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(共20张PPT)
课时作业讲评
教学环节二
(教师批阅作业后,据情选点讲评)
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1.为提高学生的思想政治觉悟,激发爱国热情,增强国防观念和国家安全意识,某校进行军训打靶竞赛.规则如下:每人共有3次机会,击中靶心得1分,否则得0分.已知甲选手第一枪击中靶心的概率为,且满足:如果第n次射击击中靶心概率为p,那么当第n次击中靶心时,第n+1次击中靶心的概率也为p,否则第n+1次击中靶心的概率为.
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(1)求甲选手得分X的分布列及其数学期望;
解:甲选手得分X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=××=,P(X=1)=××+××+××=.
P(X=2)=××+××+××=,P(X=3)=××=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的数学期望是E(X)=0×+1×+2×+3×=.
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(2)有如下定义:设X是一个随机变量,x是任意实数,函数F(x)=P(X≤x),x∈R称为X的分布函数,对于任意实数x1,x2(x1①写出(1)中甲选手得分X的分布函数(分段函数形式);
②靶子是半径为2的一个圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,假如选手射击都能中靶,以Y表示子弹着点与圆心的距离.试求随机变量Y的分布函数.
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解:①X的分布函数为F(x)=
②设随机变量Y的分布函数为G(x), 若x<0,此时G(x)=0;
若0≤x≤2,由题意设P(0≤Y≤x)=kx2,
当x=2时,有P(0≤Y≤2)=k·22=4k,又因为P(0≤Y≤2)=1,
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所以k=,即P(0≤Y≤x)=,
所以G(x)=P(Y≤x)=P(Y<0)+P(0≤Y≤x)=.
若x>2,此时G(x)=P(Y≤x)=1, 综上所述,G(x)=
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2.甲进行摸球跳格游戏.图上标有第1格,第2格,…,第25格,棋子开始在第1格.盒中有5个大小相同的小球,其中3个红球,2个白球(5个球除颜色外其他都相同).每次甲在盒中随机摸出两球,记下颜色后放回盒中,若两球颜色相同,棋子向前跳1格;若两球颜色不同,棋子向前跳2格.直到棋子跳到第24格或第25格时,游戏结束.记棋子跳到第n格的概率为Pn(n=1,2,3,…,25).
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(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X,求X的分布列和期望;
解:根据题意可知X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)==,P(X=1)===,P(X=2)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
期望E(X)=0×+1×+2×=.
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(2)证明:数列{Pn-Pn-1}(n=2,3,…,24)为等比数列.
解:证明:依题意,当3≤n≤23时,棋子跳到第n格有两种可能:
第一种,棋子先跳到第n-2格,再摸出两球颜色不同;
第二种,棋子先跳到第n-1格,再摸出两球颜色相同.
易知摸出两球颜色不同,即跳两格的概率为=,
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摸出两球颜色相同,即跳一格的概率为=,
因此可得Pn=Pn-2+Pn-1.所以Pn-Pn-1=Pn-2+Pn-1-Pn-1=-(Pn-1-Pn-2),
因此可得=-.
故数列{Pn-Pn-1}(n=2,3,…,24)是公比为-的等比数列.
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3.某学校有A,B两个餐厅,经统计发现,学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐.此后,如果某同学某天去A餐厅,那么该同学第二天还去A餐厅的概率为;如果某同学某天去B餐厅,那么该同学第二天去A餐厅的概率为.
(1)记甲、乙、丙3位同学中第2天选择A餐厅的人数为X,求随机变量X的分布列和期望;
解:设一位同学第2天选择去A餐厅就餐的概率为P,
则P=×+×=.
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∴X~B,∴P(X=0)=××=,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=,P(X=3)=××=,
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则X的期望为E(X)=3×=.
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(2)甲同学第几天去A餐厅就餐的可能性最大 并说明理由.
