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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第一章 数与式
1.1 实数
1．实数由有理数和无理数组成。
2．理解负数的意义。
3．能用数轴上的点表示实数；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。
4．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根；了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。
5．了解近似数，会按问题的要求进行简单的近似计算。
6．会用科学记数法表示数。
7．掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算；能运用有理数的运算解决简单问题。
8．能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小，能用有理数估计一个无理数的大致范围。
1．实数的概念及分类
（1）有理数和无理数统称实数．
（2）实数
2．实数的相关概念
（1）数轴的三要素为原点、正方向和单位长度，数轴上的点与实数构成一一对应．
（2）实数a的相反数为-a，若，互为相反数，则=0．
（3）非零实数的倒数为,若，互为倒数，则 =1．
（4）绝对值：．
3．有理数的运算
（1）有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数．
（3）有理数乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘都得0；
②几个不等于0的数相乘，积的符号由负数的个数决定．当个数为奇数时，积为负，当个数为偶数，积为正；
③几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）有理数除法法则：
①除以一个数，等于乘这个数的倒数．0不能作除数．
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（5）幂的运算法则：
正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．
（6）零指数幂和负整数指数幂：
①零指数幂的意义为：a0＝1（a≠0）．
②负整数指数幂的意义为：
＝（a≠0，p为正整数）．
（7）有理数混合运算法则：
先算乘方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，就先算括号内的运算．
4．平方根、算术平方根与立方根
正数a有两个平方根，记作，0的平方根是0，负数没有平方根．其中是a的算术平方根，0的算术平方根是0．任何数都有立方根，a的立方根是．
三个重要的的非负数的性质：
（1）①|a|≥0；②≥0（a≥0）；③a2n≥0．
（2）非负数的性质：
①非负数的最小值是0：
②几个非负数之和仍为非负数：
③若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0．
5．实数的运算顺序和运算律
实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行．
运算律：
（1）加法交换律：a+b=b+a．
（2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）．
（3）乘法交换律：ab=ba．
（4）乘法结合律：（ab）c=a（bc）．
（5）分配律：a（b+c）=ab+ac．
6．科学记数法与近似数
科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（或小于1的正数表示为a×10-n的形式），其中1≤a＜10，n是正整数，使用的是科学记数法。
准确数：与实际相符的数。
近似数：接近实际数但与实际数有差别的数。
精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。
■考点一 相反数、绝对值与倒数
◇典例1：（2025·新疆·一模）有理数的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
根据相反数的定义，一个数的相反数是只有和它符号相反的数．
【详解】解：∵ 数的相反数是，
∴ 的相反数是，
故选：A．
◆变式训练
1．（2025·哈尔滨·中考）的倒数是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握“若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数”是解题的关键．根据倒数的定义，求与相乘得1的数．
【详解】解：，
的倒数是2
故选：D．
2．（2025·陕西·中考）的绝对值是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值，正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0.
根据正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0，可得答案．
【详解】解：的绝对值是8．
故选：A．
■考点二 数轴
◇典例2：（2025·江西景德镇昌江·中考二模）在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值的几何意义，实数的大小比较，熟练掌握绝对值的几何意义和实数的大小比较是解题的关键．依题意，选项的每个数值的绝对值最大即为距离原点最远，即可作答．
【详解】解：∵，，，，，
∴绝对值最大的是3，
∴距离原点最远的是3，
故选：A．
◆变式训练
1．（2025·天津·一模）如图，在数轴上标注了四段范围，则表示点落在（　　）
