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专题复习 实际问题与二次函数
拱桥问题和运动中的抛物线
如图是二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.
y＝ax2
y＝ax2＋k
复习引入
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
y＝a(x＋h)2
y＝a(x＋h)2＋k
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？
建立函数模型
拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
知识要点
问题1 怎样建立直角坐标系比较简单呢？
利用二次函数解决实物抛物线形问题
探索求知
x
y
1
2
-1
-2
-1
-2
O
问题2 从图看出，这条抛物线的函数模型是什么？
由于顶点坐标是(0，0)，因此这个二次函数的形式为 y＝ax2.
探索求知
∴点A(2，－2)在抛物线上
x
y
1
2
-1
-2
-1
-2
O
A
解：设这个抛物线解析式为 y＝ax2.
∵水面宽4米时，拱顶离水面高2米
问题 抛物线解析式是什么？
问题 水面下降1m，水面宽度增加多少？
探索求知
当水面下降1m时，水面的纵坐标为－3.
∴水面下降1m时，水面宽度增加
x
y
1
2
-1
-2
-1
-2
O
A
把C(0，4)代入解析式
典例精析
例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12m，宽是4m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 表示．
(1)请写出该抛物线的函数关系式；
O
A
B
C
x
y
解：根据题意得C(0，4)
解得c＝4
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱高为6m，宽为4m，如果隧道 内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
∴这辆货车能安全通过.
∴对称轴为直线x＝6
由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2，0)或(10，0)
当x＝2或x＝10时，
典例精析
O
A
B
C
x
y
(2，0)
(10，0)
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
典例精析
O
A
B
C
x
y
解：当y＝8时，
∴两排灯的水平距离最小是
(1)喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？
(2)喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
∴x＝2时，喷嘴喷出水流的最大高度是y＝2.
解得 x1＝0,x2＝4.
∴喷嘴喷出水流的最远距离为4m．
利用二次函数解决运动中抛物线型问题
例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y(m)与喷出水流喷嘴的水平距离x(m)之间满足
O
y(米)
x(米)
典例精析
某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外？
变式训练
数学化
变式训练
x
y
A
O
B
C
(0，1.25)
(1，2.25)
把实际问题转化为数学问题后，怎样建立平面直角坐标系？
∴如果不计其他因素，那么水池的半径至少要 2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
∴抛物线表达式为：y＝－(x－1)2＋2.25.
变式训练
x
y
A
O
B
C
(0，1.25)
(1，2.25)
根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).
解：建立如图所示的坐标系.
设抛物线解析式为y＝a(x－1)2＋2.25，
抛物线经过点A(0，1.25)
∴1.25＝a(0－1)2＋2.25
解得 a＝－1
当y＝0时,
∴C的坐标为(2.5,0)
0＝－(x－1)2＋2.25
解得 x＝2.5
跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为15m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45m，他落地时的水平距离(即OA的长)为60m，求这名运动员起跳时的竖直高度(即OB的长)．
课堂练习
O
A
B
C
x
y
∴这名运动员起跳时的竖直高度为40米．
∴点B的坐标为(0，40)
O
A
B
C
x
y
课堂练习
∵抛物线与x轴交于点A(60，0)
解：根据题意得抛物线的顶点坐标为(15，45)
设抛物线的解析式为y＝a(x－15)2＋45.
∴0＝a(60－15)2＋45
悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m.
能力提升
O
y
x
-450
450
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角 坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
能力提升
O
y
x
-450
450
解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为(0，0.5)
设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋0.5.
∵抛物线经过点(450，81.5)
∴81.5＝a·4502＋0.5
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m，50m处垂直钢索的长.
当x＝450－100＝350时，得
当x＝450－50＝400时，得
能力提升
O
y
x
-450
450
（二次函数的图象和性质）
（实物中的抛物线形问题）
课堂小结
实际问题
数学模型
转化
回归

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