资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
《5.4.1角平分线的性质》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《角平分线的性质》是湘教版八年级上册第5章《直角三角形》的第四节第一课时的内容。“角平分线的性质”是初中几何中“图形性质与判定”逻辑体系的关键课例，承接全等三角形的判定方法，既是对全等知识的实践应用，也为后续线段垂直平分线、轴对称图形等内容奠定思维基础——它以“性质+逆定理”的结构，呈现了几何中“从图形特征抽象性质、以性质推导判定”的核心逻辑，同时为后续几何证明、距离相关计算提供了实用工具，是连接直观图形与抽象推理的重要纽带。
学习者分析 学生已掌握全等三角形的判定方法，能识别角平分线的图形特征，但对 “性质（点在角平分线上→到两边距离相等）”与“逆定理（到两边距离相等→点在角平分线上）” 的互逆逻辑易混淆，且常忽略“距离需垂直”的细节；同时初中生更易接受直观操作类学习，抽象逻辑推理需借助具体活动逐步引导，需在教学中兼顾直观感知与逻辑严谨性的平衡。
教学目标 1.掌握角平分线的性质定理及逆定理的内容，能运用定理进行简单证明、计算与作图。 2.通过推理证明的过程，体会几何定理的探究方法，区分性质与逆定理的逻辑关系，提升逻辑推理能力。 3.感受几何图形的严谨性，培养用数学语言精准描述图形性质的习惯。
教学重点 角平分线的性质定理及逆定理的内容、证明与初步应用。
教学难点 理解性质与逆定理的互逆关系，准确运用定理时把握 “距离是垂直距离”的条件。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 【回顾】什么是角平分线？ 角平分线是一条以角的顶点为端点的射线，并把这个角分成两个相等的角. 几何语言 ∵OC是∠AOB的角平分线, ∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB. 学生活动1： 复习回顾 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知教师活动2： 探究：角平分线的性质定理 【探究】如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB ，垂足分别为点D，E. 比较线段PD，PE的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？ 教师提问：你有什么方法进行比较？ 教师讲授：1.若将∠AOB沿角平分线OC折叠，则可以发现点D与点E重合，因而 PD与PE重合，即PD=PE. 2.利用圆规，比较它们的长度，也可以发现PD=PE. 猜测：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：OC是∠AOB的角平分线， PD⊥OA，PE⊥OB . 求证：PD=PE. 证明：因为OC是∠AOB的角平分线，所以. 因为PD⊥OA，PE⊥OB ，所以∠PDO=∠PEO=90°. 在△PDO和△PEO中， 所以△PDO ≌ △PEO（AAS）. 因此PD=PE. 【归纳】角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何语言 ∵OC是∠AOB的角平分线，PD⊥OA，PE⊥OB ， ∴PD=PE. 探究二：角平分线的性质定理的逆定理 【思考】角平分线的性质定理的逆命题是什么？它是真命题吗？ 逆命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 教师提问：判断命题的真假应该用什么方法？ 教师提问：几何题没有图案应该怎么办？ 【作图】如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE.过点O，P作射线OC. 【证明】已知：点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. 求证：OC是∠AOB的角平分线. 证明：因为PD⊥OA，PE⊥OB， 所以∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， 所以Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）， 从而∠AOC=∠BOC. 因此OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上. 【归纳】角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言 ∵PD=PE， PD⊥OA，PE⊥OB ， ∴ 点P在∠AOB的角平分线上. 学生活动2： 认真思考，举手回答问题 认真听讲，提出猜测 运用已学知识进行证明 认真听讲 认真听讲，了解角平分线的性质定理 写出逆命题 回顾判断命题真假的方法 认真思考，尝试作图 运用已学知识进行证明 认真听讲 学生认真听讲，了解角平分线的性质定理的逆定理 活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。环节三：例题精讲教师活动3： 例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2. 求证：（1）点B在∠ADC的平分线上； （2）BD平分∠ABC. 证明：（1） 在△ABC中， 因为∠1=∠2， 所以BA=BC. 又BA⊥AD，BC⊥CD， 所以点B在∠ADC的平分线上. （2）在Rt△BAD和Rt△BCD中， 所以Rt△BAD ≌ Rt△BCD（HL）. 因此∠ABD=∠CBD， 从而BD平分∠ABC.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，若AB=10，CD=3，则△ABD的面积是(　　) A．12　　　　B．15　　　　C．18　　　　D．24 2.如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为（　　） A．　　　　B．2　　　　C．3　　　　D． 3.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，AB=AD=3，CD=2， 则点D 到边AB的距离为(　　) A．3　　　　B．2　　　　C．　　　　D． 选做题： 4.如图，中，平分，则的面积是　 　. 5.