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
【答案】C
【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，根据无理数的估算方法可证明，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴表示点落在第③段，
故选；C．
2．（2025·江苏省仪征市·金升外国语实验学校·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，如图，先计算，，可得，，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，，
∵点A表示的数为，点B表示的数为b，
∴，
故答案为：．
■考点三 科学记数法与近似数
◇典例3：（2025·哈尔滨·中考）黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解： ，
故选：C．
◆变式训练
1．（2025·江西抚州四校·中考模拟）中国老龄办公布的《“十一五”期间中国老龄事业发展状况》称，“十一五”期间，中国养老保障制度不断完善．截至2011年初，全国城镇基本养老保险参保人数为人，保留两个有效数字后为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查科学记数法的表示方法、保留有效数字等知识，熟记科学记数法及四舍五入到两位有效数字的方法是解决问题的关键．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．再根据有效数字的定义，将数字四舍五入到两位有效数字，即可得到答案．
【详解】解：，
又∵保留两个有效数字，需看小数点后第二位数字，
∴将数字四舍五入到两位有效数字时，由知需要进位，得，
故选：B．
2．（2025·四川凉山·模拟预测）西昌年地区生产总值（）首次突破亿元大关，达到亿元，持续稳坐凉山州经济“头把交椅”．这里的亿精确到（ ）
A．百分位 B．亿位 C．千万位 D．百万位
【答案】D
【分析】本题考查了精确度，把原数还原，看末位数字在还原后的数中所占的数位即可求解，理解精确度的定义是解题的关键
【详解】解：亿，
∵亿的末位数字在还原后的数中所占的数位是百万位，
∴亿精确到百万位，
故选：．
■考点四 实数的大小比较
◇典例4：（2025·四川省甘孜州·中考）下列各数中，最大的是( )
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较时绝对值大的反而小．
先将选项中的数按“负数、0、正数”分类，明确正数大于0、0大于负数的基本关系；再对负数部分比较绝对值大小，最后综合判断所有数的大小顺序，找出最大的数．
【详解】解：根据有理数大小比较法则可知，仅有D选项符合题意．
故选：D．
◆变式训练
1．（2025·上海·二模）在下列4个数中，最小的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，先化简符号，求绝对值，然后比较大小即可．
【详解】解：，，
则，
故选：A
2．（2025·陕西·模拟）在实数，，0，中，最小的数是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】，
最小的数是．
故答案为：．
■考点五 平方根、算术平方根与立方根
◇典例5：（2025·青海·中考）4的算术平方根是 .
【答案】2
【分析】本题主要考查了算术平方根的求法，理解算术平方根的定义是解答关键．
根据算术平方根的定义，一个非负数的平方等于4，则该数是4的算术平方根．
【详解】解：因为，
所以，
即4的算术平方根是2.
故答案为：2．
◆变式训练
1．（2025·甘肃省酒泉市一中·一模）的平方根是 ，的立方根是 ．
【答案】 2
【分析】此题考查了立方根，平方根及算术平方根．根据平方根及立方根的定义计算即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴的平方根是；
∵，的立方根为，
则的立方根为．
故答案为：；．
2．（2025·山西吕梁·二模）计算： ．
【答案】2
【分析】本题主要考查二次根式的化简．先计算被开方数，再求算术平方根，
【详解】解：．
故答案为：2．
■考点六 非负数的应用
◇典例6：（2025·广东·模拟）已知，则的平方根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求一个数的平方根，二次根式的性质，根据二次根式的被开方数是非负数，确定的取值范围，从而求出和y的值，再计算的值，最后求其平方根，即可作答．
【详解】解：∵，
∴
故，
∴，
∴，
∴4的平方根为，
故答案为：．
◆变式训练
1．（2025·广东清远清城松岗中学·模拟三）若与互为相反数，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了相反数的定义，非负数的性质，根据相反数的定义得到，根据非负数的性质，可求出x、y的值，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
2．（2025·四川省成都市·一模）若实数满足,则 ．
【答案】9
【分析】本题考查非负数性质、算术平方根，根据非负数性质列出方程求出的值,代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵,
∴根据题意得:,解得,
∴．
故答案为：9．
■考点七 实数的运算
◇典例7：（2025·福建漳州·三模）计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算．先分别计算绝对值，负整数指数幂，零指数幂，再计算加减即可．
【详解】解：原式
◆变式训练
1．（2025·陕西·中考）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，先运算乘法，乘方，负整数指数幂，再运算加减法，即可作答．
