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甘肃省张掖市临泽县第一中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题
1．直线的一个法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．点到直线的距离（ ）
A． B． C． D．2
4．设数列的前项和为．若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．已知数列满足：，则（ ）
A．20 B．18 C．15 D．10
6．设数列，则数列的最小项是（ ）
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
7．设等差数列的前n项和为，若，则＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（ ）
A．3或7 B．3或8 C．2或7 D．2或8
二、多选题
9．已知，，则下面四个选项中正确的有（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线与直线平行
C．点在直线上
D．直线必过定点
10．设等差数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．不是等差数列
C． D．数列的前n项和是
11．已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C．当取得最大值时， D．
三、填空题
12．已知是等差数列且，则其公差 .
13．若直线与直线平行，则 .
14．若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为 .
四、解答题
15．设等比数列的前项和为，已知，.
(1)求公比的值；
(2)求的值.
16．记Sn为等差数列的前n项和，已知a9=－4，a10+a12=0.
（1）求的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值.
17．三角形的三个顶点是．
(1)求边上的中线所在直线的方程；
(2)求三角形的面积.
18．已知直线.
(1)求经过点且与直线垂直的直线方程；
(2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.
(3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
19．已知数列的前项和为，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)若等差数列满足：，，求数列的通项公式及数列的前n项和.
1．C
【详解】直线的一个方向向量为，设直线的法向量为，因为，所以，得，所以法向量.
故选：C.
2．B
根据给定条件，求出直线斜率，进而求出其倾斜角.
【详解】直线的斜率，倾斜角范围为，
所以直线的倾斜角为.
故选：B
3．A
利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】点到直线的距离
故选：A.
4．D
根据数列递推式，利用赋值法求值即可.
【详解】当时，，
当时，.
故选：D
5．C
根据题意利用累加法分析求解即可.
【详解】因为，则，
相加可得，即，
且，所以.
故选：C.
6．B
根据题意，将数列的通项公式变形可得，结合二次函数的性质分析可得答案．
【详解】根据题意，，
又由，则时，取得最小值，
故选：．
7．B
首先由求出，结合求出公差，最后根据等差数列通项公式求出.
【详解】因为，所以．又，所以公差，则．
故选：B
8．D
根据题意，直线恒过点，所以点到直线的距离的最大值可转化为点到定点的距离，根据两点间的距离公式，求解即可.
【详解】当变化时，直线恒过定点，所以点到直线的距离的最大值为，
即，解得或.
故选：D．
9．AD
选项A，已知直线上的两点，利用公式求出，利用求出倾斜角；选项B，利用点斜式得到直线的方程，从而得解；选项C，将点代入直线验证即可得解；选项D，将直线整理得到，则有，这个方程组的解形成的点就是直线必过的定点.
【详解】因为，所以直线的倾斜角为，故A正确．
直线MN的斜率为1，则方程为，
即直线与直线重合，所以B错误，
由题意得，则点的坐标不满足，故C错误，
由，得到，
显然时，恒成立，即该直线恒过定点，故D正确.
故选：AD.
10．ACD
先求解等差数列基本量，写出通项公式，可判断A选项；再根据等差数列定义，判断数列是等差数列；选项C，由裂项可得；选项D，在C的基础上，可求得.
【详解】选项A：等差数列满足，，设公差为.
由,则，解得,
则.故选项A正确.
选项B：又，
则，且.
故数列是以为首项，为公差的等差数列，故选项B错误.
选项C：由，得，故选项C正确.
选项D：根据选项的结果，设数列的前项和为.
则，故选项D正确.
故选：ACD.
11．BC
利用等差数列的性质得出，，即可逐一判断.
【详解】因数列是等差数列，
则，，
则，，则，
则公差（数列是递减数列），，时取得最大值，
故A、D错误；B、C正确；
故选：BC
12．
由题目给出的已知条件，直接代入等差数列的通项公式求公差即可.
【详解】在等差数列中，，
所以公差.
故答案为：.
13．1
根据两条直线平行，它们的斜率相等，得出k的值.
【详解】因为直线与直线平行，
所以直线的斜率为，
即，解得
故答案为：
14．
根据等差数列的相关计算，可求得，，进而可求得和，再结合等比中项的性质即可求解.
【详解】因为为等差数列的前项和，且，，
所以可得，解得，
所以，，
设与的等比中项为，则，则，
所以与的等比中项为.
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）根据题意，由等比数列的性质即可得到；
（2）根据题意，由等比数列的前项和公式，即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得，，所以公比.
（2）由题意可得，，则.
16．（1）；（2），最小值为．
（1）由等差数列通项公式列出方程组，求出，．由此能求出的通项公式．
（2）由，．求出．从而当或时，的最小值为．
【详解】（1）∵为等差数列的前n项和，，．
∴，
解得，．
∴的通项公式为．
（2）∵，．
∴．
为开口向上的二次函数，对称轴为，又
∴当或时，的最小值为．
17．(1)
(2)
（1）首先确定AC中点坐标，再由两点式即可求解.
（2）先求出，则可得，分别求出，代入面积公式计算即可.
【详解】（1）由得线段的中点，
则根据两点式可得直线方程为，
所求直线为.
（2）因为，
所以,
因为，
所以,
又，
所以.
18．(1)
(2)或
(3)S的最小值为16，此时直线l的方程为．
（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解；
（2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解；
（3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，即可确定直线的方程．
【详解】（1）由直线可得直线的斜率为，
依题意，所求直线斜率为，则其方程可设为，
该直线经过点，则，解得，
故所求直线方程为，即；
（2）联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，
代入解得，此时；
当直线的截距都不为0时，设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，
综上，所求直线方程为或.
（3）由题可知，
在中，令，解得，即得A，
再令，可得，即得，
故，
则
当且仅当，即时取等号，
故S的最小值为16，此时直线l的方程为．
19．(1)
(2)，
（1）根据求出为首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式；
（2）先求出的公差，求出通项公式，再利用错位相减法求和得到答案.
【详解】（1）①，
当时，，解得，
当时，②，
式子①-②得，即，
故为首项为2，公比为2的等比数列，
所以.
（2）由（1）知，，，
设的公差为，则，解得，
所以.
所以
故，
所以，
两式相减得，
所以.

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