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专题4.4 平面直角坐标系
1. 掌握五类（周期型、渐变型、混合型、新定义型、几何性质型）坐标规律探究；
2. 掌握四类坐标与几何压轴问题（面积型、最值型、几何证明型、新定义型）。
模块1：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.周期型坐标规律探究 2
考点2.渐变型坐标规律探究 4
考点3.周期+渐变型坐标规律探究 7
考点4.新定义型标规律探究 9
考点5.几何性质型标规律探究 12
考点6.坐标与几何压轴：面积型 15
考点7.坐标与几何压轴：最值型 18
考点8.坐标与几何压轴：几何证明型 21
考点9.坐标与几何压轴：新定义型 26
模块2：培优训练 30
考点1.周期型坐标规律探究
例1.（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，以矩形的中心作直角坐标系，使矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点 同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2次相遇地点坐标是 ；第2023次相遇地点的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：∵，矩形的中心作直角坐标系∴ ∴矩形的周长为：
∵甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，
∴甲、乙每次相遇时间间隔为：秒，
∵第一次相遇，两物体运动的路程和为：，
乙的速度是甲的速度的2倍，物体甲运动的路程为：
物体乙运动的路程为： ∴在边上相遇,
∴两个物体运动后的第1次相遇地点坐标为：
第二次相遇，两物体运动的路程和为：，
乙的速度是甲的速度的2倍，物体甲运动的路程为：
物体乙运动的路程为： ∴在边上相遇,
∴两个物体运动后的第2次相遇地点坐标为： 依次推出；
两个物体运动后的第3次相遇地点坐标为：
两个物体运动后的第4次相遇地点坐标为：
∴ 两个物体运动后的第2023次相遇地点坐标为：.
故答案为：，.
变式1．（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中点，点A，B，C，D的坐标分别是点，，，，动点P从点A出发，在正方形边上按照设A→B→C→D→A→…的方向不断移动，点P的移动速度为每秒1个单位长度，当第2025秒时点P的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：根据题意可得，点是周期运动规律，运动周期为8秒，
∴，∴此时，点P的坐标是，故答案为：．
变式2．（25-26八年级上·江苏·专项训练）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点，，，在轴上，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的方向紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵轴，轴，点，，，在轴上，，，，，
∴点的坐标为，点的坐标为，，，，，，
∴按的方向缠绕一周的总长度为，
∵，∴细线另一端所在位置为中点处，
∴细线另一端所在位置的坐标为．故选：C．
变式3．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是（ ）
A． B．） C． D．
【答案】B
【详解】解：由题知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，由此可见，点的坐标每 12 个循环一次，
因为余 8 ，所以点的坐标为．故选：B．
考点2.渐变型坐标规律探究
例1．（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，依照此规律跳动下去，点A第次跳动至的坐标 ．
【答案】
【详解】解：观察点的跳动规律，奇数次跳动时，横坐标是为跳动次数），纵坐标是．
当时，横坐标为，纵坐标为，
所以的坐标为．故答案为：．
变式1．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律探究可得，第210个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由图形可知：第1列上共1个数，第2列上共2个数，第3列上共3个数，…，第n 列上共n个数，则前n列数的总个数为，
且横坐标是偶数时，箭头朝上，最后一个数在最上边，最后一个点纵坐标比横坐标小1，
∵， ∴第210个点在第20列最上边，横坐标为20且纵坐标比横坐标小1为19，
∴第210个点的坐标为，故选：D．
变式2．（24-25七年级下·四川泸州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如下顺序依次排列为，，，，，，根据这个规律，第2026个点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：由题知，第1个点的坐标为，第9个点的坐标为，第25个点的坐标为，…，
所以第个点的坐标为，
因为，所以第2025个点的坐标为，
所以第2026个点的坐标为故答案为：
变式3．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别向左、右运动到点，，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点，，，此时称动点A完成第二次跳跃，按此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意可得，，
每完成一次跳跃，最右边一个点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1，
则动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点纵坐标为，
横坐标为．故选：C．
考点3.周期+渐变型坐标规律探究
例1．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点．按这样的运动规律，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由图可得，从开始，纵坐标的变化是按照1，0，，0的顺序，每4个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1．
，的纵坐标与的纵坐标相同，
的坐标为，故选A．
变式1．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，， 那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：动点从原点出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，六次重复相同的运动，周期为6，∵，结合图象可得，，，…，
∴ ，令，解得，∴，∴点的坐标是，故选：A．
变式2．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，…依图中所示规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，，，，
，，，，，观察可知：每4个点为一组，
点，，，．
，点的纵坐标是0，横坐标是，
点的坐标为．故选：C．
变式3．（2025·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，若干个等边三角形，按如图中的规律摆放点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，已知等边三角形的边长为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，设第秒点运动到点为正整数，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过点作轴于，
图中是边长为个单位长度的等边三角形，
，，，，
同理，，，，，，
中每个点的纵坐标规律：，，，，，，