如图，点P是平分线上一点，，垂足分别是E和F，若，则　 　． 6.如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为　 　． 【综合拓展类作业】 7.如图所示，在中，平分，是高线，，，求的度数．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点,过点O作OD⊥BC,垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（　　） A．8.5　　　　B．15　　　　C．17　　　　D．34 2.如图，在中，，，于R，于S，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（　　） A．①②③　　　　B．①②　　　　C．②③　　　　D．①③ 3.如图，分别平分，且于点的周长为，则的面积为　 　． 【综合拓展类作业】 4.如图，在中，是它的角平分线，，，． （1）求与的面积之比； （2）求的长．
教学反思 本节教学中，通过实例引导学生观察角平分线上点的距离特征，帮助学生较快理解了性质定理的核心，同时对比性质与逆定理的题设和结论，让学生初步理清了两者的逻辑关系，但仍有不足：部分学生应用定理时依旧遗漏 “垂直” 这一关键条件，后续需增加辨析类题目强化细节；逆定理的应用场景拓展不足，可补充 “确定角内到两边距离相等的点” 的实际问题，让知识更贴近生活，提升学生的应用意识。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共29张PPT)
第5章 直角三角形
5.4 角平分线的性质（1）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
掌握角平分线的性质定理及逆定理的内容，能运用定理进行简单证明、计算与作图。
01
通过推理证明的过程，体会几何定理的探究方法，区分性质与逆定理的逻辑关系，提升逻辑推理能力。
02
感受几何图形的严谨性，培养用数学语言精准描述图形性质的习惯。
03
02
新知导入
回顾
什么是角平分线？
角平分线是一条以角的顶点为端点的射线，并把这个角分成两个相等的角.
几何语言
∵OC是∠AOB的角平分线,
∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB.
03
新知探究
探究
如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB ，垂足分别为点D，E. 比较线段PD，PE的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？
你有什么方法进行比较？
①度量
②圆规
③折叠
猜测：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
03
新知探究
已知：OC是∠AOB的角平分线， PD⊥OA，PE⊥OB .
求证：PD=PE.
证明：因为OC是∠AOB的角平分线，所以.
因为PD⊥OA，PE⊥OB ，所以∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，
所以△PDO ≌ △PEO（AAS）.
因此PD=PE.
03
新知探究
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何语言
∵OC是∠AOB的角平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴PD=PE.
03
新知探究
思考
角平分线的性质定理的逆命题是什么？它是真命题吗？
逆命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
命题
举反例
假命题
证明
真命题
几何题没有图案应该怎么办？
03
新知探究
如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE.过点O，P作射线OC.
因为PD⊥OA，PE⊥OB，
所以∠PDO=∠PEO=90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
所以Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），
从而∠AOC=∠BOC.
因此OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.
03
新知探究
角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
几何语言
∵PD=PE，
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴ 点P在∠AOB的角平分线上.
03
新知探究
例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.
求证：（1）点B在∠ADC的平分线上；（2）BD平分∠ABC.
例1
证明:（1） 在△ABC中，
因为∠1=∠2，
所以BA=BC.
又BA⊥AD，BC⊥CD，
所以点B在∠ADC的平分线上.
03
新知探究
例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.
求证：（1）点B在∠ADC的平分线上；（2）BD平分∠ABC.
例1
证明:（2） 在Rt△BAD和Rt△BCD中，
所以Rt△BAD ≌ Rt△BCD（HL）.
因此∠ABD=∠CBD，
从而BD平分∠ABC.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，若AB=10，CD=3，则△ABD的面积是(　　)
A．12
B．15
C．18
D．24
B
04
课堂练习
2.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（　　）
A．
B．2
C．3
D．2
C
04
课堂练习
3.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，AB=AD=3，CD=2， 则点D 到边AB的距离为(　　)
A．3
B．2
C．
D．
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC,AB=7.5,CD=4，则△ABD的面积是　 　.
