资源简介

(共48张PPT)
课时作业讲评
教学环节二
(教师批阅作业后,据情选点讲评)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1.(2024·苏锡常镇调研)函数f(x)=sin在区间(0,2π)内的零点个数为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:令f(x)=sin=0,得2x+=kπ(k∈Z),则x=-+(k∈Z).故当k=1时,x=;当k=2时,x=;当k=3时,x=;当k=4时,x=,所以f(x)在(0,2π)内共有4个零点,故选C.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
2.(2024·潍坊二模)将函数f(x)=cos x的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到g(x)的图象,则g(x)=(　　)
A.sin 2x B.sin
C.-sin D.cos 2x
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
解析:将函数f(x)=cos x的图象向右平移个单位长度,得到y=cos=sin x的图象,再将所得图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到g(x)=sin的图象.故选B.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
3.(2024·鹰潭三模)已知函数f(x)=acos ωx+sin ωx(ω>0),若f=且f(x)≥f,则ω的最小值为(　　)
A.11 B.5
C.9 D.7
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
解析:由f(x)≥f可知,f(x)在x=取得最小值,所以函数f(x)的一条对称轴为x=.又0+=2×,因此f=f(0)=,即a=.所以f(x)=cos ωx+sin ωx=2sin.又f(x)在x=取得最小值,可知ω+=+2kπ,k∈Z,解得ω=7+12k,k∈Z.又ω>0,所以k=0时,ω取得最小值为7.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
4.已知f(x)=Asin+B(A>0,ω>0),f(x)max=f(x1)=3,f(x)min
=f(x2)=-1,且|x1-x2|的最小值为,则函数f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)=2sin-1 B.f(x)=2sin+1
C.f(x)=2sin-1 D.f(x)=2sin+1
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
解析:由f(x)max=A+B,f(x)min=-A+B,即解得设f(x)的最小正周期为T,由|x1-x2|的最小值为,得T=,即T=π.因为ω>0,所以ω==2,故f(x)=2sin+1.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
知识拓展:
(1)正弦曲线和余弦曲线相邻的两条对称轴之间距离的2倍是一个周期.
(2)正弦曲线和余弦曲线相邻的一条对称轴和一个对称中心之间距离的4倍是一个周期.
(3)正切曲线相邻的两个对称中心之间距离的2倍是一个周期.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
5.(2024·梅州二模)若把函数f(x)=sin x+acos x的图象向左平移个单位长度后得到的是一个偶函数,则a=(　　)
A. B.-
C. D.-
解析:把函数f(x)=sin x+acos x的图象向左平移个单位长度后得到g(x)=sin+acos的图象,
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
又g(-x)=g(x),则sin+acos=sin+acos,
即cos x-sin x+a=sin x+cos x+a,即sin x=sin x,
该方程对任意x∈R恒成立,则a-=-a,解得a=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
6.(2024·天津高考)已知函数f(x)=sin 3(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)在的最小值为(　　)
A.- B.-
C.0 D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
解析:由f(x)的最小正周期为π,得π=,所以ω=,
所以f(x)=sin(2x+π)=-sin 2x.当x∈时,2x∈,
当2x=时,y=sin 2x取得最大值.所以f(x)min=-.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
7.(2024·山东二模)[多选]已知函数f(x)=sin x·|cos x|,下列说法正确的是 (　　)
A.f(x)是奇函数 B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)的最小值为- D.f(x)在上单调递增
解析:函数f(x)的定义域为R,有f(-x)=sin(-x)|cos(-x)|=-sin x|cos x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,A正确;
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
因为f=sin=-,f=sin·=,
f≠f,所以π不是f(x)的周期,B错误;因为f(x)=sin x·|cos x|≥-|sin xcos x|=-|sin 2x|≥-,f=-,所以f(x)的最小值为-,C正确;因为f=sin=0,f(0)=sin 0|cos 0|=0,故f=f(0),所以f(x)在上不单调递增,D错误.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
8.(2024·聊城三模)设函数f(x)的图象与函数y=2cos πx的图象关于x轴对称,将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则函数y=的图象与y=g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为(　　)
A.8 B.6 C.4 D.2
解析:由题意得f(x)=-2cos πx,则g(x)=-2cos
=-2sin πx(x∈[0,2]).
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
函数y=的图象由函数y=的图象向右
平移1个单位长度得到.因为函数y=的图象
与y=g(x)的图象均关于点(1,0)对称,在定义域
内有4个交点.所以函数y=的图象与y=g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为2×2=4.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
9.[多选]函数f(x)=Ksin(ωx+φ)的部分图象如图所示,A,D为图象与x轴的交点,B,C分别为图象的最高点与最低点,若·=,则下列结论正确的是(　　)
A.K=
B.△ABC的面积为2
C.ω=2
D.x=是f(x)的一条对称轴
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
解析:
审题破题:利用三角函数的图象求解选项A;利用·=计算出∠BAC=90°,利用三角函数图象的对称性求解AD=2,求解选项B,C;利用三角函数对称轴处三角函数值取最值求解选项D.
由题图可知K=,故A正确.
因为·==||||cos∠ABC=,所以||cos∠ABC=||,所以cos∠ABC=,所以∠BAC=90°.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
由对称性知AB=BD=CD,则AD=BD=AB,所以△ABD为正三角形.又函数最高点函数值为,所以AD=2,所以AB=2,AC=2,所以△ABC的面积为×AB·AC=×2×2=2,故B正确.