点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边的路线运动，秒钟走一段，运动每秒循环一次，
点的纵坐标规律：，，，，，，，，
点的横坐标规律：，，，，，，，，
，点的纵坐标为，
点的横坐标为，点的坐标为，故选：．
考点4.新定义型标规律探究
例1．（25-26八年级上·重庆·自主招生）函数关于中心对称；，在函数图象上，，，，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，，，
∴，∴，……，，
∴，∴，
∵三次函数关于中心对称，
∴，
∴，
∵，∴，
∵，∴，∴．故答案为：
变式1．（2025九年级·湖南·学业考试）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的如意点．已知点 的如意点为点 点 的如意点为点 这样依次得到点 若点 的坐标为，则根据如意点的定义，点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵对于点，把点叫做点P的如意点，，
∴，，，，，，，
发现每4个点为一个循环组依次循环．
∵∴点的坐标与的坐标相同为．故答案为．
变式2.（2025·山东德州·一模）平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标都是整数，且横，纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点的坐标为 ．
【答案】或
【详解】解：根据已知：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，先向右平移个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移；
若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则按照“和点”反向运动次即可，可以分为两种情况：
①先向右个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，应该是向右平移个单位得到，故矛盾，不成立；
②先向下个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，则应该向上平移个 单位得到，故符合题意，
点先向下平移，再向右平移，当平移到第次时，共计向下平移了次，向右平移了次，此时坐标为，即，
最后一次若向右平移则为，若向左平移则为，故答案为：或．
变式3．（25-26八年级上·山东·阶段练习）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“01”作2次变换， 表示点O先向右平移一个单位得到， 再将关于x轴作轴对称从而得到． 若点经过“0101……01”共2025次变换后得到点， 则点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：由题意，得将按序列“01”作变换，将先向右平移一个单位得到，再将关于x轴对称得到；再将作2次变换，可得，；
再将作2次变换，可得，；.....．
∴点经过“0101……01”共2025次变换后得到点，横坐标向右移动次，纵坐标关于x轴对称次，则点的坐标为．故答案为：．
考点5.几何性质型标规律探究
例1．（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵点的坐标是，∴，
∵是等边三角形，∴，∴，
∵过点作轴的垂线，垂足为点，∴，∴，
∵是等边三角形，∴，
∵过点作轴的垂线，垂足为点，∴，
∴，同理得到：，
按此规律得到：∴点的纵坐标为 ．故答案为：．
变式1．（2025·宁夏·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在y轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，…，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵等腰直角三角形的直角边在y轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，…，
∴，，，…，，由题意可得：，，，…，每8个一循环，再回到轴的正半轴，
∴，∴点在轴正半轴上，
∵，∴点的坐标为，即，故答案为：．
变式2．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2024个等腰直角三角形的面积是 ．
【答案】
【详解】解：∵点，∴第1个等腰直角三角形的两腰长为2，
∴第1个等腰直角三角形的面积，
∵，∴第2个等腰直角三角形的腰长为，
∴第2个等腰直角三角形的面积，
∵，∴第3个等腰直角三角形的边长为，
∴第3个等腰直角三角形的面积，
第n个等腰直角三角形的面积则第2024个等腰直角三角形的面积是；故答案为：．
变式3．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，点，，，在轴正半轴上，点，，，，在轴正半轴上，点，，，，在第一象限角平分线上，，，，，，，，则第个四边形的面积是 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点分别作于点，于点，，，
，，
，≌，，
，，，
，≌，，
，，，，
，
同理，，，，
．故答案为：．
考点6.坐标与几何压轴：面积型
例1．（2025·广东东莞·二模）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，平移后的图形记为三角形．
(1)求点的坐标；(2)在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题；用含有的式子表示点的坐标；当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，求的值；当三角形面积是三角形面积的倍时，求的值．
【答案】(1)(2)或；；或
【详解】（1）解：∵点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，；
（2）当点在上时，，此时，；
当点在上时，，此时，；综上，或；
当时，则，解得；
当时，，解得，此时不符合题意，舍去；综上所述，；
，，
当时，点在上，，，
，，解得；
当时，点在上，，，
，，，
，，；综上所述，或．
变式1．（24-25七年级下·云南德宏·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，三点在同一条直线上，其中a、b、c满足关系式．(1)求a，b，c的值．
(2)若点在y轴的正半轴上，请用含m的式子表示的面积．
(3)如图2，直线交x轴于点，直线交y轴于点E，直线，过B、D分别作直线的垂线，垂足为F，G，且．点H在直线上，在第二象限中是否存在点H，使的面积等于面积的？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，(2)的面积为或(3)存在，点H的坐标为
【详解】（1）解：∵∴，，解得，，；
（2）解：∵，，∴，，
由题意可知，点P可能在点C的上方或点P在点C的下方两种情况：
当点在点C上方时，如图所示，
∴，∴；
当点在点C下方时，如图所示，
∴， ∴，
综上所述，的面积为或；
（3）解：存在，点H的坐标为，理由如下：
如图所示，连接、，过点H作轴于点M，过点B作轴于点N．
由（1）可得，，，∴，，，，
，，且
∴
又∵
解得∴∴点H的坐标为．
∴在第二象限中存在点，使的面积等于面积的．
变式2．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，已知点，，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移若干单位长度后，得到线段，且点在轴上，点的坐标为，连接、．
(1)请求出点A和点B坐标；(2)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动．设运动时间为t秒，当四边形的面积等于8时，求t的值；(3)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动，同时，点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，射线交y轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．（特别地，三角形三个顶点重合时面积为0）