解:设甲同学第n天去A餐厅的概率为Pn,则P1=,当n≥2时,Pn=Pn-1+(1-Pn-1)=-Pn-1+,∴Pn-=-,又P1-=-,
∴是以-为首项,-为公比的等比数列,
∴Pn-=-×,∴Pn=-×,
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当n是奇数时,Pn=-×<;
当n是偶数时,Pn=+×>,
则P2>P4>P6>…>P2k>,k∈N*.
故甲同学第2天去A餐厅就餐的可能性最大.
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4.在信息理论中,X和Y是两个取值相同的离散型随机变量,分布列分别为P(X=xi)=mi,P(Y=xi)=ni,mi>0,ni>0,i=1,2,…,n, mi= ni=1.定义随机变量X的信息量H(X)=- milog2mi,X和Y的“距离”KL(X||Y)= milog2.
思维路径:(1)首先得到X的分布列,再根据所给定义求出H(X).
(2)①记发出信号0和1分别为事件Ai(i=0,1),收到信号0和1分别为事件Bi(i=0,1),根据全概率公式求出P(B0),再由条件概率公式求出P(A0|B0);
②结合①及所给定义表示出KL(X||Y),设f(x)=1--ln x,利用导数证明ln x≥1-,从而得到log2x=≥,即可证明KL(X||Y)≥0.
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(1)若X~B,求H(X);
解:因为X~B,所以P(X=k)=(k=0,1,2),
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以H(X)=-=.
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(2)已知发报台只发出信号0和1,接收台收到信号也只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为p(0①若接收台收到信号为0,求发报台发出信号为0的概率;(用p,q表示结果)
②记随机变量X和Y分别为发出信号和收到信号,证明:KL(X||Y)≥0.
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解:①记“发出信号0和1”分别为事件Ai(i=0,1),“收到信号0和1”分别为事件Bi(i=0,1),
则P(A0)=p,P(A1)=1-p,P(B0|A0)=P(B1|A1)=q,P(B1|A0)=P(B0|A1)=1-q,
所以P(B0)=P(A0)P(B0|A0)+P(A1)P(B0|A1)=pq+(1-p)(1-q)=1-p-q+2pq,
所以P(A0|B0)==.
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②证明:由①知P(B0)=1-p-q+2pq,
则P(B1)=1-P(B0)=p+q-2pq,
则KL(X||Y)=plog2+(1-p)log2.
设f(x)=1--ln x,则f'(x)=-=,
所以当00,f(x)单调递增,当x>1时f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)≤f(1)=0,即ln x≥1-(当且仅当x=1时取等号),
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所以log2x=≥,
所以KL(X||Y)=plog2+(1-p)log2≥+=0,
当且仅当==1,即p=,0所以KL(X||Y)≥0.(共31张PPT)
概率中的综合问题
习题讲评（四）
题点考法讲评
教学环节一
(每“教学点”学生先试作,教师再据情讲授)
CONTENTS
目录
1
2
教学点(一)　概率与函数的综合问题
教学点(二)　概率与数列的综合问题
概率与函数的综合问题
教学点（一）
[典例]　(2024·合肥三模)在2024年高考前夕,某中学为了舒展年级学子身心,缓解学子压力,在一周内(周一到周五)举行了别开生面的“舞动青春,梦想飞扬”的竞技活动,每天活动共计有两场,第一场获胜得3分,第二场获胜得2分,无论哪一场失败均得1分,某同学周一到周五每天都参加了两场的竞技活动,已知该同学第一场和第二场竞技获胜的概率分别为p(0审题破题:(1)根据题意得到ξ可能的取值,求出对应的概率,进而得到分布列和期望;
(2)先求出一天得分不低于4分的概率,再用二项分布的概率公式求出f(p),利用导数即可求得f(p)取最值时p的值.
(1)若p=,记该同学一天中参加此竞技活动的得分为ξ,求ξ的分布列和数学期望;
解:由题可知,ξ的可能取值为2,3,4,5.
因为p=,所以P(ξ=2)=×=,P(ξ=3)=×=,P(ξ=4)=×=,
P(ξ=5)=×=,
故ξ的分布列为
ξ的数学期望E(ξ)=2×+3×+4×+5×=.
