资源简介

(共35张PPT)
课时作业讲评
教学环节二
(教师批阅作业后,据情选点讲评)
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1.设函数f(x)=,则函数f的定义域为(　　)
A.(-∞,6] B.(-∞,3]
C.[3,+∞) D.[6,+∞)
解析:由题意得,8-2x≥0,解得x≤3,∴函数f满足≤3,解得x≤6,即函数f的定义域为(-∞,6].
发散拓展:复合函数f(g(x))的定义域 内层函数g(x)的值域 外层函数f(x)的定义域.
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2.[多选]设函数f(x)的定义域为D,如果对任意的x∈D,存在y∈D,使得f(x)=-f(y)成立,则称函数f(x)为“M函数”.下列为“M函数”的是 (　　)
A.f(x)=sin xcos x B.f(x)=ln x+ex
C.f(x)=2x D.f(x)=x2-2x
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解析:由题意,得“M函数”的值域关于原点对称.A中,f(x)=sin xcos x=sin 2x∈,其值域关于原点对称,故A是“M函数”;
B中,函数f(x)=ln x+ex的值域为R,故B是“M函数”;
C中,因为f(x)=2x>0,故C不是“M函数”;
D中,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,其值域不关于原点对称,故D不是“M函数”.
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3.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
解析:由题意得y=x(x-a)在区间(0,1)单调递减,所以x=≥1,解得a≥2.
发散拓展:函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
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4.(2024·湖南二模)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为 (　　)
A.f(x)=- B.f(x)=-
C.f(x)=- D.f(x)=-
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解析:由题图可知,函数图象对应的函数为偶函数,排除C;
由题图可知,函数的定义域不是实数集,故排除B;
由题图可知,当x→+∞时,y→-∞,而对于D,当x→+∞时,y→0,故排除D.
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5.(2024·湖北联盟模拟)已知函数f(x)=xlg(a≠b)为偶函数,若b>1,则a不可能为(　　)
A.-2 024 B.-2
C.- D.-1
解析:由题意得,函数f(x)=xlg为偶函数,y=x为奇函数,则g(x)=lg为奇函数,g(-x)=-g(x),即g(x)+g(-x)=0,lg+lg=0,即lg=0,∴=1,得a2=b2,∴a=-b或a=b(舍去).又b>1,∴a<-1.
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6.(2024·泸州三模)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)+f(4-x)=0,若函数f(x)与y=图象的交点横坐标分别为x1,x2,…,xn,则 xi= (　　)
A.4n B.2n
C.n D.0
解析:因为f(x)+f(4-x)=0,所以f(2+x)+f(2-x)=0,所以函数的图象关于(2,0)对称,又函数y=关于(2,0)对称,则y=f(x)与y=的交点应为偶数个,且关于(2,0)对称,所以 xi=4×=2n.
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7.(2024·浙江镇海中学期末)函数f(x)=+xcos x在[-2π,2π]上的图象大致为(　　)
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解析:f(-x)=+(-x)cos(-x)=-xcos x=-=-f(x),定义域关于原点对称,所以f(x)为奇函数,
(谨记:奇函数的图象关于原点对称)排除D.
当x=2π时,f(2π)=+2πcos 2π=2π>0,(巧解:运用特值法)排除B.
当x=时,f=+cos=>0,排除A.
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8.已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x都有f(x+2)=-f(x)成立,且函数f(x+1)为偶函数,f(1)=2,则f(1)+f(2)+…+f(2 024)= (　　)
A.-1 B.0
C.1 012 D.2 024
解析:由f(x+2)=-f(x) f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)的一个周期为4.由f(x+1)为偶函数可知f(x)关于x=1轴对称,即f(2)=f(0),又f(x+2)=-f(x)可知f(2)=-f(0),所以f(2)=f(0)=0.显然f(3)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+…+f(2 024)=×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0.
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9.(2024·柳州三模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对于任意不相等的x,y∈R,都有|f(x)-f(y)|<|x-y|.若函数g(x)-f(x)=x,则不等式g(2x-x2)+g(x-2)<0的解集是 (　　)
A.(-1,2) B.(1,2)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞)
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解析:∵g(x)-f(x)=x,∴g(x)=f(x)+x,由f(x)是定义在R上的奇函数,得f(x)+f(-x)=0,∴g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-g(x),故g(x)为奇函数.
∵对于任意不相等的x,y∈R,都有|f(x)-f(y)|<|x-y|,∴|[g(x)-x]-[g(y)-y]|<|x-y|,即<1,即<1,∴0<<2,
(易错提醒:若不注意g(x)-g(y)与x-y同号,则会扩大不等式范围)
∴g(x)单调递增.∵g(2x-x2)+g(x-2)<0,∴g(2x-x2)<-g(x-2)=g(2-x),∴2x-x2<2-x,解得x>2或x<1.
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10.[多选]已知定义在R上的函数f(x),满足对任意的实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)<1,则下列结论正确的是 (　　)
A.f(0)=1
B.f(1)+f(-1)=1
C.函数f(x)为减函数
D.函数y=f(x)的图象关于点(0,1)对称
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解析:令x=y=0,则有f(0)=f(0)+f(0)-1,故f(0)=1,故A正确;
令x=1,y=-1,则有f(0)=f(1)+f(-1)-1,故f(1)+f(-1)=2,故B错误;
令y>0,则有f(x+y)-f(x)=f(y)-1,其中x+y>x,f(y)-1<0,令x1=x+y,x2=x,即有对 x1,x2∈R,当x1>x2时,f(x1)-f(x2)<0恒成立,即函数f(x)为减函数,故C正确;
令y=-x,则有f(x-x)=f(x)+f(-x)-1,又f(0)=1,故f(x)+f(-x)=2,故函数y=f(x)的图象关于点(0,1)对称,故D正确.
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习得方法:对于含有x,y的抽象函数的解题思路一般为观察函数关系,发现可利用的点,以及利用证明了的条件或者选项;抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系,特别是有x,y双变量,需要双赋值,可以得到一个或多个关系式,进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值,这就需要观察题设条件以及选项来决定.
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11.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论一定正确的是 (　　)
A.f(10)>100 B.f(20)>1 000
C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000
解析:
审题破题:本题的解题关键是利用f(1)=1,f(2)=2及f(x)>f(x-1)+f(x-2),结合不等式同向可加性,不断递推即可.　
