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八年级上册12月月考试卷【人教版2024】
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C B B C D A C A
1．C
本题考查的是根据因式分解的结果求解参数．通过将给定的因式分解结果展开，与原多项式对比一次项系数即可确定p的值.
解：，
∴，
∴，
故选：C．
2．B
本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
利用提取公因式法分解因式即可得出答案．
解：．
故选：B．
3．C
本题考查利用因式分解进行简便运算，提公因式法进行因式分解后，再进行计算即可．
解：原式；
故选C．
4．B
本题考查了公因式，理解其定义是解题的关键．
通过因式分解检查各组多项式的公因式即可．
解：A：，，有公因式 ，故该选项不合题意；
B： 与 ，无公因式，故该选项符合题意；
C：，与 有公因式 ，故该选项不合题意；
D： 与 ，有公因式 ，故该选项不合题意．
故选：B．
5．B
本题考查了平方差公式分解因式的应用，牢记是解题的关键．设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，即可得答案．
解：设k是正整数，
∵，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，A，C选项都是智慧数，不符合题意；
∵，
∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以D选项是智慧数，不符合题意，
B选项2026不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意．
故选：B．
6．C
本题考查了因式分解，根据因式分解的定义，判断等式是否将多项式分解为几个整式的积．
解： 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，
选项A：右边为，不是积的形式，故错误；
选项B：左边为单项式，不是多项式，且变形为恒等变形，故错误；
选项C：左边为多项式，右边为整式的积，符合定义；
选项D：左边为积的形式，右边为多项式，是整式乘法，故错误，
故选：C．
7．D
本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围．
先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解关于的表达式，再根据＂解为正数＂和＂分母不为0＂列不等式，最终确定的取值范围．
解：∵方程，
又∵，
∴，
∴原方程化为．
左边合并：，
两边同时乘以得：，
解得．
由，得，即．
又∵解为正数，∴，即，．
综上，且．
故选：D．
8．A
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，实数的大小比较，先利用负整数指数幂，零指数幂化简，然后比较大小即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：∵，，
又，
∴，
∴最小的数是，
故选：．
9．C
此题考查分式混合运算的实际应用，根据工作效率和合作效率，计算完成50%工作所需时间
设总工作量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，
∵ 合作效率为，
完成50%工作，工作量为，，
∴ 所需时间 = ，
故选：C
10．A
本题考查分式的除法，化简原式，利用平方差公式分解分子和分母，约分后得到表达式 ．要求结果为整式，则必须能被分子中的某个因子约掉，即 必须是、 或之一进行判断即可．
解：原式 ，
∵结果为整式，
∴必为分子因子之一，即、 或．
∵不是分子因子，
故不可能是；
故选A．
11．
本题考查了因式分解，通过将因式分解形式展开，比较多项式对应项的系数，建立方程求解；
解：∵，
∴，
∴，；
解得，；
∴；
故答案为：
12．150
本题考查了分式方程的应用．
设第二批鲜花每盒的进价为x元，则第一批每盒进价为元，根据第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，列出方程求解即可．
解：设第二批鲜花每盒的进价是x元，则第一批每盒进价为元，
∴第一批购进的盒数为盒，第二批购进的盒数为盒．
∵第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
故第二批鲜花每盒的进价是150元．
故答案为：150．
13．9
该题考查了分式的混合运算，代数式求值，首先利用分式乘方和乘除法法则简化已知方程，得到，然后通过平方运算求的值．
解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：9．
14．
本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是熟练掌握分式的乘除法运算法则．
利用分式的乘除法运算法则进行计算即可．
解：
．
15．141650
本题考查因式分解的实际应用，将多项式因式分解后代入数值求各因式的值，再从小到大排列得到密码即可．
解：多项式提取公因式得，再利用平方差公式分解为 ．
当，时，，．
将这些值从小到大排列为 14， 16， 50，
故密码为141650；
故答案为：141650．
16．
本题主要考查了因式分解、代数式求值等知识点，掌握运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键．
先运用提取公因式法进行因式分解，然后将、整体代入计算即可．
解：∵，，，
∴原式．
故答案为．
17．(1)
(2)
本题考查因式分解，准确的计算是解决本题的关键．
（1）先提公因式y，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)
(2)无解