【答案】(1)，(2)(3)不变，它的值为3
【详解】（1）解：∵点，，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移若干单位长度后，得到线段，且点在轴上，点的坐标为，
∴，，∴，，∴，∴，．
（2）解：由平移的性质得：，∵，∴，
∵，，，∴，
∴直角梯形的面积为，
∵四边形的面积等于，∴如图，点在点的上方，
∴，∴，∴，由题意得：，
又∵，∴．
（3）解：①如图1，当点在上时，则，连接，
∴；
②如图2，当点在延长线上时，则，连接，
∴；
综上，的值不变，它的值为3．
考点7.坐标与几何压轴：最值型
例1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M的坐标为为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为 ．
【答案】4
【详解】解：过点M作于点P，交于点N，此时的最小值为，连接，
，，，，
，，即的最小值为4，故答案为：4．
变式1．（24-25九年级上·福建泉州·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，作于，
由旋转可知，，，∴，
又∵，∴，
在和中，，∴，
∴，设点的坐标为，∴，
则点，∴
的值，相当于求点到点和点的最小值，
相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小，
作关于直线的对称点，
∴，∵，∴的最小值为．
变式2．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，，，是轴正半轴上一动点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，把绕点逆时针方向旋转到，过作轴于，
由旋转的性质可得，
∴，∴∴，
在中，，，
，，
，的最小值是，故答案为：．
考点8.坐标与几何压轴：几何证明型
例1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【阅读材料】“辅助线法”是常见的一种构造全等的方法，如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，你能在图中构造全等吗？小胖在图1中做了全等的构造，你能在图2中按此方法构造全等吗？请补全图形．
【解决问题】如图3，在平面直角坐标系中，，，以A为旋转中心将线段顺时针旋转形成线段．求出点C坐标及的面积；
【拓展延伸】如图4，点为y轴负半轴上一动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰直角三角形，过D作轴于点E，求的长（用含m的式子表示）？
【答案】【阅读材料】能，图见详解；【解决问题】，；【拓展延伸】
【详解】解：[阅读材料]能，作于，作于，如图，，
， ，
，；
[解决问题]作轴于，，
， ，
在和中，，
，，
，，，，， ；
；
[拓展延伸]作轴于，，
， ，
在和中，，，，
轴， 轴，， 轴，，
点为y轴负半轴上一动点，，．
变式1．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）对于长方形为坐标原点，点在第三象限．，满足．
(1)直接写出点的坐标_____；(2)如图1，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，当点移动到与轴距离为4个单位长度时，求出点移动的时间：(3)①如图1，若过点的直线与长方形的边交于点，且将长方形的面积分为两部分，求点的坐标；②如图2，为轴负半轴上一点，且，点是轴正半轴上一动点，的平分线交的延长线于点．在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)(2)秒或秒(3)①或；②的值不会变化，理由见解析
【详解】（1）解：∵满足，
∴，解得，∴，故答案为：；
（2）解：点到轴距离为4个单位长度，点在或上，
当在上时，，此时（秒），
当在上时，此时运动了个单位，（秒），
综上，当点移动到与轴距离为4个单位长度时，点移动的时间为秒或秒；
（3）解：①当点在上时，设，
，，即，解得，；
当点在上时，设，
，，即，解得，，
综上所述，点坐标为或；
②解：的值不会变化，理由如下：延长至点，如图，
四边形为长方形，，，，
，，
过点作交于点，，，
又平分，，，
，．
变式2．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点，且a，b满足，点是y轴上一动点，且．
(1)如图1，若，则点C的坐标是________；
(2)点，直线交直线于点D．①如图2，若，交于点H．求证：；
②如图3，若，求的值．
【答案】(1)(2)①见解析；②
【详解】（1）解：如图，过作轴于点，∴，
∵，∴，，∴，点，∴，
当时，，∴，∵，∴，∴，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴，∴点的坐标是，故答案为：；
（2）证明：由（1）知∴，∴，轴，轴，
∴，轴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，，∴，∵，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，∴；
解：如图，过作，交于点，
∴，∴，
∴，由①得：，∴，∴，，
∵，，∴，∵，∴，
在和中，，∴，∴，
∵当时，，∴，∵，∴，
∴，∴．
考点9.坐标与几何压轴：新定义型
例1．（24-25七年级下·全国·期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”．
例如：的“属派生点”为，即．
(1)点的“属派生点”的坐标为　　　；(2)若点的“属派生点”的坐标为，请写出一个符合条件的的坐标为　　　；(3)若点满足，且点是点的“属派生点”，设点的坐标为，求出与的关系式．
【答案】(1)(2)（答案不唯一）(3)
【详解】（1）解：当，，时，
点的“属派生点”的坐标为，即，故答案为：；
（2）∵点的“属派生点”的坐标为，设，∴，∴，∴，
当时，，此点的坐标为，故答案为：（答案不唯一）；
（3）∵点是点的“属派生点”，∴，
∵点满足，
∴，且，，
整理得：，∴或 (舍去)，∴则与的关系式为．
变式1．（2024·甘肃兰州·二模）将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转得到斜坐标系．如图1，在斜坐标系中，对于该平面内的任意一点，过点分别作轴，轴的平行线，与两轴交点所对应的数分别为与，则称有序数对为点的坐标．对于任意两点和常数，定义为点与的“度量”．
如图2，在斜坐标系中，已知点，回答下列问题：
(1)点与点的“度量”为_______；(2)已知点，过点作平行于轴的直线．①当时，求出直线上与点的“度量”为2的点的坐标；②若直线上存在与点的“度量”为2的点，求出的取值范围；(3)已知点，若线段上存在点，在线段上存在点，使得，直接写出的取值范围．
【答案】(1)2(2)①或；②(3)或
【详解】（1）解：由题意得：，故答案为：2；
（2）解：由题意得：，过点作平行于轴的直线，可设直线上点的坐标为，
直线上与点的“度量”为2，，整理得：，解得：，
直线上与点的“度量”为2的点的坐标为或；
设直线上存在与点的“度量”为2的点为，，整理得：，
，，解得：，故的取值范围；
（3）解：由题意得：，
同理可求：，，，
，①，解得：或，
②，解得：，
③解得：，
④解得：，
综上所述：或．
变式2．（24-25八年级上·北京海淀·开学考试）对于任意一点P和线段a．若过点P向线段a所在直线作垂线，若垂足落在线段a上，则称点P为线段a的投影点．在平面直角坐标系中，已知点，，．(1)在点，，中，是线段的投影点的是 ；
(2)已知点，，在图中画出区域并用阴影表示，使区域内的每个点均为三边的投影；
(3)已知直线m与x轴交于点B，与y轴交于点C，将直线m沿x轴平移3个单位长度得到直线n．若存在点Q，使线段的投影点形成的区域恰好是直线m和n之间的区域（包括边界），直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)M，N(2)见解析(3)点Q的坐标为或