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因为当x<3时,f(x)=x,所以f(1)=1,f(2)=2.又f(x)>f(x-1)+f(x-2),则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89,故A不一定正确;
f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377,f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987,f(16)>f(15)+f(14)>1 597>1 000,所以f(20)>1 000,则B正确;
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设当x>3时,f(x)=100x,此时f(10)=10010>1 000,f(20)=10020>10 000,C、D错误.
发散拓展:从上面数据可以发现部分数字构成斐波那契数列(去掉第一项),1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,f(x)没有上界,故C、D错误.
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12.(2024·南通适应性考试)已知函数f(x)=则f=　　　　.
解析:f=sin=-sin=-,则f=f==.
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13.若f(x)为定义在R上的偶函数,且f(2x-3)为奇函数,f(2)=1,则f(3)+f(8)=　　　　.
解析:由题意知,函数f(x)为定义在R上的偶函数,且f(2x-3)为奇函数,令g(x)=f(2x-3),可得g(0)=f(-3)=f(3)=0.
因为f(2)=1,所以g=f(2)=1,g=f(-8)=f(8)=-1,
所以f(3)+f(8)=-1.
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14.函数f(x)=ax|x|的图象经过点(1,-1),则关于x的不等式9f(x)+f(4-x2)<0的解集为　　　　.
解析:由函数f(x)=ax|x|的图象经过点(1,-1),得a=-1,则f(x)=-x|x|=函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递减,则f(x)在R上单调递减.又f(-x)=x|-x|=x|x|=-f(x),即函数f(x)是奇函数.不等式9f(x)+f(4-x2)<0 f(3x)<-f(4-x2)=f(x2-4),则x2-4<3x,即x2-3x-4<0,解得-1(-1,4)
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15.定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x),且当x∈[0,1)时,f(x)=1-|2x-1|,当x∈时,y=f(x)的值域为(　　)
A. B.[0,1]
C. D.
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解析:由函数f(x)满足f(x+1)=f(x),且当x∈[0,1)时,f(x)=1-|2x-1|,当x∈[1,2)时,可得f(x)=f(x-1)=(1-|2x-3|);当x∈[2,3)时,可得f(x)=f(x-1)=(1-|2x-5|),…,所以在区间[n,n+1)(n∈Z)上,可得f(x)=[1-|2x-(2n+1)|],作函数y=f(x)的图象,
如图所示,所以当x∈时,f(x)∈[0,1].
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发散拓展:类周期函数
若y=f(x)满足:f(x+m)=kf(x)或f(x)=kf(x-m),则y=f(x)的横坐标每增加m个单位长度,函数值为之前的k倍,称此函数是周期为m的类周期函数.当k>1,m>0时的大致图象如图.
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16.(2024·韶关二模)[多选]已知定义在R上的函数f(x),g(x)的导函数分别为f'(x),g'(x),且f(x)=f(4-x),f(1+x)-g(x)=4,f'(x)+g'(1+x)=0,则下列结论正确的是 (　　)
A.g(x)关于直线x=1对称
B.g'(3)=1
C.f'(x)的周期为4
D.f'(n)·g'(n)=0(n∈Z)
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审题破题:本题主要考查函数的对称性和周期性,结合导数的运算,寻找关系式g(x)=g(2-x)、f'(2+x)-g'(1+x)=0和f'(2+x)+f'(x)=0是解题的关键,原函数与导函数的联系,对称性与周期性的联系,都是解题的思路.　
由f(x)=f(4-x),得f(1+x)=f(3-x)①,由f(1+x)-g(x)=4②,得f(3-x)-g(2-x)=4③,由①②③,得g(x)=g(2-x),所以函数g(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确;
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由g(x)=g(2-x),得g'(x)=-g'(2-x),令x=1,得g'(1)=0;由f(1+x)-g(x)=4,得f'(1+x)-g'(x)=0,令x=1,得f'(2)=g'(1)=0,所以f'(2+x)-g'(1+x)=0④,又f'(x)+g'(1+x)=0⑤,令x=2,得f'(2)=g'(3)=0,故B错误;
④⑤两式相加,得f'(2+x)+f'(x)=0,得f'(4+x)+f'(2+x)=0,所以f'(x)=f'(4+x),即函数f'(x)的周期为4,故C正确;
由f'(2+x)+f'(x)=0,令x=2,得f'(4)+f'(2)=0,所以f'(4)=0,所以f'(1)g'(1)=f'(2)g'(2)=f'(3)g'(3)=f'(4)g'(4)=…=f'(n)g'(n)=0(n∈Z),故D正确.
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解题结论:若函数f(x)是可导函数,且图象关于(m,n)对称,则其导函数f'(x)的图象关于x=m对称,若f(x)的图象关于x=m对称,则其导函数f'(x)的图象关于(m,0)对称.
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17.(2024·温州二模)[多选]已知定义在(0,1)上的函数f(x)=则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于x=对称 B.f(x)的图象关于对称
C.f(x)在(0,1)单调递增 D.f(x)没有最小值
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解析:若x=∈(0,1)是有理数,且m,n(m(巧思:反证法证明上面的结论.若m,n互质,n-m,n不互质,不妨设n-m=ka,n=kb,则m=k(b-a),n=kb.此时与假设矛盾,所以n-m,n也互质)
即f==f=f,若x为无理数,则1-x也为无理数,则f(x)=f(1-x)=1,所以f(x)的图象关于x=对称,故A正确;
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f=1,f=1,不满足f(x)的图象关于对称,故B错误;
f=,f=,不满足f(x)在(0,1)单调递增,故C错误;
若x为有理数,则f(x)=,显然n→+∞时,函数无最小值,故D正确.
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18.(2024·永州三模)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)+f(1-x)=1,
f(x)=2f,且对于0≤x1≤x2≤1,恒有f(x1)≤f(x2),则f=　　　.
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解析:由f(x)+f(1-x)=1可得f+f=1,∴f=,
∵f(x)=1-f(1-x)=1-2f=2f,∴f+f=,∴f(0)+f=.
又f(0)+f(1)=1,∴f(1)-f=,f(1)=+f=2f,∴f=.
∵对于0≤x1≤x2≤1,恒有f(x1)≤f(x2),∴当x∈时,f(x)=,而∈,∴f=f=f=f=.(共39张PPT)
函数的图象与性质
习题讲评（一）
函数的图象与性质是高考数学的必考内容.主要在选择题、填空题中呈现,在解答题中多作为解题工具出现.主要考查利用函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)比较大小、解不等式、求参数值、作图、识图等,单独考查某个性质时题目偏易,以多选题呈现且综合考查抽象函数性质时难度较大,本节知识可与数列、导数、新定义问题结合考查.
