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2025—2026学年八年级上册期末模拟试卷
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．二次根式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
3．下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的平方根是
C．0的平方根是0 D．的立方根是
4．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离
B．相等的两个角是对顶角
C．同位角相等
D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行
5．（新情境 生活应用）某班有45人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他44人的平均分为90分，方差，之后小亮进行了补测，成绩为90分．与该班44人的体能测试成绩相比，关于该班45人的体能测试成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均分不变，方差变小 B．平均分不变，方差变大
C．平均分变小，方差变小 D．平均分变小，方差变大
6．如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
7．关于函数，下列说法正确的是（）
A．经过第一、二、四象限
B．若函数图象经过点，，则
C．由的图象向下平移个单位得到
D．与轴的交点的坐标为
8．（新情境 跨学科）如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
9．平面直角坐标系中，第三象限内的点到轴的距离是4，则的值为（ ）
A． B．4 C．1 D．
10．如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（ ）
A．10 B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（新情境 规律探索）仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为 ．
12．已知关于的二元一次方程组的解满足，则实数m的值为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，当取最小值时，点的坐标为 ．
14．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点的坐标为，点的坐标为，为第一象限内的整点．若连接不共线的，，三点构成轴对称图形，则点的坐标为 （写出一个即可），在网格图中符合要求的点的个数为 ．
15．（新情境 规律探索）如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标为 ．
16．已知a、b、c在数轴上位置如下图所示，化简 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解方程组：
(1)
(2)
18．计算：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
19．（新情境 生活应用）八年级一班在团支部换届选举中为了从甲、乙两位同学中选出团支部书记，进行了一次演讲答辩和民主测评，A、B、C、D、E五位教师作为评委，对演讲答辩情况进行评价，结果如下表，全班50位同学参与民主测评进行投票，结果如图：
演讲答辩得分表：
A B C D E 得分
甲 90 92 94 95 88 92
乙 89 86 87 94 91 a
民主测评统计图：
规定：①演讲得分按“最高分和一个最低分，再算平均分”确定；
②民主测评得分 “好”票数分“较好”票数分“一般”票数分．
(1)求和的值；
(2)若演讲答辩得分和民主测评按的权重比计算两位选手的综合得分，则哪位同学当选团支部书记．
20．（新情境 生活应用）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车行驶的时间为 ，两车之间的距离为 ，图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系，根据图象解决以下问题．
(1)甲，乙两地的距离为 __________ ；慢车的速度为 __________ ．
(2)求段的函数解析式．（不用写自变量的取值范围）
(3)求当 x 为多少时，两车之间的距离为 ，请通过计算求出 x 的值．
21．如图所示，在平面直角坐标系中，其中点、、．
(1)求的面积；
(2)画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标；
(3)在轴上有一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标：________
22．我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答：
(1)的整数部分______；
(2)a为的整数部分，b为的小数部分，求解的值．