因为函数周期为2×2=4,所以ω==,故C错误.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
由上知f(x)=Ksin(ωx+φ)=sin,将x=代入得f=sin=0,则结合图象解得φ=,故f(x)=sin.令x=,得f=sin=-,则x=是f(x)的一条对称轴.故D正确.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
10.[多选]已知函数f(x)=sin(ω>0),则下列说法正确的是(　　)
A.若ω=1,则点是f(x)图象的对称中心
B.若f(x)≤f恒成立,则ω的最小值为2
C.若f(x)在上单调递增,则0<ω≤
D.若f(x)在[0,2π]上恰有2个零点,则≤ω≤
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
解析:若ω=1,则f=sin=sin π=0,由正弦函数的图象可知是f(x)图象的对称中心,故A正确;
若f(x)≤f恒成立,则ω×+=+2kπ(k∈Z),
解得ω=2+12k(k∈Z).又ω>0,所以ω的最小值为2,故B正确;
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
令g(x)=ωx+(ω>0),显然g(x)在上单调递增,且g(0)=,若f(x)在上单调递增,则g=ω×+≤,解得ω≤,所以0<ω≤,故C正确;
当x∈[0,2π]时,ωx+∈,若f(x)在[0,2π]上恰有2个零点,则2π≤2ωπ+<3π,(注意:这里要大于等于第2个零点2π,而小于第3个零点3π,注意不等式端点值的取舍)解得≤ω<,故D错误.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
11.[多选]已知函数f(x)=sin 2x-cos2xsin 2x,则 (　　)
A.f(x)是周期为的周期函数
B.点是函数f(x)图象的对称中心
C.f(x)的最大值为
D.直线x=是函数f(x)图象的对称轴
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
解析:由f(x)=sin 2x-cos2xsin 2x=sin 2x(1-cos2x)=sin 2x·sin2x=
sin 2x·=-,因为的最小正周期为=π,的最小正周期为=,故函数f(x)的最小正周期为π,故A错误;
由f+f=sin(π+2x)sin2+sin(π-2x)sin2=0,可得点是函数f(x)图象的对称中心,故B正确;
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
f'(x)=cos 2x-cos 4x=cos 2x-(2cos22x-1)=-2cos22x+cos 2x+1=(1-cos 2x)(2cos 2x+1),因为1-cos 2x≥0,所以当f'(x)≥0时,即2cos 2x+1≥0,则cos 2x∈,当f'(x)≤0时,即2cos 2x+1≤0,则cos 2x∈,因为f(x)的周期为π,所以只需讨论x∈[0,π]内的f(x)的最大值,此时当2x∈,2x∈时,f'(x)≥0,当2x∈,f'(x)≤0,所以当2x=时,即x=时,f(x)有极大值.又f=sin -sin =>f(π)=0,故C正确;
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
因为f(0)=0,f=-,且0与关于直线x=对称,
所以f≠f,
所以x=不是函数f(x)的对称轴,故D错误.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
12.(2024·南通考前押题卷)已知函数f(x)=sin 2x,若存在非零实数a,b,使f(x+a)=bf(x)恒成立,则满足条件的一组值可以是a=　 　　,b=　 　　　.
解析:若f(x+a)=bf(x),则sin[2(x+a)]=bsin 2x,
当a=2π时,sin 2x=bsin 2x,所以b=1,
故可取a=2π,b=1.(答案不唯一)
2π(答案不唯一)
1(答案不唯一)
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
13.已知函数f(x)=(sin x+cos x)cos x-,若f(x)在区间上的值域为,则实数m的取值范围是　　　　 .
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
解析:依题意,f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin,当x∈时,2x+∈.显然sin=-,sin=1,且正弦函数y=sin x在上单调递减,则由f(x)在区间上的值域为,得≤2m+≤,解得≤m≤,所以实数m的取值范围是.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
14.(2024·厦门质检)将函数f(x)=sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,若函数y=f(x)和y=g(x)在(0,π)上都恰好存在两个零点,则ω的取值范围是　　　　　.
审题破题:本题的解题关键是由角的范围确定函数y=f(x)和y=g(x)在(0,π)上两个零点的值,进而通过不等式求ω的取值范围.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
解析:当x∈(0,π)时,ωx+∈,函数y=f(x)在(0,π)上的两个零点只能满足ωx+=π或ωx+=2π,所以2π<ωπ+≤3π,解得<ω≤　①.由题意,得g(x)=sin,当x∈(0,π)时,ωx-+∈.由①知-∈,函数y=g(x)在(0,π)上的两个零点只能满足ωx-+=0或ωx-+=π,所以π<+≤2π,解得1<ω≤　②.由①②,得ω的取值范围是.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
15.[多选]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图中实线所示,图中圆C与f(x)的图象交于M,N两点,且M在y轴上,则下列结论正确的有 (　　)
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
A.函数f(x)的最小正周期是π
B.函数f(x)在上单调递减
C.曲线y=f(x)向左平移个单位长度后关于直线x=对称
D.若圆C的半径为,则f(x)=sin
解析:由题图可知C点的横坐标为=①,则T=-=,即T=π,故A正确;
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
因为ω>0,所以ω==2,得f(x)=Asin(2x+φ),将点代入f(x),得Asin=0,即-+φ=2kπ(k∈Z)②,得φ=+2kπ(k∈Z).因为0<φ<π,所以φ=,故f(x)=Asin.当-0,y=Asin z在上不具有单调性,故函数f(x)在上不是单调递减的,故B错误;
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
记函数f(x)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为g(x)=Asin=Asin=Acos 2x,其中g=Acos π=-A,故g(x)的图象关于直线x=对称,故C正确;
若圆C的半径为,连接CM(图略),则CM=,又xC=,所以+OM2=,解得OM=.将代入f(x)=Asin中,得Asin=,解得A=,则f(x)=sin,故D正确.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
关键点拨:①处,掌握三角函数的对称性是关键,否则得不出M,N关于C对称;
②处,注意点是函数f(x)的“上升零点”,因此-+φ=2kπ(k∈Z),而不是-+φ=kπ(k∈Z).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
16.[多选]已知函数f(x)=asin πx+bcos πx(b>0)的图象关于点对称,若|f(x1)-f(x2)|=|f(x3)-f(x4)|=|f(x5)-f(x6)|=4b(0A.a=-b B.函数f(x)的最大值为4b
C.|x1-x2|的最小值为1 D . xi的最小值为10
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
解析:由f(x)的图象关于点对称,得f=0,即a+b=0,解得a=-b,故A正确;
因为f(x)=-bsin πx+bcos πx,b>0,所以f(x)=2bcos,f(x)的最大值为2b,最小值为-2b,故B错误;
由|f(x1)-f(x2)|=4b,得f(x1)与f(x2)一个是最大值,另一个是最小值,即|x1-x2|的最小值为==1(T为f(x)的最小正周期),故C正确;
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
作出f(x)的大致图象,如图所示,
令πx+=kπ,k∈Z,得f(x)图象的对称轴
方程为x=k-,k∈Z,结合C中分析与|f(x1)-
f(x2)|=|f(x3)-f(x4)|=|f(x5)-f(x6)|=4b,得当 xi
最小时,f(x1)=f(x3)=f(x5)=-2b,f(x2)=f(x4)=f(x6)=2b且xi是f(x)在y轴右侧连续的最值点,即对应的x1,x2,…,x6如图所示, xi的最小值为++…+=19.故D错误.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
习得方法:三角函数与直线、曲线交点问题的解法
(1)抓住性质,利用诱导公式及辅助角公式化简三角函数式.
(2)作图象,根据解析式确定周期、振幅、相位等基础位置把图象作出来.
(3)确认交点位置,注意如果两个三角函数值相差2A,必然有一个是最大值,一个是最小值.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
17.函数f(x)=Acos x(A≠0)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到曲线C,若C在x=0对应的点处的切线方程是y=x+,写出曲线C的一条对称轴方程:　　　 　.
解析:记函数f(x)=Acos x(A≠0)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后所得图象对应的函数为g(x),则f(x-φ)=Acos(x-φ)=g(x),切点坐标为(0,Acos φ),g'(x)=-Asin(x-φ),(注意:复合函数求导注意系数的符号)g'(0)
=-Asin(0-φ)=Asin φ.
x=(答案不唯一)
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
所以切线方程为y-Acos φ=Asin φ(x-0),即y=Asin φ·x+Acos φ,则又0<φ<π,解得所以g(x)=2cos.由x-=kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,当k=0时,x=,所以曲线C的一条对称轴的方程可以为x=.