15
04
课堂练习
5.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别是E和F，若PE=6，则PF=　 　．
6
04
课堂练习
6.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在边AB上，DE⊥BC，垂足为点E，AD=DE，∠B=32°，则∠BCD的度数为　 　．
29°
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，∠BAC=50°，∠EBC=20°，求∠ADC的度数．
解：∵AD平分∠BAC，BE是高线，且∠BAC=50°
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=25°
∵∠BEA=90°
∴∠ABE=180°-∠BAC-∠BEA=40°
∴∠ADC=∠ABE+∠EBC+∠BAD=85°
∴∠ADC的度数为85°
05
课堂小结
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（　　）
A．8.5
B．15
C．17
D．34
C
06
作业布置
2.如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下列三个结论：①AS=AR；②QP//AR；③△BPR≌△QSP，其中正确的结论是（　　）
A．①②③
B．①②
C．②③
D．①③
B
06
作业布置
3.如图，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，且OD⊥BC于点D，△ABC的周长为24cm，OD=3cm，则△ABC的面积为　 　．
36cm2
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=9，AC=6，BC=10．
（1）求△ABD与△ACD的面积之比；
（2）求CD的长．
（1）解：如图，过点作于点，作于点，
∵在中，是它的角平分线，
∴，
∵，，
06
作业布置
∴，
，
∴，
∴与的面积之比为．
06
作业布置
（2）解：如图，过点作于点，作于点，过点作于点，
由（1）已得：，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
07
板书设计
角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理的逆定理：
5.4 角平分线的性质（1）
习题讲解书写部分
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第5章
课标要求 1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边.上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 2.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。. 3.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 4.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
内容分析 本章从直角三角形的性质定理入手，先让学生认识直角三角形的一般性质和含30°角的特殊性质，为后续的度量计算和判定方法做铺垫；而勾股定理及其逆定理则从“数”的角度建立了直角三角形三边的数量关系，既是对“形”的性质的量化表达，也是代数与几何知识融合的典型载体，其实际应用和逆定理又进一步拓展了知识的适用场景；而直角三角形的判定则承接前面的性质，形成“性质—判定”的逻辑闭环，让学生完整掌握直角三角形的研究路径；最后的角平分线的性质则将直角三角形与角平分线的知识关联起来，既丰富了直角三角形的应用场景，也为后续几何问题的解决提供了新的工具。整体来看，本单元内容既巩固了之前的几何知识，又为后续四边形、圆等内容的学习奠定了推理和计算的基础。
学情分析 在学习本单元之前，学生已经积累了三角形内角和、全等三角形判定等几何知识，对“特殊图形具有特殊性质”有了初步的认知，具备简单的几何推理能力，但在面对“直角”这一特殊条件时，学生容易混淆“性质”与“判定”的逻辑关系，对“边、角、线”在直角三角形中的关联理解不够深入。从能力层面来看，学生能完成单一知识点的简单应用，但将实际问题抽象成直角三角形模型的能力还有待提升，在综合运用勾股定理、角平分线定理解决复杂问题时，容易出现思路混乱的情况；同时，学生对几何定理的“文字语言—符号语言—图形语言”三者之间的转化还不够熟练，常常会出现“能看懂定理，但不会用符号表达，也不会结合图形分析”的问题。从认知特点来看，学生对直观、具象的几何模型兴趣较高，愿意通过操作、观察等方式探究知识，但对抽象的定理推导和逻辑证明容易产生畏难情绪，需要借助具体的实例和动手活动来降低理解难度，帮助他们逐步建立几何思维。
单元目标 （一）教学目标 1.通过观察、操作直角三角形的实物与图形，抽象出直角三角形的性质、判定及相关定理的本质特征，能在具体情境中识别直角三角形的要素关系，建立“边—角—线”的关联，发展几何直观，提升从“具体图形”到“抽象概念”的转化能力。 2.经历勾股定理、角平分线性质定理等的推导过程，能运用演绎推理证明直角三角形的性质与判定，能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等，在推理与运算中体会逻辑的严谨性，提升逻辑推理与数学运算素养。 3.能从实际问题（如测量距离、判断图形形状等）中抽象出直角三角形模型，运用勾股定理、角平分线性质等知识解决问题，体会数学与生活的联系，发展数学建模素养，增强用数学知识解决实际问题的应用意识。 4.了解勾股定理的历史背景与文化价值，感受数学知识的发展历程，在探究直角三角形相关知识的过程中，养成严谨求实的思维习惯，激发对数学学科的兴趣，提升数学文化素养与学科认同感。 （二）教学重点、难点 重点 1.直角三角形的性质（含30°角的直角三角形性质）与判定方法。 2.勾股定理及其逆定理的推导、应用；角平分线性质定理及其逆定理的理解与运用。 