【详解】（1）解：如图1所示：，垂足为D，过M作的垂线，垂足为M，都在线段上，
所以线段的投影点的是：M，N；故答案为：M，N；
（2）解：如图2所示，图中阴影部分即为所求；
（3）解：存在点Q，分两种情况：
①当n在m的下方时，如图3，
∵，，∴过点作直线的平行线，平行线交x轴于E，则，交y轴于点，
过B作直线，交平行线n于Q，点Q即为所求，过Q作轴于P，则P为E、B中点，，
∴，∴，∴；
②当直线n在直线m的上方时，如图4，同理得；
综上，点Q的坐标为或．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1.（24-25·山西阳泉·七年级期中）定义：平面内的直线与相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线、的距离分别为a、b，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为的点的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：如图1，
，
到l1的距离为2的点是两条平行于l1的直线l3、l4，到l2的距离为1的点是两条平行于l2直线l5、l6，
∵两组直线的交点一共有4个：A、B、C、D，
∴距离坐标为（2，1）的点的个数有4个．故选D．
2．（24-25八年级上·江苏·校考期末）如图，在平面直角坐标系中，设一质点自处向上运动个单位至，然后向左运动个单位至处，再向下运动个单位至处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：点自处向上运动个单位至
向左运动个单位至再向下运动个单位至
再向右运动个单位至再向上运动个单位至
再向左运动个单位至再向下运动个单位至
再向右运动个单位至再向上运动个单位至
再向左运动个单位至……由规律可知，每运动次则会回到原来的象限
在第三象限
观察第三象限的点：可知：
的坐标为即．故选：D．
3．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点，点A第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，， ，，，，，，，
…，观察发现，当n为奇数时，，当n为偶数时，，
∴点的坐标是．故选：C．
4．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如图，一机器人从原点出发按图示方向做折线运动，第1次从原点运动到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，…，则第15次运动到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】每一象限的点的特点：
第一象限 ；；；；
第二象限 ；；；
第三象限 ；；；
第四象限 ；；；
，则在第二象限，根据规律可得点的坐标是．故选：B．
5.（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知，规定“先作点关于轴对称，再将对称点向左平移个单位”为一次变换．那么连续经过次变换后，点的坐标变为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴第一次变换后点的坐标变为；
第二次变换后点的坐标变为；第三次变换后点的坐标变为；
第四次变换后点的坐标变为；；
∴奇数次变换点在轴下方纵坐标为，横坐标为“减去次数”，偶数次变换点在轴上方，纵坐标为，横坐标为“减去次数”，
∴第次变换后的点在轴下方，点的纵坐标为，横坐标为，
∴点的坐标变为，故选：．
6.（24-25·广东·校考一模）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，
∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴OD=OA=4，∠AOD=60°，∴OC=2OD=2×4=8，
∴正六边形的顶点C的极坐标应记为．故选A．
7.（24-25八年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点（p是常数，且），第一次爬到射线绕O点逆时针旋转方向上的点，且；第二次爬到射线绕点O逆时针旋转方向上的点，且；…；第2021次爬行到点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，，，，，，
又由题意可得：蜘蛛爬行6次回到原来的射线上，而，
∴与在同一条射线上，且，
如图，过作轴于，则，
，，故选：D．
8.（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，分别过点作轴的垂线，交轴于点，
所以，所以．
因为为等腰直角三角形，所以，
所以，所以．
在和中，，所以，所以．
因为点的坐标为，所以．
因为点在第一象限，所以点的坐标为．故选：A
9.（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，把一个矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将纸片沿折叠，使点A落在的位置上．若，，求点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，∴．
∵，∴，∴（舍负），，
设与交于点F，作于点E
∵纸片沿折叠∴
∵∴∴，
设∴∴，解得∴，
∵∴∴点的坐标为．故选：A．
10.（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知点的坐标为，为轴正半轴上一点，且点的横坐标大于，直线绕点顺时针旋转交轴于点，连接，当时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，过作交轴于点，作轴于点，作轴于点，
∴，∴，∴，
∵点的坐标为，，∴，，
∴，∴，，
∵，∴，∴，
设，则，，∵，，
∴，解得：，∴，∴点的坐标为，故答案为：．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25·山东德州·七年级期末）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为，点B的坐标可表示为，按此方法，若点C的坐标为，则m＝__________．
【答案】3
【详解】解：根据题意，点C的坐标应该是，∴．故答案是：3．
12．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，点沿x轴正方向向右上方做“跳马运动”（即中国象棋“日”字型跳跃）．若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点，则 ．
【答案】
【详解】解：由题意，当点先连续做了a次“正横跳马”，再连续做b次“正竖跳马”后，到达点，则：，
，得：，∴；故答案为：．
13．（24-25七年级下·江苏·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，则点的坐标为 ，点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵的坐标为，∴，，，，，
以此类推，每4个点为一个循环依次循环，
∵，∴点的坐标与的坐标相同，为，故答案为：．
14．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点M为x轴上方一动点，且，以点为边构造等边，当线段取最大值时， ，点M的坐标为 ．
【答案】 6
【详解】解；如图1，以M为顶点，为边构造等边三角形，连接，
∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，当N，A，B三点共线时，最大，即最大，如图2，过M作轴，垂足为T，∵，∴，∴，
∴，，
∴的最大值， ．故答案为：6；．
15．（24-25·山东济宁·七年级期末）如图，已知Rt△ABC的边BC在x轴上，，且A（1，2），B（-2，0）若将△ABC平移，使点B落在点A处，则点C的对应点的坐标为___________
【答案】（4，2）
