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第5章 直角三角形
第5章 小结与评价
学习目标与重难点
学习目标：
1.梳理直角三角形的性质、判定、勾股定理及逆定理、角平分线性质等核心知识点，形成完整知识网络。
2.能熟练运用上述定理解决计算、证明及实际应用问题，规范几何推理表达。
3.掌握直角三角形相关定理的内在关联，提升综合解题与知识迁移能力。
学习重点：
直角三角形核心定理（含30°角性质、斜边中线性质、勾股定理及逆定理）的巩固与灵活应用。
学习难点：
多个定理的综合运用及实际问题中几何模型的建立。
教学过程
一、知识图谱
二、思考回顾
教材第185页
1.直角三角形的两个锐角有什么关系？有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
【牛刀小试】在中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2.直角三角形斜边上的中线与斜边有什么数量关系？
【牛刀小试】如图，在中，，是边的中点，若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
3.在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边与斜边有什么数量关系？
【牛刀小试】如图是某公园的一滑梯侧面图，已知，滑梯架的高为，则滑梯长为（　　）
A． B． C． D．
4.什么是勾股定理？什么是勾股定理的逆定理？
【牛刀小试】如果三角形的三边分别为，，，那么这个三角形的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5.如何判定两个直角三角形全等？
【牛刀小试】如图，，，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（　　）
A． B． C． D．
6.已知斜边和一条直角边，如何用尺规作直角三角形？
7.角平分线有哪些性质？如何判断一个点在角平分线上？
【牛刀小试】如图，在中，，是的平分线，于，且，，则　 　．
三、注意事项
1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这是直角三角形的重要性质.从这个性质定理可以推导出：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
2.勾股定理即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，并且它的逆命题也成立，即如果三角形的三条边满足，那么这个三角形是直角三角形.
3.“斜边、直角边”定理是仅用于判定直角三角形全等的判定定理，运用的前提是在直角三角形中.
4.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.它与“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”是互逆命题.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.具备下列条件的中，不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
2.如图，在中，，，点A恰好落在数轴上表示的点上，以原点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
3.如图，为给金源学子提供良好的阅读环境，金源学校有一块三角形小树林，需要在小树林里建一图书角供同学们使用，要使图书角到小树林三条边的距离相等，图书角的位置应选在（　　）
A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点
选做题
4.如图，已知，垂足为B，，若直接应用“HL”判定，则需要添加的一个条件是　 　．
5.如图，中，是的角平分线，于点，，，则的面积是　 　．
6.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，高分别为，、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是　 　。
【综合拓展类作业】
7.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的）
五、作业布置
1.如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．AD的长是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
2.的三边满足，则为（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
3.如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（　　）
A．8.5 B．15 C．17 D．34
4.如图，四边形ABCD中，CD=CB，AC平分∠DAB，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E.
（1）求证：∠ADC+∠B=180°.
（2）若AD=2，AB=4，求AF的长.
答案解析
课堂练习：
1.【答案】C
【解析】解：A、，则：，
∴，
∴是直角三角形；不符合题意；
B、，则：，
∴是直角三角形；不符合题意；
C、，则：，
∴，
∴不是直角三角形；符合题意；
D、，则：，
∴，
∴，
∴是直角三角形；不符合题意；
故答案为：C．
2.【答案】A
【解析】解：∵中，，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵点P在原点的左边，
∴点P表示的数为，
故答案为：A．
3.【答案】B
【解析】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴使图书角到小树林三条边的距离相等，则图书角的位置应选在三条角平分线的交点，
故答案为：．
4.【答案】．
【解析】解：补充，
∵，，
∴，
故答案为：．
5.【答案】5
【解析】解：如图，
过点作于点，
是的角平分线，，
，
，，
，
的面积，
故答案为：．
6.【答案】
【解析】解：展开图为：
由题意得：AC=20dm，BC=3×3+2×3=15（dm），
在Rt△ABC中，根据勾股定理得： .
所以蚂蚁所走的最短路线长度为25 dm.
