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向量的分解与坐标表示 第二课时 课后练习
班级:_________ 姓名：___________
一：单选题
1．若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α等于(　　)
A．2 B．
C．－2 D．－
∴tan α＝2.故选A.]
2．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　　)
A．－2，1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1，2
3．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是 (　　)
A．－2　　　　B．0 C．1　　　　D．2
4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为(　　)
A．(1，－1) B．(－1，1)
C．(－4，6) D．(4，－6)
二：多选题
5.已知点A(1，3)，B(4，－1)，则下面说法正确的是( )
A.与向量同方向的单位向量为．
B.与向量同方向的单位向量为(3，－4).
C.(4，－1)与向量同方向
D.(3，－4)与向量同方向
6.对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“ ”为m n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“ ”为m n＝(a＋c，b＋d).设m＝(p，q)，若(1，2) m＝(5，0)，(3，2) m＝(6，0)则下面说法正确的是（）
A.(1，2) m=(1，2) B.(1，2) m=(2，0) C.(3，2) m=(4，1) D.(3，2) m=(-1，1)
三：填空题
7．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，2a－b与c平行，则实数k＝________．
8．在平面直角坐标系中，若点M(3，－2)，N(－5，－6)，且＝，则点P的坐标为________．
9．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________．
四：解答题
已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且＝，＝.求证：∥.
10．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2).
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
11．已知向量u＝(x，y)和向量ν＝(y，2y－x)的对应关系用ν＝f(u)表示．
(1)若a＝(1，1)，b＝(1，0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标；
(2)求使f(c)＝(4，5)的向量c的坐标；
(3)对任意向量a，b及常数λ，μ，证明f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b).
参考答案
1 解析 A　[∵a∥b，∴2cos α×1＝sin α.
∴tan α＝2.故选A.]
2 解析 D　[由解得]
3 解析 D　[a＋b＝(1，1)＋(2，x)＝(3，x＋1)，4b－2a＝4(2，x)－2(1，1)＝(6，4x－2)，
因为a＋b与4b－2a平行，所以3(4x－2)－6(x＋1)＝0.
即12x－6－6x－6＝0，解得x＝2.]
4解析：D　[由题知4a＝(4，－12)，
3b－2a＝3(－2，4)－2(1，－3)＝(－8，18)，
4a＋(3b－2a)＝－c，
所以(4，－12)＋(－8，18)＝－c，
所以c＝(4，－6).]
5.解析：（AD）　[∵＝－＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，
∴与同方向的单位向量为＝.]
6.解析：(B,C)　[由(1，2) m＝(5，0)，
可得解得
所以(1，2) m＝(1，2) (1，－2)＝(2，0).
由(3，2) m＝(6，0)，
可得解得
所以(3，2) m＝(3，2) (1，－1)＝(4，1).]
7.解析：2　[因为a＝(，1)，b＝(0，－1)，
所以2a－b＝2(，1)－(0，－1)＝(2，3).
又因为c＝(k，)，2a－b与c平行，
所以2×－3k＝0，解得k＝2.]
8 解析：(－1，－4)　[设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，＝(－8，－4)，从而即即点P的坐标为(－1，－4).]
9.解析：[证明]　设E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).
依题意，得＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1).
∵＝，
∴(x1＋1，y1)＝(2，2)，
∴点E的坐标为.
同理，点F的坐标为.
∴＝.
10.[解]　(1)设B(x1，y1)，
因为＝(4，3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，
所以所以所以B(3，1).
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
所以M.
(2)由＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，
＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4).
又＝λ(λ∈R)，
所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以所以
∵×(－1)－4×＝0，
∴∥.
11.[解]　(1)由条件可得u(x，y)ν(y，2y－x)，则
f(a)＝(1，2×1－1)＝(1，1)，f(b)＝(0，2×0－1)＝(0，－1).
(2)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y，2y－x)＝(4，5).
∴解得，即c＝(3，4).
(3)证明：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则λa＋μb＝(λx1＋μx2，λy1＋μy2)，
∴f(λa＋μb)＝(λy1＋μy2，2λy1＋2μy2－λx1－μx2)，
又λf(a)＝λ(y1，2y1－x1)＝(λy1，2λy1－λx1)，
μf(b)＝μ(y2，2y2－x2)＝(μy2，2μy2－μx2).