多元思维:得到g(x)的解析式后,其实无须利用整体代入法求对称轴,只需找到一个特值,如根据余弦函数图象的一条对称轴为直线x=0,令x-=0,得直线x=即为所求.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
18.已知函数f(x)=1+tan(ω∈Z且ω≠0)在区间上单
调递减,则函数g(x)=2cos2ωx+2sin ωxcos ωx-1在上的最大值与最小值的和为　　 .
解析:设f(x)的最小正周期为T,则 -π=,则|ω|≤2①.因为f(x)=1+tan(ω∈Z且ω≠0)在上单调递减,而函数y=tan x在(k∈Z)上单调递增,
所以ω<0.又ω∈Z,所以ω=-1或ω=-2②.
-1
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
①当ω=-1时,f(x)=1+tan,由π②当ω=-2时,f(x)=1+tan,由π1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
所以ω=-1,则g(x)=2cos2x-2sin xcos x-1=cos 2x-sin 2x=2=2cos,当x∈时,≤2x+≤,所以g(x)max=2cos= ,
所以g(x)max+g(x)min=-1.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
3
4
易错提醒:①处,不要混淆y=sin x,y=cos x与y=tan x的最小正周期;
②处,不要忽视验证ω=-1或ω=-2是否满足单调性,否则造成多解;
③处,y=2cos的最大值为2,最小值为-2,但结合余弦函数的图象可知在上,g(x)=-2可以取到,g(x)=2取不到,不要想当然地以为都能取到.(共45张PPT)
三角函数的图象与性质
习题讲评（一）
三角函数的图象与性质的命题主要集中于由三角函数的周期性、单调性和图象的对称性求参数或函数值、三角函数图象的变换,由函数的部分图象求函数解析式中的参数,进而求值,及给出三角函数解析式,借助图象数形结合求最值、交点个数等,一般在选择题、填空题中呈现,难度中档,有时与向量、导数相结合在压轴题的位置出现.
题点考法讲评
教学环节一
(每“教学点”学生先试作,教师再据情讲授)
CONTENTS
目录
1
2
教学点(一)　三角函数的图象及应用
教学点(二)　三角函数的性质及应用
3
教学点(三)　利用三角函数性质
求参数值或范围
三角函数的图象及应用
教学点（一）
[例1]　(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　)
A.3 B.4
C.6 D.8
√
解析:因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π,函数y=2sin的最小正周期为T=,所以在x∈[0,2π]上函数y=2sin有三个周期的图象,在坐标系中结合五点法
画出两函数图象,如图所示,
由图可知,两函数图象有6个交点.
故选C.
[例2]　将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),然后向右平移个单位长度,得到函数g(x)=sin(ωx+φ)
的图象,函数g(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)=sin B.f(x)=sin
C.f(x)=sin D.f(x)=sin
解析:由题图得g=1,即sin=,又点出现在函数图象的上升阶段,则ω+φ=+2kπ,k∈Z　①.由题图得g=0,且点出现在函数图象的下降阶段,则ω+φ=π+2kπ,k∈Z　②.
√
联立①②,解得ω=2,φ=-+2kπ,k∈Z,又|φ|<,故φ=-,则g(x)=sin.函数g(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin=sin的图象,
然后将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到函数f(x)的图象,则f(x)的解析式为f(x)=sin.
[思维建模] 确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法
(1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b= .
(2)求ω.确定函数的最小正周期T,则ω= .
(3)求φ.常用方法如下:
①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
[练1]　为了得到函数y=-cos的图象,只需将函数y=sin的图象(　　)
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
√
即时训练
解析:法一:
审题破题:先把平移前、后的函数化为同名三角函数,再根据“左加右减”判断.此题根据-cos=sin x变形.
因为y=-cos=-cos=sin=sin 2,y=sin 2=sin 2=sin,
所以将y=sin的图象向右平移个单位长度即可得到y=-cos的图象,故选D.
法二:函数y=sin的图象的一个最高点为,y=-cos的图象的一个最高点为,-=,所以应向右平移个单位长度.
收获感悟:平移关键点法解题的优势在于不需要将三角函数化为同名三角函数,直接找最高点即可快速判断.
[练2]　(2024·衡阳联考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)
的部分图象如图所示,f(0)=f
=f,则f=(　　)
A.0 B.-1
C.- D.-
√
解析:由题图可知,A=2,由f(0)=f=f,得T=-0=,且T=,所以=,解得ω=3,所以f(x)=2sin(3x+φ).由f=f,得f=f=-2,所以f=2sin=-2,即+φ=-+2kπ,k∈Z,即φ=-+2kπ,k∈Z,且|φ|<,当k=1时,φ=,所以f(x)=2sin,则f=2sin=-.
[练3]　(2024·长沙三模)已知函数f(x)=2sin x+2|cos x|,若f(x)=λ在[0,2π]上有且仅有4个不相等的实数根,则λ的取值范围为　　　 　.
解析:由题意知,当x∈[0,2π]时,
f(x)=2sin x+2|cos x|=
(2,2)∪(2,4)
作出f(x)在[0,2π]上的图象,如图所示,
结合图形可知,若f(x)=λ在[0,2π]上有且
仅有4个不相等的实数根,则2<λ<4且λ≠2,
即λ的取值范围为(2,2)∪(2,4).
解题关键:根据函数解析式作出函数图象,将方程的根的问题转化为f(x)的图象与直线y=λ的交点个数的问题,由于本题中函数f(x)是分段函数,故使用“五点作图法”作图时要找准关键点,作出准确图象,否则无法根据图象得解.
三角函数的性质及应用
教学点（二）
[例1]　(多选)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)
满足: x∈R,f(x)-f≤0成立,且f(x)在上有且仅有2个零点,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)在区间上单调递减
C.函数f(x)的一个对称中心为
D.函数f是奇函数
√
√
√
解析:因为 x∈R,f(x)-f≤0恒成立,所以f(x)的最大值为f,所以ω+φ=2kπ,k∈Z,即φ=-ω+2kπ,k∈Z.当x∈时,ωx+φ∈,又φ∈,f(x)在上有且仅有2个零点,所以<ω+φ≤,
所以<ω-ω+2kπ≤,k∈Z,即<2kπ≤,k∈Z,解得k=1,所以φ=-ω+2π.因为0<ω<6,ω∈N*,φ∈,所以ω=5,φ=,所以f(x)=2cos.函数f(x)的最小正周期T=,故A错误;
当x∈时,5x+∈,又y=cos x在上单调递减,所以函数f(x)在区间上单调递减,故B正确;
因为f=2cos=2cos=0,所以函数f(x)的一个对称中心为,故C正确;
因为f=2cos=2cos=2sin 5x,为奇函数,故D正确.
