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专题5.5 一次函数的简单应用
1、了解通过实验获得数据，然后根据数据建立一次函数模型的一般过程；
2、会综合运用一次函数的表达式，函数图象以及结合方程（组）等其他数学模型，解决实际问题；
3、会综合运用一次函数的表达式和图象解决简单实际问题；
4、了解直角坐标系中两条直线（不平行于坐标轴）的交点坐标与由两条直线的函数表达式所组成的二元一次方程组（不等式）的解之间的关系。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点01 一次函数实际应用-方案比较问题 3
考点02 一次函数实际应用-最优方案问题 5
考点03 一次函数实际应用-行程问题 8
考点04 一次函数实际应用-分段计费问题 12
考点05 一次函数实际应用-其他问题 15
考点06 一次函数与一次方程的解 19
考点07 一次函数与二元一次方程组的解 20
考点08 一次函数与不等式 22
考点09 一次函数与函数大小比较 25
考点10 一次函数与方程、不等式综合 27
考点11 一次函数与新定义、探究规律 30
考点12 一次函数与几何最值 33
考点13 一次函数与几何图形综合 38
模块3：培优训练 45
1.一次函数中的实际问题
1）数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型。
2）正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解。
注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点。
3）选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用。
2. 一元一次方程（二元一次方程组）与一次函数的关系
1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。
y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解
3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.
5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.
6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
3.一次不等式与一次函数的关系
1）一次不等式可转化为一般式：kx+b＞0（或kx+b＜0）
2）从函数的角度看，即寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，即确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
3)若两个不等式比较大小，如，反映在图像上为y1图象在y2的图象上面部分x的取值范围。
考点01 一次函数实际应用-方案比较问题
例1.（24-25八年级上·广东佛山·期中）在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐：
A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元；
B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元．
设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟．
(1)分别写出，与x的函数关系式；
(2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算．
变式1.（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．
根据以上信息，解答下列问题：(1)设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式；(2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同．
变式2.（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案：
方案一：每人票价打九折；
方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折．
设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元．
(1)分别写出方案一、方案二中，与之间的关系式；
(2)某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由．
变式3.（25-26八年级上·山东济南·期中）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：
甲方案：游客进园需购买每人元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费；
乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在千克以内（包含千克）按原价收费，超过千克后，超过部分按原价的五折收费．
设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元．
(1)当采摘量超过千克时，分别求出，与之间的函数关系式；
(2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？
(3)若采摘量为千克，选择哪种方案更划算？请说明理由．
考点02 一次函数实际应用-最优方案问题
例1.（2025·山东青岛·模拟预测）某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元．(1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？(2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？
变式1.（2025·云南·模拟预测）为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A，B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草的价格相同）．求：
(1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元？
(2)若计划购买A，B两种花草共100棵，其中购买A种花草m棵，且，购买B种花草的数量不少于A种花草的数量的3倍．请你给出一种费用最省的方案，并求该方案的所需费用．
变式2.（25-26八年级上·重庆·期中）随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人，已知2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁170平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁150平方米．
(1)一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题）
(2)某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请用含的代数式表示．
(3)在（2）问的前提下已知型机器人的售价为万元一台，型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为万元，问如何购买使得总费用最少；请说明理由．
变式3.（24-25八年级下·陕西安康·期末）2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．该航模店计划购买两种模型共100个，每个“神舟”模型成本为20元，每个“天宫”模型成本为16元，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型个，销售完这批模型获得的利润为元．
(1)求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
(2)若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
考点03 一次函数实际应用-行程问题
例1.（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）A、B两地相距600千米，途中有一个服务区，甲车从A地出发，前往B地，同时乙车从B地出发前往服务区接人，到达服务区停留0.5小时等人，接到人后立即按原路原速返回B地，两车匀速行驶，结果甲车比乙车晚1.5小时到达B地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
(1)甲车行驶速度是______千米/时，乙车行驶速度是______千米/时；
(2)求乙车从接到人后返回B地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；(3)直接写出两车出发多少小时相距30千米？
变式1.（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示．(1)分别求出轿车和货车的平均速度；(2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离；(3)货车出发多长时间后，两车相距？
变式2.（25-26八年级上·陕西西安·期中）国庆假期，小明一家驾驶私家车从城到城游玩，他们先匀速行驶了15分钟，后由于车流量太大，立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计）至城．汽车行驶的路程（千米）与行驶的时间（分钟）之间的函数图象如图所示．
(1)当时，求行驶的路程（千米）与时间（分钟）之间的函数关系式．(2)求的值．
变式3.（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲．
变式4.（25-26八年级上·四川成都·期中）成都2025年世界运动会期间，为展现智能科技与体育赛事的融合，组委会开展人形机器人模拟赛事项目竞速测试．两款人形机器人“蜀韵”和“锦风”参与测试，已知“蜀韵”和“锦风”同时从起点出发前往模拟赛事终点，与分别表示“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的关系，根据图象解答下列问题：(1)分别求出“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的函数关系式；（不要求写的取值范围）(2)当时，求“蜀韵”和“锦风”相距时的时间．
考点04 一次函数实际应用-分段计费问题
例1.（2025·陕西商洛·模拟预测）今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示．
(1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式；
(2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？
变式1.（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）按某市电力部门用电收费标准，用电客户应付电费（元）与每月用电量（度）的关系如图所示．
(1)分别求和时与的函数解析式；(2)求用电量为180度时的应付费用．
变式2.（24-25八年级下·重庆南川·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，如图所示的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的函数关系，其中品牌收费方式对应品牌的收费方式对应．
请根据相关信息．解答下列问题：(1)品牌共享电动车的起步价是___元；品牌共享电动车的收费是每分钟_____元；(2)求品牌共享电动车超过后，收费关于的函数解析式；
(3)请直接写出当骑行时间为何值时，两种品牌的共享电动车收费相差4元．
变式3.（24-25八年级下·湖南株洲·期中）某玉米种子的价格为元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折．某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出函数图象．如表是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点A的坐标为（2，10）．请你结合表格和图象：
