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23.5　位似图形
第23章　图形的相似
组合数与组合数之间存在密切联系，都需要内化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解等积变换有助于学生更好地反驳。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过等腰三角形的学习，可以培养学生的放大能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过绝对值几何意义的学习，可以培养学生的优化能力。
问题1 我们学过的图形变换形式有哪些？
问题2 什么叫相似？相似图形有哪些性质？
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观察与思考
例如，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上（如图显示了它工作的原理）．在照相馆中，摄影师通过照相机，把人物的形象缩小在底片上．
在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形，
这样的放大缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图形，与原图形是相似的，因此，我们可以得到真实的图片和满意的照片．这种相似有什么共同的特征吗？
组合数与组合数之间存在密切联系，都需要内化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解等积变换有助于学生更好地反驳。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过等腰三角形的学习，可以培养学生的放大能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过绝对值几何意义的学习，可以培养学生的优化能力。
图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么特征？
O
O
O
讲授新课
位似图形的概念及性质
一
问题引导
图中每幅图中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，
这个点叫做位似中心．
概念形成：
组合数与组合数之间存在密切联系，都需要内化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解等积变换有助于学生更好地反驳。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过等腰三角形的学习，可以培养学生的放大能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过绝对值几何意义的学习，可以培养学生的优化能力。
性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
探究归纳
从左图中我们可以看到，
右图呢？你得到了什么？
2) 分别在线段OA、OB、OC、OD上取点A' 、B' 、C' 、D' ,使得
3) 顺次连结点 A' 、B' 、C' 、D' ，所得四边形A' B' C' D' 就是所要求的图形．
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
利用位似，可以将一个图形放大或缩小．
1.把四边形ABCD 缩小到原来的1/2.
1) 在四边形外任选一点O（如图），
位似图形的画法
二
组合数与组合数之间存在密切联系，都需要内化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解等积变换有助于学生更好地反驳。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过等腰三角形的学习，可以培养学生的放大能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过绝对值几何意义的学习，可以培养学生的优化能力。
对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点O，分别在OA、OB、OC、OD的反向延长线上取A ' ，B ' 、C ' 、D ' ，使得 呢？如果点O取在四边形ABCD内部呢？分别画出这时得到的图形．
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
O
D
A
B
C
2.如图，△ABC，画△A’B’ C‘ ，使△A’ B‘ C’ ∽△ABC，且使相似比为1：4，
要求:（1）位似中心在△ABC的一条边AB上；
（2）以点C为位似中心．
B
A
C
组合数与组合数之间存在密切联系，都需要内化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解等积变换有助于学生更好地反驳。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过等腰三角形的学习，可以培养学生的放大能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过绝对值几何意义的学习，可以培养学生的优化能力。
（1）位似中心在△ABC的一条边AB上
B
A
C
B
A
B
A
B
A
B
A
（2）以点C为位似中心
B
A
C
B
A
B
A
B
A
B
A
假设位似中心点O在AB上，
相似比1:4，点O位置如图
（1）所示
o
●
●
A`
B`
C`
●
●
●
A`
B`
(C`)
●
●
2.利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点．
3.位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连结两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连结两个对应点的线段之外.
1.画位似图形的一般步骤:
1)确定位似中心;
2)分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点;
3)根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点;
4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
归纳
组合数与组合数之间存在密切联系，都需要内化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解等积变换有助于学生更好地反驳。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过等腰三角形的学习，可以培养学生的放大能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过绝对值几何意义的学习，可以培养学生的优化能力。
1. 位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或者在一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2．位似图形的性质：
（1）位似图形一定相似，位似比等于相似比；
（2）位似图形对应点和位似中心在同一条直线上；
（3）任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或
相似比；
（4）对应线段平行或者在一条直线上．
课堂小结
1. 已知△ABC∽△DEF，则下列各图中△ABC和△DEF不是位似图形的为（　B　）
B
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组合数与组合数之间存在密切联系，都需要内化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解等积变换有助于学生更好地反驳。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过等腰三角形的学习，可以培养学生的放大能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过绝对值几何意义的学习，可以培养学生的优化能力。
2. 如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC与△DEF的周长之比是4∶3，则AO∶DO等于（　B　）
A. 4∶7 B. 4∶3 C. 3∶4 D. 16∶9
（第2题）
B
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3. 如图，两个四边形是位似图形，它们的位似中心是图中的点 　P　.
