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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块一 数与式
专题1 实数的相关概念
【考点一】实数的相关概念
1. 数轴
定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴
示意图及三要素 原点 正方向 单位长度
数轴上的点和两点间的距离 (1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的。 (2)利用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大。 (3)数轴上两点间的距离：用右边点表示的数减去左边点表示的数（简称大数-小数）。
2. 相反数
定义 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，我们称其中一个数是另一个数的相反数。
性质与意义 (1)实数a的相反数是-a，0的相反数是0。 (2)若a，b互为相反数，则a+b=0。 (3)相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等，即这两个数所在的点关于原点对称。 (4)多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正.
绝对值
定义 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|.
性质 (1) (2)任何实数的绝对值都是非负数。 (2)绝对值的几何意义：数轴上表示一个数的点到原点的距离。如：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离；|x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离；|x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离。
4.倒数
倒数 乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数。 0没有倒数.
若a、b互为倒数，则ab=1
互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）.
倒数是本身的只有1和-1.
5.平方根与立方根
名称 定义 性质
算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，a叫做被开方数。 正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。
平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根.即若，则x叫做a的平方根，记作±。 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
立方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么x叫做a的立方根或三次方根，记作。 正数只有一个正的立方根，0的立方根是0，负数只有一个负的立方根。 互为相反数的两个数的立方根互为相反数。
【补充1】平方根与立方根的区别与联系
关系 名称 平方根 立方根
区别 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数。
表示方法 非负数a的平方根表示为±，根指数是2，常省略不写。 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写。
被开方数的取值范围 在±中，a是非负数，即。 在中，a是任意数。
联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即。
【补充2】非负数及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数.
2.非负数的三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0
3.非负数的性质：①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
6.零指数幂、负指数幂
(1)零指数幂：任何不等于零的数的0次幂都等于1。用公式表示为：a = 1 （其中 a ≠ 0）
(2)负指数幂：任何不等于零的数的 -n 次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数。用公式表示为：
（其中 a ≠ 0, n 是正整数）
【考点二】实数的分类及正负数的意义
1.正数、负数
(1)大于0的数叫做正数；小于0的数，叫做负数；0既不是正数，也不是负数。
(2)用正、负数可以表示具有相反意义的量，一对相反意义的量，其中一个“意义”规定用“+”表示，则另一个“意义”必定用“-”表示．如：若规定向东5米为“+5米”，则向西9米为“-9米”.
2.实数
(1)整数和分数统称为有理数；
【本质】有理数能够化为分数的形式，即形如，其中 p,q是整数，且 q≠0。
【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：）、1.333333…（分数形式：）等）.
无限不循环小数叫做无理数；
【补充1】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等.
【补充2】常见的无理数：
①开方开不尽的数，如：、等.
注意带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.如.
②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π等.
③具有特定结构的数（看似有规律循环实际上是无限不循环的小数），如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）.
(3)有理数和无理数统称为实数。
3.实数的分类
（1）按照定义分类 （2）、按照正负分类
【题型一】实数的相关概念
◇典例1：如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查数轴与有理数，根据数轴的概念即可求解；
根据题意先判断出数轴的单位长度是，得到原点对应的刻度，即可求得数轴上与刻度线对齐的点表示的数．
【详解】解：∵和刻度分别与数轴上表示和的两点对齐，
∴数轴的单位长度是，
∴原点对应的刻度，
∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是，
故选：B．
◆变式训练
如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，则下列结论中①；②；③；④．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了数轴的特点，有理数的乘除，减法．根据数轴上点的特点可得，由此进行判定即可求解．