付款金额（元） 7．5 10 12
购买量（千克） 1 1．5 2 2．5 3
(1)直接写出表中a、b的值：_____；_____．(2)求出当时，y关于x的函数解析式；
(3)甲农户将8．8元钱全部用于购买玉米种子，乙农户购买了4．5千克该玉米种子，分别计算他们的购买量和付款金额．
考点05 一次函数实际应用-其他问题
例1.（25-26八年级上·江苏盐城·期中）【课本再现】苏科版（）八年级上册第页综合与实践一条路上有多个交通信号灯，在“绿波带”，驾驶员以“绿波速度”驾驶，往往能一路绿灯通行．“绿波带”一般设置在城市干线道路上，将所有信号灯交叉口看作一个系统，通过协调控制绿灯亮起的时间，使得车辆以某一规定车速行驶时，基本上可以处处遇到绿灯，这个车速就是“绿波速度”，设置“绿波带”，既可以大大提高交通整体通行效率，也可以优化司机的通行体验．
如图1，汽车以速度匀速行驶通过路口、、、，且．已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计．
【模块一】特定速度的通行情况 设汽车在第0秒出发，匀速行驶后路程为．图2中射线表示在某种红绿灯设置下汽车行驶的情况．
（1）求与的函数表达式；（2）汽车以这样的速度向路口行驶，它能一路绿灯通过这四个路口吗，若能，请说明理由；若不能，请计算从路口出发到通过路口的总时长（行程总时长红灯等待时间行驶时间）；
【模块二】绿波速度的通行情况（3）①在这种红绿灯设置下，汽车若想一路绿灯匀速通过这四个路口，需优化通行速度，则“绿波速度”的取值范围为________；
②若汽车以①中“绿波速度”的整数值匀速行驶，与（2）中相比优化后的总时长减少了多少秒（精确到）；
【模块三】交通系统优化效果对比
（4）以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比：
指标 优化前 优化后
行程总时长 分钟 分钟
红灯等待次数 次 次（）
单次红灯平均等待时长 秒 秒
行驶速度 米/分钟 米/分钟
求“绿波控制系统”优化前后的红灯等待次数．
变式1.（25-26九年级上·吉林长春·期中）某种液化石油气罐存储液态石油气千克，与其配套的石油气炉有大火和小火两个档位可调节．刚开始点燃石油气炉并调至大火档位，石油气炉每分钟消耗石油气千克，当气炉燃烧分钟后，调至小火档位．液化石油气的罐内剩余石油气的质量（千克）与燃烧时间（分钟）之间的函数关系如图所示．
(1)的值为 ；(2)当时，求与之间的函数关系式；
(3)当罐内剩余石油气的质量是原有质量的五分之一时，求石油气炉的燃烧时间．
变式2.（25-26八年级上·陕西汉中·期中）现有甲、乙两种恒温电热水壶在同时加热相同质量水的时候，壶中水的温度与时间（秒）之间的函数关系图象如图所示．
(1)分别求出甲、乙两种电热水壶在水温达到恒定温度（）之前，关于的函数表达式；
(2)当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为多少？
变式3.（25-26八年级上·广东深圳·期中）初三的几位同学阅读了教材中《第十九章一次函数》的数学活动2，决定探究水龙头关闭不严造成漏水的问题．为了调查漏水量与漏水时间的关系，他们进行了以下试验与探究．试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每隔记录一次容器中的水量，由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量的水，因而得到如表中的一组数据：
时间 1 2 3 4 5 …
水量 5 8 11 17 …
(1)探究：根据上表中的数据，你用下面三个函数模型模拟水量与时间的关系：①，②），③，你认为选用函数___________（填序号）模拟最合理（不必说明理由），并写出相应的表达式______________和表中漏记的的值_________．
(2)应用：①若用量筒进行测量，请估计第30分钟时量筒是否滴满？________（填“是”或“否”）
②成年人每天大约需要饮水，请估计这个水龙头一天的漏水量可供一名成年人饮用多少天？（结果保留一位小数）
考点06 一次函数与一次方程的解
例1.（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若一次函数的图象经过两点，则关于x的方程的解为 ．
变式1.（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线经过点，则方程的解为 ．
变式2.（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，点是一次函数图象上的一点，则方程的解是 ．
变式3.（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，直线是一次函数的图象，点，在直线上．请根据图象写出方程的解为 ．
考点07 一次函数与二元一次方程组的解
例1.（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线与的图象交于，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
变式1.（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，直线与直线交于点，那么关于x，y的二元一次方程组的解是（）
A． B． C． D．
变式2.（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图所示，直线与分别是二元一次方程和在平面直角坐标系中的图像，求此方程组的解为 ．
变式3.（24-25八年级上·广西崇左·阶段练习）直线 和直线的图象交于点M．点M坐标为： ．
考点08 一次函数与不等式
例1.（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式1.（24-25九年级上·甘肃武威·期末）在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．方程的解是
C．当时， D．不等式的解集是
变式2.（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数（是常数且）的图象交轴、轴分别于点、，则下列结论正确的是（ ）
A．方程的解是 B．方程的解是
C．不等式的解集是 D．不等式的解集是
变式3.（25-26八年级上·广西崇左·阶段练习）画出函数的图像，并结合图像求：
(1)方程的解；(2)不等式的解集；(3)不等式组的解集．
考点09 一次函数与函数大小比较
例1.（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线与直线相交于点，则不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，直线相交于点与轴分别交于点和，则当时，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3.（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D．
(1)求A，C两点的坐标；(2)若，则x的取值范围是 _______；
(3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集．
考点10 一次函数与方程、不等式综合
例1.（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数与的图象如下图所示，其交点的坐标为，直线与轴的交点坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．方程的解是 B．方程组的解是
C．关于的不等式的解集是 D．的解集为
变式1.（24-25八年级下·湖北十堰·期中）一次函数和在同一坐标系中的图像如图所示，则下列结论：①它们的交点在直线上；②；③不等式的解集为；
④它们与x轴围成的三角形的面积为．其中，正确的序号是 ．
A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②④
变式2.（24-25八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，一次函数和图象的交点坐标为，其中，均为常数，且．点，分别在函数和的图象上，且，在下列结论中：①；②；③；④原点到直线的距离为．正确的是 ．
变式3.（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知直线过点﹒则以下结论：①；②若当时，，则；③方程组的解为；④若直线向右平移2个单位后过点，且不等式的解集为，则，其中正确的有 ．（请填写序号）
考点11 一次函数与新定义、探究规律
例1.（24-25八年级下·重庆渝中·期末）定义：在同一平面直角坐标系中有三条直线，，，我们把在某一范围内位于另外两条直线之间的直线称为该范围的中位线，记作．如图，：，：，：，若，则，其表达式为．若，则x的取值范围是 ；若是过点且平行于轴的直线，与直线有4个交点，则b的取值范围是 ．
变式1.（2025·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 ．
变式2.（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，……，依次进行下去，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式3.（24-25八年级上江苏·期末）在平面直角坐标系中，解析式为的直线a，解析式为的直线b如图所示，直线a交y轴于点A，以为边作第一个等边三角形，过点B作y轴的平行线交直线a于点，以为边作第二个等边三角形顺次这样作下去，第2020个等边三角形的边长为（　　）
A． B． C．4038 D．4040
考点12 一次函数与几何最值
例1.（2025·天津西青·二模）已知，，在轴上求一点，使最小，则点的坐标是 ．
变式1.（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A和点B，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径画弧交于点C和点D，直线交x轴于点E，点P是直线上一动点，连接和，则的最小值是 ．
变式2.（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点M、N的坐标如图所示，点P是y轴上的一个动点，当最大时，点P的坐标是 ．
变式3.（24-25八年级下·重庆渝北·开学考试）如图，一次函数过点和点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，点D在线段上，点E在线段上，且，当最小值为时，则k的值为 ．
变式4.（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，直线与轴交于点，直线（，为常数，且）与轴交于点，直线与交于点．
(1)求点的坐标及直线的函数表达式；(2)已知点是线段上一个动点（不与端点重合）．
设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数关系式；
若点在轴上，使得的值最小，则点的坐标为_____．
考点13 一次函数与几何图形综合
例1.（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点B和点A，点是一次函数图象上一点，过点E的直线与x轴和y轴分别交于点C和点．
(1)求a的值和直线的解析式；(2)若点P是直线上的一动点，若，求点P的坐标；
(3)如图2，点Q在直线上轴，垂足为M，射线平分，分别交x轴和y轴于点N和点H，当点M、点N和点O这三点中有一个点是另外两个点构成线段的中点时，请直接写出点Q的坐标．
变式1.（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于两点，C为中点．
(1)求直线的解析式；(2)若D为线段上一动点，沿所在直线将翻折到的位置，直线交于点F．当是直角三角形时，求点D的坐标；(3)连接，若直线与直线所夹锐角小于，求k的取值范围．
变式2.（25-26八年级上·山东淄博·期中）在平面内，线段的一个端点在直线上，另一个端点在直线的上方，线段绕点按顺时针方向旋转至线段，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点．
(1)如图1，当两点在直线的同侧时，求证；
(2)如图2，当两点在直线的异侧时（点在两点之间），猜想，三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，，点是轴上的动点，连接．①设点坐标为，点在轴上运动时，求与的关系式；
②当与的和最小时，求点的坐标．
