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第九章 立体几何
第三节 空间几何体的三视图和直观图
职教高考一轮复习
直击高考
考点 考点解读 山东省近五年春季高考统计(题号) 常考题型
2022年 2023年 2024年 2025年 空间几何体的三视图与直观图 ①理解实物或空间图形的主视图、左视图、俯视图②掌握画空间图形的直观图的斜二测画法 (6) (9) (5) (20) 选择题
正视图
面积
斜二测
直观图
三视图
俯视图
本节空间几何体的三视图与直观图，为近两年新增考点，也基本成为必考点。难度不大，注意加强计算能力与空间想象能力的训练．
知识梳理
1．平行投影
在投影中，若投射线_________，这样的投影称为平行投影．其中，投射线________投影面的平行投影称为斜投影，投射线________投影面的平行投影称为正投影．可以利用________的方法，画出物体的三视图与直观图．
相互平行
垂直于
倾斜于
平行投影
（1）投影方向
(2)三视图的位置规定
主视图
左视图
俯视图
三视图
主视图：从前向后正投影
左视图：从左向右正投影
俯视图：从上向下正投影
(3)三视图的投影规律：________与________高度一样；
________与________长度一样；
________与________宽度一样．
作简单三视图的投影规律简记为：________、________、________．
主视图
左视图
俯视图
主视图
左视图
俯视图
长对正
高平齐
宽相等
3．直观图
用来表示空间图形的________，称为空间图形的直观图．经常使用____________来作直观图．要画空间几何体的直观图，首先要学会____________的平面图形的直观图画法．
平面图形
斜二测画法
水平放置
4．斜二测画法
(1)斜二测画法保留了原图形中的三个性质．
①平行性不变，即在原图中平行的线段在直观图中仍然________；
②共点性不变，即在原图中相交的线段仍然________；
③平行于x，z轴的线段________，
（2）平行于y轴的线段长度取________．
平行于y轴的线段与水平线成45°或135°角
平行
相交
长度不变
一半
(2)画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状________并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x，y轴的线段来确定，当原图中没有所需的线段时，需要作________．
点
辅助线段
注意可见线画实线，不可见画虚线！
典例分析
【知识要点1】 简单几何体的三视图
【例1】　画出如图9－2－1所示圆柱的三视图．
图9－2－1
【答案】　圆柱的三视图如图9－2－2所示．
图9－2－2
【知识要点2】 简单组合体的三视图
【例2】　“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图9－2－4所示(图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线).当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是(　　)
B
【解析】　由直观图知，俯视图应为正方形，又由于上半部分相邻两曲面的交线为可见线，故在俯视图中为实线．
【举一反三2】 某几何体的主视图和左视图均为如图9－2－5所示的图形，则在图9－2－6的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是(　　)
A．①③ B．①④ C．②④ D．①②③④
A
【知识要点3】 水平放置的平面图形的直观图
【例3】　　如图9－2－7所示，已知水平放置的矩形OABC，且OA＝4，OC＝3，作它的直观图．作点O，A，C对应的点O′，A′，C′之后，试述如何作点B在直观图中的对应点B′.
【举一反三3】如图9－2－8所示，已知水平放置的边长为4的正六边形ABCDEF，作它的直观图．作点A，D对应的点A′，D′之后，试述如何作点B，C，E，F在直观图中的对应点B′，C′，E′，F′.
【思路点拨】　本题考查直观图的画法规则，通过作辅助线作各点在直观图中对应的点．先作BC，EF的中点在直观图中对应的点，然后可作点B，C，E，F在直观图中的对应点B′，C′，E′，F′.
【知识要点4】 由三视图作直观图
【例4】　　如图9－2－9所示，已知一个几何体的三视图，说出此几何体的名称，并画出其直观图．
【答案】　正三棱柱，作直观图如图9－2－10所示．
【解析】　因为俯视图是正三角形、主视图是正方形、左视图是矩形，所以此几何体是正三棱柱．因为主视图中有虚线表示的轮廓线，所以该正三棱柱有一条侧棱是看不到的．
作该正三棱柱的直观图，先画底面三角形的直观图，再画三条侧棱，进而得到上底面．最后要擦除辅助线(本例中为显示画法未擦除).
【举一反三4】 如图9－2－11所示，已知一个几何体的三视图，指出此几何体的名称，并画出其直观图．
正四棱锥，图略．
【思路点拨】　本题考查三视图与直观图及其关系．先由三视图得该几何体的结构，进而画出其直观图．
【知识要点5】 直观图的还原与计算
【例5】　已知水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′，如图9－2－12所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，求原平面四边形OABC的面积．
【答案】　2
【解析】　因为利用斜二测画法画直观图时，直线的平行性不变，所以原平面四边形OABC是平行四边形，且底边OA的长为1，对边OA，BC的距离为2 ，所以原平面四边形OABC的面积为2 .
【举一反三5】
(1)在平面直角坐标系xOy中，水平放置的Rt△AOB，已知OA＝2，OB＝1.用斜二测画法画出它的直观图△A′O′B′，则△A′O′B′的面积是(　　)
A．1 B． C． D．
C
(2)平行四边形O′A′B′C′是四边形OABC的直观图．若O′A′＝3，O′C′＝2，则原四边形OABC的周长为________．
14
随堂检测
1．有如下四个命题：
①如果一个几何体的三视图都是相同的正方形，则这个几何体是正方体；
②如果一个几何体的三视图都是相同的圆，则这个几何体是球；
③如果一个几何体的主视图和左视图都是三角形，则这个几何体是三棱锥；
④如果一个几何体的主视图和左视图都是相同的三角形，则这个几何体是圆锥．
其中，正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
C
2．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．
以上结论正确的是(　　)
A．①② B．① C．③④ D．①②③④
A
基础练习
活动设计：限时12分钟，完成基础练习检测
3．如图所示是一根空心方管，则该空心方管的主视图与俯视图分别是(　　)
A．(1)(3) B．(1)(4) C．(2)(3) D．(2)(4)
D
4．在下列几何体各自的三视图中，恰有两个视图相同的是(　　)
A．正方体 B．圆锥 C．三棱锥 D．三棱柱
B
5．沿一个正方体的三个面对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为(　　)
B
二、填空题
6．如图所示，已知棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1，点E是棱A1D1的中点，则△BCE在平面BCC1B1上的正投影的面积为________．
2
8．如图所示，△A′B′C是水平放置的△ABC的直观图，D′是B′C′边上的一点，且D′C′＜D′B′，B′C′∥x′轴，A′D′∥y′轴，则原图形的线段AB，AD，AC中最长的是________．
AB
拓展练习
一、选择题
1．用斜二测画法画一个水平放置的边长为4的正三角形的直观图，则直观图三角形的面积是(　　)
A．4 B．2 C． D．
C
2．用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，
其三视图如图所示，则此立体模型的体积为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
A
3．已知一个组合体的主视图如图所示，则该组合体的俯视图不可能是(　　)
B
二、填空题
4．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，左视图是
面积为 的矩形，且中间有条竖线．则该正方体的主视图的面积等于________．
5．如图所示，△A′B′C′是用斜二测画法作出的水平放置的
△ABC的直观图，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则△ABC的面积是________．
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6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，
已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中
AB边上的中线长为________．
课堂小结
三视图
主视图：前向后
左视图：左向右
俯视图：上向下
直观图
斜二测
水平面竖直方向倾斜
水平面竖直方向的线长度减半
布置作业
1.书面必做作业：完成复习资料相关题目；
2.拓展提升作业：依据考点根据自身掌握情况，利用复习书练习进一步训练巩固相关内容
下 课
Thanks!
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