难点 1.勾股定理的逆定理的证明思路；“性质”与“判定”的逻辑区分。 2.综合运用直角三角形的性质、勾股定理、角平分线定理解决复杂几何问题和实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数5.1直角三角形的性质定理25.2勾股定理及其逆定理35.3直角三角形全等的判定15.4角平分线的性质2第4章小结与评价1综合与实践利用拼接探究勾股定理1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务5.1 直角三角形的性质定理（1）1.能准确表述直角三角形的3个核心定理，清晰区分“性质定理”与“判定定理”的逻辑差异。 2.能独立运用“三角形内角和定理”证明“两锐角互余”及逆定理，运用“作辅助线+全等三角形”证明斜边上的中线性质。 能运用3个定理解决“求直角三角形锐角度数”“判定三角形是否为直角三角形”“证明线段相等”等基础问题。任务一：复习导入，回顾什么是直角三角形。 任务二：探究新知，探究直角三角形的性质的判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.1 直角三角形的性质定理（2）1.通过折叠、测量等操作，直观感知含30°角的直角三角形的边的关系，抽象出“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质。 2.经历性质的证明过程，能运用全等三角形、等边三角形等知识完成演绎推理，能清晰表达证明思路，提升逻辑推理的严谨性和条理性。1.能在图形中准确识别对应边的关系，发展几何直观和数学抽象素养。 2.能运用该性质进行直角三角形的边长计算，能解决“线段长度”“高度测量”等实际问题。任务一：动手操作，直观感知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.2 勾股定理及其逆定理（1）1.通过方格计数、图形拼接等活动，直观感知直角三角形三边的数量关系，抽象出勾股定理的本质，能在图形中准确识别直角边和斜边的平方关系。 2.经历勾股定理的证明过程，能运用面积法、全等三角形等知识完成演绎推理，能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等运算。1.能在图形中准确识别直角边和斜边的平方关系。 2.能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等运算。任务一：问题导入，认真过程。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.2 勾股定理及其逆定理（2）1.能从实际情境中，识别或构造直角三角形模型，明确模型中直角边、斜边与实际量的对应关系，完成“实际问题—数学模型—模型求解—实际验证”的完整建模流程。 2.能精准运用勾股定理及平方根化简、近似计算等知识，解决直角三角形边长求解问题。 能结合实际情境画出对应直角三角形示意图，借助图形直观梳理已知条件与所求问题的关联，灵活运用定理解决不同类型实际问题。任务一：复习导入，回顾勾股定理。 任务二：探究新知，数学建模. 任务三：例题精讲，模型求解。 任务四：巩固练习，课堂小结5.2 勾股定理及其逆定理（3）1.通过情境与操作，抽象逆定理内涵，能关联三边平方关系与直角三角形，发展几何直观与抽象能力。 2.经历定理探究与证明，能用全等知识完成严谨推理，理清证明思路，提升逻辑推理规范性。 3.掌握逆定理判定直角三角形的方法。能解决图形判定类问题，构建“数量计算→形状判定”模型.任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究逆定理。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结5.3 直角三角形全等的判定1.规范完成指定条件直角三角形尺规作图，感知作图与全等关联，发展直观与实操能力。 2.理解HL本质，能推导HL，规范用HL证明直角三角形全等，提升推理严谨性。能用HL解决全等证明、作图问题，构建直角三角形全等应用模型。任务一：复习导入，回顾全等三角形的判定。 任务二：探究新知，探究直角三角形的全等。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.4角平分线的性质（1）1.掌握角平分线的性质定理及逆定理的内容。 2.通过推理证明的过程，体会几何定理的探究方法，区分性质与逆定理的逻辑关系，提升逻辑推理能力。能运用定理进行简单证明、计算与作图。 任务一：复习导入，回顾什么是角平分线。 任务二：探究新知，掌握角平分线的性质。 任务三：例题精讲，知识运用。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.4角平分线的性质（2）理解角平分线性质定理与逆定理的应用场景，能从图形条件中识别“垂直距离”“线段相等”等关键要素。能运用定理解决“判断点的位置”“添加条件证明角平分线”“找特殊点”等问题。任务一：复习回顾角平分线的性质。 任务二：探究新知，运用角平分线的性质。 任务三：例题精讲，知识应用。 任务四：巩固练习，课堂小结。第5章 小结与评价1.梳理直角三角形的性质、判定、勾股定理及逆定理、角平分线性质等核心知识点，形成完整知识网络。 2.能熟练运用上述定理解决计算、证明及实际应用问题，规范几何推理表达。 3.掌握直角三角形相关定理的内在关联，提升综合解题与知识迁移能力。能熟练运用上述定理解决计算、证明及实际应用问题，规范几何推理表达。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。综合与实践：利用拼接探究勾股定理通过拼接直角三角形和正方形的活动，回顾勾股定理的内容，探索勾股定理的多种证明方法。能结合图形拼接过程，用面积法推导勾股定理，提升动手实践能力和逻辑推理能力。任务一：问题导入，吸引兴趣。 任务二：认真思考， 探究证明。 任务三：合作交流， 任务四：巩固练习，进行习题自测。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第5章 直角三角形
5.4 角平分线的性质（1）
学习目标与重难点