变式3.（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点，与x轴交于点C．已知．
(1)求直线的解析式；(2)若平面直角坐标系内有一点，使得，请直接写出点P的坐标；(3)线段OA上是否存在一个点M，使得 若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线和交于P，当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·河北衡水·期末）在直线、直线与轴所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，则“美点”的个数为（ ）
A．300 B．400 C．360 D．320
5．（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知方程的解与下列选项中两个函数图象的交点相对应的是（ ）
A．B．C． D．
6．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·期末）关于一次函数与，下列说法：
①两函数的图象关于轴对称；②两函数的图象和轴围成的三角形的面积为24；
③函数（是常数，且）的图象一定过点．其中正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
8.（25-26八年级上·山东济南·期中）在，两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程，(km)与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：①，两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
9．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，，轴，交轴于点，交直线于点．点在线段上，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，的长为（ ）
A． B． C．3 D．
10．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（ ）．
A．4或 B．4或 C．4或 D．3或
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（25-26八年级上·陕西西安·期中）小辰在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值：
码数 26 30 34 42
长度 18 20 22 26
根据小辰的数据，可以得出该品牌32码鞋子的长度为 ．
12．（2025·山东济南·模拟预测）如图（）是甲、乙两个完全相同的圆柱形水槽的轴截面示意图，在乙槽中放入一圆柱形实心铁块，两水槽在下侧位置连通（由连通阀门控制水流，连通阀门处的水量忽略不计）．现将连通阀门打开，甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（）与注水时间（）之间的函数关系如图（）所示．则线段所在直线的函数表达式为 ．
13．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于，，的平分线与轴相交于点M、则线段的长 ．

14．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知直线：经过，两点，直线．（1）若，则a的值为 ；（2）当时，总有，则a的取值范围是 ．
15．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②；③不等式的解集是；④当时，．
其中正确的是 ．

16．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，，，，点D为线段上的一个点，点E是线段上一点，若点C和点E关于所在直线对称，则D点的坐标为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台．(1)求投放塑料的奖励积分；(2)求的值；(3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明．
18．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满．
苹果 橘子
每辆车装载量（吨） 4 6
每吨获利（元） 1200 1500
(1)设装运苹果的货车有辆，装运橘子的货车有辆，则_____（用含的代数式表示）；
(2)求总利润（元）与（辆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，则应安排多少辆货车装运苹果才能获得最大利润，并求出最大利润．
19.（25-26八年级上·江苏·期中）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示．
(1)求m的值，并说出m的实际意义；(2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）；(3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值．
20．（24-25八年级下·四川南充·期末）勤俭节约是中华民族的传统美德，某天然气公司为了鼓励居民节约用气，生活用气实行按阶梯式气价计费，如图是某户居民每月的用气费y（元）与所用的气量x（立方米）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题：
(1)当用气量不超过10立方米时，每立方米气收费多少元？(2)当用气量超过10立方米且不超过40立方米时，求y与x之间的函数关系式；(3)某户居民九、十月份用气费共82元，十月份用气比九月份少6立方米，求这户居民十月份用气多少立方米？
21．（25-26八年级上·广东深圳·期中）教材问题重现：
在小颖的实验中，燃烧时间每增加，香可燃烧部分的长度就减少．也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少．为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢？与同伴进行交流．
对于“均匀”变化，下面是深度学习小组通过查阅相关资料和文献搜索后的研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
深度学习小组有关“匀速变化一次函数”的研究报告研究对象：匀速变化一次函数研究思路：按“概念——例题——探究”的路径进行研究研究内容：【一般概念】设y是x的一次函数，我们取自变量x的取值范围内的两个不同的值，，当到变化时，对应的y的值由到也随之变化，这时我们称比值为y在与之间的平均变化速度，当y在自变量x取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度相同时，我们称y是x的匀速变化一次函数．
【探究活动一】根据匀速变化一次函数的概念，对函数的研究如下：当时，；当时，．则．当时，；当时，．则．因为y在自变量x的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度是同一个数3，所以y是x的匀速变化一次函数．【深入探索】通过上述方法可以验证函数为y关于x的匀速变化一次函数，则该函数的平均变化速度刚好等于 ▲ ．发现结论：若、是函数（k，b为常数，）图象上的两点，则 █ ．我们只需再取图象上两点就可以快速地验证y是不是x的匀速变化一次函数．
任务一：（1）填空：上述材料中的▲= ，█= ．
（2）请你应用以上规律直接写出过，两点的直线的平均变化速度 ．
【探究活动二】深度学习小组继续深入研究直线的平均变化速度问题，得到以下两个正确结论：
①当两条直线平行时，这两条直线的平均变化速度是相等的；
②当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的平均变化速度之积是一个定值．
任务二：（3）如图1，直线与直线垂直于点A，且，，．请求出直线的平均变化速度与直线的平均变化速度之积．
（4）发现结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的平均变化速度之积是一个定值，这个定值= ．
（5）应用结论：如图2，平面直角坐标系中正方形的顶点，，连接，过点D作直线，则直线l的函数表达式为 ．
22.（25-26八年级上·广西崇左·月考）直线与x轴交于点A ，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，与直线 m 交于点 P ，若点P的横坐标为1 ．
(1)求A，B两点的坐标；(2)直接写出方程组的解；(3)求a，b的值；(4)求的面积．
23．（24-25七年级下·重庆江北·期末）阅读以下材料，解决问题：我们知道，二元一次方程有无数组解，我们把一组解中x，y对应的数值看作一个有序数对．在平面坐标系中，标出以这个方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点，就会发现这些点在同一条直线上．例如：二元一次方程． 有无数组解，方程的解 对应点，对应点 ，同理得到点、我们把这些点用平滑的曲线连接正好是一条直线，如图所示．反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也对应方程的解，所以我们把这条直线就叫做方程的图象．
结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，任意一个二元一次方程的图象都是一条直线．
(1)以下选项中在方程的图像上的点有________．
① ② ③ ④
(2)已知是关于、方程和图像的交点上，求的值．
(3)已知无论为何值，关于、的二元一次方程的图象都经过某一定点，求这个点的坐标．
24．（25-26八年级上·重庆南岸·期中）如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在轴上．已知点，．(1)若点在轴负半轴上，求直线的函数表达式；
(2)在（1）的条件下，轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标．
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专题5.5 一次函数的简单应用
1、了解通过实验获得数据，然后根据数据建立一次函数模型的一般过程；
2、会综合运用一次函数的表达式，函数图象以及结合方程（组）等其他数学模型，解决实际问题；
3、会综合运用一次函数的表达式和图象解决简单实际问题；
4、了解直角坐标系中两条直线（不平行于坐标轴）的交点坐标与由两条直线的函数表达式所组成的二元一次方程组（不等式）的解之间的关系。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点01 一次函数实际应用-方案比较问题 3
考点02 一次函数实际应用-最优方案问题 5
考点03 一次函数实际应用-行程问题 8
考点04 一次函数实际应用-分段计费问题 12
考点05 一次函数实际应用-其他问题 15
考点06 一次函数与一次方程的解 19
考点07 一次函数与二元一次方程组的解 20
考点08 一次函数与不等式 22
考点09 一次函数与函数大小比较 25
考点10 一次函数与方程、不等式综合 27
考点11 一次函数与新定义、探究规律 30
考点12 一次函数与几何最值 33
考点13 一次函数与几何图形综合 38
模块3：培优训练 45
1.一次函数中的实际问题
1）数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型。
2）正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解。
注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点。
3）选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用。
2. 一元一次方程（二元一次方程组）与一次函数的关系
1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。
y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解
3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.
5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.
6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
3.一次不等式与一次函数的关系