【详解】解：
．
2．（2025·内蒙古·一模）计算：；
【答案】
【分析】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．首先计算负指数幂、二次根式和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：原式
；
A 基础达标练
1．（2025·江苏扬州·一模）我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正负数的应用．
在一对具有相反意义的量中，规定一个方向为正，则相反方向为负．
【详解】解：∵气温升高记作，
∴气温下降记作．
故选：B．
2．（2025·山西省吕梁市部分学校·模拟）如图，这是石家庄市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（ ）
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数减法的应用和有理数的比较大小等知识点，分别求出每天的温差，然后进行比较即可，熟练掌握有理数减法的运算法则是解决此题的关键．
【详解】解：星期一的温差为：，
星期二的温差为：，
星期三的温差为：，
星期四的温差为：，
∵，
∴日温差最大的一天是星期二．
故选：B．
3．（2025·山东省德州市·中考）下列实数为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
B、是无理数，故此选项符合题意；
C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
故选：B．
4．（2025·甘肃省武威市古浪县四中·一模）实数的整数部分是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查无理数的估计．根据可得，即可求得的整数部分．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分是3．
故选：B．
5．（2025·云南·仿真卷）已知 则以下对|x|的估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了无理数的大小估算，求平方根，首先求出，然后估计的整数部分，然后根据选项即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选：B．
6．（2025·青海西宁二十一中·模拟）的相反数是 ； ．
【答案】
【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的化简，算术平方根等知识．根据相反数的定义即可得到的相反数为；化简，根据绝对值意义进行化简即可求解．
【详解】解：的相反数为；
．
故答案为：，1
7．（2025·山东滨州·中考）如果，则“☆”表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以 或乘以它的倒数，即可求解“☆”的值．
【详解】解：，
，
故答案为：．
8．（2025·河北·模拟）点A在数轴上的位置如图所示，设点A对应的数为x，若，写出一个符合条件的y的整数值： ．
【答案】
【详解】解：设点A对应的数为x，由点A在数轴上的位置可得，
所以若，
则符合条件的y的整数值为，0,1三个﹒
故答案为：，0,1（写一个即可）
9．（2025·四川南充部分校·一诊）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂、负整数指数幂，解题的关键是掌握相应的运算法则．先计算算术平方根，然后利用零指数幂、负整数指数幂的意义和绝对值的意义化简，最后计算加减．
【详解】解：原式.
B 强化提升练
10．（2025·北京海淀·人大附中零模）甲、乙两同学玩填数游戏，每人各自从左到右依次填写四个实数，如表所示．
所填的四个数满足：从第二个数开始，每一个数都大于或等于前面填写的任意一个数的2倍．
（1）若甲同学填写的四个数中，，则整数为 ；
（2）若甲、乙两位同学各自填写的四个数都是非零整数，且他们所填写的第一个数互为相反数，则这两位同学填写的这八个数之和的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查新定义，求不等式组的解集，列代数式，无理数的估算，整式的加减等知识，理解题中游戏规则是解题的关键．
（1）依据题意，可得，从而，且，故，进而可以判断得解；
（2）依据题意，设甲填写的四个数为，，，，乙填写的四个数为，，，，再设，则，，，又与互为相反数，则，则，，，结合，，即，继而得到，进而可得，故可判断得解．
【详解】解：（1）由题意得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
（2）由题意，设甲填写的四个数为，，，，乙填写的四个数为，，，，设（，且为整数），则，，，
∵与互为相反数，
∴，则，，，
又∵，，，，
即，，，，
∴，
∵，，，，，，，都是非零整数，
当时，为最小值，
∴这八个数之和的最小值为．
故答案为：．
11．（2025·上海·模拟）如图是小闵在网上冲浪时看到的一张图片，是一位博主于2025年1月27日在网络上发布的一张搞笑日期图．其中使用了已故篮球明星科比两张身穿8号与24号球衣的图片，通过加、减、乘、除的四则运算，将当日的日期表示了出来．小闵的好友小黄对这张图片非常感兴趣，便与小闵一起展开了对这张图片的探究，请你加入他们．
小闵与小黄想要用图片中出现的两个整数8与24来组成日期2月14日，但他们无法完成．
(1)请你帮助他们，只用8与24及四则运算符号来表示日期2月14日；
小闵与小黄接受了你的指导，很快便完成了．他们随后增加了一条规则：当表示中使用分数时，分子与分母不能够是同一个数．经过对许多日期的尝试，他们都成功了．
此时小黄又想到：2月14日这种比较难凑的日子也能凑出来，是不是任意取两个正整数，就可以表示所有的非负有理数呢？
小闵说：我觉得是可以的，但是是无限的诶，我枚举不完，这里写不下诶...
