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第十八章 《分式》单元测试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．下列各式：，，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列式子：①；②；③；④8；⑤；⑥．其中是关于x的分式方程有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
4．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了12nm的光刻机难题，其中12nm＝0.000000012m，则12nm用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×10﹣8m B．1.2×10﹣9m
C．0.12×10﹣10m D．1.2×10﹣10m
5．若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列分式中，不是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
7．与的最简公分母是（　　）
A．a（a+b） B．a（a﹣b）
C．a（a+b）（a﹣b） D．a2（a+b）（a﹣b）
8．若a＝﹣22，b＝2﹣2，，，则（　　）
A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜d＜c C．a＜c＜b＜d D．a＜b＜c＜d
9．为了丰富课余生活，济宁学院附属中学精心打造了图书阅览室，小明第一时间结合自身兴趣，制定了一份详尽的阅读计划．原计划在规定时间内看完一本共480页的小说，但由于这本书情节曲折、故事精彩，小明每天多看了20页，这样到规定时间还多看了一本120页的中篇小说，如果设小明原计划每天看x页，那么可以得到的方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（　　）
A． B． C． D．
11．关于x的不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和为（　　）
A．3 B．4 C．7 D．8
12．已知两个多项式A＝x2+x+1，B＝x2﹣x+1，x为实数，将A、B进行加减乘除运算：
①若A+B＝10，则x＝2；
②|A﹣B﹣2|+|A﹣B+4|＝6，则x需要满足的条件是﹣2≤x≤1；
③若x为正整数（x≠3），且为整数，则x＝1，2，4，5．
上面说法正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭发射成功，随后神舟十九号航天员乘组顺利与神舟十八号航天员乘组“太空会师”并入驻“天宫”．某航天兴趣小组预计购进一批“天宫”模型和“长征二号F”模型，已知每个“天宫”模型的进价比每个“长征二号F”模型的进价贵50%，同样用3000元购进“天宫”模型的数量比“长征二号F”模型的数量少5个．若设每个“长征二号F”模型的进价为x元，则可列方程为　 　 ．
14．若关于x的分式方程无解，则m的值是　 　 ．
15．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是　 　 ．
16．若，则分式的值为 　 　 ．
17．定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．
例如：；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是 　 　 ．
18．下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为x1＝1，x2＝2；第②个方程的解为x1＝2，x2＝3；第③个方程的解为x1＝3，x2＝4，若n为正整数，且关于x的方程的一个解是x＝7，则n的值等于　 　 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分．）
19．（8分）（1）计算：；
（2）先化简，再从﹣2≤x≤2中选择一个合适的整数代入求值．
20．（8分）解分式方程：
（1）； （2）．
21．（8分）湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，用2400元购进吉祥物“湘湘”，用1440元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的1.2倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个．
（1）该商店“湘湘”的购进单价为多少元？
（2）该商店将“湘湘”的售价定为35元/件，如果要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？
22．（8分）已知A＝x+y，B＝x2﹣y2，C．
（1）若，求C的值；
（2）当y＝1，且3C为整数时，求x的整数值．
23．（8分）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断方程6﹣4（1﹣x）＝2x与是否为“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于x，y的二元一次方程y＝mx+6和y＝x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值．
24．（10分）综合与实践
问题背景：随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车．
素材1：燃油车油箱容积：50升，油价：8元/升，续航里程：a千米，每千米行驶费用：元；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元/千瓦时，续航里程：a千米．
素材2：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元．
素材3：燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．
解决问题：
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）分别求出这两款车的每千米行驶费用．
（3）每年行驶里程为多少千米时，两种车的年费用一样？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
25．（10分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．
如，则和都是“和谐分式”．
（1）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
（2）应用：求分式的最大值；
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
26．（12分）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：∵，∴即，∴
