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(共36张PPT)
2026年中考数学一轮复习专题★★
一元二次方程及其应用
考点一：一元二次方程的概念及一般形式
概念 只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程
一般形式 a，b，c为常数，a≠0　　
考点二：根的判别式
b2－4ac>0 方程有① 的实数根 【提示】1.使用之前一定要把方程化为一般形式，以便正确找出a，b，c的值；2.若题目中未指明已知方程为一元二次方程，则应分情况讨论
b2－4ac＝0 方程有② 的实数根 b2－4ac<0 方程③ 实数根 两个不等
两个相等
无
考点三：一元二次方程的解法
方　法 适用情况
直接开 平方法 形如x2＝p(p≥0)的方程
形如(x＋m)2＝p(p≥0)的方程
公式法 适用于所有方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)
【提示】1.要先将方程化为一般形式，再利用公式求解；
2．a，b，c代入公式时应注意其符号
配方法 适用于b÷a为偶数或者c很大的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)：(1)若二次项系数不为1，先把系数化为1，即x2＋px＋q＝0；(2)把常数项移到方程的另一边，即x2＋px＝－q；(3)在
方程两边同时加上④ ，即x2＋px＋⑤ ＝－q＋⑥ ；
(4)把方程整理成2＝－q＋⑧ 的形式；(5)运用直接开平方法解方程
2
2
2
因式 分解法 方程等号右边为0，左边易因式分解为两个一次因式的乘积(x－a)(x－b)＝0.
【提示】方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有未知数的相同因式，避免丢根
【提示】解一元二次方程选择方法的一般顺序： 直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法 考点四：根与系数的关系(2022版课标调整为必学内容)
关系式：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两实数根分
别为x1，x2，则x1＋x2＝⑨ ，x1·x2＝⑩ .
【知识拓展】x21＋x22(x1＋x2)2－2x1x2；(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1；＋＝.
【提示】利用根与系数的关系解题，其前提是方程的两根存在，即根的判别式b2－4ac≥0.
－
考点五：一元二次方程应用的常见类型
变化率问题 (1)若基础量为a，平均增长率为x，增长两次后的量为b，则有 ___________；
(2)若基础量为a，平均下降率为x，下降两次后的量为b，则有 ___________
销售利润 问题中的 “每每模型” (1)总利润＝单件利润×总销量；
(2)每每问题中，单价每涨a元，少卖b件，若涨价y元，则少卖的件数为×b
a(1＋x)2＝b
a(1－x)2＝b
面积问题
(1)如图甲，设阴影部分的宽为x，则S空白＝ ；
(2)如图乙，设阴影道路的宽为x，则S空白＝ ；
(3)如图丙，用总长为d m的篱笆，一边靠墙，围成一个矩形， 若平行于墙的一边长为x m(墙长大于x m)，则所围成矩形的面积为S
＝ m2
(a－2x)·(b－2x)
(a－x)·(b－x)
循环问题 (1)单循环问题：有n个人，相互之间只握一次手，总握手次
数为 ；
(2)双循环问题：一个班级有n名同学，每两名同学之间都要互相赠送一个礼物，总的礼物个数为 _______
n(n－1)
“传播”问题 (1)细胞分裂：现有a个细胞，若每轮分裂中每一个细胞可分裂成x个细胞，则第二轮分裂后的细胞总数为 ____；
(2)病毒传染：有一个人患流感，若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第二轮后共有 ________个人患流感；
(3)植物主干分支：一种植物的主干长出a个支干，每个支干又长出a个小分支，则主干、支干和小分支的总数为 __________
ax2
(1＋x)2
1＋a＋a2
1．(人教九上P4习题T1变式)将一元二次方程2x2＋1＝5x化为一般形式后，常数项是 ，一次项系数是 .
2．(人教九上P17习题T4变式)关于x的一元二次方程(x＋1)2＝2－p有两个不等的实数根，则p的取值范围是 ；若方程有两个相等的实数根，则p的值为 ；若方程无实数根，则P的取值范围为 .