∴λf(a)＋μf(b)＝(λy1＋μy2，2λy1＋2μy2－λx1－μx2).
∴f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b).《向量的分解与坐标表示（第二课时）》教学设计
一、内容分析
本节课是高中数学第二册《第1章 平面向量及其应用》的第四节的第二小节.本节课在熟知用坐标表示向量的知识基础上进一步的去学习如何用坐标表示向量的和、差、数乘等线性运算，并理解其几何意义.要求学生搞清各向量间的关系，找出问题对应的几何图形，熟练运用向量的加、减法法则的坐标表示和运算律以及几何意义求解，并在其基础上进一步探究两个向量共线在坐标下的等价含义.
二、教学目的
通过数形结合，体会向量的线性运算的坐标表示，即两个向量的和、差线性运算可转化成两个向量相应坐标的和（或差），向量的数乘运算可转化成这个数乘以向量相应的坐标，掌握向量线性运算的坐标表示和相应的坐标运算法则.并由此得以启示，探讨出共线向量的等价坐标表示.逐步提高计算能力和数形结合能力.
三、重点难点
重点：向量线性运算的坐标表示、相应坐标运算法则、向量平行的等价坐标表示
难点：通过数形结合探讨出向量的线性运算的坐标表示，并通过坐标表示能明白其对应的几何意义.
四、核心素养
○数形运算、○数形结合、○逻辑推理．
五、教学准备
课件.
六、教学流程
知识导入 -> 新知探索 -> 典型剖析 -> 练习巩固 -> 归纳小结
七、教学过程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 时间分配
㈠ 知识引入 知识导入：设{i,j}是一组标准正交基，向量，在基{i,j}下的坐标分别是,，那么，，的坐标分别是什么？ 开始语：上一节课我们学习了如何用坐标表示向量（知识回顾），这节课我们来探讨向量线性运算的坐标表示.2. 引导学生交流讨论，求解，，的坐标 1.引出向量线性运算如何用坐标表示的思考.2.通过探讨，，的坐标来归纳出向量线性运算的坐标表示. 3分钟
㈡ 新知探索 观察总结 = = = = = = = = = = =结合所学写出，，的坐标；并思考由此可得什么结论.结论：两个向量a=，b=的和（或差）的坐标等于这两个向量相应坐标的和（或差），即： 一个实数 与向量a=的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标，即： a==. 再探究几何意义:因此的坐标为结论：在平面直角坐标系中，向量的坐标等于终点Q的坐标减去起点坐标，即=故根据起点和终点坐标写出向量坐标，就可以利用向量运算研究平面图形的性质.再思考：两向量平行如何用坐标去等价表示？向量，平行（也就是共线），可以直接用来表示.这意味着其中一个坐标是另一个坐标的实数倍，因此=成立.即： 1.通过数形结合，在已知基础上进行推导，通过严谨的推导和运算，得到向量线性运算的坐标表示，讲几何和概念一一对应。2.用坐标来表示向量的线性运算，可得到相应的几何意义，也引发了对平行向量的坐标表示的思考，层层递进，清晰明了的展示了数形结合的奥妙. 15分钟
㈢ 典例剖析 已知平行四边形ABCD的三个顶点为A(-1,3), B(-2,1), C(2,2), 求顶点D的坐标. 已知, , P是直线上一点，且（，且），求点P的坐标.例3．已知, , 三点共线，求x的值. 1. 给出例1，引导学生利用和的坐标来求出D点的坐标，并引导学生思考如何利用.求出点D的坐标.2. 给出例2，引导学生思考是否可以利用两向量共线转化成坐标的等价表示因此来求出点P的坐标.3. 给出例3，引导思考：数学结合，将共线问题如何转化成坐标表示，由此求出参数？ 例1与例2让学生深刻的理解如何将向量的线性运算和坐标表示联系起来，概念的实际意义，逐步学习如何将一种数学语言转变成另一种数学语言刻画.例3了解向量线性运算的坐标表示的几何意义，将向量的平行关系转成坐标的等价表示. 10分钟