故答案为：25．
7.【答案】解：在中：
，米，米，
（米），
此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，
（米），
（米），
（米），
答：船向岸边移动了9米．
作业布置：
1.【答案】C
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠ACD＝60°；
又∵AE＝CD，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
∴BE＝AD，∠CAD＝∠ABE；
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAE＝60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB＝90°，则∠PBQ＝90°﹣60°＝30°；
∵PQ＝3，
∴在Rt△BPQ中，BP＝2PQ＝6；
又∵PE＝1，
∴AD＝BE＝BP+PE＝7．
故选：C．
2.【答案】A
【解析】解：，
而，，，
，
解得：，
∴b2+c2=62+82=100=a2，
∴∠A=90°，
为直角三角形．
故答案为：A．
3.【答案】C
【解析】解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点，
∴点O到△ABC各边的距离相等，
而OD⊥BC，OD＝4，
∴点O到△ABC各边的距离为4，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，
∴AB+AC+BC＝17，
即△ABC的周长为17．
故答案为：C．
4．【答案】（1）证明：∵AC平分∠DAB，CF⊥AB，CE⊥AD，
∴CE=CF
在Rt△CDE和Rt△CBF中，
∴∠ADC=∠CBF
∵∠CBF+∠B=180°
∴∠ADC+∠B=180°
（2）解：在Rt△AEC和Rt△AFC中，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL)
∴AF=AE=AD+DE=2+DE
∵
∴DE=BF
∴AF=AB-BF=4-DE
∴2AF=6
∴AF=3
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分课时教学设计
《小结与评价》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 本节课是对新授阶段分散知识的系统整合，教材通过知识图谱的梳理、思考回顾的设问以及综合复习题的编排，引导学生在复习中重新串联直角三角形的性质、判定、勾股定理及逆定理、角平分线性质等核心内容，不仅是对单个定理的回顾，更是对定理间逻辑关联的深化，帮助学生从“知道定理内容”走向“理解定理的应用场景与相互联系”，让复习成为知识网络的加固与解题思路的梳理过程，为后续几何知识的综合运用奠定扎实基础。
学习者分析 在本节复习课中，学生已在新授时接触过本章的所有知识，但复习时更需要将零散的定理转化为可调用的解题工具：不少学生能回忆起勾股定理、斜边中线等单个定理的内容，却在面对需要综合运用多个定理的问题时思路混乱，对“性质”与“判定”的区分仍有模糊，尤其是在实际问题中，难以快速判断该用哪个定理建模，同时学生在复习时更关注“会不会做题”，而容易忽略定理推导过程与知识间的关联，需要在复习中通过关联练习和思路梳理，让学生将知识内化为解题能力。
教学目标 1.梳理直角三角形的性质、判定、勾股定理及逆定理、角平分线性质等核心知识点，形成完整知识网络。 2.能熟练运用上述定理解决计算、证明及实际应用问题，规范几何推理表达。 3.掌握直角三角形相关定理的内在关联，提升综合解题与知识迁移能力。
教学重点 1.直角三角形核心定理（含30°角性质、斜边中线性质、勾股定理及逆定理）的巩固与灵活应用。 2.知识体系的系统构建。
教学难点 1.多个定理的综合运用（如结合勾股定理与角平分线性质解题）。 2.实际问题中几何模型的建立。 3.定理应用条件的准确判断。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识图谱教师活动1： 教师讲授： 学生活动1： 认真听讲活动意图说明：在知识体系的指导下，学生可以更有针对性地进行学习。当学生掌握某个领域的知识时，可以清晰地了解需要学习的内容和顺序，避免盲目学习造成的时间和精力浪费。环节二：思考回顾教师活动2： 1.直角三角形的两个锐角有什么关系？有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 教师讲授：直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【牛刀小试】在中，，则的度数为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2.直角三角形斜边上的中线与斜边有什么数量关系？ 直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【牛刀小试】如图，在中，，是边的中点，若，则的长是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3.在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边与斜边有什么数量关系？ 直角三角形的性质3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 【牛刀小试】如图是某公园的一滑梯侧面图，已知，滑梯架的高为，则滑梯长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4.