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第五章一元一次方程
5.3.3一元一次方程的应用
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
新知探究
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
能识别追及、相遇问题中的已知量与未知量，通过画图分析数量关系；
01
掌握追及、相遇问题的等量关系，会列一元一次方程解决此类实际问题；
02
总结用一元一次方程解决实际问题的一般步骤，体会数学建模思想。
03
02
新知导入
1.圈出“小明上学忘带书”问题中的已知量和未知量；
2.尝试画出爸爸追小明的过程示意图（可以模仿课本的线段图）；
3.思考：爸爸追上小明时，两人的路程有什么关系？尝试列出方程。
先请大家翻开课本，带着这3个任务自主阅读‘小明上学’的例子，5分钟后咱们交流。
03
新知讲解
小明每天早上要到距家 1000m 的学校上学。一天，小明以 80m/min 的速度出发，出发后 5min ，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以 180m/min 的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？
1.追及问题
（1）问题中有哪些已知量和未知量？
03
新知讲解
已知量：小明速度80m/min，先走5min；
爸爸速度180m/min；家到学校距离1000m；
未知量：爸爸追上小明的时间；追上时距学校的距离。
（2）想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？
03
新知讲解
1000m
80 m/min ×5 min
180 m/min ×？
80 m/min ×？
（3）你是怎样列出方程的？与同伴进行交流。
03
新知讲解
设爸爸追上小明用了 xmin 。
等量关系：
爸爸跑的路程（180x）=_____________________________+____________________________ .
小明先走的路程（80×5)
小明后走的路程（80x）
当爸爸追上小明时，两人所行路程相等，如图5-3所示。
根据等量关系，可列出方程：______________________.
解这个方程，得 ___________。
因此，爸爸追上小明用了__________ min，此时距离学校还有________________________m。
5+80x
画图分析数量关系是一种有效方法。
03
新知讲解
根据相等量的两种不同表达式就可以建立等量关系，列出方程了。
追及问题的核心是“同一地点相遇时，路程相等”，要注意“先行的路程”
拓展题：小明以60m/min的速度先走10min，爸爸以150m/min的速度追，多久能追上？
答案：，解得
03
新知讲解
例3 小明和小华两人在 400 m 的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260m ，小华每分钟跑 300m ，两人起跑时站在跑道同一位置。
2.环形跑道：追及&相遇
（1）如果小明起跑后 1min 小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？
（2）如果小明起跑后 1min 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？
04
新知探究
【同向追及】
【反向相遇】
①本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？
②在问题（1）和（2）中，两人所走的路程分别有什么关系？
分析
03
新知讲解
（1）【同向追及】如果小明起跑后 1min 小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？
260×1
260x
300x
起跑
相遇
03
新知讲解
分析：小明先跑1min，路程是260×1=260(m)，小华追及时，小华路程=小明先行路程+小明后行路程。
解：（1）设小华用 xmin 追上小明，根据等量关系，可列出方程：260+260x=300x
解这个方程，得x=6.5.