学习目标：
1.掌握角平分线的性质定理及逆定理的内容，能运用定理进行简单证明、计算与作图。
2.通过推理证明的过程，体会几何定理的探究方法，区分性质与逆定理的逻辑关系，提升逻辑推理能力。
3.感受几何图形的严谨性，培养用数学语言精准描述图形性质的习惯。
学习重点：
角平分线的性质定理及逆定理的内容、证明与初步应用。
学习难点：
理解性质与逆定理的互逆关系，准确运用定理时把握 “距离是垂直距离”的条件。
学习过程
一、复习回顾
【回顾】什么是角平分线？
二、探究新知
探究：角平分线的性质定理
教材第177页
【探究】如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB ，垂足分别为点D，E. 比较线段PD，PE的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？
已知：OC是∠AOB的角平分线， PD⊥OA，PE⊥OB .
求证：PD=PE.
【归纳】角平分线的性质定理：
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
探究二：角平分线的性质定理的逆定理
【思考】角平分线的性质定理的逆命题是什么？它是真命题吗？
【作图】如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE.过点O，P作射线OC.
【证明】已知：点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
求证：OC是∠AOB的角平分线.
【归纳】角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
三、例题精讲
例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.
求证：（1）点B在∠ADC的平分线上；
（2）BD平分∠ABC.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，若AB=10，CD=3，则△ABD的面积是(　　)
A．12 B．15 C．18 D．24
2.如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为（　　）
A． B．2 C．3 D．
3.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，AB=AD=3，CD=2， 则点D 到边AB的距离为(　　)
A．3 B．2 C． D．
选做题
4.如图，中，平分，则的面积是　 　.
5.如图，点P是平分线上一点，，垂足分别是E和F，若，则　 　．
6.如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为　 　．
【综合拓展类作业】
7.如图所示，在中，平分，是高线，，，求的度数．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在运用过程中需注意什么
六、作业布置
1.如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点,过点O作OD⊥BC,垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（　　）
A．8.5 B．15 C．17 D．34
2.如图，在中，，，于R，于S，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
3.如图，分别平分，且于点的周长为，则的面积为　 　．
4.如图，在中，是它的角平分线，，，．
（1）求与的面积之比；
（2）求的长．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】B
【解析】解：过点作于，如图所示：
，是角平分线，
，
的面积是，
故答案为：B .
2.【答案】C
【解析】解：如图，
过点作于B，
∵平分，，，
∴，
∴的最小值为3．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵ AB=AD ，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD=∠DBC，
∵ ∠C=90°，
∴ 点D 到边AB的距离 =DC=2.
故答案为：B .
4.【答案】15．
【解析】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图，
∵平分∴ED=CD=4，
∴S△ABD；
故答案为：15．
5.【答案】6．
【解析】解：∵平分，且，
∴，
故答案为：6．
6.【答案】．
【解析】解：∵，，
∴；
∵，，，
∴平分，
∴；
故答案为：．
7.【答案】解：∵平分，是高线，且
∴
∵
∴
∴
∴的度数为
作业布置：
1.【答案】C
【解析】解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点，
∴点O到△ABC各边的距离相等，
而OD⊥BC，OD＝4，
∴点O到△ABC各边的距离为4，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，
∴AB+AC+BC＝17，
即△ABC的周长为17．
故答案为：C．
2.【答案】B
【解析】解：①，，，
平分，
，
在与中，
，
，
，
∴结论正确，
②，
，
，
，
，
∴结论正确，
③在与中，只有条件，不能判断三角形全等；
综上可得，正确的结论是①②，
故答案为：B.
3.【答案】
【解析】解：连接，作于点，作于点，
∵分别平分和，，
∴，
∵的周长是于，且，
∴，
故答案为：．
4．【答案】（1）解：如图，过点作于点，作于点，
∵在中，是它的角平分线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴与的面积之比为．
（2）解：如图，过点作于点，作于点，过点作于点，
由（1）已得：，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