【详解】解：根据题意可得，，
∴，，故①③错误；
∵，
∴，则，故②正确；
∵，即异号，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有②④，共2个，
故选：B ．
◇典例2：下列各数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【分析】本题考查相反数的概念，解题的关键是先化简各选项中的数，再根据“只有符号不同的两个数互为相反数”判断．
先利用符号法则化简每个选项中的两个数，再逐一判断它们是否互为相反数．
【详解】解：相反数的定义是：只有符号不同的两个数互为相反数．我们先化简各选项的数：
A、，则3和3是同一个数，不是相反数；
B、，则和是同一个数，不是相反数；
C、，则和是同一个数，不是相反数；
D、和只有符号不同，互为相反数．
故选：D．
◆变式训练
在，，，这四个数中，与互为相反数的数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，化简绝对值，化简多重符号，相反数的定义等知识，需要判断四个数中哪些是的相反数（即1），分别计算每个数的值即可求解．
【详解】解：∵ ，，，，
∴与互为相反数（即等于1）的数有、、，共3个，
故选C
◇典例3：若，则a的值是（）
A． B．4 C． D．不确定
【答案】A
【分析】本题主要考查绝对值的定义；根据绝对值的定义，一个数的绝对值表示它到原点的距离，解答即可．
【详解】解：∵，
∴或，即．
故选：A．
◆变式训练
已知，则代数式的值是（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”是解题的关键．
利用绝对值的非负性，由两个非负数的和为0得出每个绝对值内的式子为0，求出、的值，再代入计算代数式的值．
【详解】解：∵ ，，且，
∴ ，，
∴ ，，
∴ ，，
∴ ，
∴ ，
故选：．
◇典例4：的倒数是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义，一个数的倒数是1除以这个数，直接计算即可．
【详解】解：∵倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，
∴-5的倒数为 ，
故选：A．
◆变式训练
一个有理数的倒数是，则这个数的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查倒数和相反数的定义．熟练掌握倒数和相反数的定义是解题的关键．
根据倒数的定义，先求出原数，再求其相反数．
【详解】解：∵该有理数的倒数为，
∴该有理数为，
∴该有理数的相反数为．
故选：D．
◇典例5：9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（ ）
A．1 B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】根据平方根及立方根的定义求得x，y的值，然后代入中计算即可．
本题考查立方根，平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
【详解】解：的平方根是x，
，
的立方根是，
，
或，
故选：D
◆变式训练
若、互为相反数，、互为倒数，的平方为4，求的值为（ ）
A．1 B．5 C．1或 D．1或5
【答案】C
【分析】本题考查相反数、倒数、乘方的性质，涉及的知识点是“互为相反数的两数和为0”“互为倒数的两数积为”“平方为的数有两个”．解题方法是先根据定义求出、、的值，再分情况代入式子计算；解题关键是注意的取值有两个，需分情况讨论．易错点是忽略的正负两种情况，导致漏解．解题思路为：先利用相反数、倒数、乘方的性质得到、、，再分和两种情况代入式子计算结果．
【详解】∵互为相反数，
∴．
∵互为倒数，
．
，
或．
当时，=．
当时，=．
故选C．
【题型二】实数的分类及正负数的意义
◇典例1：《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记作，则表示气温是（ ）
A．零上 B．零下
C．零上 D．零下
【答案】B
【分析】由正负数定义可得答案.
【详解】由题可知, 正数表示零上, 负数表示零下,所以-3℃表示零下3℃.
故选B.
【点睛】本题主要考查实数中的正负数.
◆变式训练
1．在， 0，，， 2，，， （－1）2020中负数的个数有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据小于0的数是负数，可得负数的个数
【详解】＜0
＜0
＜0
所以负数个数为4个
故选B
【点睛】本题考查的是正数和负数的判断，熟练掌握两者的性质是解题的关键．
◇典例2：下列说法正确的是（ ）
A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数
C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数
【答案】D
【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可．
【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意；
B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意；
C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意；
D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意．
故选：D．
◆变式训练
1．下列说法正确的是（ ）
A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数
C．无限小数是无理数 D．是分数
【答案】B
【分析】本题考查了实数的相关概念．
无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．．
【详解】A．有理数也包括无限循环小数（如），原说法错误，本选项不符合题意；
B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意；
C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意；
D．是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意；
故选：B．
◇典例3：已知下列各数：
，，3，0，，，0.205，，，．
其中，有理数有 ，无理数有 ，正实数有 ，负实数有 ．
【答案】 ，，，，， ，，， ，，， ，，，，
【分析】本题考查了有理数和实数的分类，掌握有理数和实数的定义和分类是解题关键．先化简各数，再根据有理数和实数的分类作答即可．
【详解】解：，
有理数有：，，，，，；
无理数有：，，，；
正实数有：，，，
负实数有：，，，，．
故答案为： ，，，，，；，，，； ，，，； ，，，，．
◆变式训练
1．在，，，，，，，，，（每两个之间的个数逐次增加）中，正分数有个，非负整数有个，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了实数的分类，有理数的分类，代数式求值，根据有理数的分类，分别求出非负整数和正分数的个数，再代入计算即可．