题点考法讲评
教学环节一
(每“教学点”学生先试作,教师再据情讲授)
CONTENTS
目录
1
2
教学点(一)　函数的图象及应用
教学点(二)　函数的性质及应用
函数的图象及应用
教学点（一）
[例1]　(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8,2.8]的图象大致为 (　　)
√
解析:由题知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=-(-x)2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,函数图象关于y轴对称,排除A、C;
f(1)=-1+sin 1>-1+sin=-1+->0,排除D.
[例2]　(2024·北京昌平二模)已知函数f(x)=若对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,0] B.[-4,0]
C.[-3,0] D.(-∞,2]
解析:因为f(x)=
令g(x)=|f(x)|,作出g(x)图象,如图所示,
√
令h(x)=ax,由图知,要使对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立,
则必有a≤0,当x≤0时,令y1=x2-4x,
由消y得到x2-(4+a)x=0,
由Δ=0,得到(4+a)2=0,即a=-4,由图可知-4≤a≤0.
[思维建模]　利用图象研究函数的主要思路
[练1]　(2024·济南模拟)函数f(x)=的图象大致为(　　)
即时训练
√
解析:依题意,函数f(x)=的定义域为{x∈R|x≠±1},f(-x)==-=-f(x),则f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,B不满足;
当x∈(0,1)时,ex-e-x>0,|1-x2|>0,则f(x)>0,A、D不满足,C满足.
[练2]　如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象,则该函数是 (　　)
A.y= B.y=
C.y= D.y=
√
解析:对于B,当x=1时,y=0,与图象不符,故排除B;
对于D,当x=3时,y=sin 3>0,与图象不符,故排除D;
对于C,当x>0时,y=≤=cos x≤1,与图象在y轴右侧最高点大于1不符,所以排除C.
[练3]　(2024·重庆模拟)已知函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,且f(x)=则不等式xf(x-1)<0在(-2,2)上的解集为(　　)
A.(-2,-1) B.(-2,-1)∪(0,1)
C.(-1,0)∪(0,1) D.(-1,0)∪(1,2)
解析:因为函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,且
f(x)=
√
所以当x∈(-1,0]时,f(x)=x;当x∈[-2,-1]时,-x∈[1,2],所以f(x)=-f(-x)=-(x+2)=-x-2;
当x∈[-3,-2]时,x+4∈[1,2],所以f(x)=f(x+4)=-(x+4)+2=-x-2,函数y=f(x-1)的图象可由函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到,作出函数y=f(x-1)在[-2,2]上的图象,如图所示.
由图可知不等式xf(x-1)<0在(-2,2)上的
解集为(-2,-1)∪(0,1).
函数的性质及应用
教学点（二）
题点一　函数的单调性与奇偶性
[例1]　已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),且对任意的x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,都有>2,f(1)=2 026,则满足不等式f(x-2 025)>2(x-1 013)的x的取值范围是(　　)
A.(2 026,+∞) B.(2 025,+∞)
C.(1 013,+∞) D.(1 012,+∞)
√
解析:由>2,得>0,即函数y=f(x)-2x在[0,+∞)上单调递增.又f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以y=f(x)-2x为奇函数,所以y=f(x)-2x在R上单调递增.由f(x-2 025)>2(x-1 013),f(1)=2 026,得f(x-2 025)-2(x-2 025)>f(1)-2,则x-2 025>1,解得x>2 026.
多元思维:本题判断函数的单调性也可通过“令0≤x12x2-2x1,即f(x2)-2x2>f(x1)-2x1”得到.
题点二　函数的奇偶性、对称性与周期性
[例2]　(多选)已知函数f(x)的定义域为R,函数F(x)=f(1+x)-(1+x)为偶函数,函数G(x)=f(2+3x)-1为奇函数,则(　　)
A.函数f(x)的一个对称中心为(2,1)
B.f(0)=-1
C.函数f(x)为周期函数,且一个周期为4
D.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=6
√
√
√
解析:由函数G(x)=f(2+3x)-1为奇函数,故f(2+3x)-1=-f(2-3x)+1,即f(2+3x)+f(2-3x)=2,即f(2+x)+f(2-x)=2,故函数f(x)的一个对称中心为(2,1),故A正确;
由f(2+x)+f(2-x)=2,令x=0,则f(2)+f(2)=2,即f(2)=1,由函数F(x)=f(1+x)-(1+x)为偶函数,故f(1+x)-(1+x)=f(1-x)-(1-x),即f(1+x)=f(1-x)+2x,令x=-1,则f(0)=f(2)-2=1-2=-1,故B正确;
由函数f(x)的一个对称中心为(2,1),f(0)=-1,则f(4)=3,即f(0)≠f(4),故函数f(x)不以4为周期,故C错误;
由f(2+x)+f(2-x)=2,令x=1,有f(3)+f(1)=2,由f(2)=1,f(4)=3,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=6,故D正确.
发散拓展:若f(x+a)+f(-x+b)=c,则函数f(x)关于 中心对称;若f(x+a)=f(-x+b),则函数f(x)关于 对称.
[例3]　(2024·苏锡常镇四市调研)[多选]已知定义在R上的函数f(x)在区间[-1,0]上单调递增,且满足f(4-x)=f(x),f(2-x)=-f(x),则 (　　)
A. f(k)=0 B.f(0.9)+f(1.2)<0
C.f(2.5)>f(log280) D.f(sin 1)解析:对于函数f(x)有f(4-x)=f(x),则函数f(x)关于直线x=2对称①.由f(2-x)=-f(x),则函数f(x)关于点(1,0)对称②,所以f(4-x)=-f(x-2),所以得f(x-2)=-f(-x),则f(4-x)=f(-x),故函数f(x)的周期为4,且f(-x)=f(x),故函数f(x)为偶函数,
√
√
√
因为函数f(x)在区间[-1,0]上单调递增,所以f(x)在[0,1]上单调递减③,则函数f(x)的大致图象如图,
由对称性可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,所以 f(k)=[f(1)+f(2)+f(3)
+f(4)]×2+f(9)+f(10)=0+f(1)+f(2)=f(2)≠0,故A不正确;
由于f(0.9)+f(1.1)=0,f(1.1)>f(1.2),所以f(0.9)+f(1.2)<0,故B正确;
又f(log280)=f(log216+log25)=f(4+log25)=f(log25),=log2=log2>log25>2,
所以f(2.5)>f(log280),故C正确;
f=f(-ln 2)=f(ln 2),且01>,所以sin>sin 1>sin=>0.7,故1>sin 1>ln 2>0,所以f(sin 1)巧用结论:本题应用的3个结论
①处,应用若函数f(x)满足f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称;
②处,应用若函数满足f(a+x)=-f(b-x) f(x)的图象关于点对称;
③处,应用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
[思维建模]　函数性质的应用策略
(1)奇偶性与单调性相结合,主要的作用是转化,把不在一个单调区间上的自变量利用奇偶性转化到同一个单调区间上去.