ξ 2 3 4 5
P
(2)设该同学在一周5天的竞技活动中,恰有3天每天得分不低于4分的概率为f(p),试求当p取何值时,f(p)取得最大值.
解: 设“一天得分不低于4分”为事件A,则P(A)=p×+p×=p,则f(p)=p3(1-p)2=10p3(1-p)2,0则f'(p)=30p2(1-p)2-20p3(1-p)=10p2(1-p)(3-5p).
当00;当易错提醒:利用函数、导数求最值的注意点:
(1)根据题意选取恰当的变量构建目标函数;
(2)注意变量自身的隐含条件对变量范围的限制;
(3)根据目标函数的特点确定求其最值的方法.
海参中含有丰富的蛋白质、氨基酸、维生素、矿物质等营养元素,随着生活水平的提高,海参逐渐被人们喜爱.某品牌的海参按大小分为五组,质量指标值分别为:[300,350),
[350,400),[400,450),[450,500),
[500,550].从该品牌海参中随机
抽取10 000颗作为样本,统计得
到如图所示的频率分布直方图.
即时训练
(1)质量指标值越高,海参越大、质量越好,若质量指标值低于400的为二级,质量指标值不低于400的为一级.现利用分层随机抽样的方法按比例从不低于400和低于400的样本中随机抽取10颗,再从抽取的10颗海参中随机抽取4颗,记其中一级的颗数为X,求X的分布列及数学期望;
解:由频率分布直方图可知,质量指标为二级与一级的分层随机抽样的比例为=,所以抽取的10颗样本中有6颗二级品,4颗一级品.
从抽取的10颗海参中随机抽取4颗,记其中一级的颗数为X,则X的所有可能取值为0,1,2,3,4;易知P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
可得数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.
(2)甲、乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌海参的订单“秒杀”抢购活动,每人只能抢购一个订单,每个订单均由n(n≥2,n∈N*)箱海参构成.假设甲、乙两人抢购成功的概率均为,记甲、乙两人抢购成功的订单总数量为Y,抢到海参总箱数为Z.
①求Y的分布列及数学期望;
②当Z的数学期望取最大值时,求正整数n的值.
解:①根据题意可知订单总数量为Y的所有可能取值为0,1,2,
则P(Y=0)==,
P(Y=1)=··=,P(Y=2)=,
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
数学期望E(Y)=0·+1·+2·=.
②易知Z=nY,所以E(Z)=E(nY)=nE(Y)=.又n≥2,n∈N*,
所以Z的数学期望E(Z)===≤=,
当且仅当n=,即n=5时等号成立,E(Z)取得最大值.
因此Z的数学期望取最大值时,正整数n的值为5.
概率与数列的综合问题
教学点（二）
[典例]　(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
审题破题:本试题以条件概率为背景知识抽象出数列递推关系式,考查全概率公式和数列递推公式等知识,体现化难为易的数学转化思想.
第(1)问设置第2次投篮情况,题目比较简单,面向全体考生,引导考生利用条件概率和互斥事件概率知识求解.
第(2)问比较抽象,需要考生从全概率公式角度,运用数列递推关系思想,推导出第i次投篮概率的递推公式,考查考生一般与特殊思想,推理论证能力,数据分析能力和运算求解能力.
第(3)问以两点分布的期望知识为载体,考查数列求和公式,考查对条件概率与数列递推关系的应用能力.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
解:设“第i次投篮的人是甲”为事件Ai,“第i次投篮的人是乙”为事件Bi,
所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)
=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)
=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
解:设“第i次投篮的人是甲的概率”为pi,由题意可知p1=,
pi+1=pi×0.6+(1-pi)×(1-0.8),即pi+1=0.4pi+0.2=pi+,
所以pi+1-=,
又p1-=-=,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,
所以pi-=×,所以pi=+×.
