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2025-2026学年四川省南充市南部二中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响.下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A. 刘徽的割圆术 B. 中国七巧板
C. 杨辉三角 D. 赵爽弦图
2.若方程（m-1）x|m|+1-2x=3是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）
A. 1 B. -1 C. ±1 D. 不存在
3.对于二次函数y=-（x-1）2+4的图象，下列说法正确的是（　　）
A. 开口向上 B. 顶点坐标是（-1，4）
C. 图象与y轴交点的坐标是（0，4） D. 图象在x轴上截得的线段长度是4
4.如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OA⊥BC，∠OBC=40°，则∠ADC的度数（　　）
A. 25°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
5.生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支.现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（　　）
A. 9 B. 10 C. -10 D. 9或10
6.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度为（　　）

A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
7.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC=120°，BC=1，则的长为（　　）
A.
B.
C.
D.
8.已知m、n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根，则m2+mn+2m的值为（　　）
A. -10 B. 10 C. 3 D. 0
9.如图，在△ABC中，∠B=42°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，得到△AB'C'，点C的对应点C'落在BC边上，且B'A∥BC，则∠BAC'的度数为（　　）
A. 24° B. 25° C. 26° D. 27°
10.如图，若开口向下的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（-1，0），对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有（　　）
①abc＞0；②2a+b=0；③函数y=ax2+bx+c的最大值为-5a；④若关于x的方程ax2+bx+c=a+5无实数根，则-1＜a＜0；
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.关于x的一元二次方程x2+2x+k-2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
12.抛物线y=2x2+1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是 .
13.如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为 ．
14.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是______步．
15.若点O是△ABC的外心，且∠BOC=70°，则∠BAC的度数为______．
16.如图，若AB是圆锥底面圆的直径，已知AB=6cm，圆锥的母线长为6cm，若一只蚂蚁从A点出发沿圆锥侧面爬行到B点，则蚂蚁所走的最短路径是______cm．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
（1）解方程：4x2-2x=3（2x-1）；
（2）m为何值时，代数式m（m+4）与8m+12的值相等？
18.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是矩形，OB=2OE=3OC=6，求经过B，C，E三点的抛物线的最低点的坐标.
19.(本小题10分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE∥BC与CD的延长线交于E，∠BAC=∠DAE.求证：AC=CE.
20.(本小题10分)
如图，△ABC和△DEF关于某一点中心对称，其中点A（-2，3），E（-2，0），C（-1，0），D（-4，-3）.
（1）对称中心的坐标为______；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到ΔA'B'C'；
①在直角坐标系中画出ΔA'B'C'；
②求点A经过的路径的长.
21.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于-4，求m的取值范围．
22.(本小题10分)
如图，E是等腰直角三角形ABC斜边上一点，将△BCE旋转到△ACF的位置，作CD⊥EF，与AB交于D.
（1）求∠DCE的度数；
（2）线段DE，DF相等吗？线段AD，DE，BE有无确定的数量关系？请说明你判断的理由.
23.(本小题10分)
在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以244.6环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏.谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了115.2公顷.