什么是勾股定理？什么是勾股定理的逆定理？ 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，那么. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边满足，那么这个三角形是直角三角形. 【牛刀小试】如果三角形的三边分别为，，，那么这个三角形的形状为（　　） A．锐角三角形　B．直角三角形　C．钝角三角形　D．等腰三角形 5.如何判定两个直角三角形全等？ “斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.【牛刀小试】如图，，，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（　　） A． B． C． D． 6.已知斜边和一条直角边，如何用尺规作直角三角形？ 教师讲授：作法 ：（1）作一条直线l，在直线l 上截取BC=； （2）过点C作直线l 的垂线CD； （3）以点B为圆心，以为半径画圆弧，交CD于点A，连接AB，于是△ABC为所求作的直角三角形. 7.角平分线有哪些性质？如何判断一个点在角平分线上？ 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 【牛刀小试】如图，在中，，是的平分线，于，且，，则　 　． 学生活动2： 回顾直角三角形的性质和判定 认真思考 认真听讲 回顾直角三角形的性质2 回顾直角三角形的性质3 认真听讲 回顾勾股定理及其逆定理 认真听讲 回顾直角三角形的判定定理 认真思考 回顾尺规作图做直角三角形 回顾角平分线的性质定理及其逆定理 认真思考 活动意图说明：通过反复回顾和思考，学生可以对所学知识进行更深入的理解，发现其中的内在联系和规律，形成更加稳固的知识体系。环节三：注意事项教师活动3： 教师讲授：1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这是直角三角形的重要性质.从这个性质定理可以推导出：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2.勾股定理即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，并且它的逆命题也成立，即如果三角形的三条边满足，那么这个三角形是直角三角形. 3.“斜边、直角边”定理是仅用于判定直角三角形全等的判定定理，运用的前提是在直角三角形中. 4.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.它与“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”是互逆命题.学生活动4： 认真听讲活动意图说明：归纳易错点，提醒学生，帮助学生更好地掌握知识。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.具备下列条件的中，不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 2.如图，在中，，，点A恰好落在数轴上表示的点上，以原点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 3.如图，为给金源学子提供良好的阅读环境，金源学校有一块三角形小树林，需要在小树林里建一图书角供同学们使用，要使图书角到小树林三条边的距离相等，图书角的位置应选在（　　） A．的三条中线的交点　　　　B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点　　D．三边的中垂线的交点 选做题： 4.如图，已知，垂足为B，，若直接应用“HL”判定，则需要添加的一个条件是　 　． 5.如图，中，是的角平分线，于点，，，则的面积是　 　． 6.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，高分别为，、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是　 　。 【综合拓展类作业】 7.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的）
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．AD的长是（　　） A．5　　　　B．6　　　　C．7　　　　D．8 2.的三边满足，则为（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3.如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（　　） A．8.5　　　　B．15　　　　C．17　　　　D．34 【综合拓展类作业】 4.如图，四边形ABCD中，CD=CB，AC平分∠DAB，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E. （1）求证：∠ADC+∠B=180°. （2）若AD=2，AB=4，求AF的长.
教学反思 本次《直角三角形》复习课，通过知识图谱和例题回顾帮助学生梳理了核心知识，但在“复习”的深度上还有提升空间：原本想让学生自主构建知识体系，但多数学生停留在“复述定理”的层面，没有真正打通定理间的应用联系；在例题讲解时，更多关注了“怎么做”，而没有充分引导学生总结“为什么这么做”“还能怎么用”，导致部分学生只是“听懂了题”，却没掌握复习的方法，后续需要增加“一题多解”“多题归一”的环节，让复习不仅巩固知识，更能提升学生的解题思维和知识迁移能力。