(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,
i=1,2,…,n,则E( Xi) =qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
解: 设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi,则Xi的可能取值为0,1,当Xi=0时,表示第i次投篮的人是乙,当Xi=1时,表示第i次投篮的人是甲,所以P(Xi=1)=pi,P(Xi=0)=1-pi,所以E(Xi)=pi.
Y=X1+X2+X3+…+Xn,
则E(Y)=E(X1+X2+X3+…+Xn)=p1+p2+p3+…+pn,
由(2)知pi=+×,
所以p1+p2+p3+…+pn=+×
=+×=+×.
知识拓展:典例中含有马尔可夫链问题
(1)马尔可夫链:P(xn+1|xn,xn-1,…,x2,x1)=P(xn+1|xn).
(2)等式的意义:对于一个马尔可夫链来说,第n+1次的状态的结果,只跟上一次(也即第n次)有关,与其他次无关.
(3)破题技巧:
①找到当下状态的“前一次”的所有可能情况;
②结合对应概率写出“前一次”所有可能中蕴含的数列递推关系;
③利用数列递推技巧求解.
[思维建模]
对于概率结合数列的问题可采取以下步骤处理:
第一步,设出第n次操作后需要求解的概率pn;
第二步,根据题目中的条件得到概率数列{pn}所满足的递推关系式;
第三步,通过数列递推求通项或数列求和解决问题.
2023年10月7日,杭州第19届亚运会女子排球中国队以3∶0战胜日本队夺得冠军,这也是中国女排第9个亚运冠军,她们用汗水诠释了几代女排队员不屈不挠、不断拼搏的女排精神.某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞,组建了一支女子排球队,其中主攻手2人,副攻手2人,接应手1人,二传手1人,自由人1人.现从这7人中随机抽取3人参与传球训练.
(1)求抽到甲参与传球训练的概率;
解:设“抽到甲参与传球训练”记为事件A,则P(A)==.
即时训练
(2)记主攻手和自由人被抽到的总人数为ξ,求ξ的分布列及期望;
解:由题意知ξ的可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
故E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
(3)若恰好抽到甲、乙、丙3人参与传球训练,先从甲开始,甲传给乙、丙的概率均为,当乙接到球时,乙传给甲、丙的概率分别为,,当丙接到球时,丙传给甲、乙的概率分别为,,假设球一直没有掉地上,求经过n次传球后甲接到球的概率.
解:审题破题:[法一]　假设经过n次传球后,排球被甲、乙、丙接到的概率分别为an,bn,cn,结合题意得到3an+1=an-1+2an,从而构造出{an+1-an}是等比数列,再用累加法可求得通项an=-×,即求得结果.
[法二]　利用递推数列思想,假设经过n次传球后,排球被甲接到球的概率为Pn,从而可得递推关系Pn=-Pn-1,然后构造等比数列求出概率通项公式.
法一:设经过n次传球后,排球被甲、乙、丙接到的概率分别为an,bn,cn,易得a1=0,a2=×+×=,当n≥2时,an=bn-1+cn-1,bn=an-1+cn-1,cn=an-1+bn-1,则bn+cn=an-1+bn-1+cn-1,
由an=bn-1+cn-1,得2an=bn-1+cn-1,3an+1=bn+cn,
代入bn+cn=an-1+bn-1+cn-1,得3an+1=an-1+2an,
则3an+1-3an=an-1-an,即=-,
所以{an+1-an}是首项为a2-a1=,公比为-的等比数列,
an+1-an=×=-,
当n≥2时,an-an-1=-,an-1-an-2=-,…,a2-a1=-,
由累加法,得an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1=---…-,
an-a1==-×,可得an=-×,
又n=1时,a1=-×=-=0,满足a1=0,
所以an=-×.
法二:经过n次传球后甲接到球的概率为Pn.
则Pn=Pn-1×0+(1-Pn-1)×=-Pn-1(n≥2),
即Pn-=-(n≥2).