（1）求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率；
（2）某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/kg时，每天能售出200kg,售价每降低1元、每天可多售出50kg,为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/kg,若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？
24.(本小题10分)
如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB=BF，EF=4．求⊙O的半径；
（3）在（2）条件下，求BE、DE、弧围成的阴影部分的面积．
25.(本小题10分)
如图，经过点A（-4，-5）的抛物线与x轴交于B（-2，0），C两点，与y轴交于点D（0，3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，∠PBC=∠BCD，求点P的坐标；
（3）如果M（m,n）是抛物线第一象限上动点，（2）中确定的点P与M分别在直线CD两侧，点N（k,-m）在射线BP上，当四边形MCND面积最大时，求k的值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】k＜3
12.【答案】y=2（x+1）2-1
13.【答案】10
14.【答案】6
15.【答案】35°或145°
16.【答案】6
17.【答案】解：（1）4x2-2x=3（2x-1），
4x2-2x=6x-3，
4x2-8x+3=0，
（2x-3）（2x-1）=0，
2x-3=0或2x-1=0，
∴x1=，x2=；
（2）m（m+4）=8m+12，
m2+4m=8m+12，
m2-4m-12=0
（m-6）（m+2）=0，
m-6=0或m+2=0，
∴m1=6．m2=-2．
18.【答案】解：∵OB=2OE=3OC=6，
∴OB=6，OE=3，OC=2，
∴B（-6，0），C（2，0），E（0，-3），
设经过B、C、E三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
则，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-3=（x+2）2-4，
∴抛物线的最低点的坐标为（-2，-4）．
19.【答案】证明：∵AE∥BC，
∴∠B+∠BAE=180°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴∠BAE=∠ADC，
∵∠ADC=∠E+∠DAE，
∴∠E=∠BAD，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠CAE=∠E，
∴AC=CE．
20.【答案】（-3，0）；
①画图见解答；
②点A经过的路径的长为．
21.【答案】（1）证明：∵a=1，b=-m,c=m-1，
∴Δ=b2-4ac
=（-m）2-4（m-1）
=m2-4m+4
=（m-2）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵Δ=（m-2）2≥0，
∴x=．
∴x1=m-1，x2=1．
∵此方程有一个根小于-4．
∴m-1＜-4．
∴m＜-3．
故m的取值范围是m＜-3．
22.【答案】解：（1）由旋转的性质可得：△BCE≌△ACF，
∴∠BCE=∠ACF，CE=CF，
∴∠ECF=∠BCA=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，∠CEF=45°，
∵CD⊥EF，
∴∠DCE=45°，
（2）DE=DF，AD2+BE2=DE2，
∵∠DCE=45°，
∴∠DCF=45°，
∵DC=DC，
∴△ECD≌△FCD（SAS），
∴DE=DF，
由（1）知∠B=∠CAB=∠CAF=45°，
∴∠DAF=90°，
在Rt△ADF中，AD2+AF2=DF2，
∴AD2+BE2=DE2．
23.【答案】20%；
3元．
24.【答案】解：（1）连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BCD中，BE=EC，
∴DE=EC=BE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠EBD+∠DBO=90°，
∴∠EDB+∠DBO=90°，
∵OD=OB，
∴∠DBO=∠BDO，
∴∠EDB+∠BDO=90°，
即∠ODF=90°，
∴DF⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF为⊙O的切线；
（2）∵OB=BF，
∴OF=2OB=2OD，
∴sinF==，
∴∠F=30°，
∴OB=BF=EF cosF=4×cos30°=2，
即⊙O的半径为2；
（3）由（2）知，OD=2，∠BOD=90°-∠F=60°，
∴DF=OD tan∠BOD=2×=6，
∵EF=4，∠F=30°，
∴BE=EF sin30°=2，
∵阴影部分的面积=三角形ODF的面积-三角形FEB的面积-扇形BOD的面积，
∴S阴=S△ODF-S△FEB-S扇形BOD
=OD DF-BF BE-π OD2
=
=4-2π，
∴阴影部分的面积为4-2π．
25.【答案】解：（1）由题意得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：y=-x2+x+3①；
（2）由抛物线的表达式知，点C（6，0），
由点B、C的坐标得，直线CD的表达式为：y=-x+3，
当点P在x轴下方时，
∵∠PBC=∠BCD，
则直线BP∥CD，
则直线BP的表达式为：y=-（x+2）=-x-1②，
联立①②得：-x2+x+3-x-1，
解得：x=-2（舍去）或8，
则点P（8，-5）；
当点P在x轴上方时，
同理可得：直线BP的表达式为：y=x+1，
同理可得，点P（4，3），
综上，点P的坐标为：（8，-5）或（4，3）；
（3）由题意得，点P在x轴下方，如上图，
过点M作MH∥y轴交CD于点H，
则点M（m,-m2+m+3），点H（m,-m+3），
则MH=（-m2+m+3）-（-m+3）=-m2+m,
∵＜0，故MH有最大值，此时，m=3，
则直线BP的表达式为：y=-x-1，
将点N坐标代入上式得：-m=-k-1，则k=2m-2，
∵BP∥CD，
则S△NCD=S△TCD，
则四边形MCND面积=S△NCD+S△TCD=S△NCD+S△TCD
=4×6+CO×MH，
上式中，只有MH为变量，
故当PH最大时，四边形MCND面积最大，
即m=3，
则k=2m-2=4．
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