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第5章
课标要求 1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边.上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 2.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。. 3.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 4.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
内容分析 本章从直角三角形的性质定理入手，先让学生认识直角三角形的一般性质和含30°角的特殊性质，为后续的度量计算和判定方法做铺垫；而勾股定理及其逆定理则从“数”的角度建立了直角三角形三边的数量关系，既是对“形”的性质的量化表达，也是代数与几何知识融合的典型载体，其实际应用和逆定理又进一步拓展了知识的适用场景；而直角三角形的判定则承接前面的性质，形成“性质—判定”的逻辑闭环，让学生完整掌握直角三角形的研究路径；最后的角平分线的性质则将直角三角形与角平分线的知识关联起来，既丰富了直角三角形的应用场景，也为后续几何问题的解决提供了新的工具。整体来看，本单元内容既巩固了之前的几何知识，又为后续四边形、圆等内容的学习奠定了推理和计算的基础。
学情分析 在学习本单元之前，学生已经积累了三角形内角和、全等三角形判定等几何知识，对“特殊图形具有特殊性质”有了初步的认知，具备简单的几何推理能力，但在面对“直角”这一特殊条件时，学生容易混淆“性质”与“判定”的逻辑关系，对“边、角、线”在直角三角形中的关联理解不够深入。从能力层面来看，学生能完成单一知识点的简单应用，但将实际问题抽象成直角三角形模型的能力还有待提升，在综合运用勾股定理、角平分线定理解决复杂问题时，容易出现思路混乱的情况；同时，学生对几何定理的“文字语言—符号语言—图形语言”三者之间的转化还不够熟练，常常会出现“能看懂定理，但不会用符号表达，也不会结合图形分析”的问题。从认知特点来看，学生对直观、具象的几何模型兴趣较高，愿意通过操作、观察等方式探究知识，但对抽象的定理推导和逻辑证明容易产生畏难情绪，需要借助具体的实例和动手活动来降低理解难度，帮助他们逐步建立几何思维。
单元目标 （一）教学目标 1.通过观察、操作直角三角形的实物与图形，抽象出直角三角形的性质、判定及相关定理的本质特征，能在具体情境中识别直角三角形的要素关系，建立“边—角—线”的关联，发展几何直观，提升从“具体图形”到“抽象概念”的转化能力。 2.经历勾股定理、角平分线性质定理等的推导过程，能运用演绎推理证明直角三角形的性质与判定，能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等，在推理与运算中体会逻辑的严谨性，提升逻辑推理与数学运算素养。 3.能从实际问题（如测量距离、判断图形形状等）中抽象出直角三角形模型，运用勾股定理、角平分线性质等知识解决问题，体会数学与生活的联系，发展数学建模素养，增强用数学知识解决实际问题的应用意识。 4.了解勾股定理的历史背景与文化价值，感受数学知识的发展历程，在探究直角三角形相关知识的过程中，养成严谨求实的思维习惯，激发对数学学科的兴趣，提升数学文化素养与学科认同感。 （二）教学重点、难点 重点 1.直角三角形的性质（含30°角的直角三角形性质）与判定方法。 2.勾股定理及其逆定理的推导、应用；角平分线性质定理及其逆定理的理解与运用。 难点 1.勾股定理的逆定理的证明思路；“性质”与“判定”的逻辑区分。 2.综合运用直角三角形的性质、勾股定理、角平分线定理解决复杂几何问题和实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数5.1直角三角形的性质定理25.2勾股定理及其逆定理35.3直角三角形全等的判定15.4角平分线的性质2第4章小结与评价1综合与实践利用拼接探究勾股定理1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务5.1 直角三角形的性质定理（1）1.能准确表述直角三角形的3个核心定理，清晰区分“性质定理”与“判定定理”的逻辑差异。 2.能独立运用“三角形内角和定理”证明“两锐角互余”及逆定理，运用“作辅助线+全等三角形”证明斜边上的中线性质。 能运用3个定理解决“求直角三角形锐角度数”“判定三角形是否为直角三角形”“证明线段相等”等基础问题。任务一：复习导入，回顾什么是直角三角形。 任务二：探究新知，探究直角三角形的性质的判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.1 直角三角形的性质定理（2）1.通过折叠、测量等操作，直观感知含30°角的直角三角形的边的关系，抽象出“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质。 2.经历性质的证明过程，能运用全等三角形、等边三角形等知识完成演绎推理，能清晰表达证明思路，提升逻辑推理的严谨性和条理性。1.能在图形中准确识别对应边的关系，发展几何直观和数学抽象素养。 2.能运用该性质进行直角三角形的边长计算，能解决“线段长度”“高度测量”等实际问题。