知识拓展:“有界性”是一个高等数学中的概念,表述为如果存在正数M,使得|f(x)|≤M对任意x∈X成立,那么函数在X上有界.显然f(x)=sin x,f(x)=cos x都在R上有界,利用这个性质可求得f(x)=Asin(ωx+φ)+b
(ω≠0,A≠0)的最值为±|A|+b.应用时注意自变量的范围.
[例2]　已知函数f(x)=2sin(3x+φ)(-π<φ<0)的一条对称轴为x=,当x∈[0,t]时,f(x)的最小值为-,则t的最大值为　　.
解析:因为函数f(x)=2sin(3x+φ)(-π<φ<0)的一条对称轴为x=,所以3×+φ=+kπ(k∈Z),解得φ=-+kπ(k∈Z).又-π<φ<0,所以φ=-,所以f(x)=2sin.
当x∈[0,t]时,f(x)的最小值为-,令3x-=u∈,则y=2sin u,由y=2sin u的图象与性质知,3t-≤,解得t≤.
[思维建模]
研究三角函数性质首先将函数解析式进行化简,转化为y=Asin(ωx+φ)+b的形式,通过整体代换,结合正弦函数y=sin x的性质求解.把ωx+φ看成一个整体处理,但是一定要保证ω>0,否则易出错,有时候结合图象进行分析,能达到事半功倍的效果.
[练1]　(2024·新课标Ⅱ卷)[多选]对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法正确的有(　　)
A.f(x)与g(x)有相同零点
B.f(x)与g(x)有相同最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
即时训练
√
即时训练
√
解析:令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即为f(x)零点,令g(x)=sin=0,解得x=+,k∈Z,即为g(x)零点,显然f(x),g(x)零点不同,故A错误;
显然f(x)max=g(x)max=1,故B正确;
f(x),g(x)的最小正周期均为=π,故C正确;
根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+ x=+(k∈Z),g(x)的对称轴满足2x-=kπ+ x=+(k∈Z),显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,故D错误.
[练2]　已知函数f(x)=2sin(0<ω<6)的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称,若f(x)在上的最小值为-1,则t的最大值是　　　　.
解析:函数f(x)=2sin(0<ω<6)的图象向左平移个单位长度后,图象所对应的解析式为y=2sin=2sin.
因为y=2sin的图象关于y轴对称,所以ω+=kπ+,k∈Z,可得ω=12k+2,k∈Z.又0<ω<6,所以ω=2,即f(x)=2sin.要使f(x)在上的最小值为-1,则y=sin在上的最小值为-.当x∈时,2x+∈.又sin=sin=-,所以-<2t+≤,解得-[练3]　(2024·北京模拟)已知函数f(x)=sin ωx-2cos ωx(ω>0),且f(α+x)=f(α-x).若两个不等的实数x1,x2满足f(x1)f(x2)=5且|x1-x2|min=π,则sin 4α=　　　　.
解析:因为f(x)=sin ωx-2cos ωx=sin(ωx-φ),其中tan φ=2,由f(α+x)=f(α-x),得f(x)关于x=α对称,又两个不等的实数x1,x2满足f(x1)f(x2)=5且|x1-x2|min=π,所以f(x)的最小正周期T=π.又ω>0,所以=π,解得ω=2,所以f(x)=sin(2x-φ),所以2α-φ=+kπ,k∈Z,则2α=φ++kπ,k∈Z,所以sin 4α=sin 2=sin(2φ+π+2kπ)=-sin 2φ====-.
利用三角函数性质求参数值或范围
教学点（三）
[例1]　已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且在区间上具有单调性,则φ和ω的值为(　　)
A.φ=,ω=或ω=3 B.φ=,ω=或ω=2
C.φ=,ω=或ω=2 D.φ=,ω=或ω=2
√
解析:由f(x)是偶函数,得f(x)=f(-x),故sin(ωx+φ)=sin(-ωx+φ),所以cos φsin ωx=-cos φsin ωx对任意x都成立,且ω>0,所以cos φ=0.又0≤φ≤π,所以φ=.由f(x)的图象关于点M对称,得f=-f.令x=0,得f=-f,所以f=0.
因为f=sin=cos,所以cos=0.
又ω>0,得=+kπ,k=0,1,2,…,解得ω=(2k+1),k=0,1,2,….
当k=0时,ω=,(巧变通:根据选项可以发现ω的取值不止一个,
所以要对k分类讨论)f(x)=sin在上单调递减;当k=1时,ω=2,
f(x)=sin在上单调递减;当k≥2时,ω≥,f(x)=sin(ωx+φ)在上不具有单调性.
综上可得,ω=或ω=2.故选C.
[例2]　(2024·合肥三模)已知函数f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx+
(ω>0)在区间[0,π)上只有一个零点和两个最大值点,则ω的取值范围
是　　　　.
解析:由题意,f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx+=sin 2ωx+cos 2ωx+1=sin+1,由x∈[0,π),ω>0,得2ωx+∈.
当f(x)=0时,sin=-1,当f(x)最大时,sin也最大.若f(x)在区间[0,π)上只有一个零点和两个最大值点,则只需<2πω+≤,
(解题关键:这里要大于第2个最大值点,小于等于第2个零点,注意端点值的取舍)
解得<ω≤.
[思维建模]　利用三角函数性质求参数的一般步骤
(1)根据题目的条件,得到函数f(x)图象的对称轴、对称中心(零点)或函数的最值点所满足的关系,从而建立方程(组)或不等式(组).
(2)解这些方程(组)或不等式(组),得到答案.
[练1]　已知函数f(x)=2cos+1(ω>0)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
√
即时训练
解析:由x∈(0,2π),ω>0,令z=ωx-,则z∈,
(注意:换元后,要注意新元的取值范围)
画出y=2cos z+1的图象,如图所示,要使函数f(x)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则2ωπ-∈,解得ω∈,故选A.
[练2]　已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x),若g(x)在上具有单调性,则φ的最小值为　　　　.
解析:∵函数f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,∴函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度后得到g(x)=2sin=2sin.
当-≤x≤时,2φ-≤2x+2φ+≤2φ+,又g(x)在上具有单调性,由正弦函数的单调性可知,
(k∈Z)或 (k∈Z) ①.要使φ最小,则k取0,
故有或结合φ>0,解得≤φ≤.
故φ的最小值为.
关键点拨:①处,题干中只说了g(x)在区间上具有单调性,没说是单调递增还是单调递减,因此要分类讨论.板块二　三角函数与解三角形
二轮学前预备·激活基本知能
一、由知识联系探析命题趋向
二、由核心纲要激活内存知识
1.三角函数的运算
(1)同角关系:sin2α+cos2α=1,=tan α.
(2)诱导公式:在+α,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.
(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
①sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;
②cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β;
③tan(α±β)=.
(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式
①sin 2α=2sin αcos α;
②cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
③tan 2α=.