1）一次不等式可转化为一般式：kx+b＞0（或kx+b＜0）
2）从函数的角度看，即寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，即确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
3)若两个不等式比较大小，如，反映在图像上为y1图象在y2的图象上面部分x的取值范围。
考点01 一次函数实际应用-方案比较问题
例1.（24-25八年级上·广东佛山·期中）在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐：
A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元；
B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元．
设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟．
(1)分别写出，与x的函数关系式；
(2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算．
【答案】(1)(2)选择B种套餐更合算
【详解】（1）解：根据题意得：，；
（2）解：当时，，
，选择B种套餐更合算．
变式1.（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．
根据以上信息，解答下列问题：(1)设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式；(2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同．
【答案】(1)， (2)当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同
【详解】（1）解：设直线，由图象可把点代入得：
，解得：，∴，
设直线，把点代入得：，∴；
（2）解：由（1）联立函数解析式得：，解得：，
答：当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同．
变式2.（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案：
方案一：每人票价打九折；
方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折．
设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元．
(1)分别写出方案一、方案二中，与之间的关系式；
(2)某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由．
【答案】(1) (2)选择方案二更优惠，见解析
【详解】（1）解：票价为150元/张，方案一：每人票价打九折，此时单价为元，
故；
方案二：10人以内（含10人）不优惠，此时费用为元，超过10人的部分的费用为，总费用为：．
（2）解：当时，，．
， 选择方案二更优惠．
变式3.（25-26八年级上·山东济南·期中）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：
甲方案：游客进园需购买每人元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费；
乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在千克以内（包含千克）按原价收费，超过千克后，超过部分按原价的五折收费．
设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元．
(1)当采摘量超过千克时，分别求出，与之间的函数关系式；
(2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？
(3)若采摘量为千克，选择哪种方案更划算？请说明理由．
【答案】(1)，．(2)当采摘千克或千克时，两种方案的价格相同
(3)选择乙方案更划算，理由见解析
【详解】（1）解：当采摘量超过千克时，，
根据题意，得 ．
（2）解：当时，
令，则，解得
当时，令，则，解得
答：当采摘千克或千克时，两种方案的价格相同．
（3）解：选择乙方案更划算．理由如下：
当时，，
因为，所以选择乙方案更划算．
考点02 一次函数实际应用-最优方案问题
例1.（2025·山东青岛·模拟预测）某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元．(1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？(2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？
【答案】(1)每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元
(2)当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元．
【详解】（1）解：设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，
可得，解得：，答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元．
（2）解：设购买A型放大镜a个，则购买B型放大镜个，
根据题意可得：，解得：（a为整数），即a的最小值为，
所以购买费用为：，
∵，∴w随a的增大而增大，∴当时，最少费用2712元．
∴当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元．
变式1.（2025·云南·模拟预测）为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A，B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草的价格相同）．求：
(1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元？
(2)若计划购买A，B两种花草共100棵，其中购买A种花草m棵，且，购买B种花草的数量不少于A种花草的数量的3倍．请你给出一种费用最省的方案，并求该方案的所需费用．
【答案】(1)A种20元/棵，B种5元/棵(2)买A种10棵、B种90棵，最省费用650元
【详解】（1）解：设A种花草每棵x元，B种每棵y元，
列方程组：第一个方程：，第二个方程：．
化简第一个方程：，第二个方程：，
②-第一个方程：，，代入①：．
答：A种20元/棵，B种5元/棵．
（2）解： 购买B种花草棵，由题意：，解得，又，
费用，
∵，W随m增大而增大，∴m最小时，W最省，此时，（元）．
答：买A种10棵、B种90棵，最省费用650元．
变式2.（25-26八年级上·重庆·期中）随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人，已知2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁170平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁150平方米．
(1)一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题）
(2)某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请用含的代数式表示．
(3)在（2）问的前提下已知型机器人的售价为万元一台，型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为万元，问如何购买使得总费用最少；请说明理由．
【答案】(1)A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米 (2)
(3)购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，为万元
【详解】（1）解：设A型机器人每小时清洁平方米，B型机器人每小时清洁平方米，根据题意得，
解得∴A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米；
（2）解：设型机器人有台，型机器人有台，根据题意得，整理得；
（3）解：由（2）得，设型机器人有台，型机器人有台，根据题意得，
，∴当取最小值时，的值最小，
又∵取正整数，∴当时，，的值最小为（万元），
∴购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，为万元．
变式3.（24-25八年级下·陕西安康·期末）2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．该航模店计划购买两种模型共100个，每个“神舟”模型成本为20元，每个“天宫”模型成本为16元，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型个，销售完这批模型获得的利润为元．
(1)求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
(2)若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)购进“神舟”模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元
【详解】（1）解：设购买“神舟”模型个，则购买“天宫”模型个，
则，与的函数关系式为．
（2）购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，，解得，
，，是正整数，当时，最大，最大值为1098，
答：购进“神舟”模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元．
考点03 一次函数实际应用-行程问题
例1.（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）A、B两地相距600千米，途中有一个服务区，甲车从A地出发，前往B地，同时乙车从B地出发前往服务区接人，到达服务区停留0.5小时等人，接到人后立即按原路原速返回B地，两车匀速行驶，结果甲车比乙车晚1.5小时到达B地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
(1)甲车行驶速度是______千米/时，乙车行驶速度是______千米/时；
(2)求乙车从接到人后返回B地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；(3)直接写出两车出发多少小时相距30千米？
【答案】(1)60；90 (2)(3)两车出发3.8小时或4.5小时或6.5小时或9.5小时时相距30千米
【详解】（1）解：由题意可得：，∴甲车的行驶速度是：（千米/时），
M的纵坐标为360，∴B，C两地之间的距离为360千米，
乙车行驶的路程为（千米），行驶的时间为（小时），
乙车行驶的速度是（千米/时），故答案为：60；90；
（2）解：∵甲车比乙车晚小时到达C地，∴点，
乙的速度为90千米/小时，则，∴，，
设表达式为，将和代入，
得，解得：，
∴y（千米）与x（小时）之间的函数关系式为：；
（3）解：设出发x小时，行驶中的两车之间的路程是30千米，
①在乙车到B地之前时，，即，解得：；
②∵小时，小时，
∴甲乙同时到达B地，当乙在B地停留时，小时；
③当乙车追上甲车并超过30千米时，小时；
④当乙车已经回到C地时，甲车距离C地30千米时，小时；
综上：两车出发3.8小时或4.5小时或6.5小时或9.5小时时相距30千米．
变式1.（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示．(1)分别求出轿车和货车的平均速度；(2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离；(3)货车出发多长时间后，两车相距？
【答案】(1)轿车的平均速度为，货车的平均速度为；
(2)轿车到达终点时，货车离终点的距离为；(3)货车出发或后，两车相距．
【详解】（1）解：根据“速度路程时间”，轿车的平均速度为，货车的平均速度为，轿车的平均速度为，货车的平均速度为；
（2）解：根据“路程时间速度”，得，轿车到达终点时，货车离终点的距离为；
（3）解：当时，设与的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和代入，
得，解得，，当时，得，解得；
由图象得：在时，无法达到；