因此，小华用 6.5min 追上小明。
03
新知讲解
（2）【反向相遇】如果小明起跑后 1min 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？
起跑
相遇
260
260x
300x
03
新知讲解
分析：反向跑时，两人路程和=跑道总长-小明先行路程（剩余路程）。
（2）设小华起跑后 xmin 两人首次相遇，根据等量关系，可列出方程：
260x+300x=400-260
解这个方程，得 x=0.25
因此，小华起跑后 0.25min 两人首次相遇。
03
新知讲解
知识点辨析：环形跑道中，同向是追及（快者比慢者多跑“先行路程/一圈”），反向是相遇（路程和为“剩余路程/一圈”）。
03
新知讲解
拓展题：环形跑道300m，甲先跑2min（速度100m/min），乙速度150m/min：
①同向追及多久追上？
②反向跑多久相遇？
答案：①，；
②，
03
新知讲解
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？与同伴进行交流
思考·交流
03
新知讲解
04
新知探究
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤如图5-4所示：
实际问题
数学问题
（一元一次方程）
抽象
寻找等量关系
解释
实际问题的解
验证
解方程
数学问题的解
（一元一次方程的解）
1.审：审题，找已知量、未知量；
2.设：设未知数（直接设/间接设）；
3.列：找等量关系，列方程；
4.解：解一元一次方程；
5.验：验证解是否符合实际（比如路程不能超过总距离）；
6.答：写答句。
解题步骤
03
新知讲解
练习1：甲、乙从相距200m的两地出发，甲速度5m/s，乙速度3m/s：
（1）同向而行（甲追乙），甲多久追上乙？
（2）反向而行，多久相遇？
解析：
（1）追及：甲路程=乙路程+200，设时间秒，，解得秒；
（2）相遇：路程和=200，，解得秒。
04
新知探究
练习1：甲、乙从相距200m的两地出发，甲速度5m/s，乙速度3m/s：
（1）同向而行（甲追乙），甲多久追上乙？
（2）反向而行，多久相遇？
解析：
（1）追及：甲路程=乙路程+200，设时间秒，，解得秒；
（2）相遇：路程和=200，，解得秒。
04
新知探究
05
课堂小结
一元一次方程的应用
核心关系
解题步骤
数学方法
追及问题：快者路程=慢者先行路程+慢者后行路程；相遇问题：路程和=总距离
审→设→列→解→验→答
实际情境→ 抽象为数学模型→ 求解方程→ 验证结果是否符合实际→ 回归实际问题解答；
工具：线段图、环形图
基础练习
1.小明和小刚从相距25.2千米的两地同时相向而行，小明每小时走4千米，3小时后两人相遇，设小刚的速度为x千米/时，列方程得( )
A．4+3x=25.2
B．3×4+x=25.2
C．3×4+3x=25.2
D．3x 3×4=25.2
06
作业布置
C
2. 《九章算术》中记载：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程为( )
A． B． C． D．
06
作业布置
3. 元朝朱世杰的《算学启蒙》记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”题意：良马每天行240里，劣马每天行150里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？答：良马追上劣马需要的天数是______．
06
作业布置
20
06
作业布置
4. 甲、乙两人检修一条长600m的密封管道，甲的检修速度为14m/h，乙的检修速度为12m/h，若甲先检修2h，后由甲、乙两人合作完成剩余管道的检修，则甲检修管道共用时间是（ ）
A．22h B．24h C．26h D．27h
B
能力提升
5.我国古代著作《算学启蒙》中有一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”，题意：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，设快马x天可以追上慢马，列方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
06
作业布置
D
06
作业布置
6. 甲、乙两站相距300千米，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行40千米，一列快车从乙站开往甲站，每小时行80千米，已知慢车先行1.5小时，快车再开出，则快车开出多少小时后与慢车相遇？
分析解答：相遇时，慢车行驶的总时间是“先行的1.5小时 + 快车开出的时间”，设快车开出小时后相遇：
慢车行驶的路程：
快车行驶的路程：
06
作业布置
解：设快车开出小时后相遇
列方程
去括号
移项
系数化为1：X=2
答案：快车开出2小时后与慢车相遇。
06
作业布置
7. 在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度．
分析解答：设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时。
甲出发半小时追上乙时：
甲走的路程：
乙走的总路程：（先骑2千米+甲出发后骑的0.5x）
06
作业布置
解：设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时。
列方程：
化简
甲的速度：1.2×20=24千米/时
答案：甲骑行的速度是24千米/时。
06
作业布置
拓展练习
8. 如图，已知数轴上点A表示的数为3，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为6，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．
06
作业布置
(1)数轴上点B表示的数是_________．
(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为5个单位长度？
06
作业布置
解析：
(1) 求数轴上点B表示的数：点A表示的数为3，B在A左侧，且A、B距离为6，因此点B表示的数为：3-6=-3
(2) 动点P、Q的运动问题
已知：点P从A（数3）出发，速度单位/秒，向左运动，秒后位置为：
点Q从B（数-3）出发，速度单位/秒，向左运动，秒后位置为：
06
作业布置
① 求点P与点Q相遇的时间
相遇时，P和Q的位置相同，因此列方程：
解方程：
06
作业布置
② 求点P与点Q距离为5个单位的时间
需分两种情况讨论（P追上Q前、P追上Q后）：
情况1：P追上Q之前，P在Q右侧，距离为5
此时P的位置 - Q的位置 = 5，列方程：
化简：
06
作业布置
情况2：P追上Q之后，P在Q左侧，距离为5
此时Q的位置 - P的位置 = 5，列方程：
化简：
Thanks!
