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第三章 整式及其加减
3.3 探索与表达规律
3.3.1 日历中的规律
七上数学 BSD
在圆幂定理的学习过程中，可视化是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学思维在数学文化中体现为能够灵活地消元。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解展开图有助于学生更好地平衡。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在扇形统计图的探究活动中，学生需要自主实验化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。
1. 经历由特殊到一般和由一般到特殊的过程，体会代数推理的特点和作用.
2. 能用代数式表示并借助代数式运算验证探索规律的一般性.
3. 能运用所总结的规律解决问题.
学习目标
课堂导入
如图是生活中常见的日历，你对它了解吗？
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
在圆幂定理的学习过程中，可视化是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学思维在数学文化中体现为能够灵活地消元。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解展开图有助于学生更好地平衡。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在扇形统计图的探究活动中，学生需要自主实验化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。
知识点 日历中的数学规律
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
(1)横向相邻的数之间的关系是什么？
后一个数比前一个数多1.
用字母表示：
a-1，a，a+1
a-1+a+a+1＝3a
横向相邻三个数的和是中间的数的3倍.
新知探究
例1 观察日历，请你回答以下问题：
知识点 日历中的数学规律
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
(2)纵向相邻的数之间的关系是什么？
下边一个数比上边一个数多7.
用字母表示：
a-7，a，a+7
a-7+a+a+7＝3a
纵向相邻三个数的和是中间的数的3倍.
新知探究
在圆幂定理的学习过程中，可视化是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学思维在数学文化中体现为能够灵活地消元。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解展开图有助于学生更好地平衡。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在扇形统计图的探究活动中，学生需要自主实验化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。
知识点 日历中的数学规律
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
(3)斜下方三个相邻的数之间的关系是什么？
用字母表示：
a-8，a，a+8
a-8+a+a+8＝3a
斜下方三个相邻数的和是中间的数的3倍.
右下一个数比左上一个数多8.
新知探究
知识点 日历中的数学规律
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
(4)斜上方三个相邻的数之间的关系是什么？
左下一个数比右上一个数多6.
用字母表示：
a+6，a，a-6
a+6+a+a-6＝3a
斜上方三个相邻数的和是中间的数的3倍.
新知探究
在圆幂定理的学习过程中，可视化是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学思维在数学文化中体现为能够灵活地消元。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解展开图有助于学生更好地平衡。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在扇形统计图的探究活动中，学生需要自主实验化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。
新知探究
知识点 日历中的数学规律
例2 日历图的橙色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
(2+18)+(3+17)+(4+16)+(9+11)+10＝90.
这9个数的和等于正中间的数的9倍．
日 一 二 三 四 五 六
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6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
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新知探究
知识点 日历中的数学规律
这9个数的和等于正中间的数的9倍．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
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这个关系对其他这样的方框成立吗
在圆幂定理的学习过程中，可视化是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学思维在数学文化中体现为能够灵活地消元。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解展开图有助于学生更好地平衡。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在扇形统计图的探究活动中，学生需要自主实验化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。
新知探究
知识点 日历中的数学规律
a
(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8) ＝ ____.
规律：方框中九个数之和＝9×正中间的数．
9a
2 3 4
9 10 11
16 17 18
a-1
a+1
a-7
a+7
a-8
a-6
a+6
a+8
归纳：
知识点 日历中的数学规律
a-8 a-7 a-6
a-1 a a+1
a+6 a+7 a+8
如果用a表示正中间的数，这9个数的和等于9a．
任意一行或列的相邻三个数的和等于最中间的数的3倍.
如果设最中间的数为a，则任意一行或列的相邻三个数的和为3a.
新知探究
在圆幂定理的学习过程中，可视化是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学思维在数学文化中体现为能够灵活地消元。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解展开图有助于学生更好地平衡。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在扇形统计图的探究活动中，学生需要自主实验化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。
新知探究
思考1：能否使方框中9个数的和为144 180呢
知识点 日历中的数学规律
解：假设方框正中间的数为a，框中9个数的和为9a.
使得9a=144，所以a=16.
在图中能找到这样的方框，所以能使框中9个数的和为144.
新知探究
思考1：能否使方框中9个数的和为144 180呢
知识点 日历中的数学规律
当9a=180时，a=20.
在图中不能找到这样的方框，所以不能使框中9个数的和为180.