(2)奇偶性的本质就是对称性,奇偶性与对称性和周期性的结合,就是利用它们自己的关系,相互转化.
[练1]　已知函数f(x)=在R上具有单调性,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(1,]
C.(1,) D.(1,3)
√
即时训练
解析:根据题意,当x≤时,f(x)=-=,可得f(x)在上单调递增,要使得函数f(x)=
在R上具有单调性,则满足a>1,且loga-1≥-,
(注意:不要忽视分界点处函数值大小的比较)
解得1[练2]　(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a为常数),当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a= (　　)
A.-1 B.
C.1 D.2
√
解析:　
思维路径:[法一]　令F(x)=ax2+a-1,G(x)=cos x,分析可知曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上,即可得a=2,并代入检验即可.
[法二]　令h(x)=f(x)-g(x),x∈(-1,1),可知h(x)为偶函数,根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0,即可得a=2,并代入检验即可.
法一:令f(x)=g(x),即a(x+1)2-1=cos x+2ax,可得ax2+a-1=cos x.
令F(x)=ax2+a-1,G(x)=cos x,原题意等价于当x∈(-1,1)时,曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,注意到F(x),G(x)均为偶函数,可知该交点只能在y轴上,可得F(0)=G(0),即a-1=1,解得a=2,
若a=2,令F(x)=G(x),可得2x2+1-cos x=0.
因为x∈(-1,1),则2x2≥0,1-cos x≥0,当且仅当x=0时,等号成立,可得2x2+1-cos x≥0,当且仅当x=0时,等号成立,(注意:不要忽略对a=2的检验)
法二:令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x,x∈(-1,1),原题意等价于h(x)有且仅有一个零点,
因为h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cos x=h(x),则h(x)为偶函数,
根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0,
即h(0)=a-2=0,解得a=2.
若a=2,则h(x)=2x2+1-cos x,x∈(-1,1),
又因为2x2≥0,1-cos x≥0,当且仅当x=0时,等号成立,可得h(x)≥0,当且仅当x=0时,等号成立,
即h(x)有且仅有一个零点0,所以a=2符合题意.
则方程2x2+1-cos x=0有且仅有一个实根0,即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,所以a=2符合题意.综上所述,a=2.
法二:令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x,x∈(-1,1),原题意等价于h(x)有且仅有一个零点,
因为h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cos x=h(x),则h(x)为偶函数,
根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0,
即h(0)=a-2=0,解得a=2.
若a=2,则h(x)=2x2+1-cos x,x∈(-1,1),
又因为2x2≥0,1-cos x≥0,当且仅当x=0时,等号成立,可得h(x)≥0,当且仅当x=0时,等号成立,
即h(x)有且仅有一个零点0,所以a=2符合题意.
[练3]　(多选)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均,(=(x),若f(3+2x)为偶函数,g(1+x)为奇函数,则下列结论正确的是 (　　)
A.g(x)的图象关于直线x=1对称 B.g(x)的图象关于点(3,0)对称
C. f(i)=1 D.g(2 023)=0
解析:因为g(1+x)为奇函数,所以g(1+x)=-g(1-x),即g(1+x)+g(1-x)=0,所以g(x)的图象关于(1,0)中心对称,故A错误;
√
√
因为f(3+2x)为偶函数,所以f(3+2x)=f(3-2x),所以2f'(3+2x)=-2f'(3-2x),则2g(3+2x)=-2g(3-2x),即g(3+2x)+g(3-2x)=0,则g(3+x)+g(3-x)=0,所以g(x)的图象关于(3,0)中心对称,故B正确;
由g(1+x)=-g(1-x),g(1)=0,知g(x+2)=-g(-x).又g(3+x)+g(3-x)=0,g(3)=0,所以g(-x)=-g(6+x),所以g(x+2)=g(x+6),即g(x)=g(x+4),所以g(x)为周期是4的函数,即g(2 023)=g(505×4+3)=g(3)=0,故D正确;
由题意及上述分析知g(x)是以4为周期的函数,且g(1)=0,g(3)=0,不妨设f'(x)=g(x)=cosx,所以f(x)=sinx,周期均为4且f(1)=,f(2)=0,f(3)=-,f(4)=0,所以 f(i)=506×=0,故C错误.
习得方法:本题选项C,应用构造函数法求解,节省了解题时间,即解决抽象函数问题时,可根据题设条件,构造满足题意的特殊函数模型,以达到帮助寻找解题思路的目的,特别是一些选择题,有时候可以达到“秒杀”的效果.
知识拓展:
(1)若f(x+a)为偶函数,则函数f(x)为轴对称图形,对称轴为x=a.
(2)若f(x+b)为奇函数,则函数f(x)为中心对称图形,对称中心为(b,0).
(3)若f(x)的图象有两条对称轴x=a,x=b(a≠b),则f(x)为周期函数,周期为T=2|a-b|.
(4)若f(x)的图象有两个对称中心(a,0),(b,0)(a≠b),则f(x)为周期函数,周期为T=2|a-b|.
(5)若f(x)的图象关于x=a成轴对称,同时关于(b,0)成中心对称,则f(x)为周期函数,周期为T=4|a-b|.板块一　函数与导数
二轮学前预备·激活基本知能
一、由知识联系探析命题趋向
二、由核心纲要激活内存知识
1.函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质,所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域.
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数).
(2)①周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
②最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
2.函数单调性和奇偶性的重要结论
(1)当f(x),g(x)同为增(减)函数时,f(x)+g(x)为增(减)函数.
(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.
(3)f(x)为奇函数 f(x)的图象关于原点对称;f(x)为偶函数 f(x)的图象关于y轴对称.
(4)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)是偶函数,奇函数的和、差是奇函数,积、商(分母不为零)是偶函数,奇函数与偶函数的积、商(分母不为零)是奇函数.
(5)定义在(-∞,+∞)上的奇函数的图象必过原点,即有f(0)=0.存在既是奇函数,又是偶函数的函数f(x)=0.