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5.3.3一元一次方程的应用
学科 数学 年级 七年级 课型 新授课 单元 第五单元
课题 一元一次方程的应用 课时 5.3.3
课标要求 本节课的课标要求聚焦七年级学生方程应用能力的培养，要求学生能准确识别追及、相遇问题中的已知量与未知量，通过画图等方式梳理数量关系；掌握此类问题的核心等量关系，能熟练列出并求解一元一次方程；在解决实际问题的过程中总结通用步骤，初步体会数学建模思想，实现从实际情境到数学模型的转化，提升运用数学知识解决实际问题的能力。
教材分析 本节课是七年级数学第五单元 “一元一次方程” 应用的重要课时，承接此前一元一次方程的解法知识，聚焦追及、相遇两类典型实际问题，是方程建模思想的具体应用与深化。教材通过 “小明上学”“环形跑道” 等贴近学生生活的案例，搭配线段图等直观工具，引导学生从具象情境中抽象出等量关系，符合 “从具体到抽象” 的知识编排逻辑。本节课的内容既是对一元一次方程解法的巩固，也为后续更复杂的工程、经济类实际问题奠定基础，是连接方程理论与实际应用的关键纽带。
学情分析 七年级学生已掌握一元一次方程的基本解法，具备初步的实际问题分析能力，但抽象思维仍处于发展阶段，对复杂情境中数量关系的梳理存在困难，尤其在通过画图抽象等量关系时容易混淆。学生对贴近生活的案例（如上学、跑步）兴趣较高，但对 “先行路程”“路程和”“路程差” 等核心概念的理解需进一步强化，且在分类讨论（如同向追及与反向相遇）时容易出现逻辑混乱，需要借助直观引导和分层练习逐步突破难点。
教学目标 1.能识别追及、相遇问题中的已知量与未知量，通过画图分析数量关系； 2.掌握追及、相遇问题的等量关系，会列一元一次方程解决此类实际问题； 3.总结用一元一次方程解决实际问题的一般步骤，体会数学建模思想。
教学重点 追及、相遇问题的等量关系建立与方程求解；
教学难点 通过画图抽象出实际问题中的等量关系。
教法与学法分析 本节课采用 “情境导入 — 自主探究 — 启发引导 — 巩固拓展” 的递进式教法。以 “小明上学忘带书”“环形跑道跑步” 等真实情境为切入点，激发学生探究兴趣；通过布置自主研学任务，引导学生独立圈画已知量、未知量并尝试画图，培养自主分析能力；在新知讲解环节，采用直观演示法（展示线段图、环形图）和启发式提问，引导学生提炼等量关系；同时设计基础、能力、拓展三级练习，实施分层教学，兼顾不同层次学生的学习需求，始终以学生为主体，注重数学建模思想的渗透。 本节课倡导 “自主研学 — 合作交流 — 实践巩固 — 总结归纳” 的学法。学生通过自主阅读案例、圈画关键信息、尝试画图，主动梳理问题中的数量关系；在小组合作交流中，探讨追及与相遇问题的等量关系差异，分享解题思路；通过针对性练习，巩固方程列写与求解技能，深化对建模步骤的理解；最终在教师引导下，总结出 “审 — 设 — 列 — 解 — 验 — 答” 的通用步骤，实现从 “学会” 到 “会学” 的转变，培养自主探究、合作沟通和解决实际问题的核心能力。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 先请大家翻开课本，带着这3个任务自主阅读‘小明上学’的例子，5分钟后咱们交流。 1.圈出“小明上学忘带书”问题中的已知量和未知量； 2.尝试画出爸爸追小明的过程示意图（可以模仿课本的线段图）； 3.思考：爸爸追上小明时，两人的路程有什么关系？尝试列出方程。 布置自主研学任务，明确阅读要求与交流时间。 按任务自主阅读课本案例，圈画信息、尝试画线段图、思考并初步推导方程。 培养学生自主探究能力，让学生初步感知追及问题中的数量关系，为新知讲解铺垫。
环节二：新知讲解 1.追及问题：小明上学案例 刚才大家都认真研究了小明的问题，谁来分享下你找到的已知量和未知量？ 小明每天早上要到距家 的学校上学。一天，小明以 的速度出发，出发后 ，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以 的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ （1）问题中有哪些已知量和未知量？ 已知量：小明速度80m/min，先走5min；爸爸速度180m/min；家到学校距离1000m； 未知量：爸爸追上小明的时间；追上时距学校的距离。 （2）想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？ 展示学生画的线段图，对比课本图5-3 （3）你是怎样列出方程的？与同伴进行交流。 线段图里很清楚：爸爸跑的路程（180x）= 小明先走的路程（80×5）+ 小明后走的路程（80x），这就是等量关系。 设爸爸追上小明用了 。当爸爸追上小明时，两人所行路程相等，如图5-3所示。