而P1-=0-=-,所以是首项为-,公比为-的等比数列,
则Pn-=-×,则Pn=-×.习题讲评(四)　概率中的综合问题
教学环节一　题点考法讲评(每“教学点”学生先试作,教师再据情讲授)
教学点(一)　概率与函数的综合问题
[典例]　(2024·合肥三模)在2024年高考前夕,某中学为了舒展年级学子身心,缓解学子压力,在一周内(周一到周五)举行了别开生面的“舞动青春,梦想飞扬”的竞技活动,每天活动共计有两场,第一场获胜得3分,第二场获胜得2分,无论哪一场失败均得1分,某同学周一到周五每天都参加了两场的竞技活动,已知该同学第一场和第二场竞技获胜的概率分别为p(0(1)若p=,记该同学一天中参加此竞技活动的得分为ξ,求ξ的分布列和数学期望;
(2)设该同学在一周5天的竞技活动中,恰有3天每天得分不低于4分的概率为f(p),试求当p取何值时,f(p)取得最大值.
易错提醒:利用函数、导数求最值的注意点:
(1)根据题意选取恰当的变量构建目标函数;
(2)注意变量自身的隐含条件对变量范围的限制;
(3)根据目标函数的特点确定求其最值的方法.
[训练]　海参中含有丰富的蛋白质、氨基酸、维生素、矿物质等营养元素,随着生活水平的提高,海参逐渐被人们喜爱.某品牌的海参按大小分为五组,质量指标值分别为:[300,350),[350,400),[400,450),[450,500),[500,550].从该品牌海参中随机抽取10 000颗作为样本,统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)质量指标值越高,海参越大、质量越好,若质量指标值低于400的为二级,质量指标值不低于400的为一级.现利用分层随机抽样的方法按比例从不低于400和低于400的样本中随机抽取10颗,再从抽取的10颗海参中随机抽取4颗,记其中一级的颗数为X,求X的分布列及数学期望;
(2)甲、乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌海参的订单“秒杀”抢购活动,每人只能抢购一个订单,每个订单均由n(n≥2,n∈N*)箱海参构成.假设甲、乙两人抢购成功的概率均为,记甲、乙两人抢购成功的订单总数量为Y,抢到海参总箱数为Z.
①求Y的分布列及数学期望;
②当Z的数学期望取最大值时,求正整数n的值.
教学点(二)　概率与数列的综合问题
[典例]　(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E(Xi)= qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
[思维建模]
对于概率结合数列的问题可采取以下步骤处理:
第一步,设出第n次操作后需要求解的概率pn;
第二步,根据题目中的条件得到概率数列{pn}所满足的递推关系式;
第三步,通过数列递推求通项或数列求和解决问题.
[训练]　2023年10月7日,杭州第19届亚运会女子排球中国队以3∶0战胜日本队夺得冠军,这也是中国女排第9个亚运冠军,她们用汗水诠释了几代女排队员不屈不挠、不断拼搏的女排精神.某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞,组建了一支女子排球队,其中主攻手2人,副攻手2人,接应手1人,二传手1人,自由人1人.现从这7人中随机抽取3人参与传球训练.
(1)求抽到甲参与传球训练的概率;
(2)记主攻手和自由人被抽到的总人数为ξ,求ξ的分布列及期望;
(3)若恰好抽到甲、乙、丙3人参与传球训练,先从甲开始,甲传给乙、丙的概率均为,当乙接到球时,乙传给甲、丙的概率分别为,,当丙接到球时,丙传给甲、乙的概率分别为,,假设球一直没有掉地上,求经过n次传球后甲接到球的概率.
教学环节二　课时作业讲评(请在各题的答题框内答题,以便投屏展示,现场评点)
1.为提高学生的思想政治觉悟,激发爱国热情,增强国防观念和国家安全意识,某校进行军训打靶竞赛.规则如下:每人共有3次机会,击中靶心得1分,否则得0分.已知甲选手第一枪击中靶心的概率为,且满足:如果第n次射击击中靶心概率为p,那么当第n次击中靶心时,第n+1次击中靶心的概率也为p,否则第n+1次击中靶心的概率为.