【详解】解：∵将△ABC平移，使点B落在点A处，点A（1，2），B（﹣2，0），
∴坐标的变化规律为横坐标加3，纵坐标加2，
∵C（1，0），∴点C的对应点的坐标为是（1+3，0+2），即（4，2）．故答案为：（4，2）．
16．（24-25·河南郑州·八年级期末）如图所示，把长方形放在直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，点C的坐标为，将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，交x轴于点E．则点D的坐标为________．
【答案】
【详解】解：过点作于，
四边形是矩形，点，
将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，
在与中，
设，则，
，故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点与点关于轴对称．(1)写出点的坐标，并在图中画出点；(2)在轴上存在一点，使得，求点的坐标；(3)已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点，使得与全等，写出所有点的坐标（点与点不重合）．
【答案】(1)点的坐标为，图见解析(2)点的坐标为
(3)点的坐标为
【详解】（1）解：点的坐标为，点，如答图所示．
（2）解：，
∴点到的距离与点到的距离相等，即点的纵坐标为4或0．
又∵点在轴上，∴如答图，点的坐标为．
（3）解：如答图，点的坐标为．
18．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)在平面直角坐标系中画出．
(2)点关于轴的对称点的坐标为__________，点关于轴的对称点的坐标为__________；
(3)在轴上找一点，使最大；(4)在轴上找一点，使的周长最小，并求出周长；
(5)已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标．
【答案】(1)见解析(2)，
(3)当点在同一条直线上时，最大，最大值为的长度，图见详解
(4)图见详解，的周长最小为(5)点的坐标为或
【详解】（1）解：即为所求；
（2）解：点关于轴的对称点的坐标为，
点关于轴的对称点的坐标为，故答案为：，；
（3）解：如图，延长交轴于一点，点即为所求；
当点不在同一条直线上时，三点构成三角形，根据三角形的三边关系，；
所以，当点在同一条直线上时，最大，最大值为的长度；
（4）解：如图，找点关于轴的对称点，连接交轴于一点，点即为所求；
此时，，根据勾股定理得，，，
所以，的周长为；
（5）解：设，根据题意得，，解得，
即，解得，或，所以，点的坐标为或．
19．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）读理解：“转化思想”和“数形结合思想”是解决数学实际问题常用的两种思想方法，通常将几何问题转化为代数问题，将代数问题转化为几何问题，便于更好的理解问题本质，或将未知问题转化为已知问题，复杂问题转化为简单问题进行解决，请合理应用数学思想方法依次解决下列问题．

【基础强化】（1）如图①，点，，，平行于轴，平行于轴，则_____，_____；
【问题解决】（2）如图②，点，，连接，求的长；
【拓展延伸】（3）如图③，点，，连接，点为上的任意一点，若，，求的最小值．
【答案】（1）3，；（2）；（3）10
【详解】解：（1）由题意得，，，，
∴，∴；
（2）如图所示，过点A作轴，过点B作轴交于C，
∵，，∴，∴，∴；

（3）如图所示，取，连接，
∴，，且B、D、E三点共线， ∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，∴，
∵，∴当P、C、D三点共线时，有最小值，最小值为的长，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为，∴的最小值为10．
20．（25-26八年级上·江苏·校考期中）如图，在平面直角坐标系中，和都是等边三角形，轴，垂足是E．
【问题提出】（1）如图①，已知点，求线段BD的长度；
【尝试探究】（2）如图②，设交x轴于点F，连接AF，探究与的数量关系；
【拓展延伸】（3）如图③，若等边的边长是8，C是x轴上的一个动点且在点E左侧，点D在直线的下方，连接，请直接写出线段的最小值．
【答案】（1）5；（2）；（3）2
【详解】（1）是等边三角形，，，
是等边三角形，，，
，即，
，，由可得，，线段BD的长度为5．
（2），理由如下：轴，，
是等边三角形，，
，，
，垂直平分，，，
由（1）知，，可得，，
，，．
（3）ED的最小值为2．如图3，连接DB并延长到点N，
，为等边三角形，，，，
，即，
又，，，，
由（2）知，垂直平分，，，
，，，
点 D 在直线 BN上运动，过点E作于点H，
当点 D 运动到点H时，ED最小，此时， 的最小值为2．
21．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，且，是轴负半轴上一点，连接．
(1)如图，若于点，且交于点，求证：；
(2)如图，在（）的基础上，连接，求证：；
(3)若，点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴上运动的过程中，，，之间有何数量关系？为什么？
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)，理由见解析．
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，∴，
在与中，，∴；
（2）证明：过分别作于点，作于点，
∴，∴，
∴，∴，
由（）得，∴，
在与中，，∴，∴，
∵，，∴平分，∴；
（3）解：，理由如下：
若，则，∴，如图：连接，
∵，，点为的中点，
∴ ，，，
∴，，∴，
∵，即，∴，
在与中，，∴ ，
∴，∴，
∵，∴．
22．（24-25八年级上·江苏·专题练习）在中，动点A在x轴的负半轴上，动点B在y轴的正半轴上，已知与y轴交于点P．
(1)如图①，若，，且，请求出点C的坐标；
(2)如图②，交x轴于点E，若将沿折叠，点P恰好落在x轴的点处，求证：P是的中点；(3)如图③，恰好平分，若点C的横坐标为，请求出点P的坐标．
【答案】(1)(2)见解析(3)点P的坐标为
【详解】（1）解：如图，过点C作轴，
，，，
在和中，，，
，，，
，∵点C在第四象限，；
（2）证明：是等腰直角三角形，，
∵将沿着折叠，，
，，，
在和中，，，，是的中点；
（3）解：如图，过点C作轴交的延长线于点M，交y轴于点N，，，
，，，，
在和中，，，，
平分，，，，
在和中，，，，
∵点C的横坐标为m，，，，
，，，故点P的坐标为．
23．（24-25七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，对于点和长度为的线段给出如下定义：若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向下平移个单位长度，得到线段；若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向右平移个单位长度，得到线段．若点在以为顶点的正方形的边上，则称点是线段的“方田点”．
已知点的坐标为，点的坐标为．
(1)在这四个点中，___________是线段的“方田点”；
(2)点，若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是___________；
(3)点，点是线段的“方田点”，将点向下平移个单位长度，得到点．若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，(2)(3)或
【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为，∴，轴，
由题意得，将线段向下平移2个单位长度得到线段，∴，，画图如下：
由图可知，点和是线段的“方田点”；故答案为：，；
（2）解：∵点，∴点在直线上，点在直线上，
∴线段介于直线和直线之间，
当点恰好落在点上，则，解得，
当点恰好落在点上，则，解得，
当点恰好落在线段上，则，
当点恰好落在线段上，则，
∴由图可得，当时，线段与正方形有交点，
∴若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是；故答案为：；