㈣ 练习巩固 练习1. 已知平行四边形ABCD的三个顶点为A(1,3), B(-1,1), C(2,2), 求顶点D的坐标.练习2. 求线段AB中点的坐标：A(3,1), B(-2,3);A(-6,-3), B(4,-3).练习3. 已知, , 若, 求y的值.练习3. 已知A(0,1), B(1,0), C(1,2), D(2,1), 求证CD.①Q；②N+；③R； ④Z.A.0 B.1 C.2 D.3 依次给出练习1、练习2、练习3、练习4，学生在学案、或书、或练习纸上写出各题答案. 依次展示两个学生练习，请其余学生请纠正错误，指出所应用的知识点. 练习1、练习2强化学生对向量线性的坐标表示，帮助认识从向量关系到坐标的转化关系，训练从一种数学语言到另一种数学语言的转化.练习3、练习4强化了对两向量等价的坐标表示，从几何关系中寻找坐标关系，从坐标关系中寻找几何意义. 15分钟
㈤ 归纳小结 本节课学习了一些？ 使用思维导图总结. 系统梳理整节课所学内容. 2分钟
八、板书设计
大致板书如下：
（知识导入）（向量线性运算的坐标表示）（平行向量的坐标表示） （例题展示和分析）（练习题目陈列）
PAGE(共17张PPT)
向量的分解与坐标表示
一
　　用坐标表示向量后，向量的和、差、数乘等线性运算又如何用坐标来表示呢？
　　如图1.4-6，设{i，j}是一组标准正交基，向量，在基{i，j}下的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则
　　　 + =(x1，y1)+(x2，y2)=(x1i+ y1j)+(x2i+ y2j)
　　　　　　　 =(x1i+ x2i)+(y1j+ y2j)=(x1+ x2)i+(y1+ y2)j，
　　所以+ 的坐标为(x1+ x2，y1+ y2).
　　　 － =(x1，y1)－(x2，y2)
　　　　　　　 =(x1i+ y1j)－(x2i+ y2j)
　　　　　　　 =(x1i－ x2i)+(y1j－ y2j)
　　　　　　　 =(x1－x2)i+(y1－y2)j，
向量线性运算的坐标表示
图1.4-6
一
　　所以－ 的坐标为(x1－x2，y1－y2).
　　又　λ =λ(x1，y1)
　　　　　　=λ(x1i+ y1j)
　　　　　　=(λx1)i+(λy1)j，
　　故λ 的坐标为(λx1，λ y1).
　　由上可知，
　　　 　　　 + =(x1，y1)+(x2，y2)=(x1+ x2 ， y1 + y2)，
　　　　　　 =(x1，y1)－(x2，y2)=(x1－x2 ， y1－y2)，
　　　　　　　　　λ=λ(x1，y1)= (λx1 ，λ y1).
向量线性运算的坐标表示
一
　　于是，我们有
向量线性运算的坐标表示
　　两个向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或差)，即
　　a±b=(x1，y1)±(x2，y2)=(x1±x2，y1±y2).
　　一个实数λ与向量a=(x1，y1)的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标，即
λa=λ(x1，y1)=(λx，λy).
一
　　在图1.4-6中，由于= =(x2－ x1)i+(y2 － y1)j，
　　因此的坐标为(x2－ x1，y2 － y1).
　　于是，我们有
　　根据起点和终点坐标写出向量坐标，就可以利用向量运算研究平面图形的性质.
向量线性运算的坐标表示
　　在平面直角坐标系中，向量 的坐标等于终点Q的坐标(x2，y2)减去起点P的坐标(x1，y1)，即
= (x2－x1 ，y2－y1)．
一
向量线性运算的坐标表示
　　　　　　如图1.4-7，已知 　 的三个顶点为A(－1，3)，B(－2，1)，
C(2，2)，求顶点D的坐标.
　　解　因为= + = +
　　　　　　　 =(－1，3)+(2－(－2)，2－1)
　　　　　　　 =(－1，3)+(4，1)
　　　　　　 =(3，4)，
　　所以点D的坐标是(3，4).