(6)f(x)+f(-x)=0 f(x)为奇函数;f(x)-f(-x)=0 f(x)为偶函数.
3.函数的周期性的重要结论
(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2|a|.
(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2|a|.
(3)若f(x+a)=,其中f(x)≠0,则函数的周期为2|a|.
(4)若f(x+a)+f(x)=c,则函数的周期为2|a|.
4.函数的对称性的重要结论
(1)f(a-x)=f(a+x) f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)f(a+x)=f(b-x) f(x)的图象关于直线x=对称.
(3)f(a+x)=2b-f(a-x) f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称.
5.函数图象平移变换的相关结论
(1)把y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|c|个单位长度(c>0时向左平移,c<0时向右平移)得到函数y=f(x+c)的图象(c为常数).
(2)把y=f(x)的图象沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度(b>0时向上平移,b<0时向下平移)得到函数y=f(x)+b的图象(b为常数).
6.函数图象伸缩变换的相关结论
(1)把y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(00)的图象.
(2)把y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长(01)到原来的,而纵坐标不变,得到函数y=f(bx)(b>0)的图象.
7.抽象函数的性质与特殊函数模型的对照表
抽象函数的性质 特殊函数模型
(1)f(x)f(y)=f(x+y)(x,y∈R), (2)=f(x-y)(x,y∈R,f(y)≠0) 指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)
(1)f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0), (2)f=f(x)-f(y)(x>0,y>0) 对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1)
(1)f(xy)=f(x)f(y)(x,y∈R), (2)f=(x,y∈R,y≠0,f(y)≠0) 幂函数f(x)=xn
f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y) 三角函数f(x)=sin x,g(x)=cos x
8.函数零点
(1)函数零点的定义:对于一般函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)函数零点存在定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
9.指数函数与对数函数的基本性质
(1)过定点:y=ax(a>0,且a≠1)恒过点(0,1),y=logax(a>0,且a≠1)恒过点(1,0).
(2)单调性:当a>1时,y=ax在R上是增函数;y=logax在(0,+∞)上是增函数;当010.函数的单调性、极值及最值
(1)函数的单调性与导数的关系:在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增;在某个区间(a,b)内,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减;如果恒有f'(x)=0,那么f(x)在区间(a,b)上是常数函数.
(2)函数的极值:
①函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
②函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
③极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.
(3)函数的最大(小)值:
①函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
②求y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
习题讲评(一)　函数的图象与性质
函数的图象与性质是高考数学的必考内容.主要在选择题、填空题中呈现,在解答题中多作为解题工具出现.主要考查利用函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)比较大小、解不等式、求参数值、作图、识图等,单独考查某个性质时题目偏易,以多选题呈现且综合考查抽象函数性质时难度较大,本节知识可与数列、导数、新定义问题结合考查.
教学环节一　题点考法讲评(每“教学点”学生先试作,教师再据情讲授)
教学点(一)　函数的图象及应用 [例1]　(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8,2.8]的图象大致为 (　　) [例2]　(2024·北京昌平二模)已知函数f(x)=若对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,0] B.[-4,0] C.[-3,0] D.(-∞,2] [练1]　(2024·济南模拟)函数f(x)=的图象大致为 (　　) [练2]　如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象,则该函数是 (　　) A.y= B.y= C.y= D.y= [练3]　(2024·重庆模拟)已知函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,且f(x)=则不等式xf(x-1)<0在(-2,2)上的解集为 (　　) A.(-2,-1) B.(-2,-1)∪(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-1,0)∪(1,2) [自助空间] 思维建模:利用图象研究函数的主要思路 [例2]　发散拓展: 当不等式问题不能用代数法求解, 但与函数有关时,常把不等式关系 转化为两个函数图象的上、下关系 求解.
教学点(二)　函数的性质及应用
题点一　函数的单调性与奇偶性 [例1]　已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),且对任意的x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,都有>2,f(1)=2 026,则满足不等式f(x-2 025)>2(x-1 013)的x的取值范围是 (　　) A.(2 026,+∞) B.(2 025,+∞) C.(1 013,+∞) D.(1 012,+∞) 题点二　函数的奇偶性、对称性与周期性 [例2]　(多选)已知函数f(x)的定义域为R,函数F(x)=f(1+x)-(1+x)为偶函数,函数G(x)=f(2+3x)-1为奇函数,则 (　　) A.函数f(x)的一个对称中心为(2,1) B.f(0)=-1 C.函数f(x)为周期函数,且一个周期为4 D.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=6 [例3]　(2024·苏锡常镇四市调研)[多选]已知定义在R上的函数f(x)在区间[-1,0]上单调递增,且满足f(4-x)=f(x),f(2-x)=-f(x),则 (　　) A. f(k)=0 B.f(0.9)+f(1.2)<0 C.f(2.5)>f(log280) D.f(sin 1)教学环节二　课时作业讲评(教师批阅作业后,据情选点讲评)
1.设函数f(x)=,则函数f的定义域为 (　　) A.(-∞,6] B.(-∞,3] C.[3,+∞) D.[6,+∞) 2.[多选]设函数f(x)的定义域为D,如果对任意的x∈D,存在y∈D,使得f(x)=-f(y)成立,则称函数f(x)为“M函数”.下列为“M函数”的是 (　　) A.f(x)=sin xcos x B.f(x)=ln x+ex C.f(x)=2x D.f(x)=x2-2x 3.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 4.(2024·湖南二模)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为 (　　) A.f(x)=-　 B.f(x)=- C.f(x)=- D.f(x)=- 5.(2024·湖北联盟模拟)已知函数f(x)=xlg(a≠b)为偶函数,若b>1,则a不可能为 (　　) A.-2 024 B.-2 C.- D.-1 [自助空间] 第1题　发散拓展: 复合函数f(g(x))的定义域 内层函数g(x)的值域 外层函数f(x)的定义域. 第3题　发散拓展: 函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