（3）解：∵点，∴，轴，
由题意得，将线段向右平移个单位长度得到线段，
∴，，∴线段的“方田点”在正方形的边上，
∵点是线段的“方田点”，∴点在正方形的边上，
将正方形向下平移3个单位长度，得到正方形，
∵点向下平移个单位长度，得到点，∴点落在正方形的边上，
将正方形和正方形分别向右平移3个单位长度，得到正方形和正方形，
由题意得，将线段向右平移3个单位长度得到线段，
∴点和点分别落在正方形和正方形的边上，
∴由图可得，线段的“方田点”组成正方形内部区域及边界，且不含正方形内部区域，记此时的区域为区域；
当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域，
∵，，∴；
当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域，
∵，，∴，，解得：；
当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域，
∵，，∴，，解得：；
当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域，
∵，，∴；
∴结合图形可得，若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，则的取值范围为或．
24．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知：如图1．在平面直角坐标系中，直线交两坐标轴于点、两点，满足．(1) ， ；(2)为第二象限的一点，轴于．若，在坐标轴上是否存在点，使，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由；
(3)如图2，为第四象限上一点，过点作轴、轴的垂线交直线于、两点，且，①证明：；② ．

【答案】(1)(2)或(3)①见解析；②
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，，∴；
（2）解：如图，作线段的垂直平分线交x轴于，交y轴于C．连接．

∵∴设，则，
∵∵，∴，解得，∴；
设，∴，解得，∴；
综上，点C的坐标为或；
（3）①如图，设分别交轴于点，分别作的垂直平分线交于点，连接，
∴，∵∴∴，
又∵∴是等腰直角三角形，∴由题意得：，∴，，
∴，，，，
∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴是等腰直角三角形，∴，
又∵，∴，，∴，
又∵都是等腰直角三角形，∴，，
∵，∴ 即；
②∵过点作轴、轴的垂线交直线于、两点，为第四象限上一点，则，
∴，

∵轴，∴∴是等腰直角三角形，∴，
同理可得，，
∴，，
∴
由①可得∴
∴故答案为：．
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专题4.4 平面直角坐标系问题
1. 掌握五类（周期型、渐变型、混合型、新定义型、几何性质型）坐标规律探究；
2. 掌握四类坐标与几何压轴问题（面积型、最值型、几何证明型、新定义型）。
模块1：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.周期型坐标规律探究 2
考点2.渐变型坐标规律探究 4
考点3.周期+渐变型坐标规律探究 7
考点4.新定义型标规律探究 9
考点5.几何性质型标规律探究 12
考点6.坐标与几何压轴：面积型 15
考点7.坐标与几何压轴：最值型 18
考点8.坐标与几何压轴：几何证明型 21
考点9.坐标与几何压轴：新定义型 26
模块2：培优训练 30
考点1.周期型坐标规律探究
例1.（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，以矩形的中心作直角坐标系，使矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点 同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2次相遇地点坐标是 ；第2023次相遇地点的坐标是 ．
变式1．（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中点，点A，B，C，D的坐标分别是点，，，，动点P从点A出发，在正方形边上按照设A→B→C→D→A→…的方向不断移动，点P的移动速度为每秒1个单位长度，当第2025秒时点P的坐标是 ．
变式2．（25-26八年级上·江苏·专项训练）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点，，，在轴上，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的方向紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是（ ）
A． B．） C． D．
考点2.渐变型坐标规律探究
例1．（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，依照此规律跳动下去，点A第次跳动至的坐标 ．
变式1．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律探究可得，第210个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级下·四川泸州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如下顺序依次排列为，，，，，，根据这个规律，第2026个点的坐标为 ．
变式3．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别向左、右运动到点，，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点，，，此时称动点A完成第二次跳跃，按此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
考点3.周期+渐变型坐标规律探究
例1．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点．按这样的运动规律，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，， 那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，…依图中所示规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2025·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，若干个等边三角形，按如图中的规律摆放点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，已知等边三角形的边长为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，设第秒点运动到点为正整数，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
考点4.新定义型标规律探究
例1．（25-26八年级上·重庆·自主招生）函数关于中心对称；，在函数图象上，，，，则 ．
变式1．（2025九年级·湖南·学业考试）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的如意点．已知点 的如意点为点 点 的如意点为点 这样依次得到点 若点 的坐标为，则根据如意点的定义，点的坐标为 ．
变式2.（2025·山东德州·一模）平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标都是整数，且横，纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点的坐标为 ．
变式3．（25-26八年级上·山东·阶段练习）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“01”作2次变换， 表示点O先向右平移一个单位得到， 再将关于x轴作轴对称从而得到． 若点经过“0101……01”共2025次变换后得到点， 则点的坐标为 ．