(2)他们又一次遇到了困难．但小黄的猜想是正确的，请你帮助他证明．
【答案】(1)2月14日可表示为月日；
(2)见解析．
【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，熟练掌握有理数四则运算的法则是解题的关键．
（1）通过对24和8进行四则运算，找到能分别得到2（对应月份）和14（对应日期）的式子；
（2）设出任意两个正整数和任意非负有理数，利用四则运算的规则，推导出非负有理数可用这两个正整数的运算表示．
【详解】（1）解：∵，，
∴2月14日可表示为月日；
（2）证明：设任意两个正整数为，，任意非负有理数，
∵，
∴任意非负有理数可以用表示（、为任意正整数）．
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第一章 数与式
1.1 实数
1．实数由有理数和无理数组成。
2．理解负数的意义。
3．能用数轴上的点表示实数；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。
4．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根；了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。
5．了解近似数，会按问题的要求进行简单的近似计算。
6．会用科学记数法表示数。
7．掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算；能运用有理数的运算解决简单问题。
8．能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小，能用有理数估计一个无理数的大致范围。
1．实数的概念及分类
（1）________和________统称实数．
（2）实数
2．实数的相关概念
（1）数轴的三要素为________、________和________，数轴上的点与________构成一一对应．
（2）实数a的相反数为________，若，互为相反数，则=________．
（3）非零实数的倒数为,若，互为倒数，则 =________．
（4）绝对值：．
3．有理数的运算
（1）有理数加法法则：
①同号两数相加，取________的符号，并把________相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取________的加数的符号，并用________．互为相反数的两个数相加得________；
③一个数同0相加，________．
（2）有理数减法法则：
减去一个数，等于________．
（3）有理数乘法法则：
①两数相乘，同号得________，异号得负，并把________．任何数同0相乘都得________；
②几个不等于0的数相乘，积的符号由________决定．当个数为________时，积为负，当个数为________，积为正；
③几个数相乘，有一个因数为0，积就为________．
（4）有理数除法法则：
①除以一个数，等于乘这个数的________．________不能作除数．
②两数相除，同号________，异号________，并把________．0除以________的数，都得0．
（5）幂的运算法则：
正数的任何次幂都是________；负数的________是负数，负数的________是正数．
（6）零指数幂和负整数指数幂：
①零指数幂的意义为：a0＝________（a≠0）．
②负整数指数幂的意义为：
＝（a≠0，p为正整数）．
（7）有理数混合运算法则：
先算________，再算________，最后算________．如果有括号，就________．
4．平方根、算术平方根与立方根
正数a有两个平方根，记作，0的平方根是________，负数没有平方根．其中是a的________，0的算术平方根是________．任何数都有立方根，a的立方根是．
三个重要的的非负数的性质：
（1）①|a|≥0；②≥0（a≥0）；③a2n≥0．
（2）非负数的性质：
①非负数的最小值是________：
②几个非负数之和仍为________：
③若几个非负数的和为0，则每个非负数都为________．
5．实数的运算顺序和运算律
实数的运算顺序是先算________，再算________，最后算________．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算________里面的，同级运算应________依次进行．
运算律：
（1）加法交换律：________．
（2）加法结合律：________．
（3）乘法交换律：________．
（4）乘法结合律：________．
（5）分配律：________．
6．科学记数法与近似数
科学记数法：把一个大于10的数表示成________的形式（或小于1的正数表示为________的形式），其中1≤a＜10，n是正整数，使用的是科学记数法。
准确数：与________相符的数。
近似数：接近实际数但与________有差别的数。
精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用________表示。
■考点一 相反数、绝对值与倒数
◇典例1：（2025·新疆·一模）有理数的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·哈尔滨·中考）的倒数是（ ）
A． B． C． D．2
2．（2025·陕西·中考）的绝对值是（ ）
A．8 B． C． D．
■考点二 数轴
◇典例2：（2025·江西景德镇昌江·中考二模）在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（ ）
A．3 B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·天津·一模）如图，在数轴上标注了四段范围，则表示点落在（　　）
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
2．（2025·江苏省仪征市·金升外国语实验学校·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则 ．
■考点三 科学记数法与近似数
◇典例3：（2025·哈尔滨·中考）黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·江西抚州四校·中考模拟）中国老龄办公布的《“十一五”期间中国老龄事业发展状况》称，“十一五”期间，中国养老保障制度不断完善．截至2011年初，全国城镇基本养老保险参保人数为人，保留两个有效数字后为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川凉山·模拟预测）西昌年地区生产总值（）首次突破亿元大关，达到亿元，持续稳坐凉山州经济“头把交椅”．这里的亿精确到（ ）
A．百分位 B．亿位 C．千万位 D．百万位
■考点四 实数的大小比较
◇典例4：（2025·四川省甘孜州·中考）下列各数中，最大的是( )
A． B． C．0 D．1
◆变式训练
1．（2025·上海·二模）在下列4个数中，最小的数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·陕西·模拟）在实数，，0，中，最小的数是 ．
■考点五 平方根、算术平方根与立方根
◇典例5：（2025·青海·中考）4的算术平方根是 .
