分割为若干三角形,通过把相邻三角形涂上不同颜色,产生立体及光影的效果,随着三角形数量增加,效果更为斑斓绚丽.
将长方形区域分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点,连同长方形的个顶点,逐步连接这些点,保证所有连线不再相交产生新的点,直到长方形内所有区域都变成三角形.
问题萌生
当长方形内有1个点时,可分得4个三角形；当长方形内有2个点时,可分得6个三角形（不计被分割的三角形）.
问题:当长方形内有35个点时,可分得多少个三角形？
请同学们按照分割三角形的描述，尝试动手画一画1个点和2个点的图形
问题萌生
问题2:这个问题中,已知条件是什么？要解决的问题是什么？
条件：长方形内找到点,连接后产生三角形
问题：寻找三角形的数量
追问1:你遇到的问题是什么？你准备怎么办？
35个点数量太多，图形不易画出.尝试从1个点开始，借助探索规律中的学习经验,找找规律.
追问2:刚才画图的过程中，我们发现，当长方形内有1个点时,可分得4个三角形；当长方形内有2个点时,可分得6个三角形（不计被分割的三角形）,你能发现规律吗？你要怎么做？
继续画图,直至找到规律
问题萌生
追问3:观察下面3个点和4个点的图形,看看和你画的是否一样？并尝试总结数字规律,并填写在表格中.
长方形内点的数量 三角形个数
1 4
2 6
3 8
4 10
协作破阵
追问4:对比两组数据,你有怎样的发现？
长方形内点的个数增加1，三角形的个数增加2.
追问5:以上猜想是否合理，给出你的解释
猜想是合理的.在长方形内已经有n个点的情况下,新增的一个点要么在某个三角形内部,要么在某条线段上.当新增的这个点在某个三角形内部时,连接该点和三角形的顶点，原来的1个三角形分成3个小三角形,三角形的个数增加2；当新增的这个点在某条线段上时,连接该点和它所在两个三角形的顶点,三角形的个数同样增加2.
当长方形内有35个点时,分得的三角形的个数是4+2×34=72
追问6:当长方形内有35个点时,可分得多少个三角形？
协作破阵
追问6:如果长方形内有100个点呢？一般地,如果长方形内有n个点呢？
长方形内有100个点时,4+2×99=202个
长方形内有n个点时,4+2×(n-1)=2n+2
追问7:从简单的情形开始思考有什么好处？通过简单情形归纳一般性结论,你有哪些经验？
降低复杂度：复杂问题往往难直接入手，从简单情形开始,更容易观察规律、找到突破口
便于观察规律：简单情形的结果更直观，能快速发现数量变化的逻辑,为归纳一般结论打基础
减少错误：简单情形的推理和计算更易验证,能避免直接分析复杂情况时的逻辑漏洞.
协作破阵
1.先从“最少数量”的情形入,记录对应结果；
2.逐步增加变量,对比前后结果的变化规律；
3.验证规律的普遍性;
4.把规律用公式或文字总结成一般结论.
追问8:你还能提出并解决什么问题？
问题①：逆向思维
如果图形中有100个三角形，长方形内有多少个点？
问题②：图形拓展
如果把长方形改成正五边形，你可能得到怎样的结论？
问题③：思维升阶(尝试借助图形归纳解决下面问题)
古人说“一尺之竿,日取其半,万世不竭”—— 意思是一根1尺长的竹竿,每天砍去剩下的一半,永远也砍不完！
教师演示
在运用归纳策略寻找规律时,要先在若干简单情形中寻找相应的规律.初步发现规律后,可以通过更多的情形验证,再考虑一般情况.最后,试着给出合理的解释,并用数学语言简洁地表达规律.
《怎样解题》该书是全球最畅销的数学教育书籍之一，首次系统提出“数学解题的四步流程”
第一步：理解问题：明确已知条件、未知量、限制条件，用自己的话重述问题；
第二步：制定计划：联想过往经验,尝试用画图、列方程、特殊化等方法搭建思路；
第三步：执行计划：逐步推进解题过程,检查每一步的合理性,若卡壳则返回第二步调整计划；
第四步：回顾反思：验证答案是否正确,思考是否有更简洁的解法,能否将方法迁移到其他问题（即 “举一反三”）.
教师演示
例:某类简单化合物中前6种化合物的分子结构模型如图 所示,其中灰球代表碳原子,白球代表氢原子.按照这一规律,第60种化合物的分子结构模型中有多少个氢原子？
巩固拓能
知识背景:灰球表示碳原子，白球表示氢原子，它们分别用C、H表示，我们常用下标数字代表他们的个数.
图1：
图2：
图3：
图
根据前面的学习经验,第60种化合物的数量太多，也没有对应的图案，画图难度较大，我们采取从少到多，逐步归纳的方法解决问题，请把6副图中的碳原子和氢原子个数表示出来
巩固拓能
尝试归纳出碳原子和氢原子的数量规律
方法一
碳原子：对应图形的序号，按正整数依次增加
氢原子：从第一个图案开始，依次加2，但图1从4开始
方法二
碳原子：对应图形的序号，按正整数依次增加
氢原子：下标数全是偶数，4=2×2,6=2×3,8=2×4
第60个可以表示为
如果从碳原子和氢原子的数量关系来看，设碳原子有个，你能用含的式子表示氢原子的数量吗？
当堂小测
1.蟑螂对我们来说是非常熟悉的，它之所以被称为打不死的小强，
是因为它的繁殖速度非常惊人.某种蟑螂繁衍后代的数量为上一代
数量的11倍，也就是说，如果它的始祖（第一代）有11只，那么
下一代就会有121只，以此类推，这种蟑螂第15代的只数是( )
D
A. B. C. D.
当堂小测
2.如图，下列是由同种型号的黑、白两种
颜色的等边三角形瓷砖按一定规律铺设的
图形.仔细观察图形可知：
实践与探索：
图1有1块黑色的瓷砖，可表示为
；图2有3块黑色的瓷砖，可表
示为 ；
当堂小测
（1）请在图3的虚线框内画出第3个图形.
解：图3如图所示.
（2）第4个图形有____块黑色的瓷砖.
（3）第个图形有___________块黑色的瓷砖（用含有 的代数式表示）.
10
当堂小测
3.观察：
，，， ，
，，， ，
……
（1）归纳计算结果中的个位数字的规律.
解：个位数字的规律为1，3，7，5四个数字循环.
当堂小测
（2）写出其中个位数字分别为1，3，7，5的算式各两个.
解：，， ，
，， ，
， .（答案不唯一）
（3）指出 的个位数字.
解：，的个位数字与 的个位数字相同，
为5.
反思拾贝
1.用“归纳策略”找规律时,为什么要先研究“简单情形”？直接研究复杂情形会遇到什么困难？
2.本节课中我们发现的“点的数量与三角形个数”的规律,能用数学式子表达吗？这个式子背后的道理是什么？
3.除了“分割三角形”,生活中还有哪些问题可以用“归纳策略” 来解决？试着举一个例子.
作业秒想
一、基础巩固作业：
课本第103页 第4题
二、素养类作业
课本109页 第22题(动手试一试)
作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错.

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