(5)万能公式
①sin θ=;②cos θ=;
③tan θ=,其中θ≠2kπ+π,且θ≠+kπ,k∈Z.
(6)辅助角公式:y=asin x+bcos x=·(sin xcos φ+cos xsin φ)=·sin(x+φ),其中角φ的终边所在象限由a,b的符号确定,角φ的值由tan φ=(a≠0)确定.
2.三角函数的图象
由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的步骤
3.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质 (1)单调性:由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得单调递增区间,由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得单调递减区间. (2)对称性:由ωx+φ=kπ(k∈Z)可得对称中心;由ωx+φ=kπ+(k∈Z)可得对称轴. (3)奇偶性:当φ=kπ(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数;当φ=kπ+(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数. 4.正弦定理、余弦定理 (1)正弦定理:在△ABC中,===2R(R为△ABC的外接圆半径). 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,sin A=,sin B=, sin C=,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C等. [自助空间]
(2)余弦定理:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A. 变形:b2+c2-a2=2bccos A,cos A=. (3)三角形的面积公式:S=absin C=acsin B=bcsin A. (4)解三角形中的常用结论 ①等价关系:A>B a>b sin A>sin B cos A习题讲评(一)　三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质的命题主要集中于由三角函数的周期性、单调性和图象的对称性求参数或函数值、三角函数图象的变换,由函数的部分图象求函数解析式中的参数,进而求值,及给出三角函数解析式,借助图象数形结合求最值、交点个数等,一般在选择题、填空题中呈现,难度中档,有时与向量、导数相结合在压轴题的位置出现.
教学环节一　题点考法讲评(每“教学点”学生先试作,教师再据情讲授)
教学点(一)　三角函数的图象及应用
[例1]　(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为 (　　) A.3 B.4 C.6 D.8 [例2]　将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),然后向右平移个单位长度,得到函数g(x)=sin(ωx+φ)的图象,函数g(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为 (　　) A.f(x)=sin B.f(x)=sin C.f(x)=sin D.f(x)=sin [练1]　为了得到函数y=-cos的图象,只需将函数y=sin的图象 (　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 [练2]　(2024·衡阳联考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,f(0)=f=f,则f= (　　) [自助空间] 思维建模:确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法 (1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=. (2)求ω.确定函数的最小正周期T,则ω=. (3)求φ.常用方法如下: ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入. ②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
A.0 B.-1 C.- D.- [练3]　(2024·长沙三模)已知函数f(x)=2sin x+2|cos x|,若f(x)=λ在[0,2π]上有且仅有4个不相等的实数根,则λ的取值范围为　　　　. [练3]　解题关键: 根据函数解析式作出函数图象,将方程的根的问题转化为f(x)的图象与直线y=λ的交点个数的问题,由于本题中函数f(x)是分段函数,故使用“五点作图法”作图时要找准关键点,作出准确图象,否则无法根据图象得解.
教学点(二)　三角函数的性质及应用
[例1]　(多选)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)满足: x∈R,f(x)-f≤0成立,且f(x)在上有且仅有2个零点,则下列说法正确的是 (　　) A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)在区间上单调递减 C.函数f(x)的一个对称中心为 D.函数f是奇函数 [例2]　已知函数f(x)=2sin(3x+φ)(-π<φ<0)的一条对称轴为x=,当x∈[0,t]时,f(x)的最小值为-,则t的最大值为　　　　. [练1]　(2024·新课标Ⅱ卷)[多选]对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法正确的有 (　　) A.f(x)与g(x)有相同零点 B.f(x)与g(x)有相同最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 [自助空间] 思维建模: 研究三角函数性质首先将函数解析式进行化简,转化为y=Asin(ωx+φ)+b的形式,通过整体代换,结合正弦函数y=sin x的性质求解.把ωx+φ看成一个整体处理,但是一定要保证ω>0,否则易出错,有时候结合图象进行分析,能达到事半功倍的效果. [例1]　知识拓展: “有界性”是一个高等数学中的概念,表述为如果存在正数M,使得|f(x)|≤M对任意x∈X成立,那么函数在X上有界.显然f(x)=sin x,f(x)=cos x都在R上有界,利用这个性质可求得f(x)=Asin(ωx+φ)+b(ω≠0,A≠0)的最值为±|A|+b.应用时注意自变量的范围.
[练2]　已知函数f(x)=2sin(0<ω<6)的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称,若f(x)在上的最小值为-1,则t的最大值是　　　　. [练3]　(2024·北京模拟)已知函数f(x)=sin ωx-2cos ωx(ω>0),且f(α+x)=f(α-x).若两个不等的实数x1,x2满足f(x1)f(x2)=5且|x1-x2|min=π,则sin 4α=　　　　.
教学点(三)　利用三角函数性质求参数值或范围
[例1]　已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且在区间上具有单调性,则φ和ω的值为 (　　) A.φ=,ω=或ω=3 B.φ=,ω=或ω=2 C.φ=,ω=或ω=2 D.φ=,ω=或ω=2 [例2]　(2024·合肥三模)已知函数f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx+(ω>0)在区间[0,π)上只有一个零点和两个最大值点,则ω的取值范围是　　　　. [练1]　已知函数f(x)=2cos+1(ω>0)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则ω的取值范围是 (　　) A. B. C. D. [练2]　已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x),若g(x)在上具有单调性,则φ的最小值为　　　　. [自助空间] 思维建模: 利用三角函数性质求参数的一般步骤 (1)根据题目的条件,得到函数f(x)图象的对称轴、对称中心(零点)或函数的最值点所满足的关系,从而建立方程(组)或不等式(组). (2)解这些方程(组)或不等式(组),得到答案.
教学环节二　课时作业讲评(教师批阅作业后,据情选点讲评)
1.(2024·苏锡常镇调研)函数f(x)=sin在区间(0,2π)内的零点个数为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 2.(2024·潍坊二模)将函数f(x)=cos x的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到g(x)的图象,则g(x)= (　　) A.sin 2x B.sin C.-sin D.cos 2x 3.(2024·鹰潭三模)已知函数f(x)=acos ωx+sin ωx(ω>0),若f=且f(x)≥f,则ω的最小值为 (　　) A.11 B.5 C.9 D.7 4.已知f(x)=Asin+B(A>0,ω>0),f(x)max=f(x1)=3,f(x)min=f(x2)=-1,且|x1-x2|的最小值为,则函数f(x)的解析式为 (　　) A.f(x)=2sin-1 B.f(x)=2sin+1 C.f(x)=2sin-1 D.f(x)=2sin+1 5.(2024·梅州二模)若把函数f(x)=sin x+acos x的图象向左平移个单位长度后得到的是一个偶函数,则a= (　　) A. B.- C. D.- 6.(2024·天津高考)已知函数f(x)=sin 3(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)在的最小值为 (　　) A.- B.- C.0 D. [自助空间] 第2题　易错提醒: 在图象变换中务必分清先平移,还是先伸缩,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后,再确定变换的单位和长度. 第4题　知识拓展: (1)正弦曲线和余弦曲线相邻的两条对称轴之间距离的2倍是一个周期. (2)正弦曲线和余弦曲线相邻的一条对称轴和一个对称中心之间距离的4倍是一个周期. (3)正切曲线相邻的两个对称中心之间距离的2倍是一个周期.