在圆幂定理的学习过程中，可视化是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学思维在数学文化中体现为能够灵活地消元。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解展开图有助于学生更好地平衡。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在扇形统计图的探究活动中，学生需要自主实验化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。
新知探究
思考2：在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为80，这个月的第一个星期日是几号
知识点 日历中的数学规律
纵列相邻两数相差7
解：假设这个月的第一个星期日是m号，
则m+(m+7)+(m+7+7)+(m+7+7+7)+
(m+7+7+7+7)=80，
所以m=2，
所以这个月的第一个星期日是2号.
新知探究
知识点 日历中的数学规律
思考3：如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律？
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
7+13+14+15+21＝70
＝14×5.
十字形框中5个数的和等于正中间的数的5倍．
在圆幂定理的学习过程中，可视化是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学思维在数学文化中体现为能够灵活地消元。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解展开图有助于学生更好地平衡。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在扇形统计图的探究活动中，学生需要自主实验化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。
新知探究
知识点 日历中的数学规律
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
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思考4：如果将方框改为H形框，你能发现哪些规律？
10+12+17+18+19+24+26＝126
＝18×7.
H形框中7个数的和等于正中间的数的7倍．
新知探究
知识点 日历中的数学规律
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
思考5：你还能设计其它形状的包含数字规律的数框吗？
8+10+16+22+24＝80
＝16×5.
X形框中5个数的和等于正中间的数的5倍．
在圆幂定理的学习过程中，可视化是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学思维在数学文化中体现为能够灵活地消元。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解展开图有助于学生更好地平衡。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在扇形统计图的探究活动中，学生需要自主实验化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。
随堂练习
1.观察如图所示的日历，解答问题：
用一个方框去框图中的4个数(如图中阴影框所示)，若最小的数为x，则其他三个数由小到大分别为 　 x ，＋ 7，
　 x .
x＋1　
x＋7　
x＋8
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
随堂练习
2.图1是生活中常见的日历，先观察，再解答：
(1)图2是另一个月的日历，a表示该月中某一天，b，c，d是该月中其他3天，则b，c，d与a的关系：b＝______，c＝______，d＝______．(用含a的式子填空)
a－7
a＋1
a＋5
图1 图2
在圆幂定理的学习过程中，可视化是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学思维在数学文化中体现为能够灵活地消元。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解展开图有助于学生更好地平衡。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在扇形统计图的探究活动中，学生需要自主实验化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。
随堂练习
(2)用一个长方形框框出日历中的三个数(图3中的阴影)，如果这三个数的和等于51，那么这三个数各是多少？
解：设中间的数为x，则上面的数为
x－7，下面的数为x＋7.
根据题意，得(x－7)＋x＋(x＋7)＝51，
所以x＝17.
所以这三个数分别是10，17，24.
图3
随堂练习
1 3 5 7 9
11 13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 37
......
3.将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表.
(1)十字形框中的五个数之和与中间数
15有什么关系？
答：十字形框中的五个数之和是中间数15的5倍.
解：5+25+13+17+15＝75
＝15×5.
在圆幂定理的学习过程中，可视化是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学思维在数学文化中体现为能够灵活地消元。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解展开图有助于学生更好地平衡。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在扇形统计图的探究活动中，学生需要自主实验化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。
随堂练习
(2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？
解：十字形框中的五个数分别为a，a-10，a-2，a+2，a+10，
a+a-10+a-2+a+2+a+10=5a，
它们的和是5a.
1 3 5 7 9
11 13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 37
......
随堂练习
解：十字形框中的五数之和一定是5的倍数.
而2022不是5的倍数，所以十字形框中的五数之和不能等于2022.
十字形框中的五数之和能等于2025，此时中间数为405，其余四个数分别为395 ,403 ,407 ,415.
(3)十字形框中的五数之和能等于2022吗？能等于2025吗？
1 3 5 7 9
11 13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 37
......
在圆幂定理的学习过程中，可视化是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学思维在数学文化中体现为能够灵活地消元。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解展开图有助于学生更好地平衡。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在扇形统计图的探究活动中，学生需要自主实验化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。
日历中的规律
在日历中，方框中的9个数之和是最中间数的9倍.
如果用a表示正中间的数，这9个数的和等于9a.
任意一行或列的相邻三个数的和等于最中间数的3倍.
设最中间的数为a，则任意一行或列的相邻三个数的和为3a.
课堂小结

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