1
－5
p＜2
2
p>2
3．(人教九上P25复习题T1变式)解下列方程：
(1)(－2＋x)2＝36；
解：x1＝8，x2＝－4.
(2)2x2－5x＋2＝0；
解：a＝2，b＝－5，c＝2，
∴b2－4ac＝9＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝2，x2＝.
(3)2x2－4x－8＝0；
解：由原方程得x2－2x＝4，
则x2－2x＋1＝4＋1，
即(x－1)2＝5，
∴x－1＝±，
∴x1＝1＋，x2＝1－.
(4)x(x－7)＝8(7－x)．
解：由原方程得
x(x－7)＋8(x－7)＝0，
∴(x－7)(x＋8)＝0，
∴x－7＝0或x＋8＝0，
∴x1＝7，x2＝－8.
4．(人教九上P17习题T7变式)已知方程x2－x－7＝0的两个实数根分别为m，n，则m＋n＝ ，mn＝ ，m2＋n2＝ ，(m－n)2＝ ，＋＝ .
5．(人教九上P22习题T7变式)某商品经过连续两次降价，售价由原来的25元/件降到16元/件，则平均每次降价的百分率为 .
6．某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知商品的进价为每件20元，在顾客得到实惠的前提下，商家想获得6 160元利润，应将销售单价定为 元．
1
－7
15
29
－
20%
42
7．(1)(人教九上P22习题T8变式)从一块长为80，宽为60的矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于x，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则x的值为 ；
(2)(人教九上 P25复习题T8变式)学校有一个面积为182 m2的矩形活动场地，场地一边靠墙(墙长25 m)，另三面用长40 m的合金栏网围成．则活动场地的长为 .
8.某次足球比赛中，每两个足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共有20场比赛，则这次足球比赛共有 个足球队参加．
9．有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有121人患了这种传染病，每轮传染中平均一个人传染了 个人．
10
14 m
5
10
重难点1：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
(一题多角度)已知关于x的一元二次方程x2－4x＋5－a＝0.
(1)若此方程没有实数根，则a的取值范围为 ；
(2)若此方程有两个不等的实数根，则a的取值范围为 ；
(3)若此方程有两个相等的实数根，则a的取值范围为 ；
(4)若此方程有一个根为3，则a的值为 ，方程的另一个根为 ；
(5)若此方程有两个实数根x1，x2，且(x1＋1)(x2＋1)＝8，则a的值为 ；
(6)若y＝x2－4x＋5－a向下平移2个单位长度后与y＝3恰好只有一个交点，则a的值为 .
a<1
a>1
a＝1
2
1
2
－4
重难点2：一元二次方程的实际应用
(一题多角度)做好经济工作，推动经济稳定健康发展是我国当前的重要任务．新兴AI人工智能产业具有重要经济属性，各种智能大模型陆续涌现．
(1)昆明市一家AI初创公司准备用24 m长的隔离板围成一面靠墙(墙长12 m)，大小相等且彼此相连的三个矩形办公场地(如图)，场地的面积能够达到32 m2吗？若能，给出方案；若不能，请说明理由；
【分层分析】
设垂直于墙的一边长x m，再用含x的代数式表示出场地的另一边长为
m，根据面积列出方程，再解方程即可，能否达到要求，根据解方程的结果，结合实际情况作出判断．
(24－4x)
解：能．设垂直于墙的一边长x m，则平行于墙的一边长为(24－4x)m，且24－4x≤12，即x≥3.根据题意有(24－4x)x＝32，解得x1＝4，x2＝2(舍去)，
故垂直于墙的一边长为4 m，平行于墙的一边长为8 m.
(2)该AI公司推出了一款智能学习电子设备．为了加快市场占有率，公司决定对该款产品进行降价促销，根据市场调查：这种电子设备销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子设备的固定成本为100元，则这种电子设备降价后的销售单价为多少时，公司每天可获利32 000元？
【分层分析】
设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出 个，根据总利润＝每个产品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论，注意结果是否符合实际．
解：设降价后的单价为x元，则每天可售出[300＋5(200－x)]个，依题意得(x－100)[300＋5(200－x)]＝32 000，
整理得x2－360x＋32 400＝0，解得x1＝x2＝180.