例
1
图1.4-7
　　你能利用= =
一
向量线性运算的坐标表示
　　　　　　如图1.4-8，已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P是直线P1P2上一点，且＝λ (λ∈R，且λ≠－1)，求点P的坐标.
例
2
图1.4-8
一
向量线性运算的坐标表示
　　解　由题意可知，　 = + ，　　　　　　　　①
　　　　　　　　　　　 = . 　　　　　　 　②
　　①+λ×②得　　(1+λ)= + +λ －λ.
　　又已知　　　　　　=λ ，
　　所以　　　　　 (1+λ)= + λ ，
　　从而
　　因此，点P的坐标为
　　特别地，当λ=1时得到线段PP的中点坐标公式
一
向量线性运算的坐标表示
　　向量=(x1，y1)，=(x2，y2)平行(也就是共线)，可以直接用(x1，y1)∥
(x2，y2)来表示.这意味着其中一个坐标是另一个坐标的实数倍，因此x1 y2 = y1 x2成立．即
(x1，y1)∥(x2，y2) x1 y2 － y1 x2 =0.
一
向量线性运算的坐标表示
　　　　　　已知A(2，4)，B(4，3) ，C(－2，x)三点共线，求x的值.
　　解　因为A，B，C三点共线，所以与共线.
　　而　　　　 =(4－2，3－4)=(2，－1) ，
　　　　　　　 =(－2－2，x－4)=(－4，x－4)．
　　所以　　　2×(x－4)－(－1)×(－4)=0，
　　整理得　　　　　　　2x=12，
　　解得　　　　　　　 　x=6.
例
3
一
向量线性运算的坐标表示
　　1.已知　　　　的三个顶点为A(1，3)，B(－1，1)，C(2，2) ，求顶点D的坐标.
　　2.求线段AB中点的坐标：
　　(1) A(3，1)，B(－2，3)；　　 (2) A(－6，－3)，B(4，－3).
　　3.已知a=(－6，－8)，b=(4，y)，若a∥b，求y的值.
　　4.已知点A(0，1)，B(1，0)，C(1，2)，D(2，1)，求证：AB∥CD.
练 习
一
向量线性运算的坐标表示
习题1.4
学而时习之
　　1.如图，设{i，j}为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标.
（第1题）
一
向量线性运算的坐标表示
　　2.在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的
方向如图所示，且|a|=2，|b|=3，|c|=4，分别求它
们的坐标.
　　3.已知表示向量a的有向线段 的起点A的坐
标，求它的终点B的坐标.
　　(1) a=(－2，3)，A(0，0)；
　　(2) a=(－2，－6)，A(－3，4).
　　4.已知　　　　的顶点为A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，求顶点D的坐标.
　　5.若A(1，1)，B(2，－4)，C(x，－9)三点共线， 求x的值．
（第2题）
一
向量线性运算的坐标表示
　　6.已知向量a＝(3，－2)，b＝(－2，1)，c＝(7，－4)，若c＝λ a＋μ b，求实数λ，μ的值．
　　7.如图，已知A(－2，1)，B(1，3).
　　(1)求线段AB的中点M的坐标；
　　(2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标.
　　8.已知点A(－2，3)，B(3，5)，分别求点A，B关于
点M(1，1)中心对称的点A′，B′的坐标，并说明′=－.
　　9.已知点A(－1，1)，B(－4，5)，且=3 ， =3 ， =　 ，求点C，D，E的坐标.
（第7题）
一
向量线性运算的坐标表示
温故而知新
　　10.已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10).若点P满足= +λ(λ∈R)，求λ为何值时，
　　(1)点P在直线y=x上；　　
　　(2)点P在第四象限内.
一
向量线性运算的坐标表示
　　11.如图，一艘船从港口O出发往南偏东75°方向航行了100km到达港口A，然后往北偏东60 °方向航行了160 km到达港口B.试用向量分解知识求从出发点O到港口B的直线距离(sin 15 ° ≈0.2588，结果精确到0.1km). (提示：将， 分解为垂直的两个向量.)
（第11题）
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