【详解】解：在给定的数中，正分数有，，，共个，故，
非负整数有，，共个，故；
，
故答案为：．
1．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
B、是无理数，故此选项符合题意；
C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根的计算及相反数的概念，解题的关键是先求出√4的具体值，再根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）确定其相反数．
计算的值：因为，所以；求2的相反数：根据相反数定义，2的相反数是，因此的相反数是．
【详解】解：∵表示4的算术平方根，且，
∴．
根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），可得2的相反数是，即的相反数是．
故选：B．
3．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可．
【详解】解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧．
当该点在点A右侧时，表示的数为．
当该点在点A左侧时，表示的数为．
因此，符合条件的数为或
故选A．
4．（2024·四川攀枝花·中考真题）2的算术平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴2的算术平方根是，
故选：C．
5．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0 B． C．3.14 D．
【答案】B
【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可．
【详解】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意；
B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意；
C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意；
D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意；
故选：B．
6．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数．
【详解】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ．
圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ，
故选D．
7．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
，得：，
∴的平方根是；
故选：C．
8．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可．
【详解】解：根据数轴得，
∴，
故选：D．
二、填空题
9．（2025·青海·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，根据实数在数轴上对应点的位置，判定出符号以及绝对值的大小，即可进行判断即可，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出实数的符号和绝对值的大小．
【详解】解：由实数在数轴上对应点的位置可知：，，且，
∴，
∴，
故答案为：．
10．（2025·山东威海·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
．
11．（2025·浙江·中考真题） ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．
分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可．
【详解】解：，
故答案为：2．
12．（2025·四川遂宁·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则 0．（填“>”“=”或“<”）
【答案】<
【分析】本题考查了实数与数轴，先结合数轴的信息，得，且，故，即可作答．
【详解】解：观察数轴，得，且，
∴
即，
故答案为：<．
三、解答题
13．（2024·福建·中考真题）计算：．
【答案】4
【分析】本题考查零指数幂、绝对值、算术平方根等基础知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据零指数幂、绝对值、算术平方根分别计算即可；
【详解】解：原式．
14．（2024·广东·中考真题）计算：．
【答案】2
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
15．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可．
【详解】解：原式
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．-2025 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数，即可解答．
【详解】解：，
∴ 的相反数为，即．
故选：C．
2．下列四个数中，为有理数的是（ ）
A．π B． C．3 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数以及无理数的定义，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数就是无限不循环小数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数．
【详解】解：A、π是无限不循环小数，是无理数，不符合题意；
B、不能表示为分数，是无理数，不符合题意；
C、3是整数，是有理数，符合题意；
D、不能表示为分数，是无理数，不符合题意；
故选：C．
3．下列说法不正确的是 （ ）．
A．既不是正数也不是负数 B．绝对值是本身的数是和正数
C．的倒数是它本身 D．不是有理数
【答案】D
【分析】本题考查有理数、绝对值、倒数和立方根的概念，准确分析判断是解题的关键．
正确理解有理数、绝对值、倒数和立方根的定义是解题基础，逐项判断即可；
【详解】选项：既不是正数也不是负数，正确；
选项：绝对值是本身的数是和正数（负数的绝对值是相反数，不是本身），正确；
选项：的倒数是，是它本身，正确；
选项：，是有理数，错误，
故选．
4．9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（ ）
A．1 B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】根据平方根及立方根的定义求得x，y的值，然后代入中计算即可．
