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2024-2025学年莆田五中高一上期末考数学试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的一个零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则=（ ）
A． B． C． D．
6．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．若，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）
9．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点中心对称
C．函数在单调递减
D．该图象向右平移个单位可得的图象
10．若，则（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最大值是0 D．的最大值是
11．已知定义域为的奇函数满足，且在上单调递减，，则（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．
C．
D．设，和图象的所有交点的横坐标之和为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分．）
12．函数的定义域是________．
13．函数是增函数，则实数的取值范围为________．
14．已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为 ，关于x的方程解的个数为 ．
四、解答题 (本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．（13分）已知
（1）求的值；
（2）求的值.
16．（15分）已知．
(1)若对恒成立，求的取值范围；
(2)解关于的不等式：.
17．（15分）已知函数．
(1)若的图象的两条相邻对称轴之间的距离为，且当时，有解，求实数的取值范围；
(2)若的取值范围.
18．（17分）技术的价值和意义在自动驾驶 物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是香农公式：，其中：（单位：）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，单位；）是信道的带宽，单位：）是平均信号功率，（单位：）是平均噪声功率，叫做信噪比.
(1)根据香农公式，如果不改变带宽，那么将信噪比从1023提升到多少时，信道容量能提升
(2)已知信号功率，证明：；
(3)现有3个并行的信道，它们的信号功率分别为，这3个信道上已经有一些相同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？（只需写出结论）
.
19．（17分）设函数（且），且，，函数．
(1)求和的解析式；
(2)若关于x的方程在区间上有实数解，求实数m的取值范围；
(3)设，，，若对任意的，均存在，满足．求实数λ的取值范围.试卷第1页，共3页
2024-2025学年莆田五中高一上期末考数学试卷
参考答案
一、单项选择题（本题共8小题）
1-5 CBCAD
6-8 ABC
二、多项选择题（本题共3小题）
9 AD 10 BCD 11ABD
三、填空题（本题共3小题．）
12 13 14 ; 4
四、解答题 (本题共5小题)
15．【答案】(1) 2 (2)
【详解】（1），
所以
（2）由（1）知，
所以
所以
16．【答案】(1)
(2) 答案见解析
【详解】（1）对恒成立，
即恒成立，
所以，
整理得，解得，
所以的取值范围是．
（2），即，
即，即，
当，即时解得；
当，即时解得或；
当，即时解得或．
综上，时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为
17．【答案】(1) (2)
【详解】（1）
因为图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为．
由，解得，所以函数．
因为，所以，所以.所以，
若有解，则．
所以的取值范围为
（2）解：因为上单调递增，所以解得，
所以
18【答案】(1) 2047
(2)证明见解析
(3)把那一小份分配到信道上能获得最大的信道容量
【详解】（1）当时，，
令，
得，
解得：，
所以若不改变带宽，将信噪比从1023提升到2047时，信道容量能提升.
（2）证明：
右边
=左边，
所以，原式成立；
（3）分配到信道上能获得最大的信道容量.
理由：由（2）可知当时，，
随着的增大也会增大，但增加的速度会越来越慢，
所以把那一小份分配到信道上能获得最大的信道容量.
19．【答案】(1)；
(2)
(3)
【详解】（1）已知，且，即，
因为且，所以，则.
又因为，即，所以.
对于，因为，所以.
（2）由，可得：，不妨设，
则有：，又，则有： .
故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为 ，故
故实数的取值范围为：
（3），若对任意的，均存在，
满足 ，则只需：恒成立.，
不妨设，则设，，则.
在上可分如下情况讨论：
当时，，此时，不满足恒成立.
当时，，此时只需：在上恒成立.
则只需：在上恒成立.
则需：时，不等式成立.解得：，与矛盾；
当时，，此时，只需保证：.
则只需：在上恒成立.
当时，只需保证：当时，成立.
则有：，解得：，
又，故有：，
当时，只需保证：当时，成立，
此时解得：，又故有：，故当时，.
综上所述，解得：实数的取值范围为：

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