考点5.几何性质型标规律探究
例1．（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ．
变式1．（2025·宁夏·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在y轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，…，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为 ．
变式2．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2024个等腰直角三角形的面积是 ．
变式3．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，点，，，在轴正半轴上，点，，，，在轴正半轴上，点，，，，在第一象限角平分线上，，，，，，，，则第个四边形的面积是 ．
考点6.坐标与几何压轴：面积型
例1．（2025·广东东莞·二模）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，平移后的图形记为三角形．
(1)求点的坐标；(2)在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题；用含有的式子表示点的坐标；当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，求的值；当三角形面积是三角形面积的倍时，求的值．
变式1．（24-25七年级下·云南德宏·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，三点在同一条直线上，其中a、b、c满足关系式．(1)求a，b，c的值．
(2)若点在y轴的正半轴上，请用含m的式子表示的面积．
(3)如图2，直线交x轴于点，直线交y轴于点E，直线，过B、D分别作直线的垂线，垂足为F，G，且．点H在直线上，在第二象限中是否存在点H，使的面积等于面积的？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
变式2．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，已知点，，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移若干单位长度后，得到线段，且点在轴上，点的坐标为，连接、．
(1)请求出点A和点B坐标；(2)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动．设运动时间为t秒，当四边形的面积等于8时，求t的值；(3)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动，同时，点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，射线交y轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．（特别地，三角形三个顶点重合时面积为0）
考点7.坐标与几何压轴：最值型
例1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M的坐标为为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为 ．
变式1．（24-25九年级上·福建泉州·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值为 ．
变式2．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，，，是轴正半轴上一动点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值是 ．
考点8.坐标与几何压轴：几何证明型
例1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【阅读材料】“辅助线法”是常见的一种构造全等的方法，如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，你能在图中构造全等吗？小胖在图1中做了全等的构造，你能在图2中按此方法构造全等吗？请补全图形．
【解决问题】如图3，在平面直角坐标系中，，，以A为旋转中心将线段顺时针旋转形成线段．求出点C坐标及的面积；
【拓展延伸】如图4，点为y轴负半轴上一动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰直角三角形，过D作轴于点E，求的长（用含m的式子表示）？
变式1．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）对于长方形为坐标原点，点在第三象限．，满足．
(1)直接写出点的坐标_____；(2)如图1，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，当点移动到与轴距离为4个单位长度时，求出点移动的时间：(3)①如图1，若过点的直线与长方形的边交于点，且将长方形的面积分为两部分，求点的坐标；②如图2，为轴负半轴上一点，且，点是轴正半轴上一动点，的平分线交的延长线于点．在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
变式2．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点，且a，b满足，点是y轴上一动点，且．
(1)如图1，若，则点C的坐标是________；
(2)点，直线交直线于点D．①如图2，若，交于点H．求证：；
②如图3，若，求的值．
考点9.坐标与几何压轴：新定义型
例1．（24-25七年级下·全国·期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”．
例如：的“属派生点”为，即．
(1)点的“属派生点”的坐标为　　　；(2)若点的“属派生点”的坐标为，请写出一个符合条件的的坐标为　　　；(3)若点满足，且点是点的“属派生点”，设点的坐标为，求出与的关系式．
变式1．（2024·甘肃兰州·二模）将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转得到斜坐标系．如图1，在斜坐标系中，对于该平面内的任意一点，过点分别作轴，轴的平行线，与两轴交点所对应的数分别为与，则称有序数对为点的坐标．对于任意两点和常数，定义为点与的“度量”．
如图2，在斜坐标系中，已知点，回答下列问题：
(1)点与点的“度量”为_______；(2)已知点，过点作平行于轴的直线．①当时，求出直线上与点的“度量”为2的点的坐标；②若直线上存在与点的“度量”为2的点，求出的取值范围；(3)已知点，若线段上存在点，在线段上存在点，使得，直接写出的取值范围．
变式2．（24-25八年级上·北京海淀·开学考试）对于任意一点P和线段a．若过点P向线段a所在直线作垂线，若垂足落在线段a上，则称点P为线段a的投影点．在平面直角坐标系中，已知点，，．(1)在点，，中，是线段的投影点的是 ；
(2)已知点，，在图中画出区域并用阴影表示，使区域内的每个点均为三边的投影；
(3)已知直线m与x轴交于点B，与y轴交于点C，将直线m沿x轴平移3个单位长度得到直线n．若存在点Q，使线段的投影点形成的区域恰好是直线m和n之间的区域（包括边界），直接写出点Q的坐标．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1.（24-25·山西阳泉·七年级期中）定义：平面内的直线与相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线、的距离分别为a、b，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为的点的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（24-25八年级上·江苏·校考期末）如图，在平面直角坐标系中，设一质点自处向上运动个单位至，然后向左运动个单位至处，再向下运动个单位至处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点，点A第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如图，一机器人从原点出发按图示方向做折线运动，第1次从原点运动到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，…，则第15次运动到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5.（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知，规定“先作点关于轴对称，再将对称点向左平移个单位”为一次变换．那么连续经过次变换后，点的坐标变为（　　）