◆变式训练
1．（2025·甘肃省酒泉市一中·一模）的平方根是 ，的立方根是 ．
2．（2025·山西吕梁·二模）计算： ．
■考点六 非负数的应用
◇典例6：（2025·广东·模拟）已知，则的平方根为 ．
◆变式训练
1．（2025·广东清远清城松岗中学·模拟三）若与互为相反数，则的值为 ．
2．（2025·四川省成都市·一模）若实数满足,则 ．
■考点七 实数的运算
◇典例7：（2025·福建漳州·三模）计算：
◆变式训练
1．（2025·陕西·中考）计算：．
2．（2025·内蒙古·一模）计算：；
A 基础达标练
1．（2025·江苏扬州·一模）我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山西省吕梁市部分学校·模拟）如图，这是石家庄市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（ ）
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
3．（2025·山东省德州市·中考）下列实数为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·甘肃省武威市古浪县四中·一模）实数的整数部分是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2025·云南·仿真卷）已知 则以下对|x|的估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·青海西宁二十一中·模拟）的相反数是 ； ．
7．（2025·山东滨州·中考）如果，则“☆”表示的数是 ．
8．（2025·河北·模拟）点A在数轴上的位置如图所示，设点A对应的数为x，若，写出一个符合条件的y的整数值： ．
9．（2025·四川南充部分校·一诊）计算：．
B 强化提升练
10．（2025·北京海淀·人大附中零模）甲、乙两同学玩填数游戏，每人各自从左到右依次填写四个实数，如表所示．
所填的四个数满足：从第二个数开始，每一个数都大于或等于前面填写的任意一个数的2倍．
（1）若甲同学填写的四个数中，，则整数为 ；
（2）若甲、乙两位同学各自填写的四个数都是非零整数，且他们所填写的第一个数互为相反数，则这两位同学填写的这八个数之和的最小值为 ．
11．（2025·上海·模拟）如图是小闵在网上冲浪时看到的一张图片，是一位博主于2025年1月27日在网络上发布的一张搞笑日期图．其中使用了已故篮球明星科比两张身穿8号与24号球衣的图片，通过加、减、乘、除的四则运算，将当日的日期表示了出来．小闵的好友小黄对这张图片非常感兴趣，便与小闵一起展开了对这张图片的探究，请你加入他们．
小闵与小黄想要用图片中出现的两个整数8与24来组成日期2月14日，但他们无法完成．
(1)请你帮助他们，只用8与24及四则运算符号来表示日期2月14日；
小闵与小黄接受了你的指导，很快便完成了．他们随后增加了一条规则：当表示中使用分数时，分子与分母不能够是同一个数．经过对许多日期的尝试，他们都成功了．
此时小黄又想到：2月14日这种比较难凑的日子也能凑出来，是不是任意取两个正整数，就可以表示所有的非负有理数呢？
小闵说：我觉得是可以的，但是是无限的诶，我枚举不完，这里写不下诶...