图5-3 列方程&求解（板书对齐解方程）： 计算距学校距离： 根据等量关系，可列出方程：_________________. [画图分析数量关系是一种有效方法。] 解这个方程，得 ___________。 因此，爸爸追上小明用了__________ min，此时距离学校还有______________m。 根据相等量的两种不同表达式就可以建立等量关系，列出方程了。 知识点辨析：追及问题的核心是“同一地点相遇时，路程相等”，要注意“先行的路程”（比如小明先走的5分钟路程）。 拓展题：小明以60m/min的速度先走10min，爸爸以150m/min的速度追，多久能追上？ （答案：，解得） （2）环形跑道：追及&相遇 例3 小明和小华两人在 的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑 ，小华每分钟跑 ，两人起跑时站在跑道同一位置。 （1）【同向追及】如果小明起跑后 小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ 分析：小明先跑1min，路程是，小华追及时，小华路程=小明先行路程+小明后行路程。 方程：，解得。 （2）【反向相遇】如果小明起跑后 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 分析：反向跑时，两人路程和=跑道总长-小明先行路程（剩余路程）。 方程：，解得。 分析：本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？在问题（1）和（2）中，两人所走的路程分别有什么关系？ 解：（1）设小华用 追上小明，根据等量关系，可列出方程： 解这个方程，得x=6.5. 因此，小华用 追上小明。 （2）设小华起跑后 两人首次相遇，根据等量关系，可列出方程： 解这个方程，得 因此，小华起跑后 两人首次相遇。 知识点辨析：环形跑道中，同向是追及（快者比慢者多跑“先行路程/一圈”），反向是相遇（路程和为“剩余路程/一圈”）。 拓展题：环形跑道300m，甲先跑2min（速度100m/min），乙速度150m/min： ①同向追及多久追上？ ②反向跑多久相遇？ （答案：①，；②，） 引导学生分享已知未知量，展示学生线段图并对比课本图，讲解等量关系与方程求解，补充拓展题强化理解。 分享案例分析结果，观察对比线段图，交流列方程思路，完成拓展题巩固方法。 突破追及、相遇问题等量关系建立的难点，让学生掌握方程列写与求解，强化画图分析数量关系的能力。
环节三：延申探究 从小明上学到跑道跑步，咱们用方程解决了两类问题，那用一元一次方程解实际问题有固定步骤吗？ 思考·交流 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？与同伴进行交流 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤如图5-4所示： 引导学生结合之前的例子，总结步骤（板书）： 审：审题，找已知量、未知量； 设：设未知数（直接设/间接设）； 列：找等量关系，列方程； 解：解一元一次方程； 验：验证解是否符合实际（比如路程不能超过总距离）； 答：写答句。 提出问题引导学生交流，结合案例板书总结步骤，借助图示辅助讲解每一步含义。 小组交流讨论解题步骤，结合具体案例梳理每一步的操作要点，理解流程逻辑。 构建方程解决实际问题的通用框架，帮助学生形成系统化解题思维，深化数学建模思想。
环节四：巩固拓展 练习：甲、乙从相距200m的两地出发，甲速度5m/s，乙速度3m/s： （1）同向而行（甲追乙），甲多久追上乙？ （2）反向而行，多久相遇？ 解析： （1）追及：甲路程=乙路程+200，设时间秒，，解得秒； （2）相遇：路程和=200，，解得秒。 呈现练习题目，讲解解题思路与等量关系梳理方法，强调关键易错点。 独立完成练习，核对解析答案，理解不同题型的等量关系构建方式。 巩固追及、相遇问题解法，拓展方程应用场景，同时渗透古代数学文化，提升知识迁移能力。
课堂小结 1.通过本节课的学习你收获了什么？ ①两类实际问题的等量关系： 追及问题：快者路程=慢者先行路程+慢者后行路程； 相遇问题：路程和=总距离（或剩余距离）； ②用一元一次方程解实际问题的步骤：审→设→列→解→验→答； ③找等量关系的技巧：画图（线段图、环形图）、抓关键词。 引导学生自主梳理知识脉络，提炼解题方法与数学思想，辅助学生构建知识树。 自主总结学习收获与困惑，梳理知识逻辑，尝试绘制知识树，明确核心知识点。 帮助学生系统化整合本节课知识，强化对解题方法和数学思想的理解，提升知识归纳能力。
板书设计 一元一次方程的应用（追及与相遇问题） 一、核心等量关系 （一）追及问题 快者路程 = 慢者先行路程 + 慢者后行路程 （例：爸爸追小明、环形跑道同向） （二）相遇问题 路程和 = 总距离（或剩余距离） （例：两地相向而行、环形跑道反向） 二、解题通用步骤（审→设→列→解→验→答） 审：找出已知量、未知量 设：设未知数（直接/间接设） 列：根据等量关系列方程 解：求解一元一次方程 验：验证解是否符合实际 答：写出完整答句 三、典型例题 1. 追及问题（小明上学） 设爸爸追上小明用了，方程： 解得：，距学校： 2. 相遇问题（环形跑道反向） 设小华起跑后相遇，方程： 解得： 该板书通过系统化呈现等量关系、解题步骤与例题，突出核心重点及难点突破方法，既为课堂教学提供清晰思路、提升效率，又方便学生记录复习、规范解题流程，还能直观强化“实际情境—数学模型—方程求解”的建模思想，助力学生建立“知识点—方法—应用”的逻辑框架。