本题考查立方根，平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
【详解】解：的平方根是x，
，
的立方根是，
，
或，
故选：D
5．下列说法正确的是（ ）
A．一定没有平方根 B．立方根等于它本身的数是0，1
C．的算术平方根是6 D．25的平方根是
【答案】D
【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念，需注意负数没有平方根，算术平方根是非负数，立方根包括负数．根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐一判断各选项即可．
【详解】解：A、可能是非负数，可能有平方根，原说法错误，不符合题意；
B、立方根等于它本身的数是0，，原说法错误，不符合题意；
C、的算术平方根是，原说法错误，不符合题意；
D、25的平方根是，正确，符合题意；
故选D．
6．在实数，，，，，，（相邻两个3之间1的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数；
无理数是无限不循环小数，常见类型包括开方开不尽的数、类以及有特殊结构的无限不循环小数，根据定义逐一判断各数即可．
【详解】解：∵开方开不尽，∴是无理数；
∵，是无理数，∴是无理数；
∵ 0是整数，∴0是有理数；
∵是无限不循环小数，∴是无理数；
∵，∴是有理数；
∵是分数，∴是有理数；
∵（相邻两个3之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，
∴是无理数；
∴无理数有、、、，共4个；
故选：D．
7．若一个正数的两个不同的平方根分别为与，则这个正数为（　　）
A．9 B．8 C．3 D．1
【答案】A
【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，进行求解即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴，
∴，
∴，
∴，
则平方根为：和，
∴ 这个正数为．
故选：A．
8．已知，，，则的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值的性质和平方根的性质，有理数的加减法，掌握相关性质是解题的关键．由绝对值和平方根的性质确定和的可能值，再根据筛选符合条件的情况，最后计算的值．
【详解】解：，，
，，
，
，或，，
当，时，；
当，时，，
的值为或，
故选：D．
9．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数与数轴，解题的关键是根据对应点的位置得出，然后依次判断每个选项即可．
【详解】解：根据实数a，b，c在数轴上的对应点的位置可知：，
A．，选项错误，不符合题意；
B．，选项错误，不符合题意；
C．，选项错误，不符合题意；
D．，选项正确，符合题意；
故选：D．
10．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察数轴得，则，再化简，即可作答．
【详解】解：观察数轴得，
则，
∴
，
故选：A．
二、填空题
11．4的算术平方根是 .
【答案】2
【分析】本题主要考查了算术平方根的求法，理解算术平方根的定义是解答关键．
根据算术平方根的定义，一个非负数的平方等于4，则该数是4的算术平方根．
【详解】解：因为，
所以，
即4的算术平方根是2.
故答案为：2．
12．若，为实数，且满足，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查非负数的性质，求代数式的值，解题的关键是根据绝对值和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入代数式计算．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即的值是．
故答案为：．
13．某公交车原坐有22人，经过4个站点时上下车情况如下(上车为正，下车为负)：，，，，则车上还有 人．
【答案】12
【分析】根据有理数的加法，可得答案．
本题考查了正数和负数，利用了有理数的加法运算．
【详解】解：初始人数为22人，经过4个站点，上下车数值依次为、、、、、、、，
可得，
故答案为：12．
14．如果规定木材公司购进木材为正，售出木材为负，那么，该公司购进木材可记作 ，售出木材可记作 ．
【答案】
【分析】本题考查的是正负数的实际意义（相反意义的量），解题关键是根据规定的正负对应关系，确定实际操作对应的正负符号．
根据正负数的规定，购进木材记为正，售出木材记为负．
【详解】因为规定购进木材为正，所以购进木材记作；
规定售出木材为负，所以售出木材记作．
故答案为．
15．若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了平方根定义，根据正数的平方根互为相反数，列出方程求解m，再求平方即可．
【详解】解：∵一个正数的平方根分别为和，
∴，
解得：，
∴这个正数为．
故答案为：4．
16．实数a、b在数轴上的位置如图，则＝ ；
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质、立方根的性质及绝对值的化简，解题的关键是根据数轴确定a、b的符号与大小关系，结合相应性质去掉根号和绝对值符号．
由数轴得、，利用、及去掉根号与绝对值，再合并化简．
【详解】解：由数轴得，，
∴ ，，（∵ ），
则．
故答案为：．
三、解答题
17．将下列各数填入相应的括号里：，，0，8，，π，，，，．
非负数：{ }；
整数：{ }；
有理数：{ }；
非正整数：{ }．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了实数的分类，准确分析判断是解题的关键．根据实数的分类判断即可；
【详解】解：非负数：{，0，8，π，，}；
整数：{0，8，}；
有理数：{，，0，8，，，，，}；
非正整数：{0，}．
18．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，解题的关键是掌握求一个数的立方根和算术平方根的法则．
（1）根据求一个数的算术平方根的法则进行求解即可；
（2）先求出的算术平方根，再取其相反数即可；
（3）根据求一个数的立方根的法则进行求解即可；
（4）根据求一个数的立方根的法则进行求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
19．已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了立方根和平方根的概念，解题的关键是熟练掌握立方根和平方根的概念．
（1）根据一个正数的两个不同的平方根和为0得到方程，即可求解，再根据立方根的定义得到，即可求解；
（2）将求解得代入进行求值，再求解平方根．
【详解】（1）解:根据题意得，，
解得，
的立方根是，
，
解得；
（2）解：由（1）知，，，
，
的平方根是，
的平方根是．
20．某一出租车某一时间段以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：，，，，．
(1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？