(1)求甲选手得分X的分布列及其数学期望;
(2)有如下定义:设X是一个随机变量,x是任意实数,函数F(x)=P(X≤x),x∈R称为X的分布函数,对于任意实数x1,x2(x1①写出(1)中甲选手得分X的分布函数(分段函数形式);
②靶子是半径为2的一个圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,假如选手射击都能中靶,以Y表示子弹着点与圆心的距离.试求随机变量Y的分布函数.
2.甲进行摸球跳格游戏.图上标有第1格,第2格,…,第25格,棋子开始在第1格.盒中有5个大小相同的小球,其中3个红球,2个白球(5个球除颜色外其他都相同).每次甲在盒中随机摸出两球,记下颜色后放回盒中,若两球颜色相同,棋子向前跳1格;若两球颜色不同,棋子向前跳2格.直到棋子跳到第24格或第25格时,游戏结束.记棋子跳到第n格的概率为Pn(n=1,2,3,…,25).
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X,求X的分布列和期望;
(2)证明:数列{Pn-Pn-1}(n=2,3,…,24)为等比数列.
3.某学校有A,B两个餐厅,经统计发现,学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐.此后,如果某同学某天去A餐厅,那么该同学第二天还去A餐厅的概率为;如果某同学某天去B餐厅,那么该同学第二天去A餐厅的概率为.
(1)记甲、乙、丙3位同学中第2天选择A餐厅的人数为X,求随机变量X的分布列和期望;
(2)甲同学第几天去A餐厅就餐的可能性最大 并说明理由.
4.在信息理论中,X和Y是两个取值相同的离散型随机变量,分布列分别为P(X=xi)=mi,P(Y=xi)=ni,mi>0,ni>0,i=1,2,…,n, mi=ni=1.定义随机变量X的信息量H(X)=- milog2mi,X和Y的“距离”KL(X||Y)= milog2.
(1)若X~B,求H(X);
(2)已知发报台只发出信号0和1,接收台收到信号也只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为p(0①若接收台收到信号为0,求发报台发出信号为0的概率;(用p,q表示结果)
②记随机变量X和Y分别为发出信号和收到信号,证明:KL(X||Y)≥0.
习题讲评(四)　概率中的综合问题
教学环节一　题点考法讲评
教学点(一)　概率与函数的综合问题
[典例]　
审题破题:(1)根据题意得到ξ可能的取值,求出对应的概率,进而得到分布列和期望;
(2)先求出一天得分不低于4分的概率,再用二项分布的概率公式求出f(p),利用导数即可求得f(p)取最值时p的值.
　
解:(1)由题可知,ξ的可能取值为2,3,4,5.
因为p=,所以P(ξ=2)=×=,
P(ξ=3)=×=,P(ξ=4)=×=,
P(ξ=5)=×=,
故ξ的分布列为
ξ 2 3 4 5
P
ξ的数学期望E(ξ)=2×+3×+4×+5×=.
(2)设“一天得分不低于4分”为事件A,则P(A)=p×+p×=p,则f(p)=p3(1-p)2=10p3(1-p)2,0则f'(p)=30p2(1-p)2-20p3(1-p)=10p2(1-p)(3-5p).
当00;
当所以f(p)在上单调递增,在上单调递减,故当p=时,f(p)取得最大值.
[训练]　解:(1)由频率分布直方图可知,质量指标为二级与一级的分层随机抽样的比例为=,所以抽取的10颗样本中有6颗二级品,4颗一级品.
从抽取的10颗海参中随机抽取4颗,记其中一级的颗数为X,则X的所有可能取值为0,1,2,3,4;
易知P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
P(X=4)==.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
可得数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.
(2)①根据题意可知订单总数量为Y的所有可能取值为0,1,2,
则P(Y=0)==,
P(Y=1)=··=,P(Y=2)=,
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
数学期望E(Y)=0·+1·+2·=.
②易知Z=nY,所以E(Z)=E(nY)=nE(Y)=.
又n≥2,n∈N*,所以Z的数学期望E(Z)===≤=,
当且仅当n=,即n=5时等号成立,E(Z)取得最大值.