作业设计 基础练习 1.小明和小刚从相距25.2千米的两地同时相向而行，小明每小时走4千米，3小时后两人相遇，设小刚的速度为x千米/时，列方程得( ) A．4+3x=25.2 B．3×4+x=25.2 C．3×4+3x=25.2 D．3x 3×4=25.2 2. 《九章算术》中记载：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程为( ) A． B． C． D． 3. 元朝朱世杰的《算学启蒙》记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”题意：良马每天行240里，劣马每天行150里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？答：良马追上劣马需要的天数是______． 4. 甲、乙两人检修一条长600m的密封管道，甲的检修速度为14m/h，乙的检修速度为12m/h，若甲先检修2h，后由甲、乙两人合作完成剩余管道的检修，则甲检修管道共用时间是（ ） A．22h B．24h C．26h D．27h 能力提升 5.我国古代著作《算学启蒙》中有一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”，题意：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，设快马x天可以追上慢马，列方程是（ ） A． B． C． D． 6. 甲、乙两站相距300千米，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行40千米，一列快车从乙站开往甲站，每小时行80千米，已知慢车先行1.5小时，快车再开出，则快车开出多少小时后与慢车相遇？ 7. 在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度． 拓展练习 8. 如图，已知数轴上点A表示的数为3，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为6，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． (1)数轴上点B表示的数是_________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为5个单位长度？
教学反思 本节课以贴近学生生活的“小明上学”“环形跑道”案例为切入点，通过“自主探究—启发引导—巩固拓展”的递进式教学，基本达成了预设教学目标。学生能较好地识别追及、相遇问题中的已知量与未知量，多数学生掌握了核心等量关系并能列出方程，通过画图分析数量关系的能力得到初步提升。分层练习的设计兼顾了不同层次学生的需求，有效巩固了“审—设—列—解—验—答”的通用步骤，数学建模思想也在案例分析与步骤总结中得到渗透。课堂互动中，学生对具象情境的探究兴趣较高，小组合作交流环节能主动分享解题思路，较好地体现了以学生为主体的教学理念。
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分课时学案
课题 5.3.3一元一次方程的应用 单元 第五单元 学科 数学 年级 七年级上册
学习 目标 1.能识别追及、相遇问题中的已知量与未知量，通过画图分析数量关系； 2.掌握追及、相遇问题的等量关系，会列一元一次方程解决此类实际问题； 3.总结用一元一次方程解决实际问题的一般步骤，体会数学建模思想。
重点 追及、相遇问题的等量关系建立与方程求解；
难点 通过画图抽象出实际问题中的等量关系。
教学过程
导入新课 先请大家翻开课本，带着这3个任务自主阅读‘小明上学’的例子，5分钟后咱们交流。 1.圈出“小明上学忘带书”问题中的已知量和未知量； 2.尝试画出爸爸追小明的过程示意图（可以模仿课本的线段图）； 3.思考：爸爸追上小明时，两人的路程有什么关系？尝试列出方程。
新知讲解 1.追及问题：小明上学案例 小明每天早上要到距家 的学校上学。一天，小明以 的速度出发，出发后 ，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以 的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ （1）问题中有哪些已知量和未知量？ 已知量： 未知量： （2）想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？ （3）你是怎样列出方程的？与同伴进行交流。 设爸爸追上小明用了 。当爸爸追上小明时，两人所行路程相等，如图5-3所示。