此题考查解分式方程，先去分母化为整式方程，求出解后检验即可，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
（1）方程两边同时乘，将分式方程化简，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边同时乘，将分式方程化简，求出方程的解，再进行检验即可．
（1）解：，
两边同时乘，得，
去括号，合并同类项得，
移项，合并同类项得，
系数化为1，得，
检验：当时，，
∴原方程的解为；
（2）解：，
两边同时乘，得，
去括号，得，
移项，合并同类项得，
系数化为1，得，
检验：当时，，
∴原方程无解．
19．(1)每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品的进价是10元
(2)该商场购进甲、乙两种商品有2种方案：①购进甲种商品67个，乙种商品24个；②购进甲种商品70个，乙种商品25个．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设每个乙种商品的进价是元，则每个甲种商品的进价是元，根据用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进乙种商品个，则购进甲种商品个，根据乙的数量不超过25个，销售两种商品的总利润超过380元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
（1）解：设每个乙种商品的进价是元，则每个甲种商品的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品的进价是10元．
（2）解：设购进乙种商品个，则购进甲种商品个，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
或25，
该商场购进甲、乙两种商品有2种方案：
①购进甲种商品67个，乙种商品24个；
②购进甲种商品70个，乙种商品25个．
20．(1)，
(2)0
本题考查了二元一次方程组的解的概念及幂的运算．
（1）根据甲、乙两人看错的方程，结合方程组解的定义分别求出a、b的值即可，
（2）将（1）中的a，b的值代入原式，利用幂的运算法则计算．
（1）解：将代入方程②，得，
解得，
将代入方程①，得，
解得，
∴，．
（2）解：将（1）中的结论代入原式可得：．
21．(1)
(2)
(3)或
本题考查了分式的化简，分式有意义的条件．
（1）根据“和谐分式”的定义可判定求解；
（2）根据分式的性质，进行化简求解；
（3）将原式进行化简，根据题意可得，根据分式有意义的条件进行检验，即可得符合条件的整数的值．
（1）解： ，是和谐分式，
，不是和谐分式，
，是和谐分式．
故答案为：．
（2）解：，
．
故答案为：，．
（3）解：，
∵的值为整数，且为整数，
∴为整数，为整数，
设（为整数），
则，
∵为整数，
∴为整数，
∴，
当时，，解得，
当时，，解得，
经检验，当或时，分母均不为零，符合题意．
∴符合条件的整数的值为或．
22．(1)
(2)元；
(3)存在，或7或5或1．
此题考查整式的混合运算，掌握长方体的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键．
（1）根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可；
（2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果；
（3）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可．
（1）解：原铁皮的面积是；
（2）油漆这个铁盒的表面积是：，
则油漆这个铁盒需要的钱数是：
元；
（3）铁盒的全面积是，
底面积是，
假设存在正整数n，使，
则，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时或7或5或1．
23．(1)见解析
(2)见解析
本题考查了全等三角形的判定与性质，因式分解的应用，解题的关键是：
（1）先根据余角的性质证明，然后根据证明即可；
（2）设，，则，根据全等三角形的性质得出，，，则可求，然后根据作差法求出，即可得证．
（1）证明：∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）证明：设，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
如图，
∴
，
∴，
∴．
24．(1)①③；
(2)；
(3)最小值为7．
本题主要考查了整式的混合运算的应用，完全平方公式，理解新定义是解题的关键．
（1）根据新定义解答即可；
（2）先运用新定义求得，即可求解；
（3）先求得，再根据新定义可得，然后结合它们的“恒定值”为，可得，结合完全平方公式可得
，即可解答．
（1）解：①
②，不是常数；
③为常数；
∴是的“恒定多项式”的是①③；
故答案为：①③
（2）解，
，
是的“恒定多项式”，
，
，
它们的“恒定值”为．
（3）解：，
，
是的“恒定多项式”，
，
，
又它们的“恒定值”为，
，
，
，
，
，当且仅当时等号成立．
代数式的最小值为7．八年级上册12月月考试卷【人教版2024】
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．多项式因式分解的结果是，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．7
2．把多项式分解因式，结果是（ ）
A． B． C． D．
3．( )
A． B． C． D．
4．下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
5．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以11就是一个“智慧数”．下面4个数中不是“智慧数”的是（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