因此Z的数学期望取最大值时,正整数n的值为5.
教学点(二)　概率与数列的综合问题
[典例]　
审题破题:本试题以条件概率为背景知识抽象出数列递推关系式,考查全概率公式和数列递推公式等知识,体现化难为易的数学转化思想.
第(1)问设置第2次投篮情况,题目比较简单,面向全体考生,引导考生利用条件概率和互斥事件概率知识求解.
第(2)问比较抽象,需要考生从全概率公式角度,运用数列递推关系思想,推导出第i次投篮概率的递推公式,考查考生一般与特殊思想,推理论证能力,数据分析能力和运算求解能力.
第(3)问以两点分布的期望知识为载体,考查数列求和公式,考查对条件概率与数列递推关系的应用能力.
　
解:(1)设“第i次投篮的人是甲”为事件Ai,“第i次投篮的人是乙”为事件Bi,
所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.
(2)设“第i次投篮的人是甲的概率”为pi,由题意可知p1=,pi+1=pi×0.6+(1-pi)×(1-0.8),即pi+1=0.4pi+0.2=pi+,所以pi+1-=,
又p1-=-=,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,
所以pi-=×,所以pi=+×.
(3)设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi,则Xi的可能取值为0,1,当Xi=0时,表示第i次投篮的人是乙,当Xi=1时,表示第i次投篮的人是甲,所以P(Xi=1)=pi,P(Xi=0)=1-pi,所以E(Xi)=pi.
Y=X1+X2+X3+…+Xn,
则E(Y)=E(X1+X2+X3+…+Xn)=p1+p2+p3+…+pn,
由(2)知pi=+×,
所以p1+p2+p3+…+pn=+×=+×=+×.
知识拓展:典例中含有马尔可夫链问题
(1)马尔可夫链:P(xn+1|xn,xn-1,…,x2,x1)=P(xn+1|xn).
(2)等式的意义:对于一个马尔可夫链来说,第n+1次的状态的结果,只跟上一次(也即第n次)有关,与其他次无关.
(3)破题技巧:
①找到当下状态的“前一次”的所有可能情况;
②结合对应概率写出“前一次”所有可能中蕴含的数列递推关系;
③利用数列递推技巧求解.
[训练]　解:(1)设“抽到甲参与传球训练”记为事件A,则P(A)==.
(2)由题意知ξ的可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
故E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
(3)
审题破题:[法一]　假设经过n次传球后,排球被甲、乙、丙接到的概率分别为an,bn,cn,结合题意得到3an+1=an-1+2an,从而构造出{an+1-an}是等比数列,再用累加法可求得通项an=-×,即求得结果.
[法二]　利用递推数列思想,假设经过n次传球后,排球被甲接到球的概率为Pn,从而可得递推关系Pn=-Pn-1,然后构造等比数列求出概率通项公式.
　
法一:设经过n次传球后,排球被甲、乙、丙接到的概率分别为an,bn,cn,
易得a1=0,a2=×+×=,
当n≥2时,an=bn-1+cn-1,bn=an-1+cn-1,cn=an-1+bn-1,则bn+cn=an-1+bn-1+cn-1,
由an=bn-1+cn-1,得2an=bn-1+cn-1,3an+1=bn+cn,
代入bn+cn=an-1+bn-1+cn-1,得3an+1=an-1+2an,
则3an+1-3an=an-1-an,即=-,
所以{an+1-an}是首项为a2-a1=,公比为-的等比数列,
an+1-an=×=-,
当n≥2时,an-an-1=-,an-1-an-2=-,…,a2-a1=-,
由累加法,得an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1=---…-,
an-a1==-×,可得an=-×,
又n=1时,a1=-×=-=0,满足a1=0,
所以an=-×.
法二:经过n次传球后甲接到球的概率为Pn.
则Pn=Pn-1×0+(1-Pn-1)×=-Pn-1(n≥2),
即Pn-=-(n≥2).