(3)已知，其中x是正整数，，求解的值．
23．如图，，垂足为D．
(1)若，，，那么是直角三角形吗？证明你的结论．
(2)若，设，，．求证：．
24．（新情境 综合实践）综合与实践
如图，在长方形 中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，连接，设点的运动时间为（单位：秒）．
(1)当时，的长为______，的长为______．
(2)当点不与点重合时，设的面积为，求出与之间的函数表达式，并注明自变量的取值范围．
(3)当时，直接写出的值．2025—2026学年八年级上册期末模拟试卷
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C A A A C A A B
1．A
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零．据此求解即可．
∵二次根式有意义，
∴被开方数，
解得．
故选：A．
2．A
本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出．
由勾股定理得出，可得出的值，即可求解．
解：由勾股定理得：，
即，
又∵阴影部分的面积
∴，阴影部分的面积为，
故选：A．
3．C
本题考查了平方根，立方根，算术平方根，熟练掌握以上定义是解题的关键．根据平方根，立方根，算术平方根，逐项分析判断即可求解．
解：A. ，的平方根是，则的平方根是，故该选项不正确，不符合题意；
B. 没有平方根，故该选项不正确，不符合题意；
C. 的平方根是，故该选项正确，符合题意；
D. 的立方根是，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
4．A
根据点到直线的距离定义、对顶角性质、同位角性质和平行公理等知识点，掌握相关定义和性质是解题的关键．
根据点到直线的距离定义、对顶角性质、同位角性质和平行公理逐项判断即可．
解：A．点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度，故该选项正确，符合题意；
B．相等的两个角不一定是对顶角，例如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故该选项错误，不符合题意；
C．同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，故该选项错误，不符合题意；
D．平行公理指出过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，但该选项未指定点是否在直线外，若点在直线上，则不存在与已知直线平行的直线（除自身），故该选项错误，不符合题意．
故选A．
5．A
本题考查了方差的定义，算术平均数．根据平均数，方差的定义计算即可．
由于小亮的补测成绩与原有平均分相同，因此平均分不变；根据方差公式，加入一个与平均分相同的分数后，方差会变小．
解：∵原44人的平均分为90分，小亮成绩为90分，
∴加入小亮后，45人的平均分仍为90分，平均分不变．
∵原方差，即，
∴．
加入小亮后，新方差为：
，
∵，
∴，方差变小．
故选：A．
6．A
本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题的关键方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
将代入，即可求出的值，即可求解．
解：关于，的方程组的解是一次函数的图象与的图象的交点坐标，
将代入得：，
即方程组的解为： ，
故选：A．
7．C
本题考查了一次函数综合 熟练掌握一次函数图象和性质，一次函数的增减性，一次函数的平移，一次函数与坐标轴的交点，是解题的关键．
根据一次函数的性质，，函数图像经过第一、三、四象限，且y随x增大而增大；平移规律为上加下减；与x轴交点令求解，逐一判断即得．
A、∵中，，
∴函数图像经过第一、三、四象限，
故A错误；
B、∵，
∴y随x增大而增大，
又∵，
∴，
故B错误；
C、∵向下平移1个单位得，
∴C正确；
D、令，得，解得，
∴与x轴交点为，
故D错误．
故选：C．
8．A
本题考查了平面镜成像原理中坐标的轴对称．根据平面镜成像原理，点与关于轴对称，根据对称的性质可列方程求出的数值，代入计算即可求解．
解：∵点与关于轴对称，
∴，，
∴，，
∴，
故选：A．
9．A
本题考查了点的坐标，根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答即可．
解：∵点在第三象限，
∴且，
∵点P到y轴的距离是4，
∴，
∴，
解得．
故选：A．
10．B
本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理．
根据勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后利用进行计算即可解答．
解：如图：
∵，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴
．
故选：B．
11．37
本题考查了勾股数．观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2，设勾为a，股为b，弦为c，则，根据勾股定理，，代入得，化简得，将代入计算，求出b，再求c，即可作答．