(2)出租车在行驶过程中，离鼓楼最远的距离是多少？
(3)假设该汽车每公里耗油升，请问将最后一名顾客送到目的地共耗油多少升？
【答案】(1)，东边；
(2)最远的距离是；
(3)升．
【分析】此题考查了正数、负数，有理数加减运算，绝对值，解题的关键是正确理解正数、负数和绝对值的意义．
（）把记录的数字加起来，看结果是正还是负，就可确定是向东还是西；
（）依次求出每次行驶后出租车所在位置离出发点的距离，然后比较这些距离的大小，即可得出最远距离；
（）求出记录数字的绝对值的和，再乘以每千米耗油升即可．
【详解】（1）解：，
∴出租车离鼓楼出发点，在鼓楼的东边；
（2）解：，
，
，
，
∴离鼓楼最远的距离是；
（3）解：因为，
所以共耗油（升），
答：将最后一名顾客送到目的地共耗油升．
21．出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，问：
(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？
(2)若汽车耗油量为（升/千米），这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？
(3)若出租车起步价为8元，起步里程为（包括），超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？
【答案】(1)小李在出发点西方位置
(2)出租车共耗油升
(3)小李这天上午共得车费元
【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，正负数的意义，正负数的实际应用是重点又是难点．
（1）先将这几个数相加，若和为正，则在出发点的东方；若和为负，则在出发点的西方；
（2）将这几个数的绝对值相加，再乘以耗油量，即可得出答案；
（3）分别计算六位乘客的费用，相加即可．
【详解】（1）解：，
答：小李在出发点西方的位置；
（2）解：
，
（升），
答：出租车共耗油升；
（3）六位乘客中，有4位里程小于或等于，车费为；
第二位乘客车费（元），
第五位乘客车费（元），
小李这天上午共得车费（元）
答：小李这天上午共得车费元．
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块一 数与式
专题1 实数的相关概念
【考点一】实数的相关概念
1. 数轴
定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴
示意图及三要素 原点 正方向 单位长度
数轴上的点和两点间的距离 (1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的。 (2)利用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大。 (3)数轴上两点间的距离：用右边点表示的数减去左边点表示的数（简称大数-小数）。
2. 相反数
定义 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，我们称其中一个数是另一个数的相反数。
性质与意义 (1)实数a的相反数是-a，0的相反数是0。 (2)若a，b互为相反数，则a+b=0。 (3)相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等，即这两个数所在的点关于原点对称。 (4)多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正.
绝对值
定义 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|.
性质 (1) (2)任何实数的绝对值都是非负数。 (2)绝对值的几何意义：数轴上表示一个数的点到原点的距离。如：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离；|x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离；|x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离。
4.倒数
倒数 乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数。 0没有倒数.
若a、b互为倒数，则ab=1
互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）.
倒数是本身的只有1和-1.
5.平方根与立方根
名称 定义 性质
算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，a叫做被开方数。 正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。
平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根.即若，则x叫做a的平方根，记作±。 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
立方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么x叫做a的立方根或三次方根，记作。 正数只有一个正的立方根，0的立方根是0，负数只有一个负的立方根。 互为相反数的两个数的立方根互为相反数。
【补充1】平方根与立方根的区别与联系
关系 名称 平方根 立方根
区别 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数。
表示方法 非负数a的平方根表示为±，根指数是2，常省略不写。 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写。
被开方数的取值范围 在±中，a是非负数，即。 在中，a是任意数。
联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即。
【补充2】非负数及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数.
2.非负数的三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0
3.非负数的性质：①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
6.零指数幂、负指数幂
(1)零指数幂：任何不等于零的数的0次幂都等于1。用公式表示为：a = 1 （其中 a ≠ 0）
(2)负指数幂：任何不等于零的数的 -n 次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数。用公式表示为：
（其中 a ≠ 0, n 是正整数）
【考点二】实数的分类及正负数的意义
1.正数、负数
(1)大于0的数叫做正数；小于0的数，叫做负数；0既不是正数，也不是负数。
(2)用正、负数可以表示具有相反意义的量，一对相反意义的量，其中一个“意义”规定用“+”表示，则另一个“意义”必定用“-”表示．如：若规定向东5米为“+5米”，则向西9米为“-9米”.