7.(2024·山东二模)[多选]已知函数f(x)=sin x·|cos x|,下列说法正确的是 (　　) A.f(x)是奇函数 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)的最小值为- D.f(x)在上单调递增 8.(2024·聊城三模)设函数f(x)的图象与函数y=2cos πx的图象关于x轴对称,将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则函数y=的图象与y=g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为 (　　) A.8 B.6 C.4 D.2 9.[多选]函数f(x)=Ksin(ωx+φ)的部分图象如图所示,A,D为图象与x轴的交点,B,C分别为图象的最高点与最低点,若·=,则下列结论正确的是 (　　) A.K= B.△ABC的面积为2 C.ω=2 D.x=是f(x)的一条对称轴 10.[多选]已知函数f(x)=sin(ω>0),下列说法正确的是 (　　) A.若ω=1,则点是f(x)图象的对称中心 B.若f(x)≤f恒成立,则ω的最小值为2 C.若f(x)在上单调递增,则0<ω≤ D.若f(x)在[0,2π]上恰有2个零点,则≤ω≤ 11.[多选]已知函数f(x)=sin 2x-cos2xsin 2x,则 (　　) A.f(x)是周期为的周期函数 B.点是函数f(x)图象的对称中心 C.f(x)的最大值为 D.直线x=是函数f(x)图象的对称轴 12.(2024·南通考前押题卷)已知函数f(x)=sin 2x,若存在非零实数a,b,使f(x+a)=bf(x)恒成立,则满足条件的一组值可以是a=　　　　,b=　　　　. 13.已知函数f(x)=(sin x+cos x)cos x-,若f(x)在区间上的值域为,则实数m的取值范围是　　　　. 14.(2024·厦门质检)将函数f(x)=sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,若函数y=f(x)和y=g(x)在(0,π)上都恰好存在两个零点,则ω的取值范围是　　　 　. 15.[多选]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图中实线所示, 图中圆C与f(x)的图象交于M,N两点,且M在y轴上, 则下列结论正确的有 (　　) A.函数f(x)的最小正周期是π B.函数f(x)在上单调递减 C.曲线y=f(x)向左平移个单位长度后关于直线x=对称 D.若圆C的半径为,则f(x)=sin 16.[多选]已知函数f(x)=asin πx+bcos πx(b>0)的图象关于点对称,若|f(x1)-f(x2)|=|f(x3)-f(x4)|=|f(x5)-f(x6)|=4b(0习题讲评(一)　三角函数的图象与性质
教学环节一　题点考法讲评
教学点(一)　三角函数的图象及应用
[例1]　选C　
因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π,函数y=2sin的最小正周期为T=,
所以在x∈[0,2π]上函数y=2sin有三个周期的图象,在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示,由图可知,两函数图象有6个交点.故选C.
[例2]　选B　
由题图得g=1,即sin=,又点出现在函数图象的上升阶段,则ω+φ=+2kπ,k∈Z　①.由题图得g=0,且点出现在函数图象的下降阶段,则ω+φ=π+2kπ,k∈Z　②.联立①②,解得ω=2,φ=-+2kπ,k∈Z,又|φ|<,故φ=-,则g(x)=sin.函数g(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin=sin的图象,
然后将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到函数f(x)的图象,则f(x)的解析式为f(x)=sin.
[练1]　选D　
法一:
审题破题:先把平移前、后的函数化为同名三角函数,再根据“左加右减”判断.此题根据-cos=sin x变形.
因为y=-cos=-cos=sin=sin 2,y=sin 2=sin 2=sin,所以将y=sin的图象向右平移个单位长度即可得到y=-cos的图象,故选D.
法二:函数y=sin的图象的一个最高点为,y=-cos的图象的一个最高点为,-=,所以应向右平移个单位长度.
收获感悟:平移关键点法解题的优势在于不需要将三角函数化为同名三角函数,直接找最高点即可快速判断.
[练2]　选C　
由题图可知,A=2,由f(0)=f=f,得T=-0=,且T=,所以=,解得ω=3,所以f(x)=2sin(3x+φ).由f=f,得f=f=-2,所以f=2sin=-2,即+φ=-+2kπ,k∈Z,即φ=-+2kπ,k∈Z,且|φ|<,当k=1时,φ=,所以f(x)=2sin,则f=2sin=-.
[练3]　答案:(2,2)∪(2,4)
解析:由题意知,当x∈[0,2π]时,f(x)=2sin x+2|cos x|=
作出f(x)在[0,2π]上的图象,如图所示,
结合图形可知,若f(x)=λ在[0,2π]上有且仅有4个不相等的实数根,则2<λ<4且λ≠2,即λ的取值范围为(2,2)∪(2,4).
教学点(二)　三角函数的性质及应用
[例1]　选BCD　
因为 x∈R,f(x)-f≤0恒成立,所以f(x)的最大值为f,所以ω+φ=2kπ,k∈Z,即φ=-ω+2kπ,k∈Z.当x∈时,ωx+φ∈,又φ∈,f(x)在上有且仅有2个零点,所以<ω+φ≤,
所以<ω-ω+2kπ≤,k∈Z,即<2kπ≤,k∈Z,解得k=1,所以φ=-ω+2π.因为0<ω<6,ω∈N*,φ∈,所以ω=5,φ=,所以f(x)=2cos.
函数f(x)的最小正周期T=,故A错误;
当x∈时,5x+∈,又y=cos x在上单调递减,所以函数f(x)在区间上单调递减,故B正确;
因为f=2cos=2cos=0,所以函数f(x)的一个对称中心为,故C正确;
因为f=2cos=2cos=2sin 5x,为奇函数,故D正确.
[例2]　答案:
解析:因为函数f(x)=2sin(3x+φ)(-π<φ<0)的一条对称轴为x=,所以3×+φ=+kπ(k∈Z),解得φ=-+kπ(k∈Z).又-π<φ<0,所以φ=-,所以f(x)=2sin.
当x∈[0,t]时,f(x)的最小值为-,令3x-=u∈,则y=2sin u,由y=2sin u的图象与性质知,3t-≤,解得t≤.
[练1]　选BC　
令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即为f(x)零点,令g(x)=sin=0,解得x=+,k∈Z,即为g(x)零点,显然f(x),g(x)零点不同,故A错误;
显然f(x)max=g(x)max=1,故B正确;
f(x),g(x)的最小正周期均为=π,故C正确;
根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+ x=+(k∈Z),g(x)的对称轴满足2x-=kπ+ x=+(k∈Z),显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,故D错误.