解：观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2，
设勾为a，股为b，弦为c，
则，
根据勾股定理，，
∴，
化简得，
依题意，当时，则，
∴，
故答案为：．
12．3
本题主要考查解二元一次方程组，将方程与联立求出的值，再代入方程求出的值即可．
解：由，
解得，
将代入得，
解得．
故答案为：3．
13．
本题主要考查的是一次函数的性质，最短路径问题，熟知利用轴对称求最短距离、两点之间线段最短是解答此题的关键．
作点A关于x轴的对称点D，连接，作点B关于直线的对称点E，连接，则，可得当点D，P，Q，E四点共线时，取最小值，最小值为的长，再求出直线的解析式，即可求解．
解：如图，作点A关于x轴的对称点D，连接，作点B关于直线的对称点E，连接，则，
∴，
即当点D，P，Q，E四点共线时，取最小值，最小值为的长，
∵、，
∴点，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点．
故答案为：
14． （任写一个即可） 7
本题主要考查了轴对称图形的性质，坐标与图形的变化，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键．
由不共线的，，P三点构成轴对称图形，则是等腰三角形，再根据两圆一中垂可解决问题．
解：依题意，由不共线的，，P三点构成轴对称图形，
是等腰三角形，
则以为圆心，为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的P点；
或以为圆心，为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的P点；
或为底边，作其垂直平分线，与网格顶点相交，即为满足条件的P点；
如图，共有符合要求的点P有7个．
其中点P坐标为，
故答案为：（任写一个即可）；7．
15．
本题考查了平面直角坐标系中点的规律，根据坐标点的变化找到变化规律是解答本题的关键．
根据正方形的性质，找到点的坐标，根据坐标变化规律，，，（为自然数），算出的坐标即可．
解：观察发现：，，，，
，，，，，，
，，，（为自然数），
，
∴．
故答案为：．
16．
本题考查了实数的运算，算术平方根和立方根，整式的加减运算，数轴的知识，解题的关键是得到，，．
利用数轴得到，，，再根据算术平方根的定义，绝对值的定义，立方根的定义化简，然后计算即可．
由图可知，，
∴，，，
∴
．
故答案为：．
17．(1)
(2)
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加减消元法．
（1）利用加减消元法直接求解方程组．
（2）先化简方程，消除分母和括号，得到标准二元一次方程组，再利用加减消元法求解．
（1）解：，
由得：，
解得：，
将代入②中，得，
解得：，
∴方程组的解为．
（2）解：，
先化简方程得：
将得：⑤，
由得：，
解得：，
将代入④中得，，
解得：，
∴方程组的解为．
18．(1)
(2)
(3)
(4)
本题考查二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）先进行二次根式乘法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）运用平方差公式直接计算；
（3）先算乘方，立方根和算术平方根，最后进行加减运算；
（4）先计算零指数幂，化简绝对值，计算算术平方根，再进行乘法运算，最后合并同类项．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
19．(1)
(2)甲当选团支部书记
本题考查了求平均数，加权平均数，条形统计图，熟练掌握平均数的计算方法是解题的关键．
（1）根据去掉一个最高分和一个最低分，再算平均分的方法确定平均数即可求得的值，根据总人数减去“好”与“一般”的票数求得的值；
（2）根据加权平均数分别计算甲乙的平均数即可求解．
（1）解：，
，
∴；
（2）解：甲民主得分：（分）；
乙民主得分：（分）；
甲综合得分：（分）；
乙综合得分：（分）；
∵，
∴甲当选团支部书记．
20．(1)720，80；
(2)
(3)或，
本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、时间、速度三者之间的关系，（3）要分相遇前与相遇后两种情况讨论，这也是本题容易出错的地方．
（1）由图象可知，甲、乙两地的距离为，再根据慢车走完全程用了9小时，即可求出慢车速度；
（2）先求出快车速度，再求出快车到达乙地时慢车离开乙地的距离，可得点，根据待定系数法即可求出解析式；
（3）分相遇前相距和相遇后相遇两种情况求解即可．
（1）解：由图象可知，甲、乙两地的距离为，
慢车走完全程用了9小时，
∴慢车的速度为
故答案为720，80；
（2）由图象可知，两车用了3.6小时相遇，
∴快车速度为：，
∴快车达到乙地时时间为（小时），
此时慢车离开乙地的路程为，即点，
设段的函数解析式为，把点，代入得：
，解得
∴．
（3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为．
即相遇前：，
解得，
相遇后：点，
慢车行驶两车之间的距离为，
慢车行驶需要的时间是，
，
故或，两车之间的距离为．
21．(1)
(2)，，，图见解析