任务一：动手操作，直观感知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.2 勾股定理及其逆定理（1）1.通过方格计数、图形拼接等活动，直观感知直角三角形三边的数量关系，抽象出勾股定理的本质，能在图形中准确识别直角边和斜边的平方关系。 2.经历勾股定理的证明过程，能运用面积法、全等三角形等知识完成演绎推理，能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等运算。1.能在图形中准确识别直角边和斜边的平方关系。 2.能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等运算。任务一：问题导入，认真过程。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.2 勾股定理及其逆定理（2）1.能从实际情境中，识别或构造直角三角形模型，明确模型中直角边、斜边与实际量的对应关系，完成“实际问题—数学模型—模型求解—实际验证”的完整建模流程。 2.能精准运用勾股定理及平方根化简、近似计算等知识，解决直角三角形边长求解问题。 能结合实际情境画出对应直角三角形示意图，借助图形直观梳理已知条件与所求问题的关联，灵活运用定理解决不同类型实际问题。任务一：复习导入，回顾勾股定理。 任务二：探究新知，数学建模. 任务三：例题精讲，模型求解。 任务四：巩固练习，课堂小结5.2 勾股定理及其逆定理（3）1.通过情境与操作，抽象逆定理内涵，能关联三边平方关系与直角三角形，发展几何直观与抽象能力。 2.经历定理探究与证明，能用全等知识完成严谨推理，理清证明思路，提升逻辑推理规范性。 3.掌握逆定理判定直角三角形的方法。能解决图形判定类问题，构建“数量计算→形状判定”模型.任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究逆定理。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结5.3 直角三角形全等的判定1.规范完成指定条件直角三角形尺规作图，感知作图与全等关联，发展直观与实操能力。 2.理解HL本质，能推导HL，规范用HL证明直角三角形全等，提升推理严谨性。能用HL解决全等证明、作图问题，构建直角三角形全等应用模型。任务一：复习导入，回顾全等三角形的判定。 任务二：探究新知，探究直角三角形的全等。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.4角平分线的性质（1）1.掌握角平分线的性质定理及逆定理的内容。 2.通过推理证明的过程，体会几何定理的探究方法，区分性质与逆定理的逻辑关系，提升逻辑推理能力。能运用定理进行简单证明、计算与作图。 任务一：复习导入，回顾什么是角平分线。 任务二：探究新知，掌握角平分线的性质。 任务三：例题精讲，知识运用。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.4角平分线的性质（2）理解角平分线性质定理与逆定理的应用场景，能从图形条件中识别“垂直距离”“线段相等”等关键要素。能运用定理解决“判断点的位置”“添加条件证明角平分线”“找特殊点”等问题。任务一：复习回顾角平分线的性质。 任务二：探究新知，运用角平分线的性质。 任务三：例题精讲，知识应用。 任务四：巩固练习，课堂小结。第5章 小结与评价1.梳理直角三角形的性质、判定、勾股定理及逆定理、角平分线性质等核心知识点，形成完整知识网络。 2.能熟练运用上述定理解决计算、证明及实际应用问题，规范几何推理表达。 3.掌握直角三角形相关定理的内在关联，提升综合解题与知识迁移能力。能熟练运用上述定理解决计算、证明及实际应用问题，规范几何推理表达。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。综合与实践：利用拼接探究勾股定理通过拼接直角三角形和正方形的活动，回顾勾股定理的内容，探索勾股定理的多种证明方法。能结合图形拼接过程，用面积法推导勾股定理，提升动手实践能力和逻辑推理能力。任务一：问题导入，吸引兴趣。 任务二：认真思考， 探究证明。 任务三：合作交流， 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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第5章 直角三角形
小结与评价
01
教学目标
02
知识图谱
03
思考回顾
04
注意事项
05
课堂练习
06
作业布置
01
教学目标
梳理直角三角形的性质、判定、勾股定理及逆定理、角平分线性质等核心知识点，形成完整知识网络。
01
能熟练运用上述定理解决计算、证明及实际应用问题，规范几何推理表达。
02
掌握直角三角形相关定理的内在关联，提升综合解题与知识迁移能力。
03
02
知识图谱
02
知识图谱
02
知识图谱
02
知识图谱
03
思考回顾
1.直角三角形的两个锐角有什么关系？有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
牛刀小试：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=40°，则∠A的度数为（　　）
A．38°　　B．42°　　C．50°　　D．62°
C
03
思考回顾
2. 直角三角形斜边上的中线与斜边有什么数量关系？
直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
几何语言
∵ CD是斜边AB上的中线，
∴ CD=AB.