[练2]　答案:
解析:函数f(x)=2sin(0<ω<6)的图象向左平移个单位长度后,图象所对应的解析式为y=2sin=2sin.因为y=2sin的图象关于y轴对称,所以ω+=kπ+,k∈Z,可得ω=12k+2,k∈Z.又0<ω<6,所以ω=2,即f(x)=2sin.要使f(x)在上的最小值为-1,则y=sin在上的最小值为-.当x∈时,2x+∈.又sin=sin=-,所以-<2t+≤,解得-[练3]　答案:-
解析:因为f(x)=sin ωx-2cos ωx=sin(ωx-φ),其中tan φ=2,由f(α+x)=f(α-x),得f(x)关于x=α对称,又两个不等的实数x1,x2满足f(x1)f(x2)=5且|x1-x2|min=π,所以f(x)的最小正周期T=π.又ω>0,所以=π,解得ω=2,所以f(x)=sin(2x-φ),所以2α-φ=+kπ,k∈Z,则2α=φ++kπ,k∈Z,所以sin 4α=sin 2=sin(2φ+π+2kπ)=-sin 2φ====-.
教学点(三)　利用三角函数性质求参数值或范围
[例1]　选C　
由f(x)是偶函数,得f(x)=f(-x),故sin(ωx+φ)=sin(-ωx+φ),所以cos φsin ωx=-cos φsin ωx对任意x都成立,且ω>0,所以cos φ=0.又0≤φ≤π,所以φ=.由f(x)的图象关于点M对称,得f=-f.令x=0,得f=-f,所以f=0.因为f=sin=cos,所以cos=0.又ω>0,得=+kπ,k=0,1,2,…,解得ω=(2k+1),k=0,1,2,….当k=0时,ω=,
(巧变通:根据选项可以发现ω的取值不止一个,所以要对k分类讨论)
f(x)=sin在上单调递减;当k=1时,ω=2,f(x)=sin在上单调递减;当k≥2时,ω≥,f(x)=sin(ωx+φ)在上不具有单调性.
综上可得,ω=或ω=2.故选C.
[例2]　答案:
解析:由题意,f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx+=sin 2ωx+cos 2ωx+1=sin+1,由x∈[0,π),ω>0,得2ωx+∈.当f(x)=0时,sin=-1,当f(x)最大时,sin也最大.若f(x)在区间[0,π)上只有一个零点和两个最大值点,则只需<2πω+≤,
(解题关键:这里要大于第2个最大值点,小于等于第2个零点,注意端点值的取舍)
解得<ω≤.
[练1]　选A　
由x∈(0,2π),ω>0,令z=ωx-,则z∈,
(注意:换元后,要注意新元的取值范围)
画出y=2cos z+1的图象,如图所示,
要使函数f(x)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则2ωπ-∈,解得ω∈,故选A.
[练2]　答案:
解析:∵函数f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,∴函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度后得到g(x)=2sin=2sin.当-≤x≤时,2φ-≤2x+2φ+≤2φ+,又g(x)在上具有单调性,由正弦函数的单调性可知, (k∈Z)或 (k∈Z)①.要使φ最小,则k取0,故有或结合φ>0,解得≤φ≤.故φ的最小值为.
关键点拨:①处,题干中只说了g(x)在区间上具有单调性,没说是单调递增还是单调递减,因此要分类讨论.
教学环节二　课时作业讲评
1.选C　
令f(x)=sin=0,得2x+=kπ(k∈Z),则x=-+(k∈Z).故当k=1时,x=;当k=2时,x=;当k=3时,x=;当k=4时,x=,所以f(x)在(0,2π)内共有4个零点,故选C.
2.选B　
将函数f(x)=cos x的图象向右平移个单位长度,得到y=cos=sin x的图象,再将所得图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到g(x)=sin的图象.故选B.
3.选D　
由f(x)≥f可知,f(x)在x=取得最小值,所以函数f(x)的一条对称轴为x=.又0+=2×,因此f=f(0)=,即a=.所以f(x)=cos ωx+sin ωx=2sin.又f(x)在x=取得最小值,可知ω+=+2kπ,k∈Z,解得ω=7+12k,k∈Z.又ω>0,所以k=0时,ω取得最小值为7.
4.选D　
由f(x)max=A+B,f(x)min=-A+B,即解得设f(x)的最小正周期为T,由|x1-x2|的最小值为,得T=,即T=π.因为ω>0,所以ω==2,故f(x)=2sin+1.
5.选C　
把函数f(x)=sin x+acos x的图象向左平移个单位长度后得到g(x)=sin+acos的图象,又g(-x)=g(x),则sin+acos=sin+acos,即cos x-sin x+a=sin x+cos x+a,即sin x=sin x,该方程对任意x∈R恒成立,则a-=-a,解得a=.
6.选A　
由f(x)的最小正周期为π,得π=,所以ω=,所以f(x)=sin(2x+π)=-sin 2x.当x∈时,2x∈,当2x=时,y=sin 2x取得最大值.所以f(x)min=-.
7.选AC　
函数f(x)的定义域为R,有f(-x)=sin(-x)|cos(-x)|=-sin x|cos x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,A正确;
因为f=sin=-,f=sin·=,f≠f,所以π不是f(x)的周期,B错误;
因为f(x)=sin x·|cos x|≥-|sin xcos x|=-|sin 2x|≥-,f=-,所以f(x)的最小值为-,C正确;
因为f=sin=0,f(0)=sin 0|cos 0|=0,故f=f(0),所以f(x)在上不单调递增,D错误.
8.选C　
由题意得f(x)=-2cos πx,则g(x)=-2cos=-2sin πx(x∈[0,2]).函数y=的图象由函数y=的图象向右平移1个单位长度得到.因为函数y=
的图象与y=g(x)的图象均关于点(1,0)对称,在定义域内有4个交点.所以函数y=的图象与y=g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为2×2=4.
9.选ABD　
审题破题:利用三角函数的图象求解选项A;利用·=计算出∠BAC=90°,利用三角函数图象的对称性求解AD=2,求解选项B,C;利用三角函数对称轴处三角函数值取最值求解选项D.
由题图可知K=,故A正确.
因为·==||||cos∠ABC=,所以||cos∠ABC=||,所以cos∠ABC=,所以∠BAC=90°.由对称性知AB=BD=CD,则AD=BD=AB,所以△ABD为正三角形.又函数最高点函数值为,所以AD=2,所以AB=2,AC=2,所以△ABC的面积为×AB·AC=×2×2=2,故B正确.
因为函数周期为2×2=4,所以ω==,故C错误.
由上知f(x)=Ksin(ωx+φ)=sin,将x=代入得f=sin=0,则结合图象解得φ=,故f(x)=sin.令x=,得f=sin=-,则x=是f(x)的一条对称轴.故D正确.