6.(2024·泸州三模)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)+f(4-x)=0,若函数f(x)与y=图象的交点横坐标分别为x1,x2,…,xn,则xi= (　　) A.4n B.2n C.n D.0 7.(2024·浙江镇海中学期末)函数f(x)=+xcos x在[-2π,2π]上的图象大致为 (　　) 8.已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x都有f(x+2)=-f(x)成立,且函数f(x+1)为偶函数,f(1)=2,则f(1)+f(2)+…+f(2 024)= (　　) A.-1 B.0 C.1 012 D.2 024 9.(2024·柳州三模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对于任意不相等的x,y∈R,都有|f(x)-f(y)|<|x-y|.若函数g(x)-f(x)=x,则不等式g(2x-x2)+g(x-2)<0的解集是 (　　) A.(-1,2) B.(1,2) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞) 10.[多选]已知定义在R上的函数f(x),满足对任意的实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)<1,则下列结论正确的是 (　　) A.f(0)=1 B.f(1)+f(-1)=1 C.函数f(x)为减函数 D.函数y=f(x)的图象关于点(0,1)对称 11.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论一定正确的是 (　　) A.f(10)>100 B.f(20)>1 000 C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000 12.(2024·南通适应性考试)已知函数f(x)=则f=　　　　. 13.若f(x)为定义在R上的偶函数,且f(2x-3)为奇函数,f(2)=1,则f(3)+f(8)=　　　　. 14.函数f(x)=ax|x|的图象经过点(1,-1),则关于x的不等式9f(x)+f(4-x2)<0的解集为　　　　. 15.定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x),且当x∈[0,1)时,f(x)=1-|2x-1|,当x∈时,y=f(x)的值域为 (　　) A. B.[0,1] C. D. 16.(2024·韶关二模)[多选]已知定义在R上的函数f(x),g(x)的导函数分别为f'(x),g'(x),且f(x)=f(4-x),f(1+x)-g(x)=4,f'(x)+g'(1+x)=0,则下列结论正确的是 (　　) A.g(x)关于直线x=1对称 B.g'(3)=1 C.f'(x)的周期为4 D.f'(n)·g'(n)=0(n∈Z) 17.(2024·温州二模)[多选]已知定义在(0,1)上的函数f(x)=则下列结论正确的是 (　　) A.f(x)的图象关于x=对称 B.f(x)的图象关于对称 C.f(x)在(0,1)单调递增 D.f(x)没有最小值 18.(2024·永州三模)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)+f(1-x)=1,f(x)=2f,且对于0≤x1≤x2≤1,恒有f(x1)≤f(x2),则f=　　　　. 第7题　发散拓展: 取特值法就是通过取符合条件的特例,如特殊自变量、特殊函数值、特殊函数、特殊点、特殊图形、特殊位置、特殊数列等来检验各选项,从而直接得到正确选项或排除干扰项的方法.这是一种不完全解题的方法,能够大大加快解题速度. 第10题　习得方法: 对于含有x,y的抽象函数的解题思路一般为观察函数关系,发现可利用的点,以及利用证明了的条件或者选项;抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系,特别是有x,y双变量,需要双赋值,可以得到一个或多个关系式,进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值,这就需要观察题设条件以及选项来决定. 第15题　发散拓展:类周期函数 若y=f(x)满足:f(x+m)=kf(x)或f(x)=kf(x-m),则y=f(x)的横坐标每增加m个单位长度,函数值为之前的k倍,称此函数是周期为m的类周期函数.当k>1,m>0时的大致图象如图. 第16题　解题结论: 若函数f(x)是可导函数,且图象关于(m,n)对称,则其导函数f'(x)的图象关于x=m对称,若f(x)的图象关于x=m对称,则其导函数f'(x)的图象关于(m,0)对称
习题讲评(一)　函数的图象与性质
教学环节一　题点考法讲评
教学点(一)　函数的图象及应用
[例1]　选B
由题知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=-(-x)2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,函数图象关于y轴对称,排除A、C;f(1)=-1+sin 1>-1+sin=-1+->0,排除D.
[例2]　选B
因为f(x)=令g(x)=|f(x)|,作出g(x)图象,如图所示,令h(x)=ax,由图知,
要使对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立,则必有a≤0,当x≤0时,令y1=x2-4x,由消y得到x2-(4+a)x=0,由Δ=0,得到(4+a)2=0,即a=-4,由图可知-4≤a≤0.
[练1]　选C
依题意,函数f(x)=的定义域为{x∈R|x≠±1},f(-x)==-=-f(x),则f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,B不满足;当x∈(0,1)时,ex-e-x>0,|1-x2|>0,则f(x)>0,A、D不满足,C满足.
[练2]　选A　
对于B,当x=1时,y=0,与图象不符,故排除B;对于D,当x=3时,y=sin 3>0,与图象不符,故排除D;对于C,当x>0时,y=≤=cos x≤1,与图象在y轴右侧最高点大于1不符,所以排除C.
[练3]　选B
因为函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,且f(x)=所以当x∈(-1,0]时,f(x)=x;当x∈[-2,-1]时,-x∈[1,2],所以f(x)=-f(-x)=-(x+2)=-x-2;
当x∈[-3,-2]时,x+4∈[1,2],所以f(x)=f(x+4)=-(x+4)+2=-x-2,函数y=f(x-1)的图象可由函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到,作出函数y=f(x-1)在[-2,2]上的图象,如图所示.由图可知不等式xf(x-1)<0在(-2,2)上的解集为(-2,-1)∪(0,1).
教学点(二)　函数的性质及应用
[例1]　选A
由>2,得>0,即函数y=f(x)-2x在[0,+∞)上单调递增.又f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以y=f(x)-2x为奇函数,所以y=f(x)-2x在R上单调递增.由f(x-2 025)>2(x-1 013),f(1)=2 026,得f(x-2 025)-2(x-2 025)>f(1)-2,则x-2 025>1,解得x>2 026.
多元思维:本题判断函数的单调性也可通过“令0≤x12x2-2x1,即f(x2)-2x2>f(x1)-2x1”得到.
[例2]　选ABD　
由函数G(x)=f(2+3x)-1为奇函数,故f(2+3x)-1=-f(2-3x)+1,即f(2+3x)+f(2-3x)=2,即f(2+x)+f(2-x)=2,故函数f(x)的一个对称中心为(2,1),故A正确;
由f(2+x)+f(2-x)=2,令x=0,则f(2)+f(2)=2,即f(2)=1,由函数F(x)=f(1+x)-(1+x)为偶函数,故f(1+x)-(1+x)=f(1-x)-(1-x),即f(1+x)=f(1-x)+2x,令x=-1,则f(0)=f(2)-2=1-2=-1,故B正确;
由函数f(x)的一个对称中心为(2,1),f(0)=-1,则f(4)=3,即f(0)≠f(4),故函数f(x)不以4为周期,故C错误;
由f(2+x)+f(2-x)=2,令x=1,有f(3)+f(1)=2,由f(2)=1,f(4)=3,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=6,故D正确.