图5-3 根据等量关系，可列出方程：_________________. [画图分析数量关系是一种有效方法。] 解这个方程，得 ___________。 因此，爸爸追上小明用了__________ min，此时距离学校还有______________m。 根据相等量的两种不同表达式就可以建立等量关系，列出方程了。 拓展题：小明以60m/min的速度先走10min，爸爸以150m/min的速度追，多久能追上？ （2）环形跑道：追及&相遇 例3 小明和小华两人在 的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑 ，小华每分钟跑 ，两人起跑时站在跑道同一位置。 （1）【同向追及】如果小明起跑后 小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）【反向相遇】如果小明起跑后 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 分析：本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？在问题（1）和（2）中，两人所走的路程分别有什么关系？ 解：（1）设________________________，根据等量关系，可列出方程:________________________ 解这个方程，得x=____ 因此，小华用 追上小明。 （2）设________________________，根据等量关系，可列出方程： ________________________ 解这个方程，得 ________________________ 因此，小华起跑后 ________________________ 两人首次相遇。 拓展题：环形跑道300m，甲先跑2min（速度100m/min），乙速度150m/min： ①同向追及多久追上？ ②反向跑多久相遇？ 思考·交流 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？与同伴进行交流 步骤：
课堂小结 1.本节课你认为自己解决的最好的问题是什么？ 2.本节课你有哪些收获？有什么体会？请你和同学分享交流。 3.你想进一步探究的问题是什么？
课堂练习 练习：甲、乙从相距200m的两地出发，甲速度5m/s，乙速度3m/s： （1）同向而行（甲追乙），甲多久追上乙？ （2）反向而行，多久相遇？
课后作业 基础练习 1.小明和小刚从相距25.2千米的两地同时相向而行，小明每小时走4千米，3小时后两人相遇，设小刚的速度为x千米/时，列方程得( ) A．4+3x=25.2 B．3×4+x=25.2 C．3×4+3x=25.2 D．3x 3×4=25.2 2. 《九章算术》中记载：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程为( ) A． B． C． D． 3. 元朝朱世杰的《算学启蒙》记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”题意：良马每天行240里，劣马每天行150里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？答：良马追上劣马需要的天数是______． 4. 甲、乙两人检修一条长600m的密封管道，甲的检修速度为14m/h，乙的检修速度为12m/h，若甲先检修2h，后由甲、乙两人合作完成剩余管道的检修，则甲检修管道共用时间是（ ） A．22h B．24h C．26h D．27h 能力提升 5.我国古代著作《算学启蒙》中有一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”，题意：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，设快马x天可以追上慢马，列方程是（ ） A． B． C． D． 6. 甲、乙两站相距300千米，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行40千米，一列快车从乙站开往甲站，每小时行80千米，已知慢车先行1.5小时，快车再开出，则快车开出多少小时后与慢车相遇？ 7. 在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度． 拓展练习 8. 如图，已知数轴上点A表示的数为3，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为6，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． (1)数轴上点B表示的数是_________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为5个单位长度？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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