2.实数
(1)整数和分数统称为有理数；
【本质】有理数能够化为分数的形式，即形如，其中 p,q是整数，且 q≠0。
【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：）、1.333333…（分数形式：）等）.
无限不循环小数叫做无理数；
【补充1】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等.
【补充2】常见的无理数：
①开方开不尽的数，如：、等.
注意带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.如.
②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π等.
③具有特定结构的数（看似有规律循环实际上是无限不循环的小数），如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）.
(3)有理数和无理数统称为实数。
3.实数的分类
（1）按照定义分类 （2）、按照正负分类
【题型一】实数的相关概念
◇典例1：如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，则下列结论中①；②；③；④．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◇典例2：下列各数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
◆变式训练
在，，，这四个数中，与互为相反数的数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◇典例3：若，则a的值是（）
A． B．4 C． D．不确定
◆变式训练
已知，则代数式的值是（ ）
A．1 B． C．0 D．
◇典例4：的倒数是（ ）
A． B． C． D．5
◆变式训练
一个有理数的倒数是，则这个数的相反数是（ ）
A． B． C． D．
◇典例5：9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（ ）
A．1 B．或 C． D．或
◆变式训练
若、互为相反数，、互为倒数，的平方为4，求的值为（ ）
A．1 B．5 C．1或 D．1或5
【题型二】实数的分类及正负数的意义
◇典例1：《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记作，则表示气温是（ ）
A．零上 B．零下
C．零上 D．零下
◆变式训练
1．在， 0，，， 2，，， （－1）2020中负数的个数有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
◇典例2：下列说法正确的是（ ）
A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数
C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数
◆变式训练
1．下列说法正确的是（ ）
A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数
C．无限小数是无理数 D．是分数
◇典例3：已知下列各数：
，，3，0，，，0.205，，，．
其中，有理数有 ，无理数有 ，正实数有 ，负实数有 ．
◆变式训练
1．在，，，，，，，，，（每两个之间的个数逐次增加）中，正分数有个，非负整数有个，则 ．
一、单选题
1．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（ ）
A． B． C．2 D．4
3．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（ ）
A．或 B．或 C． D．
4．（2024·四川攀枝花·中考真题）2的算术平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0 B． C．3.14 D．
6．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
8．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2025·青海·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．（填“”“”或“”）
10．（2025·山东威海·中考真题）计算： ．
11．（2025·浙江·中考真题） ．
12．（2025·四川遂宁·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则 0．（填“>”“=”或“<”）
三、解答题
13．（2024·福建·中考真题）计算：．
14．（2024·广东·中考真题）计算：．
15．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：．
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．-2025 B． C． D．
2．下列四个数中，为有理数的是（ ）
A．π B． C．3 D．
3．下列说法不正确的是 （ ）．
A．既不是正数也不是负数 B．绝对值是本身的数是和正数
C．的倒数是它本身 D．不是有理数
4．9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（ ）
A．1 B．或 C． D．或
5．下列说法正确的是（ ）
A．一定没有平方根 B．立方根等于它本身的数是0，1
C．的算术平方根是6 D．25的平方根是
6．在实数，，，，，，（相邻两个3之间1的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若一个正数的两个不同的平方根分别为与，则这个正数为（　　）
A．9 B．8 C．3 D．1
8．已知，，，则的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
9．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．4的算术平方根是 .
12．若，为实数，且满足，则的值是 ．
13．某公交车原坐有22人，经过4个站点时上下车情况如下(上车为正，下车为负)：，，，，则车上还有 人．
14．如果规定木材公司购进木材为正，售出木材为负，那么，该公司购进木材可记作 ，售出木材可记作 ．
15．若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ．
16．实数a、b在数轴上的位置如图，则＝ ；
三、解答题
17．将下列各数填入相应的括号里：，，0，8，，π，，，，．
非负数：{ }；
整数：{ }；
有理数：{ }；
非正整数：{ }．
18．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
20．某一出租车某一时间段以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：，，，，．
(1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？
(2)出租车在行驶过程中，离鼓楼最远的距离是多少？
(3)假设该汽车每公里耗油升，请问将最后一名顾客送到目的地共耗油多少升？
21．出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，问：
(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？
(2)若汽车耗油量为（升/千米），这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？
(3)若出租车起步价为8元，起步里程为（包括），超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？
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