[例3]　选BCD
对于函数f(x)有f(4-x)=f(x),则函数f(x)关于直线x=2对称①.由f(2-x)=-f(x),则函数f(x)关于点(1,0)对称②,所以f(4-x)=-f(x-2),所以得f(x-2)=-f(-x),则f(4-x)=f(-x),故函数f(x)的周期为4,且f(-x)=f(x),故函数f(x)为偶函数,因为函数f(x)在区间[-1,0]上单调递增,所以f(x)在[0，1]上单调递减③,则函数f(x)的大致图象如图,
由对称性可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,所以f(k)=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×2+f(9)+f(10)=0+f(1)+f(2)=f(2)≠0,故A不正确;
由于f(0.9)+f(1.1)=0,f(1.1)>f(1.2),所以f(0.9)+f(1.2)<0,故B正确;
又f(log280)=f(log216+log25)=f(4+log25)=f(log25),=log2=log2>log25>2,所以f(2.5)>f(log280),故C正确;
f=f(-ln 2)=f(ln 2),且01>,所以sin>sin 1>sin=>0.7,故1>sin 1>ln 2>0,所以f(sin 1)巧用结论:本题应用的3个结论
①处,应用若函数f(x)满足f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称;
②处,应用若函数满足f(a+x)=-f(b-x) f(x)的图象关于点对称;
③处,应用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
[练1]　选B
根据题意,当x≤时,f(x)=-=,可得f(x)在上单调递增,要使得函数f(x)=在R上具有单调性,则满足a>1,且loga-1≥-,
(注意:不要忽视分界点处函数值大小的比较)
解得1[练2]　选D　
思维路径:[法一]　令F(x)=ax2+a-1,G(x)=cos x,分析可知曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上,即可得a=2,并代入检验即可.
[法二]　令h(x)=f(x)-g(x),x∈(-1,1),可知h(x)为偶函数,根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0,即可得a=2,并代入检验即可.
法一:令f(x)=g(x),即a(x+1)2-1=cos x+2ax,可得ax2+a-1=cos x.
令F(x)=ax2+a-1,G(x)=cos x,原题意等价于当x∈(-1,1)时,曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,注意到F(x),G(x)均为偶函数,可知该交点只能在y轴上,可得F(0)=G(0),即a-1=1,解得a=2,
若a=2,令F(x)=G(x),可得2x2+1-cos x=0.
因为x∈(-1,1),则2x2≥0,1-cos x≥0,当且仅当x=0时,等号成立,可得2x2+1-cos x≥0,当且仅当x=0时,等号成立,
(注意:不要忽略对a=2的检验)
则方程2x2+1-cos x=0有且仅有一个实根0,即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,所以a=2符合题意.综上所述,a=2.
法二:令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x,x∈(-1,1),原题意等价于h(x)有且仅有一个零点,
因为h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cos x=h(x),则h(x)为偶函数,
根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0,
即h(0)=a-2=0,解得a=2.
若a=2,则h(x)=2x2+1-cos x,x∈(-1,1),
又因为2x2≥0,1-cos x≥0,当且仅当x=0时,等号成立,可得h(x)≥0,当且仅当x=0时,等号成立,
即h(x)有且仅有一个零点0,所以a=2符合题意.
[练3]　选BD
因为g(1+x)为奇函数,所以g(1+x)=-g(1-x),即g(1+x)+g(1-x)=0,所以g(x)的图象关于(1,0)中心对称,故A错误;
因为f(3+2x)为偶函数,所以f(3+2x)=f(3-2x),所以2f'(3+2x)=-2f'(3-2x),则2g(3+2x)=-2g(3-2x),即g(3+2x)+g(3-2x)=0,则g(3+x)+g(3-x)=0,所以g(x)的图象关于(3,0)中心对称,故B正确;
由g(1+x)=-g(1-x),g(1)=0,知g(x+2)=-g(-x).又g(3+x)+g(3-x)=0,g(3)=0,所以g(-x)=-g(6+x),所以g(x+2)=g(x+6),即g(x)=g(x+4),所以g(x)为周期是4的函数,即g(2 023)=g(505×4+3)=g(3)=0,故D正确;
由题意及上述分析知g(x)是以4为周期的函数,且g(1)=0,g(3)=0,不妨设f'(x)=g(x)=cosx,所以f(x)=sinx,周期均为4且f(1)=,f(2)=0,f(3)=-,f(4)=0,所以f(i)=506×=0,故C错误.
习得方法:本题选项C,应用构造函数法求解,节省了解题时间,即解决抽象函数问题时,可根据题设条件,构造满足题意的特殊函数模型,以达到帮助寻找解题思路的目的,特别是一些选择题,有时候可以达到“秒杀”的效果.
教学环节二　课时作业讲评
1.选A
由题意得,8-2x≥0,解得x≤3,∴函数f满足≤3,解得x≤6,即函数f的定义域为(-∞,6].
2.选AB
由题意,得“M函数”的值域关于原点对称.A中,f(x)=sin xcos x=sin 2x∈,其值域关于原点对称,故A是“M函数”;B中,函数f(x)=ln x+ex的值域为R,故B是“M函数”;C中,因为f(x)=2x>0,故C不是“M函数”;D中,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,其值域不关于原点对称,故D不是“M函数”.
3.选D　
由题意得y=x(x-a)在区间(0,1)单调递减,所以x=≥1,解得a≥2.
4.选A
由题图可知,函数图象对应的函数为偶函数,排除C;由题图可知,函数的定义域不是实数集,故排除B;由题图可知,当x→+∞时,y→-∞,而对于D,当x→+∞时,y→0,故排除D.
5.选D
由题意得,函数f(x)=xlg为偶函数,y=x为奇函数,则g(x)=lg为奇函数,g(-x)=-g(x),即g(x)+g(-x)=0,lg+lg=0,即lg=0,∴=1,得a2=b2,∴a=-b或a=b(舍去).又b>1,∴a<-1.
6.选B
因为f(x)+f(4-x)=0,所以f(2+x)+f(2-x)=0,所以函数的图象关于(2,0)对称,又函数y=关于(2,0)对称,则y=f(x)与y=的交点应为偶数个,且关于(2,0)对称,所以xi=4×=2n.
7.选C
f(-x)=+(-x)cos(-x)=-xcos x=-=-f(x),定义域关于原点对称,所以f(x)为奇函数,(谨记:奇函数的图象关于原点对称)排除D.