当时，设与的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和代入，得，解得，，
当时，，解得．货车出发或后，两车相距．
变式2.（25-26八年级上·陕西西安·期中）国庆假期，小明一家驾驶私家车从城到城游玩，他们先匀速行驶了15分钟，后由于车流量太大，立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计）至城．汽车行驶的路程（千米）与行驶的时间（分钟）之间的函数图象如图所示．
(1)当时，求行驶的路程（千米）与时间（分钟）之间的函数关系式．(2)求的值．
【答案】(1)(2)的值为90
【详解】（1）根据图象，可得当时，路程（千米）与时间（分钟）的函数关系是正比例函数，故设函数关系式为．
因为在函数图象上，所以，解得，故函数关系式为．
（2）设过的解析式，
∴，解得，∴该一次函数的解析式为：，
把代入中，得，解得，∴．
变式3.（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲．
【答案】
【详解】解：设线段所在直线的函数解析式为，
将点，代入得：，解得，
则线段所在直线的函数解析式为，
设线段所在直线的函数解析式为，
将点，代入得：，解得，
则线段所在直线的函数解析式为，
联立，解得，即乙在2点半的时候追上甲，
由函数图象可知，乙是在2点出发，则乙从出发到追上甲所用时间为，故答案为：．
变式4.（25-26八年级上·四川成都·期中）成都2025年世界运动会期间，为展现智能科技与体育赛事的融合，组委会开展人形机器人模拟赛事项目竞速测试．两款人形机器人“蜀韵”和“锦风”参与测试，已知“蜀韵”和“锦风”同时从起点出发前往模拟赛事终点，与分别表示“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的关系，根据图象解答下列问题：(1)分别求出“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的函数关系式；（不要求写的取值范围）(2)当时，求“蜀韵”和“锦风”相距时的时间．
【答案】(1)，；(2)或．
（2）根据（1）中求出的两个函数关系式，分“锦风”在“蜀韵”前面和后面两种情况，列绝对值方程求解．
【详解】（1）解：设，
∵ 过点，∴ ，解得 ，∴，
设，∵ 过点，
∴ 解得，，∴；
（2）解：当时，分两种情况：
情况一： 即，解得，
情况二：即，解得，
答：“蜀韵”和“锦风”相距时的时间为或．
考点04 一次函数实际应用-分段计费问题
例1.（2025·陕西商洛·模拟预测）今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示．
(1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式；
(2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？
【答案】(1)(2)14.5吨
【详解】（1）根据题意，得当时，设该用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数表达式为．将点和点的坐标代入
得，解得
当时，该用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数表达式为．
（2）当时，得．解得．
答：该用户5月用了14.5吨水．
变式1.（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）按某市电力部门用电收费标准，用电客户应付电费（元）与每月用电量（度）的关系如图所示．
(1)分别求和时与的函数解析式；(2)求用电量为180度时的应付费用．
【答案】(1)时；时(2)142元
【详解】（1）解：设当时，，
把代入，得解得 ∴；
设当时，，把，分别代入，
得解得∴；
（2）解：依题意，由（1）得时
依题意，当时，(元)
变式2.（24-25八年级下·重庆南川·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，如图所示的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的函数关系，其中品牌收费方式对应品牌的收费方式对应．
请根据相关信息．解答下列问题：(1)品牌共享电动车的起步价是___元；品牌共享电动车的收费是每分钟_____元；(2)求品牌共享电动车超过后，收费关于的函数解析式；
(3)请直接写出当骑行时间为何值时，两种品牌的共享电动车收费相差4元．
【答案】(1)7，(2)(3)或
【详解】（1）解：由图象可知，B品牌共享电动车的起步价是7元，A品牌共享电动车的收费是每分钟：（元），故答案为：7；；
（2）解：设，把代入，
得：，解得：；∴；
（3）解：当时，，解得：；
当时，，解得：；综上：或．
变式3.（24-25八年级下·湖南株洲·期中）某玉米种子的价格为元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折．某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出函数图象．如表是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点A的坐标为（2，10）．请你结合表格和图象：
付款金额（元） 7．5 10 12
购买量（千克） 1 1．5 2 2．5 3
(1)直接写出表中a、b的值：_____；_____．
(2)求出当时，y关于x的函数解析式；
(3)甲农户将8．8元钱全部用于购买玉米种子，乙农户购买了4．5千克该玉米种子，分别计算他们的购买量和付款金额．
【答案】(1)5，14(2)(3)甲农户的购买量为千克，乙农户的付款金额为20元．
【详解】（1）解：结合函数图象以及表格即可得出购买量是函数的自变量x，
∵，∴，．故答案为：5，14．
（2）解：设当时，y关于x的函数解析式为，
将点代入中，得：，解得：，
∴当时，y关于x的函数解析式为．
（3）解：∵，∴甲农户的购买量为：（千克）．
当千克时，．
答：甲农户的购买量为千克，乙农户的付款金额为20元．
考点05 一次函数实际应用-其他问题
例1.（25-26八年级上·江苏盐城·期中）【课本再现】苏科版（）八年级上册第页综合与实践一条路上有多个交通信号灯，在“绿波带”，驾驶员以“绿波速度”驾驶，往往能一路绿灯通行．“绿波带”一般设置在城市干线道路上，将所有信号灯交叉口看作一个系统，通过协调控制绿灯亮起的时间，使得车辆以某一规定车速行驶时，基本上可以处处遇到绿灯，这个车速就是“绿波速度”，设置“绿波带”，既可以大大提高交通整体通行效率，也可以优化司机的通行体验．
如图1，汽车以速度匀速行驶通过路口、、、，且．已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计．
【模块一】特定速度的通行情况 设汽车在第0秒出发，匀速行驶后路程为．图2中射线表示在某种红绿灯设置下汽车行驶的情况．
（1）求与的函数表达式；（2）汽车以这样的速度向路口行驶，它能一路绿灯通过这四个路口吗，若能，请说明理由；若不能，请计算从路口出发到通过路口的总时长（行程总时长红灯等待时间行驶时间）；
【模块二】绿波速度的通行情况（3）①在这种红绿灯设置下，汽车若想一路绿灯匀速通过这四个路口，需优化通行速度，则“绿波速度”的取值范围为________；
②若汽车以①中“绿波速度”的整数值匀速行驶，与（2）中相比优化后的总时长减少了多少秒（精确到）；
【模块三】交通系统优化效果对比
（4）以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比：
指标 优化前 优化后
行程总时长 分钟 分钟
红灯等待次数 次 次（）
单次红灯平均等待时长 秒 秒
行驶速度 米/分钟 米/分钟
求“绿波控制系统”优化前后的红灯等待次数．
【答案】（1）；（2）从路口出发到通过路口的总时长为秒；（3）① ②；
（4）优化前的红灯等待次数为，优化后的红灯等待次数为
【详解】解：（1）由图2可知，射线过点，且函数为正比例函数，
设与的函数表达式为，把代入解析式得：
，解得：，∴与的函数表达式为；
（2）由图2可知，汽车以这样的速度向路口行驶，它不能一路绿灯通过这四个路口，第秒时，路口绿灯亮起，故从路口出发到通过路口的总时长为秒；
（3）①绿灯通过路口，则，即，
绿灯通过路口，则，即，
绿灯通过路口，则，即，∴“绿波速度”的取值范围为；
②“绿波速度”的整数值为，总时长为（秒），（秒），
∴与（2）中相比优化后的总时长减少了秒；
（4）由题意得：，整理得：，∴，
∵且为正整数，∴，∴，
∴优化前的红灯等待次数为，优化前后的红灯等待次数为．
变式1.（25-26九年级上·吉林长春·期中）某种液化石油气罐存储液态石油气千克，与其配套的石油气炉有大火和小火两个档位可调节．刚开始点燃石油气炉并调至大火档位，石油气炉每分钟消耗石油气千克，当气炉燃烧分钟后，调至小火档位．液化石油气的罐内剩余石油气的质量（千克）与燃烧时间（分钟）之间的函数关系如图所示．
(1)的值为 ；(2)当时，求与之间的函数关系式；
(3)当罐内剩余石油气的质量是原有质量的五分之一时，求石油气炉的燃烧时间．
【答案】(1)(2)当时，与之间的函数关系式为
(3)点燃分钟，罐内剩余石油气的质量是原有质量的五分之一
【详解】（1）解：．故答案为：6．
（2）解：设，将，代入，得，解得，
∴（）．
（3）解：当罐内剩余石油气的质量是原有质量的五分之一时，，
解得，．答：石油气炉的燃烧时间为280分钟．
变式2.（25-26八年级上·陕西汉中·期中）现有甲、乙两种恒温电热水壶在同时加热相同质量水的时候，壶中水的温度与时间（秒）之间的函数关系图象如图所示．
(1)分别求出甲、乙两种电热水壶在水温达到恒定温度（）之前，关于的函数表达式；
(2)当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为多少？
【答案】(1)甲电热水壶关于的函数表达式为，乙电热水壶关于的函数表达式为
(2)乙壶中的水温为
【详解】（1）解：设甲电热水壶关于的函数表达式为，
将和代入，得：，解得，
甲电热水壶关于的函数表达式为；
同理，设乙电热水壶关于的函数表达式为，
将和代入，得：，解得，
乙电热水壶关于的函数表达式为；
（2）解：当甲壶中水温刚好达到时，，解得，
将代入，得：，即乙壶中的水温为．
变式3.（25-26八年级上·广东深圳·期中）初三的几位同学阅读了教材中《第十九章一次函数》的数学活动2，决定探究水龙头关闭不严造成漏水的问题．为了调查漏水量与漏水时间的关系，他们进行了以下试验与探究．试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每隔记录一次容器中的水量，由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量的水，因而得到如表中的一组数据：
时间 1 2 3 4 5 …
水量 5 8 11 17 …
(1)探究：根据上表中的数据，你用下面三个函数模型模拟水量与时间的关系：①，②），③，你认为选用函数___________（填序号）模拟最合理（不必说明理由），并写出相应的表达式______________和表中漏记的的值_________．
(2)应用：①若用量筒进行测量，请估计第30分钟时量筒是否滴满？________（填“是”或“否”）
②成年人每天大约需要饮水，请估计这个水龙头一天的漏水量可供一名成年人饮用多少天？（结果保留一位小数）
【答案】(1)②，，14(2)①否；②这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用天
【详解】（1）解：由题意可得，应该用一次函数模拟水量与时间的关系，故选函数②，
把代入函数解析式可得，，解得，
水量与时间的解析式为，故漏记的；故答案为：②，，；
（2）解：①将代入函数解析式，可得，
在第30分钟量筒没有滴满，故答案为：否；
②由题意知水龙头每分钟滴水为，水龙头一天的漏水量为，
（天），
答：这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用天．
考点06 一次函数与一次方程的解
例1.（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若一次函数的图象经过两点，则关于x的方程的解为 ．
【答案】
【详解】解：由图象可知一次函数与x轴的交点坐标为，
∴关于x的方程的解为；故答案为．
变式1.（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线经过点，则方程的解为 ．
【答案】
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，∴当时，，
∴关于x的一元一次方程的解为．故答案为：．
变式2.（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，点是一次函数图象上的一点，则方程的解是 ．
【答案】
