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2025-2026学年四川省成都市新津区成外学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程x2-2x+1=0根的情况是（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根 D. 没有实数根
2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=5，BC=4，则tanA的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，BD=4，则矩形ABCD的周长为（　　）
A. 12 B. 16 C. D.
4.如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上.若OA：AA′=1：2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为（　　）
A. 1：2
B. 1：4
C. 4：9
D. 1：3
5.下列说法中，错误的是（　　）
A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 平行四边形对角相等
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
6.如图，点P在△ABC的边AC上，若只添加一个条件，就可以判定△ABP∽△ACB，则下列添加的条件中，不正确的是（　　）
A. ∠ABP=∠C
B. ∠APB=∠ABC
C.
D.
7.为促进消费，成都市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某超市的月销售额逐步增加；据统计4月份的销售额为100万元，接下来5月、6月的月增长率相同，6月份的销售额为196万元，若设5月、6月每月的增长率为x,则可列方程为（　　）
A. 100（1+x）=196 B. 100+100（1+x）=196
C. 100（1+x）2=196 D. 100（1+2x）=196
8.如图，在△ABC纸片中，∠A=76°，∠B=34°．将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（　　）
A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 .
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D.若AD=3，BD=1，则BC的长为 .
11.如图，点O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为 .
12.已知：△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a,b,c,边，且满足，则边c的长为 .
13.如图，在△ABC中，∠ABC=30°，，BC=6，则AB的长为 .
14.已知，则的值为______．
15.关于x的一元一次方程x2-4x+k-1=0有两个实数根x1、x2.若x1、x2分别是一个矩形的长和宽，矩形的对角线长为，则k的值为 .
16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N；②再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O，连接AO并延长交BC于点D；③分别以A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于P，Q两点，作直线PQ，分别交AB，AC于点E，F.若AB=3，AC=4，则AE的长为 .
17.实数a,n,m,b满足a＜n＜m＜b,这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B，若AM2=BM AB，BN2=AN AB，则称m为a,b的“大黄金数”，n为a,b的“小黄金数”，当m-n=6时，b-a= .
18.如图，正方形ABCD的边长为4，△BEF是等边三角形，点F在边BC的上方，点E在射线BC上运动.连接CF，取CF的中点M，则线段AM的长度的最小值为 .
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
（1）计算（π-3）0-5tan45°+8cos60°-|-10|；
（2）解方程（x+2）2=5x（x+2）.
20.(本小题10分)
在如图的方格纸中，△O1A1B1与△OAB 是关于点P为位似中心的位似图形.
（1）在图中标出位似中心P的位置；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1.
（3）已知S△OAB的面积为2.5，则△OA2B2的面积为______.
21.(本小题10分)
图Ⅰ是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图Ⅱ是求大拇指高度AB的示意图.如图Ⅱ，在C处放置一根高度为2m且与地平线BF垂直的竹竿IC，点A，I，D在同一直线上，测得CD为3m.将竹竿IC平移5m至E处，点A，G，F在同一直线上，测得EF为5m.求大拇指的高度.
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC中点，E为AD中点，过点A作AF∥BC交BE延长线于点F，连接CF.
（1）证明：四边形ADCF为菱形；
（2）AC与BF相交于点G，若AB=16，CF=10，求GC和GE的长.
23.(本小题10分)
如图，已知A、B两点的坐标分别为和（0，2），动点P从原点O开始在线段AO上以每秒个长度单位的速度向点A运动、动直线EF从x轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒.
（1）求t=1时，△PEF的面积；
（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t,使得△PEF的面积等于（平方单位）？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
（3）当t为何值时，△PFA与△BOA相似.
24.(本小题8分)
某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠.现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1）求y与x之间的函数关系式.
（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A的直线与y轴负半轴交于点C（0，-3）.
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）D是直线AB在第一象限上一点，E为x轴正半轴上一动点，直线ED交y轴于点F.
i）当DB=AB时，若点D将线段EF分成2：3两部分，求点E的坐标；
ii）当EF∥AC时，试探究是否存在这样的点D，使得△ADF与△AEF相似？若存在，请求出满足条件的D点坐标；若不存在，请说明理由.
26.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD中，AD=nAB（n＞1），点E是AD边上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H．
【尝试初探】
（1）在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系，请说明理由．
【深入探究】
（2）若n=2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求tan∠ABE的值．
【拓展延伸】
（3）连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tan∠ABE的值（用含n的代数式表示）．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】-1
10.【答案】2
11.【答案】（-2，4）
12.【答案】
13.【答案】6-2
14.【答案】
15.【答案】4
16.【答案】
17.【答案】12+6
18.【答案】2+
19.【答案】（1）-10 （2）x1=-2，x2=-
20.【答案】10
21.【答案】解：∵IC⊥BF，AB⊥BF，
∴IC∥AB，
∴△CDI∽△BDA，
∴，
∵GE⊥BF，
∴GE∥AB，
∴△GEF∽△ABF，
∴，
∵IC=GE，
∴=，
∵CD=3m,EF=5m,CE=5m,
∴EF+CE=10（m），
∴=，
解得BC=7.5，
∵IC=2m,，
∴，
解得AB=7．
所以大拇指的高度为7m.
22.【答案】见解析过程 CG=8，EG=
23.【答案】 不存在这样的t，使得△PEF的面积等于，理由见解答过程 当t=或t=1，△PFA与△BOA相似
24.【答案】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
将（2，100），（5，160）代入y=kx+b得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y=20x+60（0＜x＜20）．
故答案为：y=20x+60（0＜x＜20）．
（2）根据题意得：（60-x-40）（20x+60）=2400，
整理得：x2-17x+60=0，
解得：x1=5，x2=12，
又∵要让顾客获得更大实惠，
∴x=12．
答：这种干果每千克应降价12元．
25.【答案】y=-x-3 i）点E（10，0）或（，0）；ii）存在，D（，）
26.【答案】解：（1）∵四边形EBFG和四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠BEG=∠D=90°，
∴∠ABE+∠AEB=∠AEB+∠DEH=90°，
∴∠DEH=∠ABE，
∴△ABE∽△DEH，
∴在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系；
（2）如图1，∵H是线段CD中点，
∴DH=CH，
设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，DE=4x-a，
由（1）知：△ABE∽△DEH，
∴=，即=，
∴2x2=4ax-a2，
∴2x2-4ax+a2=0，
∴x==，
∵tan∠ABE==，
当x=时，tan∠ABE==，
当x=时，tan∠ABE==；
综上，tan∠ABE的值是．
（3）分两种情况：
①如图2，BH=FH，
设AB=x，AE=a，
∵四边形BEGF是矩形，
∴∠AEG=∠G=90°，BE=FG，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH（HL），
∴EH=GH，
∵矩形EBFG∽矩形ABCD，
∴==n，
∴=n，
∴=，
由（1）知：△ABE∽△DEH，
∴==，
∴=，
∴nx=2a，
∴=，
∴tan∠ABE===；
②如图3，BF=FH，
∵矩形EBFG∽矩形ABCD，
∴∠ABC=∠EBF=90°，=，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
∴∠BCF=∠A=90°，
∴D，C，F共线，
∵BF=FH，
∴∠FBH=∠FHB，
∵EG∥BF，
∴∠FBH=∠EHB，
∴∠EHB=∠CHB，
∵BE⊥EH，BC⊥CH，
∴BE=BC，
由①可知：AB=x，AE=a，BE=BC=nx，
由勾股定理得：AB2+AE2=BE2，
∴x2+a2=（nx）2，
∴x=（负值舍），
∴tan∠ABE===，
综上，tan∠ABE的值是或．
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