A． B． C． D．
6.（24-25·广东·校考一模）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）
A． B． C． D．
7.（24-25八年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点（p是常数，且），第一次爬到射线绕O点逆时针旋转方向上的点，且；第二次爬到射线绕点O逆时针旋转方向上的点，且；…；第2021次爬行到点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8.（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9.（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，把一个矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将纸片沿折叠，使点A落在的位置上．若，，求点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10.（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知点的坐标为，为轴正半轴上一点，且点的横坐标大于，直线绕点顺时针旋转交轴于点，连接，当时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25·山东德州·七年级期末）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为，点B的坐标可表示为，按此方法，若点C的坐标为，则m＝__________．
12．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，点沿x轴正方向向右上方做“跳马运动”（即中国象棋“日”字型跳跃）．若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点，则 ．
13．（24-25七年级下·江苏·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，则点的坐标为 ，点的坐标为 ．
14．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点M为x轴上方一动点，且，以点为边构造等边，当线段取最大值时， ，点M的坐标为 ．
15．（24-25·山东济宁·七年级期末）如图，已知Rt△ABC的边BC在x轴上，，且A（1，2），B（-2，0）若将△ABC平移，使点B落在点A处，则点C的对应点的坐标为___________
16．（24-25·河南郑州·八年级期末）如图所示，把长方形放在直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，点C的坐标为，将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，交x轴于点E．则点D的坐标为________．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点与点关于轴对称．(1)写出点的坐标，并在图中画出点；(2)在轴上存在一点，使得，求点的坐标；(3)已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点，使得与全等，写出所有点的坐标（点与点不重合）．
18．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)在平面直角坐标系中画出．
(2)点关于轴的对称点的坐标为__________，点关于轴的对称点的坐标为__________；
(3)在轴上找一点，使最大；(4)在轴上找一点，使的周长最小，并求出周长；
(5)已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标．
19．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）读理解：“转化思想”和“数形结合思想”是解决数学实际问题常用的两种思想方法，通常将几何问题转化为代数问题，将代数问题转化为几何问题，便于更好的理解问题本质，或将未知问题转化为已知问题，复杂问题转化为简单问题进行解决，请合理应用数学思想方法依次解决下列问题．

【基础强化】（1）如图①，点，，，平行于轴，平行于轴，则_____，_____；
【问题解决】（2）如图②，点，，连接，求的长；
【拓展延伸】（3）如图③，点，，连接，点为上的任意一点，若，，求的最小值．
20．（25-26八年级上·江苏·校考期中）如图，在平面直角坐标系中，和都是等边三角形，轴，垂足是E．
【问题提出】（1）如图①，已知点，求线段BD的长度；
【尝试探究】（2）如图②，设交x轴于点F，连接AF，探究与的数量关系；
【拓展延伸】（3）如图③，若等边的边长是8，C是x轴上的一个动点且在点E左侧，点D在直线的下方，连接，请直接写出线段的最小值．
21．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，且，是轴负半轴上一点，连接．
(1)如图，若于点，且交于点，求证：；
(2)如图，在（）的基础上，连接，求证：；
(3)若，点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴上运动的过程中，，，之间有何数量关系？为什么？
22．（24-25八年级上·江苏·专题练习）在中，动点A在x轴的负半轴上，动点B在y轴的正半轴上，已知与y轴交于点P．
(1)如图①，若，，且，请求出点C的坐标；
(2)如图②，交x轴于点E，若将沿折叠，点P恰好落在x轴的点处，求证：P是的中点；(3)如图③，恰好平分，若点C的横坐标为，请求出点P的坐标．
23．（24-25七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，对于点和长度为的线段给出如下定义：若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向下平移个单位长度，得到线段；若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向右平移个单位长度，得到线段．若点在以为顶点的正方形的边上，则称点是线段的“方田点”．
已知点的坐标为，点的坐标为．
(1)在这四个点中，___________是线段的“方田点”；
(2)点，若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是___________；
(3)点，点是线段的“方田点”，将点向下平移个单位长度，得到点．若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，直接写出的取值范围．
24．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知：如图1．在平面直角坐标系中，直线交两坐标轴于点、两点，满足．(1) ， ；(2)为第二象限的一点，轴于．若，在坐标轴上是否存在点，使，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由；
(3)如图2，为第四象限上一点，过点作轴、轴的垂线交直线于、两点，且，①证明：；② ．

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