【详解】解：根据题意，当时，，∴方程的解是．故答案为：．
变式3.（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，直线是一次函数的图象，点，在直线上．请根据图象写出方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程．运用图象法即可解答问题．
【详解】解：由图可知：函数图象与直线交于点，
所以，即为方程的解，故答案为：．
考点07 一次函数与二元一次方程组的解
例1.（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线与的图象交于，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵一次函数与的图象交于，
∴一次函数与的图象向下平移1个单位长度得到函数的解析式为，，
则一次函数与的图象的交点也相应的向下平移一个单位长度为，
∴关于x，y的方程组的解为，故选：C．
变式1.（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，直线与直线交于点，那么关于x，y的二元一次方程组的解是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：直线与直线交于点
关于的二元一次方程组的解就是点坐标
方程组的解为，故选：D．
变式2.（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图所示，直线与分别是二元一次方程和在平面直角坐标系中的图像，求此方程组的解为 ．
【答案】
【详解】解：由图像得 此方程组的解为，故答案为：．
变式3.（24-25八年级上·广西崇左·阶段练习）直线 和直线的图象交于点M．点M坐标为： ．
【答案】
【详解】解：解方程组，得，∴交点M坐标为，故答案为：．
考点08 一次函数与不等式
例1.（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：观察图象知，不等式的解集为，故选：A．
变式1.（24-25九年级上·甘肃武威·期末）在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．方程的解是
C．当时， D．不等式的解集是
【答案】C
【详解】解：由函数的图像可知，
当时，，故A选项错误，不符合题意；
方程的解是，故B选项错误，不符合题意；
当时，，故C正确，符合题意；
不等式的解集是，故D错误，不符合题意．故选：C．
变式2.（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数（是常数且）的图象交轴、轴分别于点、，则下列结论正确的是（ ）
A．方程的解是 B．方程的解是
C．不等式的解集是 D．不等式的解集是
【答案】B
【详解】解：A、由图象可知，一次函数的图象交轴于点，则方程的解是，原结论错误，不符合题意；
B、由图象可知，一次函数的图象交轴于点，则方程的解是，原结论正确，符合题意；
C、根据图象可知，不等式的解集是，而当时，不等式的解必为小于0的数，故原结论错误，不符合题意；
D、由图象可知，当时，一次函数图象在直线的上方，则不等式的解集是，原结论错误，不符合题意；故选：B．
变式3.（25-26八年级上·广西崇左·阶段练习）画出函数的图像，并结合图像求：
(1)方程的解；(2)不等式的解集；(3)不等式组的解集．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：列表：
x 0
3 0
描点并连线：
由图像可得，一次函数的图像与x轴的交点为，∴方程的解为．
（2）解：由图像可得，不等式的解集为．
（3）解：当时，，解得，当时，，解得，
由图像可得，不等式的解集为．
考点09 一次函数与函数大小比较
例1.（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线与直线相交于点，则不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵过点，∴，解得，∴，
由图可得，当时，，故选A．
变式1.（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：观察图象得：当时，正比例函数的图象在一次函数的图象的下方，
∴关于的不等式的解集是．故选：A
变式2.（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，直线相交于点与轴分别交于点和，则当时，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：直线相交于点与轴交于点，
根据函数图象可得当时，自变量的取值范围是故选：C．
变式3.（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D．
(1)求A，C两点的坐标；(2)若，则x的取值范围是 _______；
(3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】(1)，(2)(3)
【详解】（1）解：∵直线：与直线：相交于点，
∴把代入，得，解得：，
把代入，得，解得：，∴直线：，
当时，则 ，解出，∴；
（2）∵直线：，，∴当时，x的取值范围是；
（3），即，
根据图象，此时的不等式的解集为．
考点10 一次函数与方程、不等式综合
例1.（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数与的图象如下图所示，其交点的坐标为，直线与轴的交点坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．方程的解是 B．方程组的解是
C．关于的不等式的解集是 D．的解集为
【答案】C
【详解】解：∵直线与轴的交点坐标为，
∴当时，，∴方程的解是，故A选项错误；
∵一次函数与的图象交于点，
∴方程组的解是，故B选项错误；
观察图象得：当时，一次函数的图象在的图象的上方，
∴关于的不等式的解集是，故C选项正确；
观察图象得：当时，函数的图象在x轴的上方，
∴的解集为．故D选项错误．故选：C
变式1.（24-25八年级下·湖北十堰·期中）一次函数和在同一坐标系中的图像如图所示，则下列结论：①它们的交点在直线上；②；③不等式的解集为；
④它们与x轴围成的三角形的面积为．其中，正确的序号是 ．
A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【详解】一次函数和交于一点， ，解得：，①正确；
一次函数和交点在第一象限，且交点横坐标为1，
把代入得：故②正确；
函数图象它们的交点在直线上，有函数图象可知的解集为，故③正确；
把代入得：，当代入得：，当代入得：，
与x轴围成的三角形的面积为：，故④错误；综上所述：正确的有①②③；故选：C．
变式2.（24-25八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，一次函数和图象的交点坐标为，其中，均为常数，且．点，分别在函数和的图象上，且，在下列结论中：
①；②；③；④原点到直线的距离为．
正确的是 ．
【答案】①④
【详解】解：∵一次函数和图象的交点坐标为，
联立解得：∴
∵∴∴，故①正确；
∵，，为常数，的符号不确定，∴不一定成立，故②错误；
③点，分别在函数和的图象上，
∴，∴，故③错误；
④设与轴的交点分别为，
当时，，当时，∴，
∴∴ 设原点到直线的距离为，
∴，故④正确 故答案为：①④．
变式3.（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知直线过点﹒则以下结论：①；②若当时，，则；③方程组的解为；④若直线向右平移2个单位后过点，且不等式的解集为，则，其中正确的有 ．（请填写序号）
【答案】①④
【详解】解：直线过点，
，，故①正确，符合题意；
当时，， 随着的增大而减小，，，故②错误；
当时，方程组有无数个解，故③不正确；
将直线向右平移2个单位后解析式为：，
直线向右平移2个单位后过点，，
，不等式可变为：，整理得：，
不等式的解集为，，且，
解得：，故④正确；综上所述，正确的为：①④，故答案为：①④．
考点11 一次函数与新定义、探究规律
例1.（24-25八年级下·重庆渝中·期末）定义：在同一平面直角坐标系中有三条直线，，，我们把在某一范围内位于另外两条直线之间的直线称为该范围的中位线，记作．如图，：，：，：，若，则，其表达式为．若，则x的取值范围是 ；若是过点且平行于轴的直线，与直线有4个交点，则b的取值范围是 ．
【答案】 或
【详解】解：，得，则；即直线，交于点；
又直线，交于点，所以若，则；
当时，，即交点为；同理交点为；
若，则对应线段（不包括两个端点），如图；此时；
若，则对应线段（不包括两个端点），如图；此时；
若，则对应射线与射线，如图；此时或；
∴的图象为射线，线段，线段及射线组成，但不包括A、M、B三点；
如图，与直线有4个交点，
当射线：与线段相交时，则交点数为4个；
当经过点B时，，则；当经过点M时，，则；
故当时有4个交点；
当射线：与线段相交时，则交点数为4个，如图；
当经过点A时，，则；当经过点M时，，则；
故当时有4个交点；
综上，与直线有4个交点，则b的取值范围为或．
故答案为：；或．
变式1.（2025·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 ．
【答案】或
【详解】设点在直线上，其友好点也在直线l上，
设直线l的解析式为，将点和代入解析式得：
，解得，∴直线l的表达式为，
当时，，即直线l与y轴交点为，
当时， ，解得，即直线l与x轴交点为，∴，∴，
∴直线的表达式或．故答案为：或．
变式2.（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，……，依次进行下去，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，在直线上，∴在中，当时，，则，
∵在直线上，∴在中，当时，，则，
同理可得：，，，，，，
∴，，，（为自然数），
∵，∴的坐标为，即，故选：D．
变式3.（24-25八年级上江苏·期末）在平面直角坐标系中，解析式为的直线a，解析式为的直线b如图所示，直线a交y轴于点A，以为边作第一个等边三角形，过点B作y轴的平行线交直线a于点，以为边作第二个等边三角形顺次这样作下去，第2020个等边三角形的边长为（　　）
A． B． C．4038 D．4040
【答案】A
【详解】解：如图，延长交轴于点，
当时，，∴，即第1个等边三角形的边长为；
∵是等边三角形，∴，∴，
∵轴，∴，∴，∴，
当时，，∴，∴，∴，
即第2个等边三角形的边长为2；
延长交轴于点，同理可得，即第3个等边三角形的边长为；
同理得，即第4个等边三角形的边长为；
可得第2020个等边三角形的边长为，故选：A．
考点12 一次函数与几何最值
例1.（2025·天津西青·二模）已知，，在轴上求一点，使最小，则点的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，
的坐标是，直线的函数解析式为，
把点的坐标代入解析式可得．点的坐标是．故答案为：．
变式1.（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A和点B，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径画弧交于点C和点D，直线交x轴于点E，点P是直线上一动点，连接和，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：连接，如图所示：
由题意可知：垂直平分，∴，∴，
要使的值最小，即的值最小，所以当点A、B、P三点共线时，的值最小，最小值为线段的长，由一次函数可令时，则有，令时，则有，
∴，∴，即的最小值为；故答案为：．
变式2.（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点M、N的坐标如图所示，点P是y轴上的一个动点，当最大时，点P的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：如图，延长交轴于，
∵，当三点共线时，，即图中的，此时取最大值，
设直线为，∴，解得：，∴直线为，
当，则，∴，故答案为：
变式3.（24-25八年级下·重庆渝北·开学考试）如图，一次函数过点和点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，点D在线段上，点E在线段上，且，当最小值为时，则k的值为 ．
【答案】
【详解】解：过C作，使，连接，
由条件可知，∴，，
∵，∴，，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴当E在上时取最小值，最小值，∴，
∵点和点，∴，解得或，
∵由图形可知在第一象限，∴，∴，∴，
把和，代入得，解得，故答案为：．