而P1-=0-=-,
所以是首项为-,公比为-的等比数列,
则Pn-=-×,则Pn=-×.
教学环节二　课时作业讲评
1.解:(1)甲选手得分X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=××=,P(X=1)=××+××+××=.
P(X=2)=××+××+××=,P(X=3)=××=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的数学期望是E(X)=0×+1×+2×+3×=.
(2)①X的分布函数为F(x)=
②设随机变量Y的分布函数为G(x),
若x<0,此时G(x)=0;
若0≤x≤2,由题意设P(0≤Y≤x)=kx2,
当x=2时,有P(0≤Y≤2)=k·22=4k,
又因为P(0≤Y≤2)=1,
所以k=,即P(0≤Y≤x)=,
所以G(x)=P(Y≤x)=P(Y<0)+P(0≤Y≤x)=.
若x>2,此时G(x)=P(Y≤x)=1,
综上所述,G(x)=
2.解:(1)根据题意可知X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)==,P(X=1)===,P(X=2)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
期望E(X)=0×+1×+2×=.
(2)证明:依题意,当3≤n≤23时,棋子跳到第n格有两种可能:
第一种,棋子先跳到第n-2格,再摸出两球颜色不同;
第二种,棋子先跳到第n-1格,再摸出两球颜色相同.
易知摸出两球颜色不同,即跳两格的概率为=,
摸出两球颜色相同,即跳一格的概率为=,因此可得Pn=Pn-2+Pn-1.所以Pn-Pn-1=Pn-2+Pn-1-Pn-1=-(Pn-1-Pn-2),因此可得=-.
故数列{Pn-Pn-1}(n=2,3,…,24)是公比为-的等比数列.
3.解:(1)设一位同学第2天选择去A餐厅就餐的概率为P,则P=×+×=.
∴X~B,∴P(X=0)=××=,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=,P(X=3)=××=,
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则X的期望为E(X)=3×=.
(2)设甲同学第n天去A餐厅的概率为Pn,则P1=,当n≥2时,Pn=Pn-1+(1-Pn-1)=-Pn-1+,
∴Pn-=-,又P1-=-,
∴是以-为首项,-为公比的等比数列,
∴Pn-=-×,
∴Pn=-×,
当n是奇数时,Pn=-×<;
当n是偶数时,Pn=+×>,
则P2>P4>P6>…>P2k>,k∈N*.
故甲同学第2天去A餐厅就餐的可能性最大.
4.思维路径:(1)首先得到X的分布列,再根据所给定义求出H(X).
(2)①记发出信号0和1分别为事件Ai(i=0,1),收到信号0和1分别为事件Bi(i=0,1),根据全概率公式求出P(B0),再由条件概率公式求出P(A0|B0);
②结合①及所给定义表示出KL(X||Y),设f(x)=1--ln x,利用导数证明ln x≥1-,从而得到log2x=≥,即可证明KL(X||Y)≥0.
　
解:(1)因为X~B,所以P(X=k)=(k=0,1,2),
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以H(X)=-=.
(2)①记“发出信号0和1”分别为事件Ai(i=0,1),“收到信号0和1”分别为事件Bi(i=0,1),
则P(A0)=p,P(A1)=1-p,P(B0|A0)=P(B1|A1)=q,P(B1|A0)=P(B0|A1)=1-q,
所以P(B0)=P(A0)P(B0|A0)+P(A1)P(B0|A1)=pq+(1-p)(1-q)=1-p-q+2pq,
所以P(A0|B0)==.
②证明:由①知P(B0)=1-p-q+2pq,则P(B1)=1-P(B0)=p+q-2pq,则KL(X||Y)=plog2+(1-p)log2.
设f(x)=1--ln x,则f'(x)=-=,
所以当00,f(x)单调递增,
当x>1时f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)≤f(1)=0,即ln x≥1-(当且仅当x=1时取等号),所以log2x=≥,
所以KL(X||Y)=plog2+(1-p)log2≥+=0,
当且仅当==1,即p=,0

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