180<200，符合题意．
答：这种电子设备降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32 000元．
[300＋5(200－x)]
解题绿色通道——十字相乘法解一元二次方程
【方法归纳】(注意运用十字相乘法易出现符号错误，要用根与系数关系验证)
使用一个十字叉来因式分解的方法叫做十字相乘法．如：
【方法应用】
解下列一元二次方程：
(1)x2－7x－8＝0；　　(2)x2＋6x＋8＝0；
(3)2x2＋5x－3＝0; (4)6x2＋64x－70＝0.
解：(1)因式分解得(x－8)(x＋1)＝0，
∴x1＝8，x2＝－1.
(2)因式分解得(x＋2)(x＋4)＝0，
∴x1＝－2，x2＝－4.
(3)因式分解得(2x－1)(x＋3)＝0，
∴x1＝，x2＝－3.
(4)因式分解得(6x＋70)(x－1)＝0，
∴x1＝－，x2＝1.
【考情分析】云南近6年常考：①用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况；②根据根的情况求字母系数的取值范围；③变化率问题列方程，一般以选择或填空的形式出现，难度小．
命题点1：一元二次方程的解法(近6年连续考查，仅2022年单独考查，其余均在二次函数综合题中涉及考查)
1．(2022·省卷第16题4分)方程2x2＋1＝3x的解为 .
x1＝1，x2＝
命题点2：一元二次方程根的判别式(近6年考查5次，其中2次在二次函数的综合题中涉及考查)
2．(2021·省卷第5题4分)若一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1
B．a≤1
C．a≤1且a≠0
D．a＜1且a≠0
D
3．(2024·云南第16题2分)若关于x的一元二次方程x2－2x＋c＝0无实数根，则c的取值范围是 .
4．(2020·省卷第5题3分)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为____.
c>1
1
命题点3：一元二次方程的实际应用(近6年考查2次)
5．(2025·云南第14题2分)某书店今年3月份盈利6 000元，5月份盈利6 200元．设该书店每月盈利的平均增长率为x.根据题意，下列方程中正确的是( )
A．6 000(1＋x)2＝6 200
B．6 000(1－x)2＝6 200
C．6 000(1＋2x)＝6 200
D．6 000x2＝6 200
A
6．(2024·云南第9题2分)两年前生产1 kg甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1 kg甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程中正确的是( )
A．80(1－x2)＝60　
B．80(1－x)2＝60
C．80(1－x)＝60
D．80(1－2x)＝60
B
7．(2025·福建)为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6 m2的
矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x m，根据题意可列方程为( )
A．5x2＝6
B．5(1＋x2)＝6
C．x(5－x)＝6
D．5(1＋x)2＝6
C
8．(2025·南充)设x1，x2是关于x的方程(x－1)(x－2)＝m2的两根．
(1)当x1＝－1时，求x2及m的值；
(2)求证：(x1－1)(x2－1)≤0.
(1)解：把x1＝－1代入方程(x－1)(x－2)＝m2，
得m2＝6，∴m＝±.
∴(x－1)(x－2)＝6，即x2－3x－4＝0.
∴(x－4)(x＋1)＝0.
∴x1＝－1，x2＝4.
∴x2＝4，m＝±.
(2)证明：方程可化为x2－3x＋2－m2＝0，则Δ＝9－4(2－m2)＝4m2＋1＞0，
∴方程有两个不等的实数根．
∵方程(x－1)(x－2)＝m2即
x2－3x＋2－m2＝0的两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝3，x1x2＝2－m2.
∴(x1－1)(x2－1)
＝x1x2－(x1＋x2)＋1
＝2－m2－3＋1＝－m2.
∵m2≥0，∴－m2≤0，即(x1－1)(x2－1)≤0.

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