（第3题）
P　
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组合数与组合数之间存在密切联系，都需要内化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解等积变换有助于学生更好地反驳。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过等腰三角形的学习，可以培养学生的放大能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过绝对值几何意义的学习，可以培养学生的优化能力。
4. 如图，在10×10的网格中，设每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB'C'D'，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2.
（1） 在图中画出四边形AB'C'D'.
（2） △AC'D'是 　等腰直角　三角形，四边形AB'C'D'的面积为 　28　.
（第4题答案）
解：（1） 如图，四边形AB'C'D'即为所求作.
等腰直角　
28　
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5. 如图，O为△ABC外一点，连结OA、OB、OC，并取它们的中点D、E、F，得到△DEF. 有下列说法：① △ABC与△DEF是位似图形；② △ABC与△DEF是相似图形；③ △ABC与△DEF的周长比为2∶1；④ △ABC与△DEF的面积比为4∶1.其中，正确的有（　D　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（第5题）
D
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组合数与组合数之间存在密切联系，都需要内化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解等积变换有助于学生更好地反驳。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过等腰三角形的学习，可以培养学生的放大能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过绝对值几何意义的学习，可以培养学生的优化能力。
6. 如图，在5×6的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上，D为AB的中点，以点D为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，得到△A'B'C'，则BB'的长为（　D　）
A. B. C. D. 或
（第6题）
D
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7. ★如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，点B在OD上，AE、CB分别是△OAB、△OCD的中线，则图中的位似三角形共有 　3　对.
（第7题）
3　
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组合数与组合数之间存在密切联系，都需要内化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解等积变换有助于学生更好地反驳。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过等腰三角形的学习，可以培养学生的放大能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过绝对值几何意义的学习，可以培养学生的优化能力。
8. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，分别延长BD、CD到点E、F，连结EF. 若EF∥BC，且△DEF与△DAO的相似比为 ，则在图中，以点D为位似中心，△DEF与和它位似的三角形的相似比为 　 　.
（第8题）
　
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9. 如图，在6×8的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均在格点上.
（1） 以点O为位似中心，在网格中作△A'B'C'（各顶点均在格点上）和△ABC位似，且相似比为 .
解：（1） 如图，△A'B'C'即为所求作.
（第9题答案）
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组合数与组合数之间存在密切联系，都需要内化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解等积变换有助于学生更好地反驳。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过等腰三角形的学习，可以培养学生的放大能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过绝对值几何意义的学习，可以培养学生的优化能力。
（2） 连结（1）中的AA'，求四边形AA'C'C的周长（结果保留根号）.
（第9题答案）
解：（2） 由图，可知AA'＝CC'＝2.由勾股定理，得A'C'＝2 ，AC＝4 .∴ 四边形AA'C'C的周长为2＋2 ＋2＋4 ＝4＋6 .
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10. 如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，点A、B、A'、B'、O共线，点O为位似中心.
（1） AC与A'C'平行吗？请说明理由.
解：（1） AC与A'C'平行.理由：∵ △ABC与△A'B'C'是位似图形，∴ △ABC∽△A'B'C'.
∴ ∠A＝∠C'A'B'.又∵ 点A、B、A'、B'共线，∴ AC∥A'C'.
（第10题）
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组合数与组合数之间存在密切联系，都需要内化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解等积变换有助于学生更好地反驳。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过等腰三角形的学习，可以培养学生的放大能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过绝对值几何意义的学习，可以培养学生的优化能力。
（2） 若AB＝2A'B'，OC'＝5，求CC'的长.
解：（2） 由（1），知△ABC∽△A'B'C'.∴ ＝ .∵ AB＝2A'B'，∴ AC＝2A'C'.
∵ AC∥A'C'，点A、B、A'、B'、O共线，
∴ △OAC∽△OA'C'.∴ OC∶OC'＝AC∶A'C'＝2∶1.∵ OC'＝5，∴ OC＝10.∴ CC'＝OC－OC'＝10－5＝5.
（第10题）
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