变式4.（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，直线与轴交于点，直线（，为常数，且）与轴交于点，直线与交于点．
(1)求点的坐标及直线的函数表达式；(2)已知点是线段上一个动点（不与端点重合）．
设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数关系式；
若点在轴上，使得的值最小，则点的坐标为_____．
【答案】(1)，(2)与之间的函数关系式为；．
【详解】（1）解：把点代入直线中得：，∴点，
把点，代入得：
，解得：，∴直线的函数表达式为；
（2）解：①中，当时，，解得，∴，
∵，∴，∵点的横坐标是，∴点，
∵的面积是，∴，
根据题意得：，即与之间的函数关系式为；
②解：如图，作点B关于y轴的对称点，过点作于点E，连接，与y轴的交点即为P点，此时的值最小，且当点D与点E重合时，取得最小值，为的长，
，则，设点，
∴
∵，∴，
解得：或4（舍去），∴点，
设直线的函数表达式为，，解得：，
直线的函数表达式为，令，则，．
考点13 一次函数与几何图形综合
例1.（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点B和点A，点是一次函数图象上一点，过点E的直线与x轴和y轴分别交于点C和点．
(1)求a的值和直线的解析式；(2)若点P是直线上的一动点，若，求点P的坐标；
(3)如图2，点Q在直线上轴，垂足为M，射线平分，分别交x轴和y轴于点N和点H，当点M、点N和点O这三点中有一个点是另外两个点构成线段的中点时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)，直线的解析式为(2)点P的坐标为或
(3)点Q的坐标为或
【详解】（1）解：把点代入得：，∴，
设直线的解析式为，由题意得：
，解得：，∴直线的解析式为；
（2）解：由（1）可知：直线的解析式为，，
令，则有，解得：，∴，
由直线：，可令时，则有，∴，∴，
∴，设点，则可分：
当点P在x轴的上方时，，解得：，∴；
当点P在x轴的下方时，，解得：，∴；
综上所述：当时，点P的坐标为或；
（3）解：由直线：，可令时，则有，
∴，即，由可知：，∴是等腰直角三角形，∴，
设点，则，即，
当点N为的中点时，如图所示：
∵点N为的中点，∴，∴，，
过点N作于点G，∵平分，轴，∴，
∵，∴是等腰直角三角形，
∴，即，解得：，∴；
当点O为的中点时，如图所示：∴，则，
同理可得：，解得：，∴；
综上所述：当点M、点N和点O这三点中有一个点是另外两个点构成线段的中点时，点Q的坐标为或．
变式1.（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于两点，C为中点．
(1)求直线的解析式；(2)若D为线段上一动点，沿所在直线将翻折到的位置，直线交于点F．当是直角三角形时，求点D的坐标；(3)连接，若直线与直线所夹锐角小于，求k的取值范围．
【答案】(1)(2)或(3)或
【详解】（1）设直线的解析式为，代入，得
解得：∴直线的解析式为；
（2）解：∵，C为中点．∴∴
∵，∴∴是等腰直角三角形，∴，
①当时，如图所示，∴
又∵∴是等腰直角三角形，∴，
∵，沿所在直线将翻折到的位置，
∴，∴是等腰直角三角形，
∴，，∴延长交轴于点，
∴是等腰直角三角形，∴∴，
设，则∵∴解得：，
∴∴∴
②当时，如图所示，过点作轴于点，
同理可得是等腰直角三角形，∴
设，则，则，
∴，，，，
∴，
在中，，
在中，，∵折叠∴又∵∴
在中，∴，∴
∴
在中，∴解得：
∴，∴；综上所述，或；
（3）解：如图所示，作直线分别与直线所夹锐角为，交轴于点，使得，交于点， ∴三角形是等腰直角，，∴是等腰直角三角形，
∴，设，∴，
在中，在中，
又∵∵
∴，∴∴
解得：或（舍去）∴，
设直线的解析式为代入，
∴解得： 直线的解析式为；
过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴∴
又∵∴ ∴∴即
设直线的解析式为代入，
∴解得：直线的解析式为；
综上所述，直线与直线所夹锐角小于，则k的取值范围为或．
变式2.（25-26八年级上·山东淄博·期中）在平面内，线段的一个端点在直线上，另一个端点在直线的上方，线段绕点按顺时针方向旋转至线段，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点．
(1)如图1，当两点在直线的同侧时，求证；
(2)如图2，当两点在直线的异侧时（点在两点之间），猜想，三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，，点是轴上的动点，连接．①设点坐标为，点在轴上运动时，求与的关系式；
②当与的和最小时，求点的坐标．
【答案】(1)证明过程见解析(2)，理由见解析(3)①；②
【详解】（1）证明：直线，直线，，，
线段绕着点按顺时针方向旋转至线段，
，，，
在和中，，．
（2），理由如下：直线，直线，，，
线段绕着点按顺时针方向旋转至线段，，
，，
在和中，，，，，
，；
（3）①如图3所示，当点在第四象限时，由（2）可知：，
又点坐标为，，，，
，，整理得：，
同理可得：当点在第一象限或第三象限时，，综上，与的关系式是；
②：由①可知：点的运动轨迹是直线，
作点关于直线的对称点，连接，
设直线与轴交于点，与轴交于点，连接，，
易知，，，，由轴对称性质易得：
，，，，，
，，
，且当，，三点共线时，有最小值，
设直线的表达式为，把，代入上式得：
，解得：，，联立方程组可得：，解得：，．
变式3.（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点，与x轴交于点C．已知．
(1)求直线的解析式；(2)若平面直角坐标系内有一点，使得，请直接写出点P的坐标；
(3)线段OA上是否存在一个点M，使得 若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)P点坐标为或(3)存在，
【详解】（1）解：，，，，，
设直线的解析式为，，解得，；
（2）过B点作直线的平行线为，，点在直线上，
，，；直线关于直线的对称直线为，
，点在直线上，，；
综上所述：P点坐标为或；
（3）存在点M，理由如下：在x轴上取点H，连接，使，
过点H作交直线于点G，过点B作轴，过点G作轴，过点H作轴，
，，，，
，≌，，，设，
，，，，解得，，
，，，
与x轴的交点为，直线的解析式为，当时，，
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【详解】解：根据题意，当时，，∴方程的解是．故选：B．
2．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：由图象可知，的解集为，在数轴上表示解集为：
故选B．
3．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线和交于P，当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：根据图象可知，当时，x的取值范围是．故选：D．
4．（24-25八年级下·河北衡水·期末）在直线、直线与轴所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，则“美点”的个数为（ ）
A．300 B．400 C．360 D．320
【答案】B
【详解】解：令，解得：，把代入得：，∴两条直线的交点为，
把分别代入，得：，，
∴直线与直线与y轴的交点坐标分别为：，，
∴y轴上的“美点”有；
对于，当x为偶数时，为整数，当时，最大偶数为，因此在上有“美点”的个数为：（个），
对于，当x整数时，为整数，当时，最大整数为，因此在上有“美点”的个数为：个，∴“美点”的个数为：（个）．故选：B．
5．（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知方程的解与下列选项中两个函数图象的交点相对应的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，解得：，∴两个函数图象的交点坐标为，
∴交点在第一象限且纵坐标大于横坐标，即A选项符合题意．故选A．
6．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·期末）关于一次函数与，下列说法：
①两函数的图象关于轴对称；②两函数的图象和轴围成的三角形的面积为24；
③函数（是常数，且）的图象一定过点．其中正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【详解】一次函数与的图象如图所示，
由图象可得，两函数的图象关于轴对称，故①正确；的面积，故②错误；
函数
当时，
∴函数（是常数，且）的图象一定过点，故③正确．
综上所述，其中正确的个数是2个．故选：B．
7．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【详解】解：把代入得：，∴，
联立，解得∴点的坐标为，
当直线经过点，则，解得，
当直线经过点，则，解得：，
∵直线与线段有交点，∴的取值范围为或．故选：D．
8.（25-26八年级上·山东济南·期中）在，两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程，(km)与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：①，两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【详解】解：由图象可得：，两地相距为，故①正确；
∵货车的速度为：，∴货车到达地一共需要，
设两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为，
∵在图象上，∴，解得：，
∴两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：，故②正确；
设客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：，
∵在图象上，∴，解得：，
∴客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：，故③正确；
由相遇得：，∴，∴，∵，∴符合题意，
即客、货两车在小时相遇，故④正确；综上所述，正确的有①②③④，共个，故选：D．
9．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，，轴，交轴于点，交直线于点．点在线段上，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【详解】解：一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，
，，，，
将代入，得：，，，
设，则，，，
，，，，故选：A．
10．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（ ）．
A．4或 B．4或 C．4或 D．3或
【答案】C
【详解】解：当时，，点的坐标为，；
当时，，解得：，点的坐标为，
，．
，，，共2种情况．
当时，，；
当时，，．
综上所述，的长为4或．故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（25-26八年级上·陕西西安·期中）小辰在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值：
码数 26 30 34 42
长度 18 20 22 26
根据小辰的数据，可以得出该品牌32码鞋子的长度为 ．
【答案】21
【详解】解：设y与x的函数解析式为，由和在函数图象上，
得方程组： 因此函数解析式为，
当时，．故答案为：21．
12．（2025·山东济南·模拟预测）如图（）是甲、乙两个完全相同的圆柱形水槽的轴截面示意图，在乙槽中放入一圆柱形实心铁块，两水槽在下侧位置连通（由连通阀门控制水流，连通阀门处的水量忽略不计）．现将连通阀门打开，甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（）与注水时间（）之间的函数关系如图（）所示．则线段所在直线的函数表达式为 ．
【答案】
【详解】解：由题意，从到，乙槽中水面上升的高度等于甲槽中水面下降的高度，也等于从到，甲槽中水面下降的高度，，．．
设线段所在直线的函数表达式为，
将，的坐标分别代入，得，．
线段所在直线的函数表达式为．
13．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于，，的平分线与轴相交于点M、则线段的长 ．

【答案】
【详解】解：作，如图所示：

令，则；令，则；∴,；
∵平分，且，∴；
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