(3)
本题考查了坐标与图形变化中旋转和轴对称，三角形的面积此题采用割补法，将三角形的面积转化为其他图形面积的和或差；关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，在直角坐标系中得到各点旋转或对称点的坐标，连接这些点，可得到所求作图形，此题中掌握图形旋转和轴对称变换的特点是解决问题的关键．
（1）的面积为所在长方形的面积减去其余三个三角形的面积．
（2）直接利用轴对称的性质得出对应点，关于轴的对称得到，关于轴的对称得到，关于轴的对称得到，连接三个点，画出图形即可得到；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据对称，可知，根据两点之间直线最短，得到最小值为，根据坐标系得到的坐标，完成求解．
（1）解：
答：的面积为．
（2）解：如图，即为所求．
点，，的坐标为，，．
（3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即为所求；
根据对称，可知，根据两点之间直线最短，得到最小值为，
由坐标系可知点的坐标为．
22．(1)2
(2)
(3)6
本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，熟知无理数的估算方法是解题的关键．
（1）根据无理数的估算法则求出的取值范围即可得到答案；
（2）根据无理数的估算法则求出的取值范围，则可求出a、b的值，再代值计算即可得到答案；
（3）求出的取值范围，则可求出x、y的值，再代值计算即可得到答案．
（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分为2；
（2）解：∵，
∴，
∴的整数部分为3，小数部分为，
∴，
∴；
（3）解：由（1）得，
∴，
∵，其中x是正整数，，
∴，
∴，
∴
．
23．(1)是，证明见解析
(2)见解析
本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握两个定理是解题的关键：
（1）勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理进行判断即可；
（2）根据勾股定理，结合完全平方公式即可得证．
（1）解：是，证明如下：
∵，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴；
∴是直角三角形；
（2）∵，
∴，
∵，，，
∴，，；
∵，
∴，
∴，
∴．
24．(1)，
(2)
(3)或
（）由题意可得当时，，即得，再根据线段的和差关系及勾股定理即可求解；
（）分三种情况：当点在上，点在上，点在上，根据三角形的面积公式列出函数表达式即可；
（）根据（）所得函数解析式解答即可；
本题考查了一次函数的几何应用，正确求出一次函数解析式是解题的关键．
（1）解：当时，点运动的路程为，
即，
∵，
∴，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：当点在上，即时，，
∴；
当点在上，即时，；
当点在上，即时，，
∴；
综上，；
（3）解：把代入，得，
∴；
把代入，得，
∴；
综上，当时，的值为或．(共5张PPT)
北师大版2024 八年级上册
八年级数学上册期末模拟试卷
试卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.94 二次根式有意义的条件
2 0.75 以直角三角形三边为边长的图形面积
3 0.75 求一个数的平方根；求一个数的立方根；求一个数的算术平方根
4 0.65 点到直线的距离；平行公理的应用；对顶角相等；判断命题真假
5 0.65 求一组数据的平均数；求方差
6 0.65 两直线的交点与二元一次方程组的解
7 0.65 根据一次函数解析式判断其经过的象限；一次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象平移问题；判断一次函数的增减性
8 0.65 有理数的乘方运算；坐标与图形变化——轴对称
9 0.64 求点到坐标轴的距离
10 0.64 用勾股定理解三角形；判断三边能否构成直角三角形
知识点分布
二、填空题 11 0.75 勾股树（数）问题
12 0.65 已知二元一次方程组的解的情况求参数
13 0.65 一次函数与几何综合；根据成轴对称图形的特征进行求解
14 0.65 坐标与图形变化——轴对称
15 0.65 点坐标规律探索
16 0.64 根据点在数轴的位置判断式子的正负；求一个数的算术平方根；求一个数的立方根；实数与数轴
知识点分布

三、解答题 17 0.75 加减消元法
18 0.74 实数的混合运算；二次根式的混合运算；求一个数的立方根；零指数幂
19 0.65 求一组数据的平均数；求加权平均数
20 0.65 从函数的图象获取信息；行程问题(一次函数的实际应用)
21 0.65 利用网格求三角形面积；根据成轴对称图形的特征进行求解；画轴对称图形；坐标与图形变化——轴对称
22 0.65 无理数整数部分的有关计算；实数的混合运算
23 0.64 用勾股定理解三角形；判断三边能否构成直角三角形
24 0.4 求一次函数解析式；一次函数与几何综合；用勾股定理解三角形

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