(2)他们又一次遇到了困难．但小黄的猜想是正确的，请你帮助他证明．
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2026年中考一轮复习
1.1 实数
数与式
第1章
“—”
1．实数由有理数和无理数组成。
2．理解负数的意义。
3．能用数轴上的点表示实数；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。
4．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根；了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。
5．了解近似数，会按问题的要求进行简单的近似计算。
6．会用科学记数法表示数。
7．掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算；能运用有理数的运算解决简单问题。
8．能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小，能用有理数估计一个无理数的大致范围。
1．实数的概念及分类
（1）________和________统称实数．
（2）实数
有理数
无理数
2．实数的相关概念
（1）数轴的三要素为________、________和________，数轴上的点与________构成一一对应．
（2）实数a的相反数为________，若，互为相反数，则 + =________．
（3）非零实数的倒数为,若，互为倒数，则 =________．
（4）绝对值：．
原点
正方向
单位长度
实数
-a
0
1
-a
0
a
3．有理数的运算
（1）有理数加法法则：
①同号两数相加，取________的符号，并把________相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取____________的加数的符号，并用________________________________．互为相反数的两个数相加得________；
③一个数同0相加，________．
相同
绝对值
绝对值较大
较大的绝对值减去较小的绝对值
0
仍得这个数
（2）有理数减法法则：
减去一个数，等于__________________．
（3）有理数乘法法则：
①两数相乘，同号得________，异号得负，并把_________．任何数同0相乘都得________；
②几个不等于0的数相乘，积的符号由___________决定．当个数为________时，积为负，当个数为________，积为正；
③几个数相乘，有一个因数为0，积就为________．
加上这个数的相反数
正
绝对值相乘
0
负数的个数
奇数
偶数
0
（4）有理数除法法则：
①除以一个数，等于乘这个数的________．________不能作除数．
②两数相除，同号________，异号________，并把________．
0除以_________________的数，都得0．
（5）幂的运算法则：
正数的任何次幂都是________；负数的__________是负数，负数的__________是正数．
倒数
0
得正
得负
绝对值相除
任何一个不等于0
正数
奇数次幂
偶数次幂
（6）零指数幂和负整数指数幂：
①零指数幂的意义为：a0＝________（a≠0）．
②负整数指数幂的意义为：
＝（a≠0，p为正整数）．
（7）有理数混合运算法则：
先算________，再算________，最后算________．如果有括号，就_______________________．
1
乘方
乘除
加减
先算括号内的运算
4．平方根、算术平方根与立方根
正数a有两个平方根，记作，0的平方根是________，负数没有平方根．其中是a的_____________，0的算术平方根是________．任何数都有立方根，a的立方根是．
三个重要的的非负数的性质：
（1）①|a|≥0；②≥0（a≥0）；③a2n≥0．
（2）非负数的性质：①非负数的最小值是________：
②几个非负数之和仍为________：
③若几个非负数的和为0，则每个非负数都为________．
0
算术平方根
0
0
非负数
0
5．实数的运算顺序和运算律
实数的运算顺序是先算____________，再算________，最后算________．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算________里面的，同级运算应__________依次进行．
运算律：（1）加法交换律：__________________．
（2）加法结合律：__________________．
（3）乘法交换律：__________________．
（4）乘法结合律：__________________．
（5）分配律：__________________．
乘方和开方
乘除
加减
大括号
从左到右
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
ab=ba
(ab)c=a(bc)
a(b+c)=ab+ac
6．科学记数法与近似数
科学记数法：把一个大于10的数表示成________的形式（或小于1的正数表示为________的形式），其中1≤a＜10，n是正整数，使用的是科学记数法。
准确数：与________相符的数。
近似数：接近实际数但与________有差别的数。
精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用________表示。
a×10n
a×10-n
实际
实际数
精确度
■考点一 相反数、绝对值与倒数
◇典例1：（2025·新疆·一模）有理数的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
A
◆变式训练
1．（2025·哈尔滨·中考）的倒数是（ ）
A． B． C． D．2
D
2．（2025·陕西·中考）的绝对值是（ ）
A．8 B． C． D．
A
■考点二 数轴
◇典例2：（2025·江西景德镇昌江·中考二模）在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（ ）
A．3 B． C． D．
A
◆变式训练
1．（2025·天津·一模）如图，在数轴上标注了四段范围，则表示点落在（　　）

A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
C
◆变式训练
2．（2025·江苏省仪征市·金升外国语实验学校·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则 ．
■考点三 科学记数法与近似数
◇典例3：（2025·哈尔滨·中考）黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
C
◆变式训练
1．（2025·江西抚州四校·中考模拟）中国老龄办公布的《“十一五”期间中国老龄事业发展状况》称，“十一五”期间，中国养老保障制度不断完善．截至2011年初，全国城镇基本养老保险参保人数为人，保留两个有效数字后为（ ）
A． B．
C． D．
B
◆变式训练
2．（2025·四川凉山·模拟预测）西昌年地区生产总值（）首次突破亿元大关，达到亿元，持续稳坐凉山州经济“头把交椅”．这里的亿精确到（ ）
A．百分位 B．亿位 C．千万位 D．百万位
D
■考点四 实数的大小比较
◇典例4：（2025·四川省甘孜州·中考）下列各数中，最大的是( )
A． B． C．0 D．1
D
◆变式训练
1．（2025·上海·二模）在下列4个数中，最小的数是（　　）
A． B． C． D．
A
2．（2025·陕西·模拟）在实数，，0，中，最小的数是 ．
■考点五 平方根、算术平方根与立方根
◇典例5：（2025·青海·中考）4的算术平方根是 .