10.选ABC　
若ω=1,则f=sin=sin π=0,由正弦函数的图象可知是f(x)图象的对称中心,故A正确;
若f(x)≤f恒成立,则ω×+=+2kπ(k∈Z),
解得ω=2+12k(k∈Z).又ω>0,所以ω的最小值为2,故B正确;
令g(x)=ωx+(ω>0),显然g(x)在上单调递增,且g(0)=,若f(x)在上单调递增,则g=ω×+≤,解得ω≤,所以0<ω≤,故C正确;
当x∈[0,2π]时,ωx+∈,若f(x)在[0,2π]上恰有2个零点,则2π≤2ωπ+<3π,
(注意:这里要大于等于第2个零点2π,而小于第3个零点3π,注意不等式端点值的取舍)
解得≤ω<,故D错误.
11.选BC　
由f(x)=sin 2x-cos2xsin 2x=sin 2x(1-cos2x)=sin 2x·sin2x=sin 2x·=-,因为的最小正周期为=π,的最小正周期为=,故函数f(x)的最小正周期为π,故A错误;
由f+f=sin(π+2x)sin2+sin(π-2x)sin2=0,可得点是函数f(x)图象的对称中心,故B正确;
f'(x)=cos 2x-cos 4x=cos 2x-(2cos22x-1)=-2cos22x+cos 2x+1=(1-cos 2x)(2cos 2x+1),因为1-cos 2x≥0,所以当f'(x)≥0时,即2cos 2x+1≥0,则cos 2x∈,当f'(x)≤0时,即2cos 2x+1≤0,则cos 2x∈,因为f(x)的周期为π,所以只需讨论x∈[0,π]内的f(x)的最大值,此时当2x∈,2x∈时,f'(x)≥0,当2x∈,f'(x)≤0,所以当2x=时,即x=时,f(x)有极大值.又f=sin -sin =>f(π)=0,故C正确;
因为f(0)=0,f=-,且0与关于直线x=对称,所以f≠f,所以x=不是函数f(x)的对称轴,故D错误.
12.答案:2π(答案不唯一)　1(答案不唯一)
解析:若f(x+a)=bf(x),则sin[2(x+a)]=bsin 2x,当a=2π时,sin 2x=bsin 2x,所以b=1,故可取a=2π,b=1.(答案不唯一)
13.答案:
解析:依题意,f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin,当x∈时,2x+∈.显然sin=-,sin=1,且正弦函数y=sin x在上单调递减,则由f(x)在区间上的值域为,得≤2m+≤,解得≤m≤,所以实数m的取值范围是.
14.答案:
审题破题:本题的解题关键是由角的范围确定函数y=f(x)和y=g(x)在(0,π)上两个零点的值,进而通过不等式求ω的取值范围.
解析:当x∈(0,π)时,ωx+∈,函数y=f(x)在(0,π)上的两个零点只能满足ωx+=π或ωx+=2π,所以2π<ωπ+≤3π,解得<ω≤　①.由题意,得g(x)=sin,当x∈(0,π)时,ωx-+∈.由①知-∈,函数y=g(x)在(0,π)上的两个零点只能满足ωx-+=0或ωx-+=π,所以π<+≤2π,解得1<ω≤　②.由①②,得ω的取值范围是.
15.选ACD　
由题图可知C点的横坐标为=①,则T=-=,即T=π,故A正确;
因为ω>0,所以ω==2,得f(x)=Asin(2x+φ),将点代入f(x),得Asin=0,即-+φ=2kπ(k∈Z)②,得φ=+2kπ(k∈Z).因为0<φ<π,所以φ=,故f(x)=Asin.当-0,y=Asin z在上不具有单调性,故函数f(x)在上不是单调递减的,故B错误;
记函数f(x)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为g(x)=Asin=Asin=Acos 2x,其中g=Acos π=-A,故g(x)的图象关于直线x=对称,故C正确;
若圆C的半径为,连接CM(图略),则CM=,又xC=,所以+OM2=,解得OM=.将代入f(x)=Asin中,得Asin=,解得A=,则f(x)=sin,故D正确.
关键点拨:①处,掌握三角函数的对称性是关键,否则得不出M,N关于C对称;
②处,注意点是函数f(x)的“上升零点”,因此-+φ=2kπ(k∈Z),而不是-+φ=kπ(k∈Z).
16.选AC　
由f(x)的图象关于点对称,得f=0,即a+b=0,解得a=-b,故A正确;
因为f(x)=-bsin πx+bcos πx,b>0,所以f(x)=2bcos,f(x)的最大值为2b,最小值为-2b,故B错误;
由|f(x1)-f(x2)|=4b,得f(x1)与f(x2)一个是最大值,另一个是最小值,即|x1-x2|的最小值为==1(T为f(x)的最小正周期),故C正确;
作出f(x)的大致图象,如图所示,令πx+=kπ,k∈Z,得f(x)图象的对称轴方程为x=k-,k∈Z,结合C中分析与|f(x1)-f(x2)|=|f(x3)-f(x4)|=|f(x5)-f(x6)|=4b,得当xi最小时,f(x1)=f(x3)=f(x5)=-2b,f(x2)=f(x4)=f(x6)=2b且xi是f(x)在y轴右侧连续的最值点,即对应的x1,x2,…,x6如图所示, xi的最小值为++…+=19.故D错误.
17.答案:x=(答案不唯一)
解析:记函数f(x)=Acos x(A≠0)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后所得图象对应的函数为g(x),则f(x-φ)=Acos(x-φ)=g(x),切点坐标为(0,Acos φ),g'(x)=-Asin(x-φ),
(注意:复合函数求导注意系数的符号)
g'(0)=-Asin(0-φ)=Asin φ.所以切线方程为y-Acos φ=Asin φ(x-0),即y=Asin φ·x+Acos φ,则又0<φ<π,解得所以g(x)=2cos.由x-=kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,当k=0时,x=,所以曲线C的一条对称轴的方程可以为x=.
多元思维:得到g(x)的解析式后,其实无须利用整体代入法求对称轴,只需找到一个特值,如根据余弦函数图象的一条对称轴为直线x=0,令x-=0,得直线x=即为所求.
18.答案:-1
解析:设f(x)的最小正周期为T,则T=≥-π=,则|ω|≤2①.因为f(x)=1+tan(ω∈Z且ω≠0)在上单调递减,而函数y=tan x在(k∈Z)上单调递增,所以ω<0.又ω∈Z,所以ω=-1或ω=-2②.
①当ω=-1时,f(x)=1+tan,由π②当ω=-2时,f(x)=1+tan,由π易错提醒:①处,不要混淆y=sin x,y=cos x与y=tan x的最小正周期;
②处,不要忽视验证ω=-1或ω=-2是否满足单调性,否则造成多解;
③处,y=2cos的最大值为2,最小值为-2,但结合余弦函数的图象可知在上,g(x)=-2可以取到,g(x)=2取不到,不要想当然地以为都能取到.

展开更多......

收起↑