03
思考回顾
牛刀小试：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，若CD=2，则AB的长是（　　）
A．6
B．5
C．4
D．3
C
03
思考回顾
3.在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边与斜边有什么数量关系？
直角三角形的性质3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
03
思考回顾
牛刀小试：如图是某公园的一滑梯侧面图，已知∠ACB=30°，滑梯架的高AB为2m，则滑梯AC长为（　　）
A．4m
B．5m
C．6m
D．7m
A
03
思考回顾
4.什么是勾股定理？什么是勾股定理的逆定理？
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，那么.
勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边满足，那么这个三角形是直角三角形.
03
思考回顾
牛刀小试：如果三角形的三边分别为，，，那么这个三角形的形状为（　　）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
B
03
思考回顾
5.如何判定两个直角三角形全等？
“斜边、直角边” 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
03
思考回顾
牛刀小试：如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（　　）
A．AB=DC
B．∠A=∠D
C．∠B=∠C
D．AE=BF
A
03
思考回顾
6.已知斜边和一条直角边，如何用尺规作直角三角形？
作法 ：（1）作一条直线l，在直线l 上截取BC=；
（2）过点C作直线l 的垂线CD；
（3）以点B为圆心，以为半径画圆弧，交CD于点A，连接AB，于是△ABC为所求作的直角三角形.
03
思考回顾
7.角平分线有哪些性质？如何判断一个点在角平分线上？
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
03
思考回顾
牛刀小试：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则BC=　 　cm．
8
04
注意事项
1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这是直角三角形的重要性质.从这个性质定理可以推导出：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
2.勾股定理即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，并且它的逆命题也成立，即如果三角形的三条边a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形.
04
注意事项
3.“斜边、直角边”定理是仅用于判定直角三角形全等的判定定理，运用的前提是在直角三角形中.
4.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.它与“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”是互逆命题.
05
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.具备下列条件的中，不是直角三角形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
C
05
课堂练习
2.如图，在中，，，点A恰好落在数轴上表示的点上，以原点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　）
A．　　　　
B．　　　　
C．　　　　
D．
A
05
课堂练习
3.如图，为给金源学子提供良好的阅读环境，金源学校有一块三角形小树林，需要在小树林里建一图书角供同学们使用，要使图书角到小树林三条边的距离相等，图书角的位置应选在（　　）
A．△ABC的三条中线的交点　　　　
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点　　
D．△ABC三边的中垂线的交点
B
05
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是　 　．
AC=DE
05
课堂练习
5.如图，△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB=5，DE=2，则△ABD的面积是　 　．
5
05
课堂练习
6.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，高分别为20dm，3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是　 　dm。
25
05
课堂练习
7.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的）
解：在中：，米，米，
（米），
此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，
【综合拓展类作业】
05
课堂练习
（米），
（米），
（米），
答：船向岸边移动了9米．
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．AD的长是（　　）
A．5　　　　
B．6　　　　
C．7　　　　
D．8
C
06
作业布置
2.的三边满足，则为（　　）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
A
06
作业布置
3.如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（　　）
A．8.5　　　　
B．15　　　　
C．17　　　　
D．34
C
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图，四边形ABCD中，CD=CB，AC平分∠DAB，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E.
（1）求证：∠ADC+∠B=180°.
（2）若AD=2，AB=4，求AF的长.
（1）证明：∵AC平分∠DAB，CF⊥AB，CE⊥AD，
∴CE=CF
在Rt△CDE和Rt△CBF中，
06
作业布置
∴∠ADC=∠CBF
∵∠CBF+∠B=180°
∴∠ADC+∠B=180°
（2）解：在Rt△AEC和Rt△AFC中，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL)
06
作业布置
∴AF=AE=AD+DE=2+DE
∵
∴DE=BF
∴AF=AB-BF=4-DE
∴2AF=6
∴AF=3
07
板书设计
直角三角形的性质定理：
勾股定理及其逆定理：
直角三角形的判定：
角平分线的性质：
第5章 小结与评价
习题讲解书写部分
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