设，则,∵，∴，解得：；
∴，∴，故答案为：
14．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知直线：经过，两点，直线．（1）若，则a的值为 ；（2）当时，总有，则a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：（1）∵直线经过，两点
∴解得：∴：∵∴，故答案为：；
（2）联立，解得，∴直线与直线的交点坐标为,
∵当时，总有，∴解得：．故答案为：．
15．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②；③不等式的解集是；④当时，．
其中正确的是 ．

【答案】②③④
【详解】①由图象可知正比例函数的图象从左到右下降，根据正比例函数的性质，当时，图象从左到右下降，所以，故①错误；
②一次函数的图象与轴的交点在轴正半轴，根据一次函数的性质，当时，图象与轴交于正半轴，所以，故②正确；
③不等式的解集是就是正比例函数的图象在一次函数图象上方部分对应的的取值范围，由图象可知，此时，故③正确；
④当时，，，根据有理数乘法法则，异号得负，所以，故④正确；
故答案为：②③④．
16．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，，，，点D为线段上的一个点，点E是线段上一点，若点C和点E关于所在直线对称，则D点的坐标为 ．
【答案】/
【详解】解：在中，根据勾股定理，得，
点C和点E关于所在直线对称，是的垂直平分线，
又点E是线段（轴）上一点，，的中点坐标为，
设直线的解析式为，将的中点坐标和分别代入，
得到，解得，直线的解析式为．
设直线的解析式为，将，，分别代入，
得到，解得，直线的解析式为．联立直线与直线的解析式，
得到，解得．D点的坐标为．故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台．
(1)求投放塑料的奖励积分；(2)求的值；(3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明．
【答案】(1)；(2)；(3)能，理由见解析．
【详解】（1）解：设与的函数关系式为，
当时，，当时，，
，解得：，与的函数关系式为，
当时，，
答：投放塑料的奖励积分分；
（2）解：由图可知投放纸张奖励积分分，
投放纸张超过后，奖励积分为分，
，；
（3）解：当时，投放的塑料的积分为分，
投放的纸张的积分为分，，不符合题意；
当时，投放的塑料的积分为分，
投放的纸张的积分为分，
塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，
，解得：，
此时，分，
，不能兑换扫地机器人；
当时，投放的塑料的积分为分，
投放的纸张的积分为分，
塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，
，解得：，
此时，分，
，能兑换智能扫地机器人．
18．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满．
苹果 橘子
每辆车装载量（吨） 4 6
每吨获利（元） 1200 1500
(1)设装运苹果的货车有辆，装运橘子的货车有辆，则_____（用含的代数式表示）；
(2)求总利润（元）与（辆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，则应安排多少辆货车装运苹果才能获得最大利润，并求出最大利润．
【答案】(1)(2)
(3)安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元
【详解】（1）解：设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆，
∵每辆车装载量苹果4吨或橘子6吨，∴，即，
∵，解得，且为3的倍数，
∴，故答案为：；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：，∴，解得，
∵，且为3的倍数，∴，且为3的倍数，
∵，，∴随增大而减小，
∴当，，此时最大，最大值为（元）
即安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元．
19.（25-26八年级上·江苏·期中）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示．
(1)求m的值，并说出m的实际意义；(2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）；(3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值．
【答案】(1)，表示桐桐从地步行到地所用的时间(2)(3)或
【详解】（1）解：；
由题意和图象可知：m表示桐桐从B地步行到A地所用的时间；
（2）设，由题意，图象经过点，即，
则：，解得：，∴；
（3）由图象可知：小兴的步行速度为：，由（2）可知：桐桐骑车速度为：，
当时，；
当时，，解得：；综上：或．
20．（24-25八年级下·四川南充·期末）勤俭节约是中华民族的传统美德，某天然气公司为了鼓励居民节约用气，生活用气实行按阶梯式气价计费，如图是某户居民每月的用气费y（元）与所用的气量x（立方米）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题：
(1)当用气量不超过10立方米时，每立方米气收费多少元？(2)当用气量超过10立方米且不超过40立方米时，求y与x之间的函数关系式；(3)某户居民九、十月份用气费共82元，十月份用气比九月份少6立方米，求这户居民十月份用气多少立方米？
【答案】(1)2元(2)(3)14立方米
【详解】（1）解：元/立方米，
答：当用气量不超过10立方米时，每立方米气收费2元；
（2）解：设当用气量超过10立方米且不超过40立方米时，y与x之间的函数关系式为，
把代入中得，∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
（3）解：设这户居民十月份用气m立方米，则这户居民九月份用气立方米，
∵，且，
∴九月份的用气量必然超过10立方米且不超过40立方米，
当十月份的用气量不超过10立方米时，则，解得（舍去）；
当十月份的用气量超过10立方米且不超过40立方米时，则，解得；
综上所述，，答：这户居民十月份用气14立方米．
21．（25-26八年级上·广东深圳·期中）教材问题重现：
在小颖的实验中，燃烧时间每增加，香可燃烧部分的长度就减少．也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少．为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢？与同伴进行交流．
对于“均匀”变化，下面是深度学习小组通过查阅相关资料和文献搜索后的研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
深度学习小组有关“匀速变化一次函数”的研究报告研究对象：匀速变化一次函数研究思路：按“概念——例题——探究”的路径进行研究研究内容：【一般概念】设y是x的一次函数，我们取自变量x的取值范围内的两个不同的值，，当到变化时，对应的y的值由到也随之变化，这时我们称比值为y在与之间的平均变化速度，当y在自变量x取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度相同时，我们称y是x的匀速变化一次函数．
【探究活动一】根据匀速变化一次函数的概念，对函数的研究如下：当时，；当时，．则．当时，；当时，．则．因为y在自变量x的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度是同一个数3，所以y是x的匀速变化一次函数．【深入探索】通过上述方法可以验证函数为y关于x的匀速变化一次函数，则该函数的平均变化速度刚好等于 ▲ ．发现结论：若、是函数（k，b为常数，）图象上的两点，则 █ ．我们只需再取图象上两点就可以快速地验证y是不是x的匀速变化一次函数．
任务一：（1）填空：上述材料中的▲= ，█= ．
（2）请你应用以上规律直接写出过，两点的直线的平均变化速度 ．
【探究活动二】深度学习小组继续深入研究直线的平均变化速度问题，得到以下两个正确结论：
①当两条直线平行时，这两条直线的平均变化速度是相等的；
②当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的平均变化速度之积是一个定值．
任务二：（3）如图1，直线与直线垂直于点A，且，，．请求出直线的平均变化速度与直线的平均变化速度之积．
（4）发现结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的平均变化速度之积是一个定值，这个定值= ．
（5）应用结论：如图2，平面直角坐标系中正方形的顶点，，连接，过点D作直线，则直线l的函数表达式为 ．
【答案】（1），；（2）；（3）；（4）；（5）
【详解】解：（1）设函数的两点为，，
∴，，∴，
同理，当，是函数（k，b为常数，）图象上的两点，
则．故答案为：3，k．
（2）由题可知，，故答案为：3．
（3），，∴．
（4）由（3）可得这个定值为：．故答案为：．
（5）如图，过点D作轴于点H，
在正方形中，，，∵点，，∴，，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴，∴，
∵直线，∴，∴，设直线l的函数表达式为，
将点D坐标代入得，，∴，∴直线l的函数表达式为．
故答案为：．
22.（25-26八年级上·广西崇左·月考）直线与x轴交于点A ，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，与直线 m 交于点 P ，若点P的横坐标为1 ．
(1)求A，B两点的坐标；(2)直接写出方程组的解；(3)求a，b的值；(4)求的面积．
【答案】(1)，(2)(3)(4)
【详解】（1）解：对于直线，
当时，，解得；当时，，解得，∴，；
（2）解：∵直线与直线 m 交于点 P ，若点P的横坐标为1，
∴将代入，则，解得，∴，
∴方程组的解为；
（3）解：将，代入直线，则，解得；
（4）解：∵，，，∴，
∴．
23．（24-25七年级下·重庆江北·期末）阅读以下材料，解决问题：我们知道，二元一次方程有无数组解，我们把一组解中x，y对应的数值看作一个有序数对．在平面坐标系中，标出以这个方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点，就会发现这些点在同一条直线上．例如：二元一次方程． 有无数组解，方程的解 对应点，对应点 ，同理得到点、我们把这些点用平滑的曲线连接正好是一条直线，如图所示．反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也对应方程的解，所以我们把这条直线就叫做方程的图象．
结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，任意一个二元一次方程的图象都是一条直线．
(1)以下选项中在方程的图像上的点有________．
① ② ③ ④
(2)已知是关于、方程和图像的交点上，求的值．
(3)已知无论为何值，关于、的二元一次方程的图象都经过某一定点，求这个点的坐标．
【答案】(1)①④(2)(3)
【详解】（1）解：①当时，则，，故在方程的图象上；
②当时，则，，故不在方程的图象上；
③当时，则，，故不在方程的图象上；
④当时，则，，故在方程的图象上；
在方程的图象上的点有①④．故答案为：①④；
（2）由题意，是关于、方程和图象的交点上，
①，且②，得，，答：的值为；
（3）由题意，，，
当时，，即当时，，
无论为何值，关于、的二元一次方程的图象都经过定点．
24．（25-26八年级上·重庆南岸·期中）如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在轴上．已知点，．(1)若点在轴负半轴上，求直线的函数表达式；
(2)在（1）的条件下，轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标．
【答案】(1)(2)存在，点的坐标为或(3)点的坐标为或
【详解】（1）解：如图1，，，，．
由对称性可知，，在中，，
在中，，即，解得．．
设直线的表达式为， 解得
直线的函数表达式为．
（2）存在．设，由（1）知，，，，则．
，．，
，解得或18．点的坐标为或．
（3）情况1：如图2，当点与点关于直线对称时，．
∴点在直线上．设直线的表达式为，
解得直线的函数表达式为．
，，，，
．．，．
当时，，解得．；
情况2：如图3，当轴，轴时，．
，，四边形是平行四边形．
又，四边形是矩形．．
综上，点的坐标为或．
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