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则，∴，
根据材料回答问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
（3）若，且abc＝5，求xyz的值．
参考答案
一、选择题
1．C
【解答】解：，，是分式，
故选：C．
2．B
【解答】解：①分母中不含有未知数，是整式方程；
②分母中含有未知数，故是分式方程；
③不是等式，故不是方程；
④分母中含有未知数，故是分式方程．
⑤分母中不含有未知数，故不是分式方程；
⑥分母中不含有未知数，故不是分式方程；
综上所述：分式方程有②④，共2个，
故选：B．
3．D
【解答】解：A、当x＝0时，分式无意义，不符合题意；
B、当x＝﹣1时，分式无意义，不符合题意；
C、当x＝±3时，分式无意义，不符合题意；
D、|x|+1＞0时，分式一定有意义，符合题意；
故选：D．
4．A
【解答】解：12nm＝0.000000012m＝1.2×10﹣8m．
故选：A．
5．C
【解答】解：A．，两个分式不相等，不符合题意；
B．，两个分式不相等，不符合题意；
C．，两个分式相等，符合题意；
D．，两个分式不相等，不符合题意；
故选：C．
6．D
【解答】解：A、是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式．不符合题意；
C、是最简分式，不符合题意；
D、，不是最简分式，符合题意；
故选：D．
7．C
【解答】解：，，
两式的最简公分母为a（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
8．B
【解答】解：a＝﹣22＝﹣4，b＝2﹣2，4，1，
∵﹣41＜4，
∴a＜b＜d＜c．
故选：B．
9．B
【解答】解：由题意得：，
故选：B．
10．C
【解答】解：
，
故选：C．
11．C
【解答】解：解不等式组得，
∵不等式组的解集为x≤a，
∴a≤5，
原分式方程可化为：1，
解得y，
∵分式方程的解为正整数，
∴，
解得a＞﹣3，a≠1，
∴a的取值范围：﹣3＜a≤5，且a≠1，
∵分式方程的解为正整数，
∴3+a＝2或3+a＝4或3+a＝6或3+a＝8，
解得a＝﹣1，a＝1，a＝3，a＝5，
∵a≠1，
∴所有满足条件的整数a的和为：7．
故选：C．
12．C
【解答】解：①∵A+B＝10，
∴x2+x+1+x2﹣x+1＝10，
解得：x＝±2，选项计算错误，不符合题意；
②∵|A﹣B﹣2|+|A﹣B+4|＝6，
∴|x2+x+1﹣（x2﹣x+1）﹣2|+|x2+x+1﹣（x2﹣x+1）+4|＝6，
整理得：|2x﹣2|+|2x+4|＝6，
当x＜﹣2时，2﹣2x﹣2x﹣4＝6，解得x＝﹣2（不合题意，舍去），
当﹣2≤x≤1时，2﹣2x+2x+4＝6恒成立，
当x＞1时，2x﹣2+2x+4＝6，解得x＝1（不合题意，舍去），选项计算正确，符合题意；
③∵
，
又∵为整数，x为正整数，
∴x＝1，2，4，5，选项计算正确，符合题意．
故选：C．
二、填空题
13．．
【解答】解：根据题意得，．
故答案为：．
14．1或
【解答】解：原分式方程去分母，得mx﹣1﹣1＝x﹣3，
（m﹣1）x＝﹣1．
∵关于x的分式方程无解，
当m﹣1＝0时，原方程无解，
∴m＝1，
当最简公分母x﹣3＝0，
x＝3，
当x＝3时，得，
综上m的值为1或，
故答案为：1或．
15．1米/秒．
【解答】解：设通过AB段的速度是xm/s，则通过BC段的速度是1.2xm/s，
根据题意，得，
，
解得 x＝1．
经检验：x＝1 是原方程的解且符合题意．
答：小敏通过AB路段时的速度为1米/秒，
故答案为：1米/秒．
16．
【解答】解：∵，
∴3m﹣n＝2mn，
∴
，
故答案为：．
17．2．
【解答】解：
＝2，
故答案为：2．
18．9或10
【解答】解：根据题意可得第n个方程为：x2n+1，
解得：x＝n或x＝n+1；
将原方程变形，（x+3）n+（n+1），
∴x+3＝n或x+3＝n+1，
∴方程的解是x＝n﹣3，或x＝n﹣2，
当n﹣2＝7时，n＝9，
当n﹣3＝7时，n＝10，
∴n的值是9或10．
故答案为：9或10．
三、解答题
19．解：（1）原式
＝x+y；
（2）原式
，
由题意得，x≠﹣2，﹣1，0，1，
当x＝2时，原式．
20．解：（1），
两边同时乘以（x﹣2）得1﹣（x+2）＝2（x﹣2），
即﹣x﹣1＝2x﹣4，
移项﹣3x＝﹣3，
解得x＝1，经检验x＝1是原方程的根，
所以原分式方程的解为x＝1；
（2）．
两边同时乘以（x﹣1）（x+1）得（x+1）﹣2（x﹣1）＝4，
即﹣x+3＝4，
解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的增根，
所以原分式方程无解．
21．解：（1）设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”购进单价为1.2x元，
由题意得：40，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
答：该商店“湘湘”的购进单价为30元；
（2）由（1）可知，80，40，1.2x＝36，
设“超超”的售价应该定为每件m元，
由题意得：（35﹣30）×80+（m﹣36）×40≥640，
解得：m≥42，
答：“超超”的售价最低应该定为每件42元．
22．解：（1）由题知，
因为，
所以，
则．
所以C
；
（2）当y＝1时，
3C，
因为3C为整数，
则x﹣1＝±1或±3，
所以整数x的值为0或2或﹣2或4．
因为x≠0且x≠1，
所以整数x的值为2或﹣2或4．
23．解：（1）方程6﹣4（1﹣x）＝2x与方程是“相似方程”，理由如下：
解方程6﹣4（1﹣x）＝2x得：x＝﹣1，
解方程得：x＝﹣1，
检验：x＝﹣1是该分式方程得解．
∴两个方程是“相似方程”；
（2）由条件可知mx+6＝x+4m，
，
∵x，y，m均为整数，
∴m﹣1＝±1，m﹣1＝±2，
∴m1＝0，m2＝2，m3＝﹣1，m4＝3，
又∵m为正整数，
∴m＝2或m＝3．
24．解：（1）由题意可知，新能源车的每千米行驶费用为：（元）；
（2）由题意列分式方程得：，
整理得，0.6a＝300，
解得a＝500，
经检验，a＝500是原分式方程的解，且符合题意，
∴，，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.8元，新能源车的每千米行驶费用为0.2元；
（3）设每年行驶里程为xkm，
由题意剋一元一次方程得：0.8x+4800＝0.2x+7500，
整理得，0.6x＝2700，
解得x＝4500，
答：每年行驶里程为4500km时，两种车的年费用一样．
25．解：（1）原式
；
（2），
∵x2≥0，
∴x2+1的最小值为1，
∴的最大值为3，
∴的最大值为5，
∴分式的最大值是5，
（3）原式
，
当x+1＝±2，x+1＝±1时，是整数；
即当x＝1，﹣3，0，﹣2时，是整数；
∵分母不能为0，
∴x≠﹣1，0，1，﹣2，
故只有当x＝﹣3时，分式的值为整数．
∴当x＝﹣3时，分式运算的结果是整数．
26．解：（1）设a＝5k，b＝4k，c＝3k，
∴；
（2）由条件可知，
∴，
∴，
∴；
（3）由条件可知，
∴，
∴，
∴，
将其代入中得：，
∴，
∴，
∴，
∴．

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