6．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
8．在，，，四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
9．一份文件需要打印，打字员甲单独打印需小时，打字员乙单独打印需小时，那么两人一起打印这份文件的50%，所需要的时间是（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
10．化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若可分解为，则的值为 ．
12．在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．则第二批鲜花每盒的进价是 元．
13．已知，则的值为 ．
14．计算： ．
15．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到016128，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式4，取，时，请你写出用上述方法产生的密码 ．
16．若，，则的值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．因式分解：
(1)
(2)
18．解下列分式方程：
(1)；
(2)．
19．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
(1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
(2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过25个，甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
20．甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，在计算无误的情况下解得，乙看错了方程②中的b，在计算无误的情况下解得．
(1)求a、b的值．
(2)的值．
21．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．
如，
，
则和都是“和谐分式”．
(1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）：
．
(2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________，________．
(3)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的整数的值．
22．一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．
(1)请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积；
(2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每50元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？
(3)是否存在一个正整数，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由．
23．如图，，，垂足分别为C，D，点B在上，且，．
(1)求证：；
(2)连接，若的面积为，的面积为，求证：．
24．我们定义：如果两个多项式与，若为常数，则称是的“恒定多项式”，这个常数称为它们的“恒定值”，如是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为-5．
(1)下列各组多项式，是的“恒定多项式”的是______（填序号）；
①；
②；
③．
(2)关于的多项式是多项式（为常数）的“恒定多项式”，请计算出它们的“恒定值”；
(3)关于的多项式是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为．若，求代数式的最小值．(共5张PPT)
人教版2024 八年级上册
八年级数学上册12月月考试卷
试卷分析
知识点分布
一、单选题
1 0.94 （x+p）（x+q）型多项式乘法；已知因式分解的结果求参数
2 0.94 提公因式法分解因式
3 0.85 因式分解在有理数简算中的应用
4 0.75 公因式；提公因式法分解因式；平方差公式分解因式；完全平方公式分解因式
5 0.65 平方差公式分解因式
6 0.65 判断是否是因式分解
7 0.65 根据分式方程解的情况求值
8 0.65 零指数幂；负整数指数幂；实数的大小比较
9 0.64 分式加减乘除混合运算
10 0.64 分式除法
知识点分布
二、填空题
11 0.75 已知因式分解的结果求参数
12 0.65 分式方程的经济问题
13 0.65 分式化简求值；已知式子的值，求代数式的值；幂的乘方运算
14 0.65 分式除法
15 0.65 因式分解的应用
16 0.64 已知式子的值，求代数式的值；提公因式法分解因式
知识点分布

三、解答题
17 0.85 综合提公因式和公式法分解因式
18 0.75 解分式方程（化为一元一次）
19 0.65 分式方程的经济问题；不等式组的方案选择问题
20 0.65 整数指数幂的运算；二元一次方程组的错解复原问题；已知字母的值 ，求代数式的值
21 0.65 求使分式值为整数时未知数的整数值；分式化简求值；分式有意义的条件
22 0.65 多项式乘多项式与图形面积；分式乘法
23 0.64 因式分解的应用；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
24 0.64 整式乘法混合运算；因式分解的应用

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