2
◆变式训练
1．（2025·甘肃省酒泉市一中·一模）的平方根是 ，的立方根是 ．
2
2．（2025·山西吕梁·二模）计算： ．
2
■考点六 非负数的应用
◇典例6：（2025·广东·模拟）已知，则的平方根为 ．
◆变式训练
1．（2025·广东清远清城松岗中学·模拟三）若与互为相反数，则的值为 ．
2．（2025·四川省成都市·一模）若实数满足,则 ．
9
■考点七 实数的运算
◇典例7：（2025·福建漳州·三模）计算：
解：原式
◆变式训练
1．（2025·陕西·中考）计算：．
解：
．
◆变式训练
2．（2025·内蒙古·一模）计算：；
解：原式
A 基础达标练
1．（2025·江苏扬州·一模）我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（ ）
A． B． C． D．
B
2．（2025·山西省吕梁市部分学校·模拟）如图，这是石家庄市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（ ）

A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
B
3．（2025·山东省德州市·中考）下列实数为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
B
4．（2025·甘肃省武威市古浪县四中·一模）实数的整数部分是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
B
5．（2025·云南·仿真卷）已知 则以下对|x|的估算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
B
6．（2025·青海西宁二十一中·模拟）的相反数是 ； ．
7．（2025·山东滨州·中考）如果，则“☆”表示的数是 ．
8．（2025·河北·模拟）点A在数轴上的位置如图所示，设点A对应的数为x，若，写出一个符合条件的y的整数值： ．
9．（2025·四川南充部分校·一诊）计算：．
解：原式
.
B 强化提升练
10．（2025·北京海淀·人大附中零模）甲、乙两同学玩填数游戏，每人各自从左到右依次填写四个实数，如表所示．
所填的四个数满足：从第二个数开始，每一个数都大于或等于前面填写的任意一个数的2倍．
（1）若甲同学填写的四个数中，，则整数为 ；
（2）若甲、乙两位同学各自填写的四个数都是非零整数，且他们所填写的第一个数互为相反数，则这两位同学填写的这八个数之和的最小值为 ．
11．（2025·上海·模拟）如图是小闵在网上冲浪时看到的一张图片，是一位博主于2025年1月27日在网络上发布的一张搞笑日期图．其中使用了已故篮球明星科比两张身穿8号与24号球衣的图片，通过加、减、乘、除的四则运算，将当日的日期表示了出来．小闵的好友小黄对这张图片非常感兴趣，便与小闵一起展开了对这张图片的探究，请你加入他们．
小闵与小黄想要用图片中出现的两个整数8与24来组成日期2月14日，但他们无法完成．
(1)请你帮助他们，只用8与24及四则运算符号来表示日期2月14日；
解：∵，
，
∴2月14日可表示为月日；
小闵与小黄接受了你的指导，很快便完成了．他们随后增加了一条规则：当表示中使用分数时，分子与分母不能够是同一个数．经过对许多日期的尝试，他们都成功了．
此时小黄又想到：2月14日这种比较难凑的日子也能凑出来，是不是任意取两个正整数，就可以表示所有的非负有理数呢？
小闵说：我觉得是可以的，但是是无限的诶，我枚举不完，这里写不下诶...
(2)他们又一次遇到了困难．但小黄的猜想是正确的，请你帮助他证明．
证明：设任意两个正整数为，，任意非负有理数，
∵，
∴任意非负有理数可以用表示（、为任意正整数）．
44
Thanks!
2
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