当x=2π时,f(2π)=+2πcos 2π=2π>0,(巧解:运用特值法)排除B.当x=时,f=+cos=>0,排除A.
8.选B
由f(x+2)=-f(x) f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)的一个周期为4.由f(x+1)为偶函数可知f(x)关于x=1轴对称,即f(2)=f(0),又f(x+2)=-f(x)可知f(2)=-f(0),所以f(2)=f(0)=0.显然f(3)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+…+f(2 024)=×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0.
9.选D
∵g(x)-f(x)=x,∴g(x)=f(x)+x,由f(x)是定义在R上的奇函数,得f(x)+f(-x)=0,∴g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-g(x),故g(x)为奇函数.
∵对于任意不相等的x,y∈R,都有|f(x)-f(y)|<|x-y|,∴|[g(x)-x]-[g(y)-y]|<|x-y|,
即<1,即<1,
∴0<<2,
(易错提醒:若不注意g(x)-g(y)与x-y同号,则会扩大不等式范围)
∴g(x)单调递增.∵g(2x-x2)+g(x-2)<0,∴g(2x-x2)<-g(x-2)=g(2-x),∴2x-x2<2-x,解得x>2或x<1.
10.选ACD
令x=y=0,则有f(0)=f(0)+f(0)-1,故f(0)=1,故A正确;
令x=1,y=-1,则有f(0)=f(1)+f(-1)-1,故f(1)+f(-1)=2,故B错误;
令y>0,则有f(x+y)-f(x)=f(y)-1,其中x+y>x,f(y)-1<0,令x1=x+y,x2=x,即有对 x1,x2∈R,当x1>x2时,f(x1)-f(x2)<0恒成立,即函数f(x)为减函数,故C正确;
令y=-x,则有f(x-x)=f(x)+f(-x)-1,又f(0)=1,故f(x)+f(-x)=2,故函数y=f(x)的图象关于点(0,1)对称,故D正确.
11.选B
审题破题:本题的解题关键是利用f(1)=1,f(2)=2及f(x)>f(x-1)+f(x-2),结合不等式同向可加性,不断递推即可.
因为当x<3时,f(x)=x,所以f(1)=1,f(2)=2.又f(x)>f(x-1)+f(x-2),则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89,故A不一定正确;
f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377,f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987,f(16)>f(15)+f(14)>1 597>1 000,所以f(20)>1 000,则B正确;
设当x>3时,f(x)=100x,此时f(10)=10010>1 000,f(20)=10020>10 000,C、D错误.
发散拓展:从上面数据可以发现部分数字构成斐波那契数列(去掉第一项),1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,f(x)没有上界,故C、D错误.
12.答案:
解析:f=sin=-sin=-,则f=f==.
13.答案:-1
解析:由题意知,函数f(x)为定义在R上的偶函数,且f(2x-3)为奇函数,令g(x)=f(2x-3),可得g(0)=f(-3)=f(3)=0.因为f(2)=1,所以g=f(2)=1,g=f(-8)=f(8)=-1,所以f(3)+f(8)=-1.
14.答案:(-1,4)
解析:由函数f(x)=ax|x|的图象经过点(1,-1),得a=-1,则f(x)=-x|x|=函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递减,则f(x)在R上单调递减.又f(-x)=x|-x|=x|x|=-f(x),即函数f(x)是奇函数.不等式9f(x)+f(4-x2)<0 f(3x)<-f(4-x2)=f(x2-4),则x2-4<3x,即x2-3x-4<0,解得-115.选B
由函数f(x)满足f(x+1)=f(x),且当x∈[0,1)时,f(x)=1-|2x-1|,当x∈[1,2)时,可得f(x)=f(x-1)=(1-|2x-3|);当x∈[2,3)时,可得f(x)=f(x-1)=(1-|2x-5|),…,所以在区间[n,n+1)(n∈Z)上,可得f(x)=[1-|2x-(2n+1)|],
作函数y=f(x)的图象,如图所示,所以当x∈时,f(x)∈[0,1].
16.选ACD
审题破题:本题主要考查函数的对称性和周期性,结合导数的运算,寻找关系式g(x)=g(2-x)、f'(2+x)-g'(1+x)=0和f'(2+x)+f'(x)=0是解题的关键,原函数与导函数的联系,对称性与周期性的联系,都是解题的思路.
由f(x)=f(4-x),得f(1+x)=f(3-x)①,由f(1+x)-g(x)=4②,得f(3-x)-g(2-x)=4③,由①②③,得g(x)=g(2-x),所以函数g(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确;
由g(x)=g(2-x),得g'(x)=-g'(2-x),令x=1,得g'(1)=0;由f(1+x)-g(x)=4,得f'(1+x)-g'(x)=0,令x=1,得f'(2)=g'(1)=0,所以f'(2+x)-g'(1+x)=0④,又f'(x)+g'(1+x)=0⑤,令x=2,得f'(2)=g'(3)=0,故B错误;
④⑤两式相加,得f'(2+x)+f'(x)=0,得f'(4+x)+f'(2+x)=0,所以f'(x)=f'(4+x),即函数f'(x)的周期为4,故C正确;
由f'(2+x)+f'(x)=0,令x=2,得f'(4)+f'(2)=0,所以f'(4)=0,所以f'(1)g'(1)=f'(2)g'(2)=f'(3)g'(3)=f'(4)g'(4)=…=f'(n)g'(n)=0(n∈Z),故D正确.
17.选AD
若x=∈(0,1)是有理数,且m,n(m(巧思:反证法证明上面的结论.若m,n互质,n-m,n不互质,不妨设n-m=ka,n=kb,则m=k(b-a),n=kb.此时与假设矛盾,所以n-m,n也互质)即f==f=f,若x为无理数,则1-x也为无理数,则f(x)=f(1-x)=1,所以f(x)的图象关于x=对称,故A正确;
f=1,f=1,不满足f(x)的图象关于对称,故B错误;
f=,f=,不满足f(x)在(0,1)单调递增,故C错误;
若x为有理数,则f(x)=,显然n→+∞时,函数无最小值,故D正确.
18.答案:
解析:由f(x)+f(1-x)=1可得f+f=1,
∴f=,
∵f(x)=1-f(1-x)=1-2f=2f,
∴f+f=,∴f(0)+f=.
又f(0)+f(1)=1,
∴f(1)-f=,f(1)=+f=2f,
∴f=.
∵对于0≤x1≤x2≤1,恒有f(x1)≤f(x2),
∴当x∈时,f(x)=,而∈,
∴f=f=f=f=.

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